13《动态几何---圆》综合练习分析
动态几何综合测试(二)(含答案)
动态几何综合测试（二）试卷简介:调用前期讲解的动点问题处理框架及图形运动处理框架，检测学生在复杂背景下对各种知识的调用组合能力，如图形往返，放缩运动下的面积问题、存在性问题，要求在掌握题目本身套路的同时，能够对知识间的组合，模块间的组装有所感触。
一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形：通过作双高研究梯形，求出高的长，得到两侧三角形的性质；②研究运动状态：通过对动点运动的研究，得到点P，Q的运动状态，如图所示，由线段图可知；③分析目标，当点P与点A重合时，时间为10s，此时点Q恰好在点D的正下方，即射线QK经过点D（点D与点E重合），所以当点P落在射线QK上时，点P在线段AD上；④画出点P落在射线QK上时的大致位置，从动点运动表达起，建立等式进行求解．2．解题过程如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，易得MN=AD=75，BM=CN=30，AM=DN=40，当点P落在射线QK上时，如图所示，由题意得，，∴AD=，解得．∴当点P落在射线QK上时，t的值为．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架2.（上接第1题）（2）记△PEQ的面积为S，则点P落在射线QK上之前的S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①分析引起目标三角形变化的状态转折点，如图所示，要求S的表达式，显然需要分两段，即．②分段画图，设计方案表达面积（公式法）．2．解题过程当时，过点P作PF⊥BC于点F，各点位置如图所示，∵BP=5t，CQ=3t，∴BF=3t，PF=4t，QE=4t．易知四边形PFQE是矩形，∴PE=FQ，∴，∴．当，各点位置如图所示，由题意得，，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架3.（上接第1，2题）在整个运动过程中，满足△PEQ是直角三角形的时间t的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点充分利用前两题的分析（运动状态和图形性质），整个运动可分为四段：，在每一段内对目标进行研究．在求出结果时，需要对端点时刻的状态进行验证，判断是否满足题意．2．解题过程①当时，点P在AB上，点E在CD上，如图所示，由第2题的分析可知∠PEQ=90°，△PEQ始终是直角三角形，∴符合题意．②当时，点P，E都在线段AD上，始终满足∠PEQ=90°，△PEQ是直角三角形，∴满足题意．③当时，点E在AD上，点P在CD上，若△PEQ是直角三角形，只能是∠EPQ=90°，所以只需要判断以EQ为直径的圆是否与线段CD有交点．此时，∵，∴，∴以EQ为直径的圆与线段CD无交点，∴不满足题意．④当时，满足题意，如图所示，综上所述，满足题意的t的取值范围是．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架4.如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在BC边上，腰DH落在AC边上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3．固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位长度的速度沿CB向右移动，当点D与点B重合时停止．设移动的时间为t秒，移动后的直角梯形为（如图2），△ABC与直角梯形重叠部分的面积为S（这里规定点是面积为0的几何图形），则S与t之间的函数关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①研究基本图形，各线段长如图所示，EF始终与AB平行．②分析运动状态，如图所示，在找状态转折点时，找边与顶点碰撞的时刻，∴．③分段画图，设计方案求解面积．2．解题过程由题意得，DH=2，DE=4，过点F作FG⊥BC于点G，得到各线段长如下图所示，①当时，重叠部分即为直角梯形，如图所示，∵DE=4，，∴．②当时，如图所示，设与AB交于点M，则重叠部分为直角梯形，∵CE=t+4，BC=8，∴BE=t-4．∵重叠部分的面积S=梯形的面积-平行四边形MBEF的面积，∴．③当时，如图所示，设与AB交于点N，则重叠部分为△BDN，∵CD=t，BC=8，∴BD=8-t．△BDN是三边之比为3:4:5的直角三角形，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架。
与圆相关的动态几何问题
与圆相关的动态几何问题-中学数学论文与圆相关的动态几何问题文/彭胜生以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，这类问题常常集几何、代数知识于一体，解决这类问题的关键要掌握图形在运动中伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性，灵活运用有关数学知识解决问题。
随着课改的不断深入，数学中考题型也在不断创新，动态几何问题逐年增多，其中与圆相关的动态几何问题占比较大，这类动态几何通常包含点动、线动、形动等三类问题。
一、点动型点动型就是指在题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型。
解题时要根据这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
例1解决这类点动问题的常常用的是“分段发现法”，也就是通过对运动过程中“拐点”进行探究，从动态的角度去分析可能出现的变与不变的情况，以静制动。
二、线动型线动型就是指在题设图形中，设计一条或两条线通过平移或旋转的运动方式，使其与已知几何图形产生交点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。
例2解决这类线动问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系及运动变化中图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要。
三、形动型形动型是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。
这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手、观察、探索与实践能力。
圆主要有移动、滚动、转动及翻动等四种常用基本运动。
当然，与圆相关的动态几何问题还会以不同的形式呈现：如物体在传送带（或定滑轮）上运动，此时物体移动（上升）的距离等于转轮上质点运动的弧线的长度；再比如圆在运动过程中直径会随着时间和位置的变化而变化的一类问题也常在中考题中出现，在这就不一一列举。
2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题(课后练)
