量子力学 09力学量本征问题的代数解法
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本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。
因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。
（2）详解课后习题，巩固重点难点。
本书参考大量相关辅导资料，对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
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量子力学中的代数解法
������)
+
������������,Ax]=0
[Ax,
Ay]=[(
������������������������−������������������������−������������������������+������������������ 2������2������4������
关键词：代数解法 氢原子能级 Runge-Lenz 矢量
Niels Bohr，1911 年于哥本哈根大学获博士学位。1912 年他来到 Rutherford 实验室工作，开始思考原子中电子绕核运动问题。1913 年，Bohr 在 Philosophical magazine 上发表三篇论文，开启量子时代大门。
在量子力学中，氢原子虽然没有了经典的“轨道”概念，但 Runge-Lenz 矢量仍 为守恒量*2，但要相应地对物理量改写成量子化的算符。在量子力学中，
可观测量必须为实数，而厄米矩阵的本征值都是实数。经典的 Runge-Lenz
矢量������
=
������������ ������2������
������)
+
������������,Az]=
������ℎ 2������������2������
Lx
即
Â
×
Â
=
������ℎ 2������������2������
���̂���
相同的计算方式，可得
L̂
×
Â
=
������ℎ 2������������2������
Â
令K̂ = √������2������4������ Â
=
������������������ ������������
力学量本征值问题的代数解法
2
加上自然单位：归一化的基态波函数
激发态波函数： n(x) 位
xn
1 x (a)n 0 n!
0
(
x)
(
)1/
4
e
2
，加上长度自然单
x
2
a 1 (x 1 d ) 2 dx
n(x)
1 ( 2 )1/ 4 (x 1 d ) en 2x2 / 2
n!
dx
二、角动量的本征值与本征态 （1）
j jm ( j m 1)( j m) jm 1
角动量的共同本征函数―球谐函数
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
Lˆ2Ylm l(l 1)2Ylm LˆzYlm mYlm
[Lˆz , Lˆx ] iLˆy [Lˆz , Lˆy ] iLˆx
一维谐振子的哈密顿量用 a 和 a 表示为：
H 1 p2 1 x2 1 { i (a a)}2 1 { 1 (a a)}2 (aa 1 )
2 2 22
22
2
注意： (a a)2 (a a)(a a) a2 aa aa a2
定义： Nˆ aa 因此 H (Nˆ 1) ，Nˆ 称为粒子数算符。
[Nˆ , a] n (Nˆa aNˆ ) n Nˆa n aNˆ n a n
Nˆa n aNˆ n a n an n a n (n 1)a n 即：Nˆ (a n ) (n 1)(a n ) 若令 n a n 则有：Nˆ n (n 1) n ，对比 Nˆ n n n ，可 以看出 a n n 就是算符 Nˆ 属于本征值 (n 1)
可以证明
[ j , j ] i j , α,β,γ x, y, z
因此这三个算符 jx ，jy 和 jz 可组成一个角动量算符：j
量子力学中的测量算符和本征值的计算方法
量子力学中的测量算符和本征值的计算方法量子力学是一门研究微观世界的科学，其理论基础是量子力学方程和测量算符。
在量子力学中，测量算符是用来描述物理量的操作符，而本征值则是测量算符对应的物理量的取值。
本文将介绍量子力学中的测量算符和本征值的计算方法。
首先，我们来了解一下测量算符的概念。
在量子力学中，测量算符是用来描述物理量的操作符，它可以作用于量子态，得到测量结果。
测量算符通常表示为大写字母，比如位置算符X、动量算符P等。
测量算符的本征态是指在该算符作用下，量子态不发生变化的态。
本征态对应的本征值就是测量算符所代表的物理量的取值。
接下来，我们将介绍测量算符的计算方法。
在量子力学中，求解测量算符的本征值可以通过求解本征方程来实现。
本征方程的形式为：A|ψ⟩=a|ψ⟩其中，A表示测量算符，|ψ⟩表示量子态，a表示本征值。
要求解本征方程，首先需要确定测量算符A的表达式。
对于一些常见的物理量，比如位置、动量和能量等，测量算符的表达式已经被确定下来。
例如，位置算符X的表达式为X=x，其中x表示位置的取值。
动量算符P的表达式为P=−iℏ∂∂x，其中ℏ是普朗克常数，∂∂x表示对位置的偏导数。
确定了测量算符的表达式后，就可以求解本征方程。
首先，将本征方程展开成矩阵形式，即将量子态和本征值表示为列向量和对角矩阵的形式。
然后，将本征方程代入到矩阵形式中，得到一个线性方程组。
通过求解这个线性方程组，就可以得到测量算符的本征值和本征态。
在实际计算中，我们通常使用数值方法来求解本征方程。
数值方法的基本思想是将连续的物理量离散化，将本征方程转化为一个矩阵的特征值问题。
常用的数值方法有矩阵对角化方法和迭代法等。
这些数值方法可以通过计算机程序来实现，大大简化了本征值的计算过程。
除了数值方法，还有一些特殊的情况下可以求解测量算符的本征值。
例如，对于一些简单的测量算符，可以通过直接求解波函数的形式来得到本征值。
此外，对于一些特殊的系统，可以利用对称性和守恒量等性质来简化本征值的计算。
第9章 力学量本征值问题的代数解法
。 /2
利用式(8)的前一式，可证明与式(11)类似的式子
