2019高考模拟数学_试题(理)(可编辑修改word版)

510R EA EF数学科试题（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一．选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知集合 A = {x x 2 - 2x - 3 > 0}， B = {2,3,4} ，则(C A ) ⋂ B =A ．{2,3}2.已知i 是虚数单位， z =B ．{2,3,4}，则 z ⋅ z = 3 + iC ．{2}1D ．1 A ． B ． C ．D ．1053. 执行如图所示的程序框图，若输入的点为 P (1,1) ，则输出的 n 值为A ．3B ．4C ．5D ．6EDCFAB（第 3 题）（第 4 题）4. 如图， ABCD 是边长为 8 的正方形，若 DE = 1EC ，且 F 为 BC 的中点，则 ⋅ =3 15 2 5 2 ⎨ ⎩A ．10B ．12C ．16D ．20⎧x + y ≤ 2 5.若实数 x , y 满足⎪y - x ≤ 1 ，则 z = 2 x ⋅8 y 的最大值是⎪ y ≥ 0 A ．4B ．8C ．16D ．326. 一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为A ．16 + 8 + 32B ． 32 + 32C ．16 + 32D ．16 + 16 + 327. 5 张卡片上分别写有 0，1，2，3，4，若从这 5 张卡片中随机取出 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和大于 5 的概率是 1 1 34A.B ．C ．D ．10 5 10 5 8. 设 S n 是数列{a n }的前 n 项和，且 a 1 = -1， a n +1 = S n ⋅ S n +1 ，则 a 5 =A ．1B ． - 1C ． 13030 20 D ． - 1209.函数 f ( x ) = ln 的大致图像为10. 底面为矩形的四棱锥 P - ABCD 的体积为 8，若 PA ⊥ 平面 ABCD ,且 PA = 3 ，则四棱锥P - ABCD 的外接球体积最小值是5 2 1- x1+ x2 1A ．256B ．125C ．1256D ． 2511. 已知抛物线 y 2= 2 px( p > 0) ,过焦点且倾斜角为 30°的直线交抛物线于 A,B 两点，以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是 3，则抛物线的准线方程为A. x = -1B. x = -2C. x = -3D. x = -12. 已知函数 f (x ) = x 2 - ln x （ x ≥），函数 g (x ) = x - ，直线 y = t 分别与两函数交于2 2A ,B 两点，则 AB 的最小值为1 3 A.B ．12C ．D ． 22二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 设样本数据 x 1 ， x 2 ，...， x 2018 的方差是 5，若 y i = 3x i +1（ i = 1,2,...,2018 ），则 y 1 ， y 2，...， y 2018 的方差是14. 已知函数 f (x ) = sinx - 3 cos x （> 0 ），若= 3 ，则方程 f (x ) = -1在(0,) 的实数根个数是15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将 1，2，...，9 填入3⨯ 3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于 15 (如图）.一般地，将连续的正整数 1，2，3，…， n 2 填入n ⨯ n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做 n 阶幻方.记 n 阶幻方的一条对角线上数的和为 N nN 3 = 15 )，则 N 5 =(如： 在 3 阶幻方中，16.已知 ∆ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且c = 1 ， C = π．33 3 3若sin C + sin( A -B) = sin 2B ，则∆ABC 的面积为三、解答题：本大题共 6 小题，其中 17-21 小题为必考题，每小题 12 分，第 22—23 题为选考题，考生根据要求做答，每题 10 分．17.(本小题满分 12 分)设数列{a n }是公差为d 的等差数列.(Ⅰ) 推导数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 设d ≠ 0 ，证明数列{a n +1} 不是等比数列.18．(本小题满分 12 分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了 40 名学生(其中男、女生各占一半) 进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为 5 组：[0，5)， [5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中a 的值；(Ⅱ)在抽取的 40 名学生中从月上网次数不少于 20 的学生中随机抽取 2 人，并用X 表示随机抽取的 2 人中男生的人数，求X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分 12 分)在直三棱柱ABC -A1B1C1 中，AB =AC =AA1 = 2 ，BA ⊥CA 。

