x2-3-24正态分布
标准正态分布的密度函数
5
由于 随机变量 X ~ N (0,1)
1 x e 2
x2 2
x
b a
(x)
P(a X b) ( x)dx
由图像可知，阴影面积为概率值。 其对应的曲边梯形面积越大。 标准正态分布的分布规律时“中间多，两头少”.
6
0
a
b
x
对同一长度的区间 [a, b] ，若这区间越靠近 x 0,
1. x 在 x 处处连续； 内
0
x
2. x为偶函数，其图像关于y轴对称； 1 0.399 3. 当x＝ 时， x 有最大值： 0 0 2 4. 当x＝ 1时，曲线 x 有拐点; 5. x轴为曲线的水平渐近线。 x 的图像称为标准正态（高斯）曲线。
第七节
正态分布
第二章
一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算
1
正态分布的重要性 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由 以下情形加以说明：
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一， 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．
13
P h X P X h
⑵ 当x 时，px 取到最大值
p 1 2
p (x)
这表明，对于同样长度的区间，
0 h h
x
x离 越远，px 的值就越小． 当区间离 越远时，
随机变量 X 落在该区间中的概率就越小．
2
从该地区 1、随机地抽查一青年男子的身高， 他身高超过168cm 的概率为多少。 2、若抽查10个青年男子测其身高恰有k（0≤k ≤ 10)个 人的身高高于168cm 的概率为多少？
7.5正态分布 课件(共24张PPT)-(2024年)高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
正态曲线的性质 ：
(1)曲线位于 x 轴的上方与 x 轴不相交；
(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1；
且对称区域面积相等；
(间高、左右对称的基本特征.
正态曲线的性质 ：
σ=1
μ=0
μ=0
=0.5
μ=-1
μ=1
=1
=2
σ越大，表示总体的分布越分散；
σ越小，表示总体的分布越集中.
标准正态曲线：
1
e
正态函数表示式：f ( x )
2
( x )2
x (,)
2 2
当 μ= 0，σ=1时，可得 标准正态函数表示式：
x2
f ( x)
1 2
e
x (,)
2
标准正态
曲线
y
μ=0
σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
∴考试成绩X位于区间(80,100]内的概率为0.6827．
由共有2000名考生，知考试成绩在(80,100]间的考生大
约有2000×0.6827≈1 365(人)．
例2 若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解: 因为X～N(5,1),
故正态密度曲线关于直线 x=5 对称,
1).若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ,μ+σ)内的概率是多少？
22 x (,)
则称随机变量X 服从正态分布，记为X~N(μ，2).
若X ~ N ( , 2 ), 如图所示，
P( X x) S A
P (a X b) S B
若X ~ N ( , 2 ), 则 E ( X ) , D( X ) 2
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：
正态分布详解(很详细)PPT课件
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y~N(,2)时，
P(Y | |)0.6826
P(Y | |2)0.9544
P(Y | |3)0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[3,3]区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
上一讲我们已经看到，当n很大，p接 近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果 n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明， 二项分布近似于正态分布.