ˆ ˆ n (n 1)a ˆ n Na
(14)
ˆ ˆ 的本征态，本征值为(n+1)。 这说明 a n 也是N
7
联合式(13)与(14)，从 0 出发，逐次用 a ˆ 运算， ˆ 的全部本征态 可得出 N
0, 1, 2, j m j,, j 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2, ˆ J ˆ iJ ˆ a ˆ (J ˆ ) a ˆ ˆ ˆ ˆ J a , J x y 1 2 2 a1 (14)
2 ˆ J jm j ( j 1) jm ˆ J z jm m jm
( 6)
14
利用声子对易关系可证 ˆ ,J ˆ ] i J ˆ ( , , 1,2,3 1) [J
这正是角动量的基本对易式，进一步可证 ˆ ˆ N N ˆ2 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ 2 ( 1) J (7) x y z 2 2 ˆ N ˆ N ˆ a 其中 N ˆ a ˆ a ˆ a ˆ
ˆ 0 0 a
( x ip) 0 0
在坐标表象中基态波函数 0 ( x) x 0 满足 d x2 / 2 ( x ) 0 ( x) 0 0 ( x) e dx
10
将自然单位换为SI单位，并归一化则得 2 1 / 4 2 x 0 ( x) ( ) e
ˆ n n n N
(10)
5
利用
ˆ, a ˆ ] a ˆ 有 [N
ˆ,a ˆ ] n a ˆn [N
量子力学(第九章本征值的代数解法)
0 (x)=A e
2 x2
2
0 ( x ) e
2 14
2 x2
2
(38)
19
激发态 | n 的波函数可由(34)式求得。用 x | 左
乘(34)式两边，得： 1 n ( x) x | n x | (a )n | 0
n!
1 )n | x x | 0 n ( x) dx x | (a n! 1 dx(a ) n ( x x) 0 ( x) xx n! 1 n (a ) 0 ( x) n!
an-1,n = n-1|a | n = n a
亦即
+ n+1,n
= n+1|a | n = n+1
+
(23)
an,n = n|a | n = n n -1,n a
+ n,n
= n|a | n = n+1 n +1,n
+
(24)
13
和 a 称为量子数升,降算符。在二次量子 a
值为 。令：
| Cn ( ) | n
n 0
(41) (42)
代入本征方程 a | | 利用(22)式第一式，得到：
22
a | Cn ( ) n | n 1 Cn ( ) | n
比较两个 项中 | n 1 项系数，得到 n
1
p
(Q 2 P 2 ) H 2 Q , P 满足对易式
(6) (7)
[Q, P] i
＋
引入两个新的算符
a 1(Q iP ) 2 , a 1(Q－iP ) 2
量子力学：导论.[德]瓦尔特.顾莱纳
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−i
∂ψ ∂t
*
=
−
2
2m
∇ 2ψ
*
+
(V1
− iV2 )ψ
*
（2）
ψ * × （1）-ψ × （2）,得
( ) ( ) i
∂ ψ *ψ ∂t
2
= − ψ *∇ 2ψ −ψ∇2ψ * 2m
+ 2iψ *V2ψ
( ) 2
= − ∇ ⋅ ψ *∇ψ 2m
−ψ∇ψ *
+ 2iV2ψ *ψ
( ) ( ) ( ) ∴ ∂ ψ *ψ = − ∇ ⋅ ψ *∇ψ −ψ∇ψ * + 2V2 ψ *ψ
1
+∞
ψ (x,0)e−ikx dx 是ψ (x,0) 的 Fourier 变换。
2π −∞
waterysun 提示：利用
( ) lim α e e iπ / 4 −iαx2 = δ x 。
α →∞ π
证：根据平面波的时间变化规律
eikx → ei(kx−ωt ) ，
ω = E = k 2 2m ，
2π
t
=
m 2π
t
exp⎢⎣⎡i⎜⎜⎝⎛
mx 2 2t
−
π 4
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
ψ (x,t) 2 = m 。
2π t
2.6 设一维自由粒子的初态为ψ (x,0) ，证明在足够长时间后，
ψ (x,t) =
m exp[− iπ
t
4]⋅
exp⎢⎣⎡
imx 2 2t
⎤ ⎥⎦
⋅
ϕ
⎜⎛ ⎝
mx t
⎟⎞ ⎠
∫ 式中 ϕ(k ) =
ψ *∇ψ −ψ∇ψ *
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(3)
第九章 力学量本征值问题的代数解法9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（21）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于21,21===s j l j 的耦合。
试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数jm m m j 21121解：8.2节式（21a ）（21b ）:()21),0( 21+=≠-=m ml l j jjljm φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ）()21-=j ljljm φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---=+11121lm lm Y m l Y m l l ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）()21++j l此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而212==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。