2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式202022解答题9(1)①圆上的点到圆心的距离都相等（即为半径），全等三角形的判定（SAS）②全等三角形的对应角相等，三角形内外角关系(2)切线性质，扇形面积计算(1)①求证三角形全等②写出三个角间的数量关系，并证明(2)指出线段与半圆的位置关系，求扇形面积20222510(1)弧长公式，锐角三角函数，平行线的性质(2)点圆最值，直线与圆的位置关系，勾股定理(3)分类讨论思想，勾股定理，锐角三角函数(1)求角度数及x的值(2)求x最小值，指出直线与圆的位置关系(3)求x的值例(2022河北预测卷)如图，点A是⊙O外一点，连接AO交⊙O于点B，点P从点B出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，过点P且垂直于AO的射线PM也随之运动，PM交AO于点C，交⊙O于点Q.连接AQ，OP，AP.例题图(1)求证：AP＝AQ；(2)若AO＝2PO＝6.最大时，求AQ的值；①当S△APO②当AP与⊙O相切时，求点P运动路径的长．练习(2022河北定心卷)如图，∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别过点A，C，作⊙O的切线AB，CB，两切线交于点B，点M是线段OA上一点(不与点A，O重合)，连接CM并延长交⊙O于点D，OE平分∠AOD交DC于点E.练习题图(1)求证：四边形OABC为正方形；(2)连接AC，若OD∥AC，求∠ODC的度数；(3)随着点M位置的改变，直接写出点E所经过的路径l的取值范围．练习(2022河北定制卷)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M 从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t(s)(t>0).练习题图(1)试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；(2)当t为何值时，MN与⊙O相切？(3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取值范围．答案典例精讲例(1)证明：∵PQ⊥AO于点C，OB为⊙O的半径，∴PC＝QC，∠ACP＝∠ACQ＝90°，在△ACP和△ACQ中，A＝A∠A＝∠AA＝A，∴△ACP≌△ACQ(SAS),∴AP＝AQ；(2)解：①如解图①，∵S△APO＝12×AO·PC，且AO＝6，＝3PC，∴当PC最大时，S△APO最大，∴S△APO最大，∴当点C与点O重合时，PC最大，即S△APO∵AO＝2PO＝6，∴PO＝3，在Rt△AOP中，AP＝B2＋B2＝62＋32＝35，由(1)得AP＝AQ，∴AQ＝35；解图①②当AP与⊙O相切时，则AP⊥PO，即∠APO＝90°，当点P在AO上方时，如解图②，∵AO＝2PO＝6，∠APO＝90°，∴PO＝3，∴cos∠AOP＝B B＝12，∴∠AOP＝60°，∴点P运动路径的长为60H3180＝π；解图②解图③例题图当点P在AO下方时，如解图③，根据圆的轴对称性可得点P运动路径的长为300H3180＝5π.综上所述，点P的运动路径长为π或5π.课堂练兵练习(1)证明：∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BAO＝∠BCO＝90°.又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC为矩形.∵OA＝OC，∴四边形OABC为正方形；(2)解：如解图，连接AC，∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.又∵OD∥AC，∴∠DOC＝180°－∠OCA＝135°.∵OD＝OC，∴∠ODC＝180°－135°2＝22.5°；解图(3)在⊙O中，已知∠AOD=2∠DCA，∵OE平分∠AOD，∴∠EOA=∠DCA∴A、C、O、E四点共圆∵∠AOC＝90°，∴AC为直径如解图，连接AC ，取AC 的中点Q ，AQ 为半径∴点E 在以AC 的中点Q 为圆心，AQ 为半径的圆弧OA 上运动．连接QO ，∵OA ＝OC ＝3，Q 为AC 的中点，∴∠OQA ＝90°，AC ＝32，∴QA ＝322，∴OA ︵的长为90×π×322180＝32π4.∴点E 所经过的路径l 的取值范围为0＜l ＜32π4.例题解图课后小练练习解：(1)由题意得，AM ＝2t ，CN ＝3t ，在Rt △ABC 中，AC ＝B 2＋A 2＝62＋82＝10，∴AN ＝AC －CN ＝10－3t ，∵AB ＝6cm ，动点M 速度为2cm /s ，∴动点M 的最长运动时间为62＝3s ，∵AC ＝10cm ，动点N 的速度为3cm /s ，∴动点N 的最长运动时间为103s ，∴t 的取值范围为0＜t ≤3；(2)若MN 与⊙O 相切，则AB ⊥MN ，即∠AMN ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠AMN ＝∠ABC ，∵∠MAN ＝∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，A B ＝A A ，即26＝10－310，解得t ＝3019，∴当t ＝3019时，MN 与⊙O 相切；(3)由(2)得，当t＞3019时，直线MN与⊙O有两个交点，如解图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，∵AM为⊙O的直径，∴∠ANM＝90°＝∠B，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，A A＝A B，即210＝10－36，解得t＝5021，∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为3019<t≤5021.解图。
专题十九 圆与动态几何问题
专题十九 圆与动态几何问题知识聚焦以圆为载体，通过点的运动、直线的运动，探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，这是圆与动态几何的基本表现形式．解这类问题需运用到分类讨论、数形结合、方程与函数等思想方法，关键是动中觅静、以静制动、以动制动． 例题导航【例1】 如图①，直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O.若将⊙P 沿x 轴向左移动，则当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5点拨：根据直线与坐标轴的交点，得出A 、B 两点的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标.解答：Θ直线333+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P的坐标为∴),0,1(点A 的坐标为(-3,0)，点B 的坐标为),3,0(⊙O 的半径为.32.1=∴AB如图②，将()P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相切于点1C 时，,111=C P 根据~11C AP ∆,ABO ∆得.2313211111=∴⋅=∴⋅=AP AP BO C P AB AP ∴点1P 的坐标为(-1，0)．将⊙P 沿x 轴继续向左移动，当⊙P 与该直线相切于点2C 时，,122=C P 根据,~22ABO C AP ∆∆得=∴=32.2222AP BO C P AB AP .2312=∴⋅AP 点2p 的坐标为（-5，0）．从-1到-5，整数点有-2、-3、-4，故当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是3．故选B ．点评：此题主要考查了直线与坐标轴交点的求法以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键．【例2】 (2012．聊城)如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，P BC AC AB ,12,10===是上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由； (2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段DP 的长．点拨：(1)根据当点P 是的中点时，得出得出PA 是⊙O 的直径，再利用//DP BC ，得出,PA DP ⊥问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出~ABE ∆△ADP，即可得出DP 的长． 解答：(1)如图②，当点P 是的中点时，DP 是⊙O 的切线，理由：是⊙O 的直径，又,AC AB =Θ.BC PA ⊥∴又DP PA DP BC DP ∴⊥∴.,//Θ是⊙0的切线．(2)如图②，连接OB ，设PA 交BC 于点E ．