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N(,2) , X的分布函数是
F(x) 1 xe(t2 2)2d,tx
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
三、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
正态分布
正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。
附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。
有关正态分布的解释
在 155 厘米以上者占正常女孩总人数的 2.385%。
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24
正态分布的应用
➢ 估计医学正常值范围。 ✓ 医 学 正 常 值 范 围 又 称 医 学 参 考 值 范 围 ，医 学 正 常 值 范 围是指包括绝大多数正常人的各种生理及生化指标 的范围。 ✓ 一 般 常 用 95%或 99%的 医 学 参 考 值 范 围 。 ✓ 某 指 标 的 95%或 99%的 医 学 参 考 值 范 围 只 包 括 95%或 99%的 正 常 人 该 指 标 的 变 量 值 分 布 范 围 ，还 有 5%或 1% 的 正 常 人 该 指 标 的 变 量 值 不 在 此 范 围 内 。所 以 ，在 诊 断时参考值 范围只能 起“参考 ”作用，不在此范 围并 不 一 定 异 常 （ 患 病 ）， 在 此 范 围 内 也 不 一 定 正 常 （ 不 患 病 ）。
N（μ1 ，σ2）、N（μ2 ，σ2）
N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）
m ax
σ =0.5
f(x)
f(x)
σ =1 σ =2
0
0
µ1
µ2
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µ
12
1. 正态曲线下面积分布有一定的规律性。
1. 对于服从正态分布的随机变量（X），随机变量值出现在 某一区间（x1,x2）的概率与正态分布概率密度曲线与横轴 在该区间所围成的区域的面积大小相对应（相等）。
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13
标准正态分布
标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即 左右各为0.5。
标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图
即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域面积的 大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通过查标准正
2025高三重要必考点正态分布
1．正态分布(1)正态曲线函数f(x)=x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X N(,).特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.(3)正态分布的均值和方差若X N(,)，则E(X)=，D(X)=.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称；(3)曲线在x=；(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；(5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1；(6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(-+)0.6827；P(-2+2)0.9545；P(-3+3)0.9973.(2)3原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学中称为3原则.历届高考题最新模拟题选做1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()AA．0.954B．0.977C．0.488D．0.4772．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(B)(随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%3．已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝(A)A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由X～N(1，σ2)，正态曲线关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2；故选A.3．已知三个正态密度函数φi(x)=−(x−μi)22σi2（x∈R，i=1,2,3）的图像如图所示，则（）A．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2>σ3B．μ1<μ2=μ3，σ1<σ2<σ3C．μ1=μ3>μ2，σ1=σ2<σ3D．μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3由题图中y=φi(x)的对称轴知：132u u u =，y=φ1(x)与y=φ2(x)(一样)瘦高，而y=φ3(x)胖矮，所以σ1=σ2<σ3.故选：D.4．已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，且P(X>k)＝P(X<k－4)，则k的值为(B) A．6B．7C．8D．9[解析]∵(k－4)＋k2＝5，∴k＝7，故选B.5．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝(C) A．6B．5C．4D．3[解析]由题意可知P(ξ≥6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴P(ξ≥6)＝P(ξ<2)，∴μ＝6＋22＝4.选C．6．