10.4染色问题的计数方法

染色问题的计数方法基础知识1．(2003年全国新课程卷15题)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有_____种．（以数字作答） 方法一 分类法解：① 首先栽种第1部分，有14C 种栽种方法；②然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示）， 对扇形2有3种栽种方法， 扇形3有2种栽种方法， 扇形4也有2种栽种方法， 扇形5也有2种栽种方法，扇形6也有2种栽种方法．于是，共有432⨯种不同的栽种方法。

但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从432⨯中减去这些不符合题意的栽种方法。

这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。

而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。

综合①和②，共有1412433[32(2211)]4(4818)430120C C A ⋅⨯-⨯⨯+⨯⨯=⨯-=⨯=种栽法。

[当然此式中的12332211C A ⨯⨯+⨯⨯=18也可以直接用（1）中的公式算出：即432463m m m m -+-=432343633318-⨯+⨯-⨯=](2001年全国高中数学联赛第12题)在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有 ____种栽种方案．以A 、C 、E （相间）栽种植物情况作为分类标准：①． A 、C 、E 栽种同一种植物，有4种栽法；B 、D 、F 各有3种栽法， ∴ 共有 4×3×3×3＝108 种栽法。

,,A C E 栽种2种作物，有222243C C A种栽法，, 24C是种4作物选种两种，23C是,,A C E 3个区域中选出2个区域栽种同一种作物，22A是选出的两种作物的排列②．B 、D 、F 共有3×2×2 种栽法（：若A 、C 栽种同一种植物，则B 有3 种栽法，D 、F 各有2种栽法），共有222243322432C C A ⨯⨯⨯=种栽法③．A 、C 、E 种3种植物，有34A 栽法；B 、D 、F 各有2种栽法，∴ 共有 34A ×2×2×2＝192 种栽法。

综合①、②、③，共有 108+432+192=732种栽法。

方法二 递推法上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n （n 为偶数）个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即 以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。

那么，“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n （n 为奇数）个扇形，用m 种不同的颜色对 这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多 少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？分析： 对 扇形P 1有m 种涂色方法， 扇形P 2有m －1种涂色方法， 扇形P 3也有m －1种涂色方法， …………扇形P n 也有m －1种涂色方法．于是，共有1(1)n m m -⋅-种不同的涂色方法。

但是，这种涂色方法可能出现P 1与P n 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从1(1)n m m -⋅-中减去这些不符合题意的涂色方法。

那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P 1与P n 看作一个扇形，其涂色方法相当于用m 种颜色对n －1（n －1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。

而用m 种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（３）中给出了解题思路。

下面，就让我们把这种解题思路应用于3、拓展上面，我们分别就n 为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n 个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。

那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？ [n 为不小于3的整数]分析： 设n a 为符合要求的对n 个扇形的涂色方法。

对 扇形P 1有m 种涂色方法，扇形P 2有m －1种涂色方法， 扇形P 3也有m －1种涂色方法， …………扇形P n 也有m －1种涂色方法． 于是，共有1(1)n m m -⋅-种不同的涂色方法。

但是，n a ≠1(1)n m m -⋅-，因为这种涂色方法可能出现P 1与P n 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从1(1)n m m -⋅-中减去这些不符合题意的涂色方法。

那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P 1与P n 看作一个扇形，其涂色方法相当于用m 种颜色对n －1个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙），不同的涂色方法有1n a -种，于是，有n a =1(1)n m m -⋅-－1n a -（n ≥3），①． 显然，3(1)(2)a m m m =--． 上述的式①就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出n a 的通项公式：n a =(1)(1)(1)(3)n n m m n -+--≥．至此，我们就找到了“设一个圆分成P 1，P 2，…，Pn ，共n 个扇形，用m 种不同的颜色对这n 个扇形着色（m ≥3，n ≥3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即n a =(1)(1)(1)(nn m m n -+--≥．注意：上述问题中的m 种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的。

迁移练习1．(2003年全国高考——新课程卷·理工第15题改编)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_____种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_____种． （以数字作答）2．(2001年全国高中数学联赛第12题改编)在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有________种栽种方案．[ 参考答案：1．1200，600； 2．732，480 ]区域染色问题根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。

要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？西藏青海云南四川分析 先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种1. 根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。

例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？12345图2分析 依题意至少要选用3种颜色。

当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，有34A 种。

当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有44A种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A种，故用四种颜色时共有244A种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A ＋244A＝24＋2×24＝72种。

根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。

用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234图3（1）四格涂不同的颜色，方法数为45A；（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为21245C A；两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为25A。

因此，所求的涂法种数为45A＋21245C A＋25A＝260种根据相间区域使用颜色的种类分类讨论例4 如图4，一个六边形的6个区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一颜色，现有A B C D E F 图44种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。

解： （1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4×3×3×3＝108种方法 （2）当相间区域A 、C 、E 着两种不同颜色时，有2243C A种着色方法，此时B 、D 、F 有3×2×2种着色方法，故共有2243C A×3×2×2＝432种着色方法。

（1）当相间区域A 、C 、E 着三种不同颜色时，有34A种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，此时共有34A×2×2×2＝192种方法。

故总计有108＋432＋192＝732种方法 二 点染色问题点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有:（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论。

将一个四棱锥S －ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法1 满足题设条件的染色至少要用三种颜色若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 、B 、C 、D 四点，，此时只能A 与C ，B 与D 分别同色，故有1245C A＝60种方法。

若恰用四种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A种染法；再从余下的两种颜色种任选一种染D 或C ，而D 与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有11124522C C CA ＝240中方法。

若恰用五种颜色，有55A＝120种染法。