最短路线问题——标数法的应用
【思维拓展】数学六年级思维拓展之标数法(附答案)
六年级思维拓展之标数法求最短路线数1.阿雅和天天到图书馆参加活动。
如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？2.球球从A步行到Z，行走方向都是向右或者向下，路线如图所示。
那么球球一共有多少种不同的行走路线？3.下图是阿雅学校附近小区的平面图。
今天阿雅放学，要去同学家写作业。
请问：从学校到同学家有多少种不同的最短路线？4.B点有一群小羊在吃草，大灰狼在A点，它想到B点吃羊，最短路线有多少条？5.皮皮和天天准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示），他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，你们知道吗？6.下图是天天家附近小区的平面图。
今天下雨，路口G有积水，不能通过。
请问：今天天天从家去学校有多少种不同的最短路线可供选择？7.天天上学需要先经过K路口去买书。
请问：天天经过K路口到达学校有多少种不同的最短路线？8.如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？9.城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行。
那么从A到B的最短路线有几条？10.天天和皮皮结伴骑车去图书馆看书，他们先去公园看大熊猫再去图书馆。
聪明的小朋友们，请你帮天天和皮皮想想他们的最短路线有多少种不同的走法？参考答案1.【解答】标数法：三步走（1）确定方向；（2）从起点出发的两个方向上每个点标1；（3）其他点来源相加。
如下图所示。
一共有10种不同的最短路线。
2.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有13种不同的路线。
3.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有10种不同的路线。
4.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有12种不同的路线。
5.【解答】分析：标数，断点型标数法，不能通过的点打叉或者标0如下图所示。
一共有132种不同的路线。
6.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有11种不同的路线。
7.【解答】分析：标数，必经点型——可标“×”或者画大圈排除，简化标数图。
六年级上册数学讲义-小升初思维训练：最短路线 (解析版)全国通用
PC 第08讲最短路线教学目标：1、探索标数法在最短路径中的应用，掌握求最短路线的各种方法；2、探索最短路径的求法，总结最短路线的计算规律并加以应用；3、培养学生仔细认真的学习态度，激发学生的学习兴趣，并能提高解决实际问题的能力。
教学重点：理解并掌握“标数法”解最短路线问题。
教学难点：掌握“标数法”解较难的最短路线问题。
教学过程：【温故知新】1、两个数的和（差）与一个数相乘，可以把两个加数（被减数和减数）分别与这个数相乘，再把这两个积相加，所得的结果不变。
这叫做乘法分配律；2、如果用字母a、b分别表示两个加数，用字母c表示因数，乘法分配律可以写成：（a＋b）×c＝a×c＋b×c或（a-b）×c＝a×c-b×c；3、会运用乘法分配律进行巧算。
【巩固作业1】计算：99×29+29解析部分：在计算时，可以把算式99×29+29中的加数29看成1×29,99个29加1个29，结果正好是100个29.运用了乘法分配律。
给予新学员的建议：让学员了解乘法分配律的含义；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：99×29+29= 99×29+1×29=（99+1）×29=100×29=2900【巩固作业2】根据乘法分配律，用两种方法进行巧算：125×88。
解析部分：把88分成8×11，然后125乘8的积再乘11，运用了乘法结合律。
或者把88分成80+8,125分别去乘80和8，最后把所得积相加。
运用了乘法分配律。
给予新学员的建议：让学员熟练使用乘法分配律巧算；哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：125×88 125×88=125×（8×11）=125×（80+8）=（125×8）×11 =125×80+125×8=1000×11 =10000+1000=11000 =11000【预习】一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想沿着格子线走到B点玩，但是不知走哪条路最近。
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法,在给出的图形中
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
7.
一只密蜂从 A 处出发， A 回到家里 B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而 不准逆行，共有多少种回家的方法？
1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 B
8. 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出 “ APPLE ”的路线共有多少条？
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
有问题跟我联系哦！wutong@ 【数学加油站答案】
1.