(Ⅰ)证明：BC1⊥AB1；(Ⅱ) 求直线A1C 与平面A1BC1 所成的角．A1 C1B1A CB20.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆E : xa2 +y2b2 = 1(a >b > 0) ，圆O : x2+y2=r 2 (0 <r <b) ，若圆O 的一条切线l : y =kx +m 与椭圆E 相交于A, B 两点. (Ⅰ)当k =-1, r = 1,若点A, B 都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程；3(Ⅱ)若以AB 为直径的圆经过坐标原点，探究a, b, r 之间的等量关系.21.(本小题满分 12 分)已知函数f (x) =e x-ax （e 是自然对数的底数）.2⎩(Ⅰ) 求 f (x ) 的单调区间；(Ⅱ)若 a ≥ -1 ，当 xf (x ) ≥ x 3- 5a + 3 x 22+ 3ax -1+ m 对任意 x ∈[0,+∞) 恒成 立时， m 的最大值为 1，求实数 a 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请先将对应题号用铅笔涂黑．22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 3cos ,（为参数）．以坐标原点为1⎨y = 1 + 3sin .极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为= 2 cos ．(Ⅰ) 写出C 1 的普通方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ) 设点 P 在C 1 上，点Q 在C 2 上，判断C 1 与C 2 的位置关系并求| PQ | 的最小值．23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲已知函数 f (x ) = x + m + 2x -1 （ m > 0 ）.(Ⅰ)当 m = 1时，解不等式 f (x ) ≥ 2 ；(Ⅱ)当 x ∈[m ,2m 2 ] 时，不等式 1f (x ) ≥ x +1 恒成立，求实数 m 的取值范围.2数学科答案（理科）一、选择题 1-5ACADD 6-10 ABCBC11-12 BA二、填空题 13.4514.3 15.6516. 3 或 34 6 (1)所以(a +1) = (a+1) ⋅ (a +1)n n n C 2C 2 C 2C1三、解答题17.解：（1）因为{a n }是等差数列且公差为 d ，所以 a n - a n -1 = d （n ≥ 2）∴ a 2 - a 1 = d， a 3 - a 2 = d ，... ， a n - a n -1 = d .. (3)将上述式子相加，得a n - a 1 = (n -1)d所以，数列{a n }的通项公式为a n = a 1 + (n -1)d .............................. 6 （2）假设数列{a n +1} 是等比数列， (7)当 n ≥ 2 时， a n -1 +1， a n +1， a n +1 +1成等比数列 2nn -1n +1 (9)所以 (a +1)2 = [(a +1) - d ]⋅[(a +1) + d ]所以 d 2 = 0 ，所以 d = 0 ，这与 d ≠ 0 矛盾所以，数列{a n +1} 不是等比数列 (12)18.解：(1)由频率分布直方图，得 a = 1- (2 ⨯ 0.02 + 0.03 + 0.08) ⨯ 5错误！未找到引用5 源。

=0.05． (3)(2)在抽取的女生中，月上网次数不少于 20 的学生的频率为 0.02×5=0.1，学生人数为 0.1×20=2． ................................................. 4 同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于 20 的学生人数为 0.03×5×20=3， ......................................................................... 5 故 X 的所有可能取值为 0，1，2，2则 P ( X = 0) = 2 = 510 C 1 C 1 错误！未找到引用源。

， P ( X = 1) = 2 3=56 错误！未找到 10C 2引用源。

， P ( X = 2) = 3= 53 10 (9)- 4 8 ⋅ 8所以 X 的分布列为X 0 1 2 P1 3 3 10510所以 E (X )=0× 110 3 3 错误！未找到引用源。