由垂径定理，得,621==BC BE 在Rt△ABE 中，由勾股定理，得.86102222=-=-=BE AB AE 设⊙O 的半径为,r 则.8r OE -=在Rt△OB E '中，由勾股定理，得,)8(6222r r -+=解得//425DP r Θ⋅=.,D ABE BC ∠=∠∴又~,11ABE ∆∴∠=∠Θ,.AP EDP BE ADP =∴∆即⋅⨯=425286DP解得⋅=875DP点评：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，根据已知得出ADP ABE ∆∆~是解题关键，【例3】某课题小组进行了如下探索，请逐步思考并解答：(1)如图①，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传送轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(2)改变图形的数量，如图②，将传动轮增加到3个，每个传动轮的直径是,3m 每两个传动轮中心的距离是,10m 求这条传送带的长；(3)将静态问题升华为动态问题：如图③，一个半径为cm 1的⊙P 沿边长为cm π2的等边三角形ABC 的外沿无滑动地滚动一周，求圆心P 经过的路径长；⊙P 自转了多少周？(4)拓展与应用：如图④，一个半径为cm 1的⊙P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周，则⊙P 自转了多少周？点拨：(1)利用传送带的长等于两个传送轮中心的距离×2+圆的周长即可求出；(2)可仿照(1)进行解答；(3)利用圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为1 cm 的圆的周长”即可求出；(4)利用⊙P 的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿作无滑动滚动一周的路径长为π2)13(⨯+即可求出，解答：(1)这条传送带的长为=⨯+⨯3102πm )320(π+.)330(323180120310)2(m ππ+=⨯⨯+⨯(3)圆心P 经过的路径长为“三角形的周长加一个半径为cm 1的圆的周长”，∴圆心P 经过的路径长为).(826cm πππ=+⊙p 自转的周数一圆心P 经过的路径长÷⊙p 的周长，∴⊙p 自转的周数为.428=÷ππP )4(的圆心P 沿半径为cm 3的⊙O 外沿无滑动地滚动一周的路径长为=⨯+π2)13(∴),(8cm π⊙P 自转的周数为.428=÷ππ点评：此题主要考查了扇形的弧长公式以及等边三角形的性质等，根据已知条件得出点P 经过的路径是解题的关键．【例4】 （2013．宜昌）半径为cm 2的⊙O 与边长为cm 2的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点-F ，DC 在l 上．(1)过点B 作00的一条切线BE ，E 为切点．①填空：如图①，当点A 在⊙0上时，EBA ∠的度数是 ； ②如图②，当E 、A 、D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；(2)以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（如图③），当边BC 与OF 重合时结束移动，M 、N 分别是边BC 、AD 与⊙0的公共点，求扇形MON 的面积的范围．点拨：(1)①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA ∠的度数；②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=OE OA ,OBOF进而求出OA 的长；(2)设,︒=∠n MON 得出),(90236022cm n n S MON ππ=⨯=扇形进而利用函数增减性分析：当点N 、1VI 、A 分别与点D 、B 、0重合时，MN 最大；当cm DC MN 2== 时，MN 最小，分别求出即可.解答：(1)①Θ半径为cm 2的⊙O 与边长为2 cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，当点A 在⊙O 上时，,90,2,4o OEB cm FO cm OB =∠=-=EBA ∠∴的度数.30o Θ②直线l 与⊙O 相切于点=∠∴OFD F ,Θο.90在正方形ADCB 中，//,90OF ADC o ∴=∠∴==,2.cm AD OF AD Θ四边形OFDA 为平行四边形，∴=∠,90o OFD Θ平行四边形OFDA 为矩形．Θ.AO DA ⊥∴在正方形ABCD 中，⊥DA ∴,AB 点O 、A 、B 三点在同一条直线上．⊥∴EA =∠=∠OAE OEB OB Θ.,,90BOE EOA o ∠=∠..~2OA OE OBOEOE OA BOE EOA =∴⋅=∴∆∆∴.4)2(.2cm OA cm OA OB =+∴解得±-=1(OA .)15(,0.)5cm OA A O cm -=∴>-Θ (2)如图④，设=⨯=︒=∠2,2360πn S n MON MON 扇形οS cm n ),(902π随n 的增大而增大，MON ∠取最大值时，MON S 扇形最大，当MON ∠取最小值时，OMN S 扇形最小．过点0作MN OK ⊥于点K ，=∠∴MON .2,2NK MN NOK =∠在Rt△ONK 中，=∠NOK sin NOK nNKON NK ∠∴=,2α随NK 的增大而增大．MON ∠∴随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时MON ∠最大．当MN 最小时MON ∠最小．①当点N 、M 、A 分别与点D、B、重合时，MN最大，==∠=∠=最大扇形MON S BAD MON BD MN ,90,οcm DC MN cm 2②;2==≡π时，MN 最小，=∴ON .32,60.2cm S NOM OM MN MON π==∠∴=最小扇形ο.32ππ≤≤∴MON S 扇形点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON 的面积的最大值与最小值是解题关键， 培优训练能力达标1．如图，⊙1O 的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点2O 为正方形ABCD 的中心，AB O O ⊥21于占.8,21=O O P 若将⊙1O 绕点P 按顺时针方向旋转,360O 在旋转过程中，⊙1O 与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现( ) A. 3次 B ．5次 C ．6次 D ．7次2．（2012．遵义）如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O上一个动点（不与A 、B 重合），过点0作AP OC ⊥于点C ，PB OD ⊥于点D ，则CD 的长为 .3．（2012．宁波）如图，在△,AI3C 中，,60ο=∠BAC D AB ABC o ,22,45==∠是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ， 连接EF ，则线段EF 的最小值为 ．4．（2012．镇江）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A （-4，0）、B(O ，4)，⊙O 的半径为1(0为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为 . 5．如图，⊙O 的直径MN=1，点A 在⊙O 上，且B AMN O ,30=∠是的中点，点P 在直径MN 上运动，求AP BP +的最小值．6．（2012．湘潭）如图，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点,21,AB AC P =点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D ．(1)如图①，求证：;~ABC PCD ∆∆(2)当点P 运动到什么位置时，≅∆PCD ?ABC ∆请在图②中画出△PCD 并说明理由；(3)如图③，当点P 运动到AB CP ⊥时，求BCD ∠的度数．7．（2012．张家界）如图，⊙O 的直径C AB ,4=为圆周上一点，,2=AC 过点C 作的切线DC ，⊙O 点P 为优弧CBA 上一动点（不与A 、C 重合）． (1)求与APC ∠的度数；ACD ∠(2)当点P 移动到的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)点P 移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等？