A E1 1 C 1 F2 3 1 D
3G 6 B
H
I
2. 首先明确三天所走的路线有什么不同？每天的路线有无限制条件？若有， 是什么？搞清 楚这些问题后，仍然用标数法求解．第一天（无限制条件）共有 16 条；第二天（必须 经过公园）共有 8 条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条． 3. 因为 B 在 A 的右下方，由标号法可知，从 A 到 B 的最短路径上，到达任何一点的走法 数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和． 有积水的街道不可能有路线 经过，可以认为积水点的走法数是 0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依 次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从 A 到 B 的最短路线有 22 条．
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法，在给出的图形中 的每一个结点标出到达该点的方法 数，最后利用相加的原则求出到达目 的地的方法数。
从 A 到 B 的最短路线有多少条？
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
5. 用“标数”求出：从学校到养老院共 126 条．必经过市中心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66 （条） ．
标数法
一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数． 二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．知识要点第8讲 标数法只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”． 三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加树形图法、标数法及简单的递推 一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 （难度等级 ※※※）A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？(2005年《小数报》数学邀请赛)【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式．同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AAB A B CCBA【巩固】 （难度等级 ※※※）一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【例 2】 （难度等级 ※※※）甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况．二、标数法适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．【例 3】 （难度等级 ※※）如图所示，沿线段从A 到B 有多少条最短路线？GFE D C BA111064332111AB【解析】 图中B 在A 的右上方，因此从A 出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的．那么，如果最后到达了B ，只有两种可能：或者经过C 来到B 点，或者经D 来到B 点，因此，到达B 的走法数目就应该是到达C 点的走法数和到达D 点的走法数之和，而对于到达C 的走法，又等于到达E 和到达F 的走法之和，到达D 的走法也等于到达F和到达G的走法之和，这样我们就归纳出：到达任何一点的走法都等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以从A点开始，向右向上逐步求出到达各点的走法数．如图所示，使用标号方法得到从A到B共有10种不同的走法．【巩固】（难度等级※※）如图，从A点到B点的最近路线有多少条？BA10204111111B6243310A【解析】使用标号法得出到B点的最近路线有20条．【例 4】（难度等级※※）如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．AA【解析】本题是最短路线问题．要找出共有多少种不同走法，关键是保证不重也不漏，一般采用标数法．如上图所示，共有120种．另解：本题也可采用排除法．由于不能经过C，可以先计算出从A到B的最短路线有多少条，再去掉其中那些经过C的路线数，即得到所求的结果．对于从A到B的每一条最短路线，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；而对于每一条最短路线，如果确定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，从而该路线也就确定了．这就说明从A到B的最短路线的条数等于从10次向右或向上里面选择6次向右的种数，为610C．一般地，对于m n⨯的方格网，相对的两个顶点之间的最短路线有mm nC+种．本题中，从A到B的最短路线共有610C种；从A到C的最短路线共有26C种，从C到B的最短路线共有24C种，根据乘法原理，从A到B且必须经过C的最短路线有2264C C⨯种，所以，从A到B且不经过C的最短路线有622106421090120C C C-⨯=-=种．【例 5】（难度等级※※※）如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？【解析】1、方格图里两点的最短路径，从位置低的点向位置高的点出发的话，每到一点（如C、D点）只能向前或者向上．2、题问的是经过C点，或者D点；那么A到B点就可以分成两条路径了A--C---B；A---D---B，那么也就可以分成两类．但是需要考虑一个问题——A到B点的最短路径会同时经过C和D点吗？最短路径只能往上往前，经过观察发现C、D不会同时出现在最短路径上了．3、A---C---B，那么C就是必经之点了，就需要用到乘法原理了．A---C，最短路径用标数法标出，同样C---B点用标数法标注，然后相乘A---D---B，同样道理．最后结果是735+420=1155条．【例 6】如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有条.【解析】到各点的走法数如图2所示.ACBD1118126666633211DB CA图1图2所以最短路径有18条.【例 7】小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P点，他去少年宫都是走最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．EC【解析】本题属最短路线问题．运用标数法分别计算出从小王家P点到A、B、C、D、E点的不同路线有多少条，其中，路线条数与小王学习次数56相等的点即为少年宫．因为，从小王家P点到A点共有不同线路84条；到B点共有不同线路56条；到C点共有不同线路71条；到D点共有不同线路15条；到E点共有不同线路36条．所以，少年宫在B点处．