因此，（21a ）式可重写为jm ∑=222112211m jm m j m jm j m j212121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m时 ，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=＋j m j jm m j 而212-=m 时，21111112212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-＋j m j m j m j21111111221,212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=--＋j m j m j m j9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，JMj2ψ()()21212121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=（1）利用CG 系数的对称性，证明()JMjJj JM j p 22212ψψ--=由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数证：由式（1），JM j p 212ψ()()12212121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=把21m m ↔, ()()12122112jm jm m m JM jm jm ψψ∑=利用CG 系数的对称性 ()()()21212112212jm jm m m Jj JM m j m j ψψ∑--=()JMjJj 22ψ--= (2)对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()12-=--Jj ，所以J 必须为偶数。
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可证明， N 满足如下性质：
N 为厄米算符：
(1)
N
N
（9）
(2) N 在任何状态中的平均值为正定的：
N | N | | a a | a | a || a | 0
2
（ 10）
二、
第8章
力学量本征值 问题的代数法
§8.1 谐振子的Hamiltonian 量的因式分解法
一、用 a, a 重新改写谐振子的Hamiltonian量。 谐振子的Hamiltonian量为：
H
1 2m
2
p
1 2
mw x
2
2
（ 1）
为处理方便，现假定采用自然单位，则
H
1 2
0 ( x) x | 0 (x
x
2
x
) 0 ( x) 0
由此可得
0 ( x) ce
2
利用归一化条件可得 再将参数带上，
mw 0 (x)
1/ 4 mw 1 2 x
2
0 ( x)
p
2
1
x
2
[N ， ] a a
（18）
可得到：
N a | n n +1)a | n （
（19）
即有：
N | n 1 n +1)| n 1 （
a | n c1 | n 1
由于
n | a a | n n 1| c1c1 | n 1 | c1 |
n | N | n 0
n0
（15）
而由（14）式以及（15）式，可得出
a | 0 0
（16）
并可证明， | 0 为 N
取本征值0时的本征态
N | 0 a a | 0 0
（17）
| 0 通常被称为基态或空态。
2、算符
由
a
作用到 | n 的规律：
2
2
(x p )
（ 2）
现定义算符
a, a
为：
a
1 2
(x i p)
（ 3）
a
1 2
(x i p)
（ 4）
并利用 [ x, p ] i
，可得到： [a, a ] 1 （5）
现利用（3）和（4）式可反解出 x
即有：
N a | n (n 1) a | n
由 N | n n | n
，可知N | Nhomakorabea 1 (n 1) | n 1
则有：
a | n c | n 1
（13）
再利用归一化条件： [ n | a] a | n n 1| c*c | n 1
a
| n
| 0
|1
1 1
a | 0 | 2
1 2
2
………….
| 0
n 1 n!
n
a
a
| 0
的本征值 N
0
1
2
………….
n
（7b）式 H 的本征值：
1 2
3 2
5 2
………….
n
1 2
N 的本征态矢 | n满足正交归一完备性：
n | n
*
2
| c1 | n 1 c1
2
n 1
（20）
a | n
n 1 | n 1
因此，
a 通常被成为升算符或产生算符。
由（15）式可知，n取的最小值为0，故据（20）式
有如下结论，
N
的所有本征态由 a 作用到 | 0 上便可得：
n 1 1 n 1
'
nn
'
| nn | 1
n
由 {| n , n 0,1, 2...} 作为基矢集所构成的表象为粒
子数表象。 三、 | n在坐标表象中的形式——波函数形式 | 0 的波函数形式： a x i p 由 a | 0 0 而 而 | 0 在x表象中的形式：
1/ 4
e
2
（21）
H
1 2
mw x
2
2
2m
的基态波函数为
m w / （ 22）
e
1/ 4
e
x /2
2
2
其中
激发态波函数为：
n ( x) x | n
1 n!
d
n
x | a
| 0
在坐标表象中，
a
1/4
1
（ x ) dx 2
和 p：
i
x
1
（ a + a） 2
p
（ a - a） 2
m w 1
（ 6）
利用（6）式，（2）式表示的Hamiltonian量为：
H a a 或者
1 2
（ 7a）
H N
1 2
（ 7b）
其中
N a a
（ 8）
被定义为粒子数算符。
n | a a | n | c |
2
n | N | n | c |
2
2
|c| n 即 c
所以,有
n
a | n
n | n 1
（14）
由此我们定义
a 为降算符，或湮灭算符。
另，由前面（10）式可知，在任意态中，N
的平均值为
正定的，
那么在 | n 中的取值也应该式正定的，即
设
N 的本征解（Hamiltonian量的本征解）
N
的束缚方程为
算符 a 作用能够到 | n 的规律： 由于 则
N | n n | n
[ N , a] a
（12）
[ N , a ] | n a | n
（ N a a N ） n a | n |
n
故
n x
1 n!
2
d 2 x 2 / 2 x e dx
（23）