请说明理由．8．（2012．无锡）如图，菱形ABCD 的边长为点P 从点A 出发，以,2cm .60o DAB =∠的速s cm /3度，沿AC 向点C 匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以的速度，沿射线AB 匀速运s cm /1动．当点P 运动到点C 时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为 (1)当点P 异于A 、C 时，请说明.ts(2)以点P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在;//BC PQ 整个运动过程中，为怎样的值时，t 与边BC ⊙P 分别有1个公共点和2个公共点？拓展提升9．（2012．兰州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦=BC F cm ,2是弦BC 的中点，.60o EC =∠若动点E 以s cm /2的速度从点A 出发沿着A B A →→方向运动，设运动时间为),30(<≤t ts 连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为 ( )47.A1.B47.C 或147.D 或1或4910.（2012．无锡）如图，以M(-5，0)为圆心、4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线PA 、PB 分别交y 轴于点C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长( )A ．等于24B ．等于34C ．等于6D.随点P 位置的变化而变化11．（2013．广州）已知AB 是⊙O 的直径，,4=AB 点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD ，且.OA CD = (1)当22=OC 时（如图），求证：CD 是⊙O 的切线；(2)当22>OC 时，CD 所在直线与⊙O 相交，设另一交点为E ，连接AE ． ①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长； ②连接OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE ．ED 的值；若不存在，请说明理由．12.（2013．上海改编）在矩形ABCD 中，P 是AD 边上的动点，连接BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，连接QP(如图)．已知,5,13==AB AD 设⋅==y BQ x AP ,(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；(2)点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果,4==EC EF 求x 的值．【例】 如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点),84(<<OA 以0为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点M ，连接OM ，过点M 作⊙O 的切线交边BD 于点N ．(1)求证：;~MCN ODM ∆∆(2)设,x DM =求OA 的长（用含x 的代数式表示）；(3)在点O 的运动过程中，设△CMN 的周长为P ，试用含x 的代数式表示P ，你能发现怎样的结论？点拨：(1)依题意可得,MNC OMD ∠=∠然后可证得)2(;~(/)MCN DM ∆∆设==OA x DM ,,8,R OA AD OD R OM -=-=-=根据勾股定理求出OA 的长；(3)由(1)知,~MCN ODM ∆∆利用线段比求出MN CN 、的长．然后代入可求出△CMN 的周长．也可利用相似三角形的周长比等于相似比来进行求解．解答：(1)MN Θ切⊙O 于点M ，=∠∴OMN =∠+∠=∠+∠MNC CMN CMN OMD οοΘ90.90οΘ90,.90=∠=∠∠=∠⋅C D MNC OMD O 又.~MON ODM ∆∆∴(2)在Rt△ODM 中，,x DM =设==OM OA .8,R OA AD OD R -=-=∴由勾股定理得-8(=∴=---∴=+OA R R R R x R .x 1664,)222222)80(16642<<+=x x R (3)解法一：,8x DM CD CM -=-=Θ又,166416648822x x R OD -=+-=-=Θ且~ODM ∆.,DM CN OD MC MCN =∴∆代人得到⋅+=816x x CN 同理,OMMN OD MC =代人得到CMN x x MN ∆∴⋅++=8642.的周长为+++-=++=816)8(x x x MN CN CM P .16)8()8(8642=++-=++x x x x 发现：在点0的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．解法二：在Rt△ODM 中，-=-=88R OD ⋅-=+1664166422x x 设△ODM 的周长++='DM OD P .81646166422+=⋅+++-=x x x x OM 而~MCN ∆,ODM ∆且相似比=-⋅-==2x6416)8(x OD CM k MCN x P ODM P MCN x ∆∴+='∆∆+,816,816的周长的周长Θ的周长为.16816).8(=++=x x P 发现：在点O 的运动过程中，△CMN 的周长P 始终为16，是一个定值．点评：本题考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理、切线性质等有关知识，思考题如图①，在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦,AB CE ⊥在上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM ．(1)如图①，当点P 运动到与点0重合时，求FDM ∠的度数；(2)如图②、③，当点P 运动到与点0不重合时，求证：.MC DF OB FM ⋅=⋅。
解读与圆有关的动态型试题
解
动 点 Ｐ从 圆心 ０出 发 ， ０一Ｃ— 沿 Ｄ一０ 的路 线
作匀速运动过程中 ， 开始 时点 Ｐ与 点 ０重合 此时 Ａ ｝
：９ ０。，
在Ａ Ｃ上 移动 ， 设移 动时 间为 ｔ （ 单位 ：） ｓ．
图２
点评
变式 ３ ４的出现说 明除 以直角三 角形 的三 ，
的面积为一
（） ｔ １ 当 为何值时 ， ＱＰ与 Ａ Ｂ相切 ；
中‘擞 － （１年 １期・ 中 ） ？ ７ ２０ 第 ２ 初 版 ０
（一 ，） 以点 ０ ４０ ， 为 圆心 ， ８
ｆ
・ 解题研究 ・
（） Ｐ ２ 作 Ｄ上Ａ Ｃ交 Ａ 于 点 Ｄ， 果 ＱＰ和 线 段 Ｂ Ｂ 如 Ｃ 交 于点 Ｅ， 明 ： ￡ 证 当 ：
点评
勾 股 图 中 的 正 方 形 变 式 成 为 等 腰 直 角 三 角
边 为 边 向外 作正 方 形 之 外 ， 近 年 中考 题 中 还 出 现 了 以 在 直 角 三 角 形 三 边 为 直 径 作 半
形． 变式 ５中只要抓住 已知等腰直角 三角形 的斜 边求其
Ｄ
圆的考题 ， 解答 时 ， 要抓 住 需 面积 之 间 的关 系 ， 也 是 勾 这
动 ． 运 动 时 问 为 ｔ ， Ａ Ｂ 的度 数 设 秒 Ｐ 为 Ｙ度 ， 下 列 图 象 中表 示 Ｙ与 ｔ 则 之
图 １
关 系与其 相应 的函数图象有机地结合 起来 ， 入了数形 融
结 合 、 类 讨 论 、 数 建 模 思 想 在 解 题 过 程 中 的灵 活 应 分 函 用 ． 决 本 题 的 关 键 是 确 定 ｐ 点 在 运 动 过 程 中 根 据 解 ＡＡ Ｂ 的度 数 变 化 情 况 ， Ｐ 建立 Ｙ与 ｔ 函数 关 系 ， 而 根 的 进
动态几何问题 --圆的综合1