+1× 错误！未找到引用源。

+2× =5 106错误！未找到引用源。

．5 (12)19. 解：（1）由题意，以 A 为坐标原点，以 AB,AC, AA 1 轴,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 因为 AB = AC = AA 1 = 2所在直线分别为 x 轴，y则 A (0,0,0) ， B (2,0,0) ， C (0,2,0) ， A 1(0,0,2) ， B 1(2,0,2) ， C 1(0,2,2) (3)−−→−−→所以 BC 1 =（- 2,2,2）， AB 1 =（2,0,2）−−→ −−→所以BC 1⋅ AB 1 = -4 + 0 + 4 = 0 .................................................................................... 4 −−→−−→所 以BC 1 ⊥ AB 1 ，所 以BC 1 ⊥ AB 1........................................................5 −−→−−→ −−→（2）又因为 A 1B =（2,0,-2），所以A B 1⋅ A 1B = 4 + 0 - 4 = 0−−→−−→所以A B 1 ⊥ A 1B 又因为 A 1B ⋂ BC 1 = B所以 AB 1 ⊥ 平面A 1BC 1 ， (8)−−→ 又 −−→ −−→ 1A 1C = (0,2,-2) ，所以cos < A 1C , AB 1 >== - .................10 2−−→ 所以 < −−→ 2A 1C , AB 1 >= ，............................................11 3所以直线 AC 与平面 A BC 所成的角为 ...........................................................................................................121 1 16m1+ k 21 2 ⎨20. 解（1）因为圆O 的一条切线为l : y = kx + m所以 = r ，当k = - 1, r = 1，所以 m = 3 10 3 (2)又点 A , B 都在坐标轴的正半轴上，所以m = 10，所以切线l : y = - 1 x + 10 3 3 3所以 A , B 两点坐标是(0,x210 ) 和( 39 y 210,0) ， (4)所以椭圆的方程为 + 10 10 = 1 (5)（2）设 A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ，以 AB 为直径的圆经过坐标原所以 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ，所以 x 1 x 2 + (kx 1 + m )(kx 2 + m ) = 0 (6)所以(1+ k 2 )x x ⎧ x 2 + y 2 =+km (x 1+ x ) + m 2 = 0 由⎪ a 2 b 2 1所以(b 2 + a 2k 2 )x 2 + 2kma 2 x + a 2m 2 - a 2b 2 = 0 ⎪⎩ y = kx + ma 2m 2 - a 2b 2- 2kma 2所以 x 1 x 2 =a 2k 2+ b 2， x 1 + x 2 = a 2k 2 + b 2 (8)所以(1+ k 2 )(a 2m 2 - a 2b 2 ) + km (-2kma 2 ) + m 2 (a 2k 2 + b 2 ) = 0 ................................. 10 且m 2 = r 2 (1+ k 2 )所以 (a 2 + b 2 )r 2 (1+ k 2 ) = (1+ k 2 )a 2b 2 ,. .............................. 11 所 以 1 + 1a 2b 2 = 1r 2 (12)21. 解（1）因为 f '(x ) = e x- a (1)①a ≤ 0 时， f '(x ) ≥ 0 恒成立，所以 f (x ) 在 R 上单调递增，无减区间； ............................. 2 21② a > 0 时， f '(x ) = e x - a = 0 有 x = ln a ，且 x ∈(-∞, ln a ) 时， f '(x ) < 0 . x ∈(ln a ,+∞) 时， f '(x ) > 0 ，所以 f (x ) 的增区间是(ln a ,+∞) ，减区间是(-∞, ln a ) ........................................... 4 （2） xf (x ) ≥ x 3 -5a + 3 x 2 + 3ax -1+ m 对任意 x ∈[0,+∞) 恒成立， 2所以 x (e x - ax ) ≥ x 3 -5a + 3 x 2+ 3ax -1+ m 对任意 x ∈[0,+∞) 恒成立 2所以m ≤ x (e x - x 2 + 3(a +1)x - 3a ) +1对任意 x ∈[0,+∞) 恒成立 (5)2 设 g (x ) = e x - x 2 + 3(a +1)x - 3a , x ∈[0,+∞) ，因为m 的最大值为 1， (6)2所以 g (x ) = e x - x 2 + 3(a +1)x - 3a ≥ 0恒成立2g '(x ) = e x - 2x + 3(a +1)， (7)2 令h (x ) = e x- 2x + 3(a +1) 2所以h '(x ) = e x- 2 = 0 有 x = ln 2 ，且 x ∈[0, ln 2) ， h '(x ) < 0 ， x ∈[ln 2,+∞) ， h '(x ) > 0所以g '(x ) ≥ g '(ln 2) = 2 + 3(a +1) - 2 ln 2 > 0 2所以g (x ) 在 x ∈[0,+∞) 是单调递增的。