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<4)＝(D) A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8[解析]由正态曲线的对称性知P(－2<ξ<4)＝2P(1<ξ<4)＝212－P(ξ>4)＝212－(1－P(ξ<4))＝0.8.故选D.7．若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ>0)，则P(|X－μ|≤σ)≈0.6826，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9544，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9974.已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N(110,100)，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(C)A．159B．46C．23D．13[解析]由题意，μ＝110，σ＝10，故P(X>130)＝P(X>μ＋2σ)＝1－0.95442＝0.0228.∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23.故选C．8．已知随机变量X ～N(2,1)，其正态分布密度曲线如图所示．若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为(D)附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641[解析]由题意P(0＜X ≤1)＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.正方形OABC 内取一点，则点恰好落在阴影部分的概率为P ＝1×1－0.13591×1＝0.8641.选D.9．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是(ABD)附：若随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6826.A ．若红玫瑰日销售量范围在(μ－30,280)的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413[解析]对于选项A ：μ＋30＝280，μ＝250，正确；对于选项BC ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确；对于选项D ：P(280<X<320)＝P(μ<X<μ＋σ)≈0.6826×12≈0.3413，正确．故选ABD.10．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X 服从正态分布N(180,900)．(参考数据：①P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9973.则(BC)A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．P(240<X ≤270)＝0.0428[解析]这次考试标准分超过180分的约有500人，A 错；∵P(90<X<270)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9973，∴标准分在(90,270)内的人数约为0.9973×1000≈997，∴B 正确．甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C232×＝38，∴C 正确；∵P(240<X<270)＝P (90<X<270)－P (120<X<240)2＝P (μ－3σ<X<μ＋3σ)－P (μ－2σ<X<μ＋2σ)2＝0.9973－0.95452＝0.0214，∴D 错误．故选BC ．11．已知随机变量X~N 4，22，则P 8<X <10的值约为（）附：若Y~N μ，σ2，则P μ−σ<Y <μ+σ≈0.6827，P μ−2σ<Y <μ+2σ≈0.9545，P μ−3σ<Y <μ+3σ≈0.9974A．0.0215B．0.1359C．0.8186D．0.9760【解题思路】由题意确定μ=4,σ=2，根据P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+ 2σ]，即可得答案.由题意知随机变量X~N4，22，故μ=4,σ=2，故P8<X<10=12[Pμ−3σ<X<μ+3σ−Pμ−2σ<X<μ+2σ]≈12(0.9974−0.9545)=0.02145≈0.0215,故选：A.12．已知随机变量服从正态分布X~N(2,σ2)，若P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，则a=（）A．0B．2C．−1D．−2根据正态分布的性质可得P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，即可得到1−2a、1+a关于x=2对称，从而得到方程，解得即可.解：因为P(X≤1−2a)+P(X≤1+a)=1，P(X≤1−2a)+P(X≥1−2a)=1，所以P(X≥1−2a)=P(X≤1+a)，所以1−2a+1+a=2×2，解得a=−2.故选：D.13．已知随机变量X服从正态分布N6,σ，若P X<4+5P X>8=1，则P4<X<6=（）A．16B．14C．13D．19根据正态分布的对称性可得：P X<4=P X>8，P4<X<6=12−P X<4，结合题意可求P X<4=16，进而可求P4<X<6．X~N6,σ，则P X<4=P X>8，∴P X<4+5P X>8=6P X<4=1，则P X<4=16，∴P4<X<6=12−P X<4=13，选：C．1．新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现，基于目前流行病学调查，潜伏期为1～14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源，某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示．(1)由直方图可认为答题者的成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别为答题者的平均成绩x－和成绩的方差s2，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(同一组中的数据用该组的区间中点值作代表)(2)如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s2＝204.75，204.75＝14.31；②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<z<μ＋2σ)＝0.9544；③0.84134＝0.501,0.84133＝0.595.