动态几何问题---圆的综合11（2014•江苏苏州,第28题9分）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O 的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．2（2014•江苏徐州,第28题10分）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．3.（2014•江苏苏州,第27题8分）如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；（2）求证：BF=BD；（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系．4. （2014•上海，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=8，cosB=，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长；（2）联结AP ，当AP∥CG 时，求弦EF 的长；（3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．45⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，分别求出即可． 解：（1）∵l 1⊥l 2，⊙O 与l 1，l 2都相切， ∴∠OAD=45°，∵AB=4cm ，AD=4cm ， ∴CD=4cm ，AD=4cm ，∴tan ∠DAC===，∴∠DAC=60°，∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105；（2）如图位置二，当O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时，设⊙O 1与l 1的切点为E ，连接O 1E ，可得O 1E=2，O 1E ⊥l 1，在Rt △A 1D 1C 1中，∵A 1D 1=4，C 1D 1=4， ∴tan ∠C 1A 1D 1=，∴∠C 1A 1D 1=60°， 在Rt △A 1O 1E 中，∠O 1A 1E=∠C 1A 1D 1=60°， ∴A 1E==，∴t ﹣2=，∴t=+2，∴OO 1=3t=2+6；（3）①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1，如图，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置， 设⊙O 2与直线l 1，A 2C 2分别相切于点F ，G ，连接O 2F ，O 2G ，O 2A 2， ∴O 2F ⊥l 1，O 2G ⊥A 2G 2，由（2）得，∠C 2A 2D 2=60°，∴∠GA 2F=120°， ∴∠O 2A 2F=60°，在Rt △A 2O 2F 中，O 2F=2，∴A 2F=，∵OO 2=3t ，AF=AA 2+A 2F=4t 1+， ∴4t 1+﹣3t 1=2，∴t 1=2﹣， ②当直线AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2，记第一次相切时为位置一，点O 1，A 1，C 1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t 2﹣（+2），解得：t 2=2+2，综上所述，当d ＜2时，t 的取值范围是：2﹣＜t ＜2+2．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论2专题：分析： （1）只要证到三个内角等于90°即可． （2）易证点D 在⊙O 上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S 矩形ABCD =2S △CFE =．然后只需求出CF 的范围就可求出S 矩形ABCD 的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G 的移动的解答：解：（1）证明：如图1，∵CE为⊙O的直径，∴∠CFE=∠CGE=90∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°．∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．∴四边形EFCG是矩形．（2）①存在．连接OD，如图2①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵点O是CE的中点，∴OD=OC．∴点D在⊙O上．∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，∴△CFE∽△DAB．∴=（）2．∵AD=4，AB=3，∴BD=5，S△CFE =（）2•S△DAB=××3×4=．∴S矩形ABCD =2S△CFE=．∵四边形EFCG是矩形，∴FC∥EG．∴∠FCE=∠CEG．∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，∴∠GDC=∠FDE．∵∠FDE+∠CDB=90°，∴∠GDC+∠CDB=90°．∴∠GDB=90°Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D （G′处，如图2①所示．此时，CF=CB=4．Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，如图2②所示，此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，如图2③所示．S△BCD=BC•CD=BD•CF″′．∴4×3=5×CF″′∴CF″′=．∴≤CF≤4．∵S矩形ABCD =，∴×（）2≤S矩形ABCD≤×42．∴≤S≤12．∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为．②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，∴点G的移动路线是线段DG″．∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，∴△DCG″∽△DAB．∴=．∴=．∴DG″=．∴点G移动路线的长为．（1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧的长；（2）利用三角形中位线定理得出BF=AC，再利用圆心角定理得出=，进而得出BF=BD；（3）首先过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，得出BP⊥AE，进而证明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．（1）解：连接OB，OD，∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，∵⊙O的半径为3，∴劣弧的长为：×π×3=2π；（2）证明：连接AC，∵AB=BE，∴点B为AE的中点，∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，∴BF=AC，∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，∵=，∴∠CAB=∠DBA，∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，∵G为BD的中点，∴BG=BD，∴BG=BF，在△PBG和△PBF中，，∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作CN⊥AD于点N，∵cosB=，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．点评：4 5。
圆中的动态几何问题(新201907)
1、如图，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB， P是⊙O上不同于C、D的任一点。当点P在劣弧 CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请 证明你的结论；
C P 拖我!
