[学习]分块矩阵的概念和运算图
第二章 矩阵的运算及与矩阵的秩ppt课件
钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.
分块矩阵计算abcd公式
分块矩阵计算abcd公式分块矩阵这玩意儿，在数学的矩阵运算里可是个挺有意思的存在。
咱们今儿就来好好唠唠分块矩阵计算里那个 abcd 公式。
先来说说啥是分块矩阵。
简单来讲，就是把一个大矩阵分成几块小矩阵，就像切蛋糕一样。
比如说一个大矩阵M ，咱可以把它分成四块：A 、B 、C 、D ，这就形成了分块矩阵。
那这个 abcd 公式到底是啥呢？其实就是在进行一些矩阵运算时的特定规则。
比如说，两个分块矩阵相加，如果它们的分块方式相同，那对应的块直接相加就行啦。
就像你有两堆水果，一堆里有苹果和香蕉，另一堆也这样分，那相加的时候苹果加苹果，香蕉加香蕉。
再比如乘法，这就有点复杂咯。
不过别担心，咱们慢慢捋。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸懵地问我：“老师，这咋这么难啊？”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”就拿一个简单的例子来说吧。
假设我们有两个分块矩阵，一个是 M = [[A, B], [C, D]] ，另一个是 N = [[E, F], [G, H]] 。
那它们相乘 MN 得到的结果里，比如左上角的块，就是 AE + BG 。
这就好比搭积木，每一块都要放对位置，才能搭出漂亮的城堡。
在实际解题中，分块矩阵的计算能让复杂的问题变得简单些。
比如说，一个很大的矩阵，如果能巧妙地分块，原本繁琐的计算可能一下子就清晰明了了。
我曾经碰到过一道题，一个超大的矩阵，乍一看头都大了。
但我静下心来，仔细观察，发现可以分成四块合适的小矩阵。
然后按照 abcd公式去计算，嘿，还真就轻松搞定了！总之啊，分块矩阵计算的 abcd 公式虽然有点小复杂，但只要多练习，多琢磨，就一定能掌握。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能骑得又稳又快！希望大家在面对分块矩阵的时候都能胸有成竹，轻松应对，加油！。
分块矩阵
引言为了研究行数、列数较高的矩阵，常常对矩阵采用分块的方法。
类似于集合的划分，是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵，使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。
以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。
线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。
在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.而且利用分快矩阵还可以求出某些矩阵的逆矩阵，证明矩阵的秩等。
第一章 矩阵的分块和分块矩阵的定义设A 是数域K 上的m n ⨯矩阵，B 是K 上n k ⨯矩阵，将A 的行分割r 段，每段分别包含12r m m m 个行，又将A 的列分割为s 段，每段包含12s n n n 个列。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭于是A 可用小块矩阵表示如下：，其中ij A 是i j m n ⨯矩阵。
对B 做类似的分割，只是要求它的行的分割法和A 的列的分割法一样。
于是B 可以表示为B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中ij B 是i j n k ⨯的矩阵。
这种分割法称为矩阵的分块。
二．分块矩阵加法和乘法运算设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=为同型矩阵（行和列数分别相等）。
若采用相同的分块法。
A=111212122212s s r r rs A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B= 111212122212s s r r rs B B B B B B B B B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭则可以直接相加 乘法:设，则C 有如下分块形式：C=111212122212s s r r rs C C C C C C C C C ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中ij C 是i j m k ⨯矩阵，且 1nij ij ij i C A B ==∑定义 称数域K 上的分块形式的n 阶方阵A=12S A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为准对角矩阵，其中为阶方阵（），其余位置全是小块零矩阵。
矩阵的概念和线性运算
第二章矩阵§ 2.1 矩阵的概念及其线性运算学习本节容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。
.矩阵的概念矩阵是一简化了的表格，一般地a11a12a1na21a22a2na m1a m2a mn称为m n矩阵，它有m行、n列，共m n个元素，其中第i行、第j列的元素用a ij表示。
通常我们用大写黑体字母A、B、C……表示矩阵。
为了标明矩阵的行数m和列数n,可用A m n或a ii表示。
矩阵既然是一表，就不能象行列m n式那样算出一个数来。
所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作0。
两个矩阵A、B相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。
记作A B。
如果矩阵A的行、列数都是n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵。
n阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。
n阶矩阵A的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A的行列式，记作A。
在n阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。
主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E，即100E0100011 n矩阵（只有仃）又称为n维行向量；n 1矩阵（只有列）又称为n维列向量。
行向量、列向量统称为向量。
向量通常用小写黑体字母 a , b , x , y……表示。
向量中的元素又称为向量的分量。
1 1矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即a a。
二•矩阵的加、减运算如果矩阵A、B的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为A B、A B。
分别称为矩阵A、B的和与差。
A B表示将A、B中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。
例如a i 3A 33b1C i a? a 3b2 b3C2 C327 A 54。
123432A5B0325301423 3 2 3 55A B05 3 (3) 2 0 5 021423 3 25 1 1A B05 3 (3) 2 05 6 2三.矩阵的数乘矩阵A与数k相乘记为kA或Ak 0 kA表示将k乘A中的所有兀素得到的矩例如24 3 2 3 4612A30 ，3A 3 3 3 09051 3 5 3 1153当k 1时，我们简记（1）A A，称为A的负矩阵。
2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算
a11 b11 a 21 b21 a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1n b1n a 2 n b2 n a mn bmn
简记为：A B (aij ) (bij ) (aij bij )
三、矩阵与矩阵的乘法
定义2· 5
B 设矩阵 A (aij ) ms ， (bij ) sn，由元素
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
s
构成的矩阵 C (cij ) mn称为矩阵A与矩阵B的乘积。 记为 即:
a11 a i1 a m1
a12 a 22 am2
a1n a2n a mn
•
1.