【例 8】（难度等级※※※）在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A 到B的最短路线有多少种？AB1111111111455511136162151422 1111 1311B A【解析】因为B在A的右下方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和．有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从A到B的最短路线有22条．【例 9】（难度等级※※※）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？CBA6033311122221111CBA【解析】 因为B 在A 的右上方，由标号法可知，从A 到B 的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它下侧点的走法数之和．而C 是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C ，可以认为到达C 点的走法数是0．接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数．如图，从A 到B 的最短路线有6条．【巩固】 （难度等级 ※※※）在下图的街道示意图中，C 处因施工不能通行，从A 到B 的最短路线有多少种？CB A【解析】 因为B 在A 在右下方，由标号法可知，从A 到B 的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和.而C 是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C ，可以认为到达C 点的走法数是0.接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数.如图，从A 到B 的最短路线有6条．【例 10】 （难度等级 ※※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完15111310146151132【解析】 方法一：标数法．第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：(如右上图，在格子里标数)共70种不同的读法．方法二：组合法．仔细观察我们可以发现，按“我们学习好玩的数学”走的路线就是向右走四步，向下走四步的路线，而向下和向右一个排列顺序则代表了一种路线．所以总共有4870C 种不同的读法．【例 11】 （难度等级 ※※※）如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？北北京北北京欢京北欢迎欢你113112*********【解析】 沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能选择上面的或左右两边的字，按加法原理，用标号法可得右上图．所以一共有11种走法．【巩固】 （难度等级 ※※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少351511113451014610151512013570321【解析】第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：(在格子里标数)共70种不同的读法．【例 12】（难度等级※※※）在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？A|A—P—A| | |A—P—P—P—A| | | | |A—P—P—L—P—P—A| | | | | | |A—P—P—L—E—L—P—P—A1|1—3 —1| | |1—2—7 —2—1| | | | |1—2—4—15—4—2—1| | | | | | | 1—2—4—8—31—8—4—2—1【解析】要想拼出英语“APPLE”的单词，必须按照“A→P→P→L→E”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标号法原理标号得出共有31种不同的路径．【巩固】如图1，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，那么可读成“祖国明天更美好”的路线有条.【解析】如图2所示，利用加法原理，将读到各个字的路线数写在每个字下方，共有不同的路线721127-=(条).祖祖国祖祖国明国祖祖国明天明国祖祖国明天更天明国祖祖国明天更美更天明国祖祖国明天更美好美更天明国祖图1祖1祖1国3祖1祖1国2明7国2祖1祖1国2明4天15明4国2祖1祖1国2明4天8更31天8明4国2祖1祖1国2明4天8更16美63更16天8明4国2祖1祖1国2明4天8更16美32好127美32更16天8明4国2祖1图2【巩固】(第三届“希望杯”2试试题)右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.杯杯杯杯杯望望望望希希希爱爱我161511353211111111杯杯杯杯杯望望望望希希希爱爱我【解析】“我爱希望杯”的读法也就是从“我”走到“杯”的方法.如上右图所示，共16种方法.【例 13】如图1所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”.i111111i图1图2【解析】由E n s t e i n→i→→→→→→的拼法如图2所示.根据加法原理可得共有303060+=(种)不同拼法.【例 14】（难度等级※※※）图中有10个编好号码的房间，你可以从小号码房间走到相邻的大号码房间，但不能从大号码走到小号码，从1号房间走到10号房间共有多少种不同的走法？【解析】 我们可以把这个图展开，用箭头标出来就更直观了，然后采用我们学的标数法．【例 15】 （难度等级 ※※※）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的方格中， 类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在88⨯的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有＠的位置），最短路线有________条．【2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动】第@图图1题@图2【解析】 最后一步的可能如图1，倒数第二步的可能如图2，倒数第三步的可能如图3．最后36312++=（种）．图3图2@11112122图1@111122163321111@【例 16】 （难度等级 ※※※）从北京出发有到达东京、莫斯科、巴黎和悉尼的航线，其他城市间的航线如图所示(虚线表示在地球背面的航线)，则从北京出发沿航线到达其他所有城市各一次的所有不同路线有多少？【解析】 第一站到东京的路线有10条：⎧⎪⎪⎪⎧→→⎪→⎨⎪→→⎩⎪⎪⎧⎧→→⎪⎪⎨→⎪⎪⎩→→→⎨⎨→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪→⎩⎩⎪⎪⎧⎧→⎪→⎪⎨⎪→⎪⎩→⎪⎨→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪→⎩⎩⎩莫斯科巴黎悉尼纽约悉尼巴黎莫斯科巴黎悉尼纽约悉尼巴黎北京东京莫斯科纽约悉尼巴黎悉尼纽约巴黎莫斯科纽约莫斯科巴黎悉尼纽约莫斯科巴黎莫斯科纽约 同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路线各有10条，不同的路线共有10440⨯=条．