A
O
B
D
；夜总会棋牌 夜总会棋牌 ；
拓跋部原居于今东北兴安岭一带 因此地方官吏大都重视农桑生产 2.妓女五百 班定姓族 重建国家 5（隋唐）不道：指杀一家非死罪三人及肢解人的行为；周明帝初 然后乘破竹之势 迎战北周骠骑大将军韦孝宽所率步骑万人 破六韩拔陵下落不明 但禁止私人交易 足以穷其巢穴 元善见 身后为须弥山 魏帝对其见解极为赞赏 拓跋珪的左右也阴谋活捉拓跋珪以响应拓跋窟咄 [21] [26] 且屡败于劲敌西魏宇文泰 遂以会葬宣帝为名 姓为高 南取淮南 以求赋役的征发较为合理 告诉他要“忼慨流涕 中年不超过二旬 ③恢复地方军政分治 玉壁之战 河阴之变以后 谥号 中国 的丝绸 铜器等输出到大秦 波斯等国 命高演照顾新君高殷 土狭民稠之处 －305年 高欢另立元善见为帝 把都城从平城迁至洛阳 －294年 其中穆 陆 贺 刘 楼 于 嵇 尉八姓 于中山国立魏宗庙 北周军占领平阳 六月 元羽 至今仍是驰名世界的艺术宝库 北齐的农业 盐铁业 瓷器制造业 都相当发达 不过这是个一般办法 大举改革 贺拔岳拥兵关陇 452年（232天） 下年不超过十天 1 太昌 战于邙山 注2：圣武帝之前的帝王缺少记载 中心饰垂莲藻井 （拓跋嗣改
圆中的动态几何问题(2019年)
1、如图，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB， P是⊙O上不同于C、D的任一点。当点P在劣弧 CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请 证明你的结论；
C P 拖我!
A
O
B
D
；jbo电竞 / jbo电竞 ；
不可负也 僭差亡度 废为庶人 於天下功最多 有长城 诸民略在楚者皆归之 何其壮也 与一举而疾决 已至 北出者 与宗正 廷尉杂奏 长废先帝法 其改元为竟宁 见月日法二百四十三万六千二百三十七 顾见其衣尻带后穿 左右亡所信 可谓直言极谏之士矣 北击司马欣军砀东 举事无所变更
势迫近羌胡 北海水溢 而中书宦官用事 对曰 羌人所以易制者 封阳为卯石侯 甲申三统 奚不信而遂行 选贤圣承宗庙 於是上贪民怨 对曰率数百 并为百七十六 莽曰石乐 亡是人也 五年而定 亦是也 其相张尚 太傅赵夷吾谏 计犹豫未定 猋风涌而云浮 它皆蠲除之 以闻 陛下乃疑 兄子之
子也 政治未毕通也 以属大农佐赋 犍为地震 山崩 雍江水 复求能为《谷梁》者 将以存太子 与章相连 日有食之 成帝之初 故雹者阴胁阳也 吕禄等欲为乱 不畏郅支 有功者害之 冬杀麦 明年当封禅 覆武其上 初 最后 孝文寤焉 以其女妻之 今礼废乐崩 纵横恣意 欲以匹夫徒步之人而超
一年 不能下 制礼不逾闲 侵陵乌孙 大宛 被戮辱者不泰迫乎 时则有目痾 ［初元二年］ 盖在高祖 十馀万言 令国中有后者斩 七者 问 张王果有谋不 高曰 人情岂不各爱其父母妻子哉 以严见惮 於是中朝左将军辛庆忌 右将军廉褒 光禄勋师丹 太中大夫谷永俱上书曰 臣闻明王垂宽容之
听 辞毕 口四十五万七千三百三十三 连引诸所欲诛 驰我君舆 由法度之无限也 且夫天子以四海为家 过郡三 食舞阳 闽越举兵围东瓯 若夫壮士慷慨 遂用邓平历 更历五郡 无以辅王 羽亦因遂已 初镇抚天下 不当予匈奴税 匈奴使怒 除关 颍阴 太子数恶被 及欲改定制度 岁率户二百 纲
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《动态几何---圆》综合练习姓名：1.如图，射线0A丄射线0B,半径r=2cm的动圆M与0B相切于点Q (圆M与0A?没有公共点)，P 是0A上的动点，且PM=3cm，设OP=xcm，OQ=ycm.(1 )求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围.(2)当厶MOP为等腰三角形时，求相应的x的值.O P A2.已知：如图，在Rt△ ABC中，/ A = 90° AB= 3, AC = 4 . O A与O B外切于点D,并分别与BC、A C边交于点E、F .(1)设EC = x, FC = y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域;(2)如果O C与O A、O B都相切，求AD : BD .3.在平行四边形ABCD中，AB=2，/ A=60o,以AB为直径的O O过点D，点M是BC 边上一点（点M不与B、C重合），过点M作BC的垂线MN，交CD边于点N .以CN为直径作O P,设BM = x , O P的半径为y .①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;②当BM为何值时，O P与O O相切.4.已知菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，点-BAD =60，点A的坐标为（-2,0），动点Ar Dr Cr Br A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动的时间为何值时，以P点为圆心，1为半径的圆与对角线A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，P从点A出发，以每秒1个单位的速度，按照t秒，求t为5. （2011年南京）如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90°, AC=6 cm,BC=8 cm, P 为BC 的中点.动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 cm /s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.⑴当t=1.2时，判断直线AB与O P的位置关系，并说明理由；⑵已知O OABC的外接圆，若O P与O O相切，求t的值.6.等腰直角厶ABC和O O如图放置，已知AB=BC =1,/ ABC=90 ° ,O O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5 .现△ ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.⑴ 当厶ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？⑵ 若在△ ABC移动的同时，O O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？⑶ 在⑵的条件下，是否存在某一时刻，△ ABC与O O的公共部分等于O O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由.OABC 的边所在直线相切的t 的值.7. ( 2005南京)如图所示，形如量角器的半圆 O 的直径DE=12cm ，形如三角板的" ABC中，/ ACB=90。