矩阵概念与行列式概念的区别：
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n 一个行列式 D a n1 a n 2 a nn
代表一个数
（*）
把方程组中系数aij及常数项 bi 按原来次序取出， 作一个矩阵
a11 a 21 a m1 a12 a 22 a1n a2n b1 b2 bm m×(n+1)
=A
增广矩阵
a m 2 a mn
则线性方程组（*）与 A 之间的关系是1-1对应的
则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B
1 a c 1 1 例如：若 A B 且A=B 2 b 3 0 d
则有c=0; a=-1; b=2; d=3
一、矩阵的加法
高中数学《矩阵及其初等变换》课件
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章 矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22
第二章§4 分块矩阵
4.1 分块矩阵的概念
例如
a1 1 A a1 = 2 a 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块：
1 0 A = 1 − 1
A B 、 分块成
1 −1 B= 1 −1 0 1 0 2 0 1 , 0 4 1 1 − 2 0
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1
E 0 2 = A E 1 2
4.2 分块矩阵的运算
4. 分块矩阵的转置
分块后， 设对矩阵 A 分块后，得分块矩阵为
A1 A2 L At 1 1 1 A A L A 2 2 2 t A 21 = , M M M A A L A s2 s t s1
则
T T T A1 A1 L A 2 s 1 1 T T T T A2 A2 L A2 s . A = 1 2 M M M T T T 1 2 s t At At L A
4.2 分块矩阵的运算
分块对角阵的性质(教材 页 分块对角阵的性质 教材58页) 教材
分块对角阵的行列式
A 1 A 2 A = O A s
A= A A L s . A 1 2
分块对角阵的逆： 当 分块对角阵的逆： A≠0 即 A ≠0时，有 ， i
− A1 1 1 − A 1 2 − A = . O 1 − A s
分块矩阵的运算公式(二)
分块矩阵的运算公式(二)分块矩阵的运算公式1. 加法和减法公式分块矩阵加法公式当两个分块矩阵A和B具有相同的分块形式时，它们的加法运算可以通过每个对应位置上的分块元素相加来实现，即：A +B = [[A11 + B11, A12 + B12], [A21 + B21, A22 + B22]]这里的A11、A12等代表矩阵A中的相应分块，B11、B12等代表矩阵B中的相应分块。
分块矩阵减法公式分块矩阵的减法与加法类似，只需要将对应位置上的分块元素相减即可，即：A -B = [[A11 - B11, A12 - B12], [A21 - B21, A22 - B22]]2. 乘法公式分块矩阵乘法公式对于两个分块矩阵A和B，它们的乘法运算可以通过以下公式计算得到：A *B = [[A11 * B11 + A12 * B21, A11 * B12 + A12 * B22], [A21 * B11 + A22 * B21, A21 * B12 + A22 * B22]]其中，A11、A12等代表矩阵A中的相应分块，B11、B12等代表矩阵B中的相应分块。
分块矩阵与标量的乘法公式分块矩阵与标量的乘法公式为：k * A = [[k * A11, k * A12], [k * A21, k * A22]]其中k为标量。
示例说明假设有以下分块矩阵A、B和C：A = [[1, 2], [3, 4]]B = [[5, 6], [7, 8]]C = [[9, 10], [11, 12]]加法示例首先，计算A + B：A +B = [[1+5, 2+6], [3+7, 4+8]] = [[6, 8], [10, 12]]减法示例接下来，计算A - C：A - C = [[1-9, 2-10], [3-11, 4-12]] = [[-8, -8], [-8, -8]]乘法示例最后，计算A * B：A *B = [[1*5+2*7, 1*6+2*8], [3*5+4*7, 3*6+4*8]] = [[19, 22], [43, 50]]通过以上示例，我们可以看到分块矩阵的加法、减法和乘法运算公式的具体应用和计算过程。
