染色问题的计数方法

染色问题的计数方法河北张家口市第三中学王潇与染色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想,染色问题,解题方法技巧性强且灵活多变,故这类问题有利于培养学生的创新思维能力,分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。

一、区域染色问题1.根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。

例1要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？分析先给西藏青海云南四川四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种2.根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同年拾方法种数。

例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？分析 依题意至少要12345图2选用3种颜色。

（1） 当选用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，有34A 种。

（2） 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。

由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A ＋244A ＝24＋2×24＝72种。

3 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。

例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234图3（1）四格涂不同的颜色，方法数为45A ；（2）有且仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为21245C A ； （3）两组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为25A 。

因此，所求的涂法种数为45A ＋21245C A ＋25A ＝260种3. 根据相间区域使用颜色的种类分类讨论例4 如图4，一个六边形的6个区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用A BCD E F 图4同一颜色，现有 4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。

解： （1）当相间区域A 、C 、E 着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法故有4×3×3×3＝108种方法（2）当相间区域A 、C 、E 着两种不同颜色时，有2243C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有3×2×2种着色方法，故共有2243C A ×3×2×2＝432种着色方法。

（4） 当相间区域A 、C 、E 着三种不同颜色时，有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法，此时共有34A ×2×2×2＝192种方法。

故总计有108＋432＋192＝732种方法二 点染色问题点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有:（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对顶点是否同色分类讨论。

例5 将一个四棱锥S －ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法1 满足题设条件的染色至少要用三种颜色（1） 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 、B 、C 、D 四点，，此时只能A 与C ，B 与D 分别同色，故有1245C A ＝60种方法。

（2） 若恰用四种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与B ，由于A 、B 颜色可以交换，故有24A 种染法；再从余下的两种颜色种任选一种染D 或C ，而D 与C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有11124522C C C A ＝240中方法。

（3） 若恰用五种颜色，有55A ＝120种染法。

综上，满足题意的染色方法数为60＋240＋120＝420种。

解法2 设想染色按S －A －B －C－D 的顺序进行，对S 、A 、B 染色，有5×4×3＝60种染色方法。

由于C 点的颜色可能与A 同色或不同色，这影响到D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与A 同色时（此时C 对颜色的选取方法唯一），D 与A 、C 、S 不同色，有3种选择；C 与A 不同色时，C 有2种选择的颜色，D 有2种颜色可供选择，从而对C 、D 染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法数是60×7＝420种评注 图中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要，试看下面的两个问题，尽管与例5表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为例5来解决。

您不妨一试。

（1） 用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A 、B 、C 、D 、E 染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法（图6）（2） 如图7所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的区域不同色，共有多少种方案？三、线段染色问题，要注意对各条线段依次讨论，主要方法有：（1） 根据共用了多少种颜色分类讨论；（2） 根据相对的线段是否同色分类讨论。

例6 用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD 的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法（图8） 解法1 （1）使用四种颜色有44A 种； （2）使用三种颜色染色，则必须将一组对边染成同色，故有112342C C A 种； （3） 使用两种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A 种。

因此，所求的染色方法数为44A ＋112342C C A ＋24A ＝84种 解法2 染色按AB-BC-CD-DA 的顺序进行，对AB 、BC 染色有4×3＝12种染色方法。

由于CD 的颜色可能与AB 同色或不同色，这影响到DA 颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD 与AB 同色时，这时CD 对颜色的选取方法唯一，则DA 有3种颜色可供选择；当CD 与AB 不同色时，CD 有2种可供选择的颜色，DA 有2种可供选择的颜色，从而对CD 、DA 染色有1×3＋2×2＝7种染色方法。

由乘法原理，总的染色方法数为12×7＝84种。

利用相同的方法可解决例7例7 中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自4个单位，分别在图9中4个区域内坐定。

有4种不同的颜色服装，每个区域的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法共有多少种？ 例8 用六种颜色给正四面体A －BCD 的每条棱染色，要求每条棱只能染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法（图10）分析 正四面体有三组对棱AB 与CD 、AC 与BD 、AD 与BC 。

满足题设条件的染色至少要用三种颜色。

解 （1）若恰用三种颜色染色，则每组对棱必须染同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A 种方法。

（2） 若恰用四种颜色染色，则三组对棱中有两组对棱的组内对棱同色，但组与组之间不同色，故有4236A C 种方法。

（3）若恰用五种颜色染色，则三组对棱中有一组对棱染同一种颜色，故有5136A C 种方法。

（4） 若恰用六种颜色染色，则有66A 种不同的方法。

综上，满足题意的总的染色方法数为36A ＋5136A C ＋66A ＝4080种BC四面染色问题例9 （1996年全国高中数学联赛题）从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面染色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后6个面对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）分析显然，至少需要三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论。

解根据共用了多少种不同的颜色分类讨论。

（1）用了六种颜色，确定某种颜色（例如红色）所染面为下底（根据题注，对此处的两种不同染色方案，这里的“第一面”总是相同的），则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧面，则其余3个面有3！种染色方案，根据乘法原理n1＝5×3！＝30种（2）用了五种颜色，选定五种颜色有5C＝6种方法，必有6两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）n2＝5C×65×3＝90（3）用了四种颜色，仿上分析可得n3＝42C C＝9064（4）用了三种颜色，n4＝3C＝206故总的染色方案有n＝n1＋n2＋n3＋n4＝230种。