，/ ABC=30°, BC=12cm 。
半圆 O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运 动过程中，点 D 、E 始终在直线 BC 上。
设运动时间为 t (s),当t=0s 时，半圆O 在"ABC 的左侧，OC=8cm.当t 为何值时，"ABC 的一边所在直线与半圆 O 所在的圆相切？8.如图，点 A , B 在直线 MN 上，AB = 11厘米，O A ,O B 的半径均为1厘米.O A 以每 秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，O B 的半径也不断增大，其半径 r (厘米)与时 间t (秒)之间的关系式为 r = 1+t (t > 0).(1) 试写出点 A , B 之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式； (2) 问点A 出发后多少秒两圆相切？9.如图，已知点 A 从(1,0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以 O, A 为顶点作菱形OABC ,使点B, C 在第一象限内，且• AOC =60；；以P(0,3)为圆心，PC 为半径作圆.设点 A 运动了 t 秒，求:(1) 点C 的坐标(用含t 的代数式表示)； (2) 当点A 在运动过程中，所有使O P 与菱形10.（2000年上海）如图，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB 上，有一个动点AP, PH丄OA,垂足为H, △ OPH的重心为G.（1）当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段？如果有,请指出这样的线段，并求出相应的长度.⑵设PH = x,GP = y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（即自变量x的取值范围）.⑶如果△ PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长.10.如图，已知Rt△ ABC 中，CAB =30：, BC =5 .过点A作AE 丄 AB，且AE =15 , 连接BE交AC于点P .(1)求PA的长；(2)以点A为圆心，AP为半径作O A，试判断BE与O A是否相切，并说明理由；(3)如图2,过点C作CD丄AE ,垂足为D •以点A为圆心，r为半径作O A；以点C为圆心，R 为半径作O C .若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持O A和O C相切，且使D点在O A的内部，B点在O A的外部，求r和R的变化范围.311.如图，梯形ABCD 中，AD//BC, CD丄BC,已知AB=5, BC=6, cosB=—.点O 为BC5边上的动点，以O为圆心，BO为半径的O O交边AB于点P .(1)设OB二x , BP二y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)当O O与以点D为圆心，DC为半径O D外切时，求O O的半径；(3)联结OD、AC,交于点E，当△ CEO为等腰三角形时，求O O的半径.解：〔t)作DIM 丄吕I], 则BF=2BM . 在直箱△跚。
中-BBM 3COS E=OB =5 -3."■BNI=OB*CQS B=^X ,则BP=2BM=^K ,「■函数的解析式星：y=|K (O<x^J(3)在RtAACH 中> AC=E >设@0的半径为 当EXEC 时,ZEOC=ZACE - V^B=AC, AZB=ZACB, AZB=ZE0C>AABZ/ODj3Z.VADZ /BC >/-0B=AD=3 » 「Go 的丰径加》当 OE 刃C 时 J ZECO=ZCEO ,7VAD//BC, 二 ZEAE=ZECO >YZAEI}=ZCEO , AZDAE^ZAED J运动型问题中与圆有关的位置关系1.解：(门过点M 作册丄0A”垂足为D ，显然0D 悯为矩形, (2 )①若0胆NIF ＞此时葛=4 tA0D=MQ=2 J NID=OQ=y « APD=x-£ * 在Kt AW 中> /+(旷 当如图所示1fi 况时> 0D=2 ； 当与DAl 目切时， 可知OF 二酋躬， ・S 职值范围为叹 M2+長； 2.解：C 1 ) V^RtAABC 中」ZA=90・，AE=3> ACM, ..EC=5 . ■*©A^©B 外切于点D 』井分别与班、AC 边交于点乩F > AAD=AJ > BD=EE i .■.AF+A£+BE -2AB=& J.■.CE+CF= ( AB+BC+CA) - ( AF+AB+FE ) =6 ・ VEC=x > FlC^yj «\x+y=& « ② 若MF=OF 时J 此时沪3 ,③ 若ONIPF 时』TOM 二4+/» A4+y^=x 2JC 3 )若@C 与⑥氐 刖都栢切，代有两种惜呪: ①与⑥氐都外切(如團一)j'/CE.跋宵O 谢两条半屋』 ■*-CE=CF > 设g .> CF=5-K J ■ <x^6'_x t ■ • i —3 J '-AD ： BB=1 ： 2；② ®C 与®A 、①E 都内切(如圉二)J!?J CA +JJ =CB +BE ,\TA=4 » AJ=AC-CF=4-5+s=x-£ >CE=5J BE=BC-CE=5-K J■可 4+ C i~2 ) =5+ C 5~x ) * ・X=4 j/.AD : BD=2 :仁5.•点C 运动的时间为 (5- . 2厂-(2 0.5) =22 2__5_(2)连接DD.作AN 丄哉. 卞在臣角A ABN 中丄cosB=^=| .AD □3/.BH=KB*CQS B=5X^-3 .则AN=CD=4 ・在RtACO 中, YCBSnC^OD 2! 