分块矩阵在行列式计算中的应用
分块矩阵在行列式计算中的应用一、分块矩阵的定义和性质分块矩阵是将一个矩阵按照行和列进行分块的一种表示方式。
假设有一个m×n的矩阵A可以被分成k行l列的分块矩阵，则可表示为：A=[A₁₁A₁₂…A₁lA₂₁…A₂l...Ak₁ Ak₂ … Akl]其中，每个Aij都是一个子矩阵。
分块矩阵有以下重要性质：1.行列式的乘积可以转化为分块矩阵的行列式之积。
例如，设有两个分块矩阵A和B，它们的行列式分别为，A，和，B，则有：AB，=，A，B2.分块矩阵可以简化行列式的计算。
将一个大矩阵按照一定规则分为几个子矩阵后，可以通过计算子矩阵的行列式来获得原矩阵的行列式，从而简化了计算过程。
1.初等行列变换2.求逆矩阵对于分块矩阵，其逆矩阵的计算也可以通过分块的方式进行。
设A为可逆矩阵，其分块矩阵表示为：A=[A₁₁A₁₂A₂₁A₂₂]若A₁₁为可逆矩阵，则其逆矩阵可以表示为：A^(-1)=[A₁₁^(-1)-A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₁^(-1)A₁₁^(-1)A₁₂A₂₂^(-1)A₂₂^(-1)]其中A₁₁^(-1)、A₂₂^(-1)和A₁₁^(-2)A₁₂A₂₂^(-1)都是子矩阵的逆矩阵。
3.计算特殊类型的行列式在计算特定类型的行列式时，分块矩阵的应用可以简化计算过程。
例如，计算拟对角行列式时，可以使用分块矩阵的方式将矩阵分解成多个对角块，然后分别计算每个对角块的行列式之积。
4.计算特定型的行列式分块矩阵的应用还可以用于计算特定型的行列式。
例如，计算置换矩阵的行列式时，可以将矩阵按行、列进行分块，然后计算每个子矩阵的行列式，最后通过乘法和加法运算得到最终的行列式。
以上仅是分块矩阵在行列式计算中的一些常见应用，实际上分块矩阵在线性代数的其他领域也有广泛的应用，如特征值和特征向量的计算、线性方程组的求解等。
熟练掌握分块矩阵的定义、性质和应用可以提高行列式计算的效率，并且对于理解线性代数中的其他概念和方法也具有重要意义。
分块矩阵的13个公式
分块矩阵的13个公式分块矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以让我们更简洁、高效地处理复杂的矩阵运算。
下面就来给大家讲讲分块矩阵的13 个公式。
咱们先来说说分块矩阵的加法公式。
假设我们有两个分块矩阵 A 和B ，它们的分块方式相同，那么对应块相加就得到了A + B 。
比如说，A 中有个块是[1 2; 3 4]，B 中对应的块是[5 6; 7 8]，那相加之后这个块就变成了[6 8; 10 12]。
再来看分块矩阵的数乘公式。
如果有一个数 k ，乘以分块矩阵 A ，那么就是每个块都乘以这个数 k 。
就像你有一堆水果，每个水果的价格都乘以一个倍数，总价也就相应地变化啦。
接着说分块矩阵的乘法公式。
这可有点复杂，但别怕，咱们慢慢捋。
分块矩阵相乘时，要保证左边矩阵的列的分块方式和右边矩阵行的分块方式一致。
比如说 A 是 m×n 的矩阵，分块成 A11、A12 等，B 是n×p 的矩阵，分块成 B11、B12 等。
那么 A 乘以 B 时，就是 A11B11 +A12B21 等等这样的运算。
给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我给学生们讲分块矩阵的乘法，有个学生怎么都理解不了。
我就拿教室座位打比方，把每个座位看成矩阵的元素，不同的排和列看成分块。
经过这样形象的解释，他终于恍然大悟，那种成就感真的很棒！分块矩阵的转置公式也很重要。
就是把每个块都转置，然后调整一下位置。
这个就像是把书架上的书换个方向摆放，位置也变一变。
还有分块对角矩阵的乘法公式。
如果是分块对角矩阵相乘，那就简单多了，对应对角线上的块相乘就行。
分块矩阵的逆公式也有讲究。
如果一个分块矩阵可逆，那么它的逆矩阵也是分块矩阵，而且每个块的逆也有特定的规律。
分块矩阵求行列式的公式也不能忘。
这需要根据具体的分块情况来计算，有时候可以通过分块简化行列式的计算。
再说说分块矩阵的秩的公式。
通过分块，可以更方便地判断矩阵的秩。
分块矩阵的伴随矩阵公式也有它的特点。