2019版一轮理数(人教A版)课件：第十一章 选修4-5 不等式选讲

出发， 逐步寻求使它成立的充分条件
直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义， 公理或 已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
[小题诊断] 1．若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成立，则实数 a 的取值范
[－2,4] 围是________ ．
解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
第十一章 选修系列 选修4－5 不等式选讲
高考·导航
C
目 录
ONTENTS
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业
高考· 导航
1．不等式的性质和绝对值不等式 (1) 能利用三个正数的算术平均 —几何平均不等式证明一些简 单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广 形式(n 个正数的形式)． (2)理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对 值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． (3)掌握 |ax＋ b|≤c， |ax＋ b|≥c， |x－ a|＋ |x－ b|≤c， |x － a|＋ |x －b|≥c 型不等式的解法．
2 ．若 m ＝ a ＋ 2b ， n ＝ a ＋ b2 ＋ 1 ，则 m 与 n 的大小关系为
n≥m ________ ．
解析： ∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0， ∴ n≥m.
3．若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的 a，
①③⑤ b 恒成立的是________( 写出所有正确命题的序号)．
(2)由 f(x)≥x2－x＋m，得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x. 而 |x ＋ 1| － |x － 2| － x ＋ x≤|x| ＋ 1＋ |x| － 2 － x
解析： |x － 2y ＋ 1| ＝ |(x － 1) － 2(y － 2) － 2|≤|x － 1| ＋ 2|y － 2| ＋ 2≤5.
核心考点 互动探究
[典例]
(2017· 高考全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式 f(x)≥1 的解集； (2)若不等式 f(x)≥x2－x＋m 的解集非空，求 m 的取值范围．
{x|x>a 或 x<－a} {x∈R|x≠0}
(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用零点分段法求解． ③构造函数，利用函数的图象求解．
－3，x<－1， 解析：(1)f(x)＝2x－1，－1≤x≤2， 3，x>2.
当 x<－1 时，f(x)≥1
无解； 当－1≤x≤2 时， 由 f(x)≥1 得， 2x－1≥1， 解得 1≤x≤2； 当 x>2 时，由 f(x)≥1 解得 x>2. 所以 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}．
①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2； 1 1 ④a ＋b ≥3；⑤a＋b≥2.
3 3
解析：令 a＝b＝1，排除②④； 由 2＝a＋b≥2 ab⇒ab≤1，命题①正确； a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，命题③正确； 1 1 a＋b 2 a＋b＝ ab ， 那么 a2＋b2≥ 等号成立． a＋b 定理 2：如果 a，b>0，那么 ≥ ab，当且仅当 2
ab 时，
2ab
， 当且仅当 a＝b
时，
等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们 的几何平均． a＋b＋c 3 abc 定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么 ≥ ，当且仅当 3
a＝b＝c
时，等号成立．
4．比较法 (1)比差法的依据是：a－b>0⇔
变形 a>b
.步骤是：“作差→
→ 判断差的符号
”．变形是手段，变形的目的是判断差的
符号． (2)比商法：若 B>0，欲证 A≥B A ，只需证B≥1.
5．综合法与分析法 (1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、 性质等，经过一系列的 推理、论证 (2)分析法： 从要证的结论 而得出命题 成立 ． ，
2．不等式的证明 (1)了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反 证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式． (2)能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大 (小)值问题．
主干知识 自主排查
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤
ab≥0 |a|＋|b|
，当且仅当
时，等号成立．
|a－c|≤|a－b|＋|b－c|
定理 2： 如果 a， b， c 是实数， 那么 当且仅当
(a－b)(b－c)≥0
，
时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|－a<x<a} a＝0 ∅ a<0 ∅ R
[小题纠偏] 1．设 a，b 为满足 ab<0 的实数，那么( A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b| C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
B
)
解析：∵ab<0， ∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.
5 2．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________ ．
4．已知 x，y 均为正数，且 x＋y＝1，则 3x＋ 4y的最大值为
7 ________ ．
解 析 ： 由 柯 西 不 等 式 得 3x ＋ 4y ＝ 3 · x ＋ 4 · y ≤ [ 32＋ 42]x＋y＝ 7.
1．对形如|f(x)|>a 或|f(x)|<a 型的不等式求其解集时，易忽视 a 的符号直接等价转化造成失误． 2．绝对值不等式 ||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的 条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≤0 时等号成立，其他类 似推导．