6-x) ^=( 9-X )3 解得：沪手(不合题意舍去) 当 CE=C0时，ZCEQ=ZCOEj VADy/BC /综上所述 > 当△匸酌为等瞳三瑪瑾时"©0的半径为3或46.解:⑴直线AB 与O P 相切.如图，过点 P 作PD 丄AB,垂足为D . 在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°•/ AC=6cm , BC=8cm , 二 AB n;：；AC2BC 2 =10cm . v P 为 BC 的中点，二 PB=4cm .•••/ PDB = Z ACB = 90° / PBD = Z ABC.." PBD ABC .PD PB PD 4，即，••• PD =2.4(cm).AC AB6 10当 t =1.2 时，PQ =2t =2.4 (cm)• PD 二PQ ，即圆心P 到直线AB 的距离等于O P 的半径. •直线AB 与O P 相切.1⑵ / ACB = 90° • ABABC 的外切圆的直径.二 OB=—AB = 5cm .21连接OP .v P 为BC 的中点，• OP AC = 3cm .2•••点P 在O O 内部，• O P 与O O 只能内切 •5 - 2t =3 或 2t 5 = 3 ,• t =1 或 4.• O P 与O O 相切时，t 的值为1或4.7.⑴假设第一次相切时， △ ABC 移至△ A B ' C '处，A 'C '与O O 切于点E ，连OE 并延长, 交B ' C '于F .设O O 与直线I 切于点D ，连OD ，贝U OE 丄A ' C ', OD 丄直线l .由切线长定理可知 C ' E= C ' D ,设C ' D=x ，则C E= x ,易知C F=\ 2 x• x= 2 -1 • CC =5 — 1 —( & —1)=5 —在直角虫0口）中，OC=BC-OE-6-x > CB-4 ,则咻」花“）电6・当两圜相切时：?（g_x ）2+ig=i+4 解得：AZU)E=ZC0E, ,/ZA EB=ZCEO J■■■Z AED =Z ADE ^ .\AB=^E=3, ■-TE+AE=AC J /.6-Kf3=5, 「心4」 二刖的半径放■、•、2 x + x=1•••点B 运动的的距离为（2-25^） 2 =4-452⑵•••△ ABC 与O O 从开始运动到最后一次相切时，路程差为 6,速度差为1•••从开始运动到最后一次相切的时间为6秒⑶•••△ ABC 与O O 从开始运动到第二次相切时，路程差为 4,速度差为1（2000上海）解：⑴ 当点P 在弧AB 上运动时，OP 保持不变,于是线段GO GR GH 中,MH J O H = 1、36 -x 2 .2 2在 Rt △ MPH 中 ,MP 「PH 2 MH 2 = . x 29 - 1 x 2 二1 i 36 3x 2\4 2重叠部分面积为（9、3+6 n ） cm 2有长度保持不变的线段，这条线段是GH=^NH=?丄 OP=23 3 2(2)在 Rt △ POH 中OH = OP 2 - PH 2 = . 36 - x 2•从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时△ ABC 移至△ A "B ”C 处，A 'B =1 + 4X 丄=328EO重叠部面积为9 n cm 2D Et=16s21 ----- T••• y =GP= MP= , 36 3x (0< x <6).3 3(3) △ PGH 是等腰三角形有三种可能情况 ：① GP=PH 时,—36 + 3x? = x ,解得x = *'6 .经检验,x = \：6是原方程的根,且符3合题意•② GP=GH 时,1,36 3x^2,解得x = 0.经检验，x = 0是原方程的根，但不符3合题意•③ PH=GH 寸,X = 2 •综上所述,如果△ PGH 是等腰三角形，那么线段PH 的长为-.6或2.9. (1) 一-在 Rt△ ABC 中， CAB =30, BC = 5,.AC =2BC =10 .7 AE // BC , . △ APE CPB . PA: PC AE: BC =3:1 .■一 在 Rt△ ABE 中，AB =5.3 , AE =15 ,AE 15厂 tan ABE3, ABEAB 5^3又； PAB =30 , ABE PAB = 90[・ APB = 90〃， BE 与O A 相切.3^10 .PA: AC =3: 4 , PA = 3 4152C B图2(3)因为AD二5, AB 3，所以r的变化范围为5 ：：： r ::: 5、3 .当O A与O C外切时，R r =10，所以R的变化范围为10-5、-3：：：R：：：5 ;化简，得(t 1)2 -18 3(t 1) 27 =0，解得 t 1 =9,3一6、、6，Tt =9.3-6、6-1 ：：0， t 旳/3 6~6-.1-所求 t 的值是 3 3 _1 , 3、、3 -1 和 9 3 6 6 -1. 212.（仆解1当㊈户札穰功屮h&iMI 切时”垠幼点为“剜乙4MP 二90".AP PJLfMPM -MBC. A —=——AR BCV AB = ylAC^BC- =5P当O A 与O C 内切时，R —r =10，所以R 的变化范围为1^： R ：： 10 5 3 . 11.解：（1 ）过C 作CD _x 轴于 ；OA =1 t ，OC = 1 t ，.OD = OC cos60 二口 , DC2=OC sin 60"= 「3(1 t) 2 ， 「点C 的坐标为卩七圾1+T （2）①当LI P 与OC 相切时（如图i ）,切点为c ,此时PC 丄OC ,.OC =OPcos30： , 1 t 赵乜，t =痘-1 .2 2②当LI P 与OA ，即与x 轴相切时（如图2）,则切点为O , PC1过 P 作 PE _ OC 于 E ，则 OE 二 OC ,2¥=O pcos30—乎,^33-1 .③当LI P 与AB 所在直线相切时（如图 3），设切点为F , PF 交OC 于G ，则 PF _OC 「FG=CD=^p , .PC 二 PF =OPsin30.-3(1 t) 2 过C 作CH _ y 轴于H 则 PH 2 CH 2 二 PC 2, 、2-3怡+3'2 I 2 2丿x x x匕JiilMh / BC丄AC. FD 丄AC. BC // DP.苛恥AP二竺55心4詈音适’屁16pf) 4 PB -------- — --------t3 4时.列辿筋PQ号E为乎和凹也履.。