[解析](1)由题意知：x－＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，因为z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x－＝70.5，σ2＝D(ξ)＝204.75，σ＝14.31，∴z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，而P(μ－σ<z<μ＋σ)＝P(56.19<z<84.81)＝0.6826，∴P(z≥84.81)＝1－0.68262＝0.1587，∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为0．1587×10000＝1587人．(2)由(1)知，成绩超过56.19的概率为1－0.1587＝0.8413，而ξ～B(4,0.8413)，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44·0.84134＝1－0.501＝0.499.2．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝142.75≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.[解析](1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x－为：x－＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.6826，∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得每包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的概率为213.02.0=+X ～X 的取值为0，1，2，3，4，P(X ＝0)＝16121404=⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；P(X ＝1)＝41421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝2)＝42421⎪⎭⎫ ⎝⎛C =38；P(X ＝3)＝43421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝14；P(X ＝4)＝44421⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝116.∴X 的分布列为X 01234P116143814116∴E(X)＝4×12＝2.(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数位学生，求他的数学成绩恰在64分到0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(2P μσ-(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，。
2024年数学考研武忠祥正态分布知识点总结
1. 引言2024年数学考研备战，正态分布是一个重要的知识点，其中武忠祥老师的讲解更是深入浅出，使得我们能够更好地理解和掌握这一内容。
通过深度和广度的学习，我们将能够在考试中游刃有余地应对相关问题。
本文将全面总结2024年数学考研中关于正态分布的知识点，以便更好地备战考试。
2. 正态分布的基本概念2.1 正态分布的定义在统计学中，正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中心峰较高，两侧逐渐减小。
而武忠祥老师在讲解中提到，正态分布的密度曲线呈单峰形态，这是因为正态分布的数据集主要集中在均值附近，随着数值偏离均值，出现的概率会逐渐减小。
2.2 正态分布的性质武忠祥老师在讲解中强调了正态分布的重要性，因为正态分布在自然界、经济学、社会科学等领域有着广泛的应用。
其性质包括均值、方差等统计特征，以及68-95-99.7规则等特性。
这些性质的理解对于解决实际问题和对数据的分析具有重要意义。
3. 正态分布的应用3.1 正态分布在实际问题中的应用在考研数学中，正态分布的应用是一个重要的考点。
武忠祥老师在讲解中提到了正态分布在水平测试、质量管理、风险评估等方面的具体应用，这些案例能够帮助我们更好地理解和应用正态分布的知识。
3.2 正态分布在数学建模中的应用除了实际问题中的应用，正态分布在数学建模中也起着重要作用。
武忠祥老师强调了正态分布在概率密度函数和累积分布函数的应用，这不仅对于解决具体问题有帮助，还能够对数学建模的理论基础进行深入理解。
4. 我对正态分布的个人理解在学习中，我认识到正态分布作为一个重要的统计学分布，具有非常广泛的应用价值。
正态分布的均值和标准差是其重要的统计特征，能够描述数据的集中程度和离散程度。
通过学习正态分布，我深刻理解了正态分布的概念、性质和应用，并能够运用这些知识解决实际问题。
5. 总结2024年数学考研备战，正态分布作为重要的数学知识点，需要我们深入理解和掌握。
(2-3)2.4--正态分布
σ=0.5
若σ 固 定, 随m 值的变化 而沿x轴 平移,m 故 称为位置 参数；
m3
m1
m2
问题三：若m
为定值，当σ 变化时正态曲线的极
y
值大小如何变化？正态曲线的形状如何变化？
μ=0
=0.5
=1
若 m 固定,σ 大时, 曲线矮而 胖； σ 小时曲 线瘦而高, 故σ 称 为形状参数。
问题四：正态分布的3σ 原则 P( m －σ ＜X≤ m ＋σ )≈0.682 7， P( m －2σ ＜X≤ m ＋2σ )≈0.954 5， P( m －3σ ＜X≤ m ＋3σ )≈0.997 3， 如何理解这几个数据的实际意义？
68.27%
95.45%
99.73%
| 6σ | 4σ | |2σ | 正态分布在各σ 邻域内取值的概率.
高尔顿板视频
y 频率 组距
O
球槽 编号 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 121314
上面的钉板试验给我们如下图的曲线
这就是本节课我们学习的正态曲线，通过学习 我们会掌握正态曲线的有关知识，用它来解决实际 生产生活中的问题.
问题一：通过高尔顿板试验，你有什么发现？能
解释一下产生这种现象的理由吗？ 落在中间球槽内的小球多，落在两边球槽内
P 2 0.023 ，则 P 2 2 （
C
） D． 0.977
A． 0.477
B． 0.625
C． 0.954
【4 3、 】 （07 全国） 在某项测量中， 测量结果 服从正态分布 N (1 1) ， )( 0) ．若 在 (0，
2
2) 内取值的概率 内取值的概率为 0.4， 则 在 (0，
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选修2-3§2．4—第24课
正态分布
由徐剑编写
本课提要：.主要掌握：①正态分布的概念和性质（见书本81～83页）；②正态分布的3原则：由=0.9974知：正态分布几乎总取值于区间之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，在实际应用中，通常认为服从正态分布N（）的随机变量X只取之内的值，简称3原则。
一、 温故而知新
1．一次考试结束，全体同学得分的情况是：高分人数不太多，低分人数也不太多，中等分数的人占据了班里总人数的大半，老师还说：这次考试试题命得比较好，你知道他这样说的依据是什么吗？
回顾：
二、 重点、难点都在这里
【问题1】：如图，是某地成年男性体重的正态曲线图：根据图中有关数据，求正态分布密度函数。
【问题2】：商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N（10，0.12）(单位：kg)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是多少？【问题3】：已知X～N（1.4，0.052），求X落在区间（1.35，1.45 ]中的概率。
练一练：
2．下列函数是正态密度函数的序号是________。
①．都是实数
②．
③．
④．
3．对于正态曲线下列叙述不正确的序号是_______。
①．当一定时，曲线随着的变化而沿y轴平移；
②．当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；
③．当一定时，越小，曲线越“瘦高”；
④．当一定时，越大，曲线越“矮胖”。
三、 懂了，不等于会了
4．期望为2，标准差为的正态分布的密度分布函数是。
5．已知正态分布，那么欲使f(x)取得最大值，则x=________。
6．某中学高考成绩近似地服从正态分布N（100，10），那么该校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比为。
7．正态总体N（，2）在下面几个区间，，内的取值概率依次为______。
8．正态总体N（0，1）中，数值落在内的概率为_______。
9．标准正态总体的函数为：，
；
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）求f（x）的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f（x）的增减性。
四、 思维迁移，创新探究10．若X～N（，），x为一个实数，证明：。
11．若X～N（5，1），求：。
12．某人乘车从A地到B地，所需时间（分钟）服从正态分布N（30，100），求此人在40分钟到50分钟到达目的地的概率。
五、追溯本课，采撷收获
应该记住的内容：
重点内容：个人心得：
六、学有余力，课后选做
13．（2008年重庆卷)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(＝________
14．（2008年湖南卷）设随机变量服从正态分布,若,则c=_______.
15．( 2006年珠海模拟题)设在一次数学考试中，某班学生的分数～N（110，），且知满分为150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次考试中及格（不小于90分）的人数和130分（不包括130分）以上的人数。
16．( 2006年中山市四校联考题)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N（70，102），如果规定低于60分为不及格，求：（1）成绩不及格的人数占多少？（2）成绩在80～90内的学生占多少？
七、 记下你的疑惑
选修2-3§—第24课答案
【问题1】：解：由图象可知，，由于最大值为，
即，得，于是正态分布密度函数为：。
【问题2】：解：设该种包装的大米质量为X，由X～（10，0.12）知，正态分布密度函数的两个参数为所以
=0.9544。
【问题3】：解：因为，所以X落在区间（1.35，1.457）中的概率为
=0.6826
1.解：服从正态分布
2. ②
3．①
4．
5．5
6．0.0228
7．99.7%，95.4%，68.3%
8．0.003
9．解：（1）因为=
，
所以f (x)是偶函数。
（2）x=0时，达到最大值
（3）在区间上，单调递增；在区间上，单调递减。
10．解：对于任何实数a和自然数n有：
，且事件与事件互不相容，由概率的加法公式，得：P=P(X=a) +P P(X=a)；令X～N（，）,所以：
n=1，2，…
即。
11．解：由X～N(5,1)知，正态分布密度函数的两个参数为，因为该正态密度曲线关于x=5对称，所以：12．解：由题意得：；
由于=0.6826，所以，此人在20分钟至50分钟到达目的地的概率为0.6826；
又由于=0.9544，此人在10分钟至40分钟到达目的地的概率为0.9544；
那么，此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.9544 – 0.6826=0.2716；
由正态曲线关于x=30对称，因此，此人在40分钟至40分钟到达目的地的概率为0.1359。
13．
14．2
15．因为～，所以，
，
所以的概率为
所以的概率为0.6826+0.1587=0.8413
所以及格的人数为54×0.841345(人)
130分以上的人数为54×0.15879(人)
16．（1）设学生的得分情况为随机变量X，X～,则
在60～80之间的学生的比为：
，，即成绩不及格的学生占15.87%。
（2）成绩在80～90内的学生的比为
=
即成绩在80～90内的学生占13.59%。