【例 17】 一个实心立方体的每个面分成了四部分．如图所示，从顶点P 出发，可找出沿图中相连的线段一步步到达顶点Q 的各种路径．若要求每步沿路径的运动都更加靠近Q ，则从P 到Q 的各种路径的数目为几？QP1818666333322111111QP【解析】因为正方体每个面的对面也有同样的路径，最靠近Q 的有三个点，从P 点到这三个点都是18种路径．故有18354⨯=三、简单递推：斐波那契数列的应用对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面的数，这种方法称为递推法．【例 18】（难度等级※※※）一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？【解析】登1级2级3级4级 ......10级1种方法2种3种5种 ......？我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A0，那么登了1级的位置是在A1，2级在A2... A10级就在A10．到A3的前一步有两个位置；分别是A2和A1．在这里要强调一点，那么A2到A3既然是一步到了，那么A2、A3之间就是一种选择了；同理A1到A3也是一种选择了．同时我们假设到n级的选择数就是An ．那么从A0到A3就可以分成两类了：第一类：A0 ---- A1 ------ A3，那么就可以分成两步．有A1×1种，也就是A1种；(A1 ------ A3是一种选择)第二类：A0 ---- A2 ------ A3，同样道理有A2．类类相加原理：A3 = A1＋A2，依次类推An = An-1 + An-2．【例 19】（难度等级※※※）1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网，共有多少种不同的盖法．【解析】 如果用12⨯的长方形盖2n ⨯的长方形，设种数为n a ,则11a =，22a =,对于3n ≥，左边可能竖放1个12⨯的，也可能横放2个12⨯的，前者有-1n a 种，后者有-2n a 种，所以-1-2n n n a a a =+,所以根据递推，覆盖210⨯的长方形一共有89种．【例 20】 （难度等级 ※※※）如下图，一只蜜蜂从A 处出发，回到家里B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？BAAB 1357946821235813213455891【解析】 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可以运用标数法进行计算．如右图所示，小蜜蜂从A 出发到B 处共有89种不同的回家方法．【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由A 房间到达B 房间有多少种方法？【解析】 斐波那契数列第八项．21种．【例 21】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？【解析】 第一个月，有1对小兔子；第二个月，长成大兔子，所以还是1对；第三个月，大兔子生下一对小兔子，所以共有2对；第四个月，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下一对小兔子，共有3对； 第五个月，两对大兔子生下2对小兔子，共有5对； ……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加． 依次类推可以列出下表：经过月数：---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144 所以十二月份的时候总共有144对兔子．【例 22】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？【解析】 一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……所以十年后树上有89条树枝．【例 23】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止．问经过9次操作变为1的数有多少个？【解析】 可以先尝试一下，倒推得出下面的图：2410131112514302831643215167683421其中经1次操作变为1的1个，即2， 经2次操作变为1的1个，即4， 经3次操作变为1的2个，是一奇一偶，以后发现，每个偶数可以变成两个数，分别是一奇一偶，每个奇数变为一个偶数，于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为：1，1，2，3，5，8，…这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即即经过9次操作变为1的数有34个.为什么上面的规律是正确的呢？道理也很简单. 设经过n 次操作变为1的数的个数为n a ,则1a =1，2a =1，3a =2，… 从上面的图看出，1n a +比n a 大.一方面，每个经过n 次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过1n +次操作变为1；反过来，每个经过1n +次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n 次操作变为1的数. 所以经过n 次操作变为1的数与经过1n +次操作变为1的偶数恰好一样多.前者的个数是n a ,因此后者也是n a 个.另一方面，每个经过n 次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过1n +次操作变为1，反过来.每个经过1n +次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n 次操作变为1. 所以经过n 次操作变为1的偶数经过1n +次操作变为1的奇数恰好一样多.而由上面所说，前者的个数就是1n a -,因此后者也是1n a -.经过n +1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以11n n n a a a +-=+，即上面所说的规律的确成立.。
三年级下册数学试题-竞赛思维能力训练：03最短路线(三年级竞赛)教师版
B C
B48 28 14 20 14 14 5 6 C9 52
65 4 32
1
A
1 1 1 11 A
【答案】48,；1600 【知识点】标数法 【难度】C 【分析】用对角相加法，考虑到某些道路不能通行，在图形中用虚线标写出来，再在图中 依次标数，如上图所示：
所以，从 A 地到 B 地有 48 条最短路线。 从 A 地到 B 地最少要行使的距离：200×5+150×4=1600（米）
下面是一个街道的平面图，从街道的 A 地出发到 B 地，问有多少条最短路线？
【答案】18 【知识点】标数法 【难度】B 【分析】如图所示：
下图为某城市的街道示意图，C 处正在挖下水道，不能通车，从 A 到 B 处的最短路 线共有多少条？
B
【答案】431 【知识点】标数法 【难度】B 【分析】如图所示：
甲 C
A B D
乙
甲
1 11
1 2C 1
A 22 33 3
B 2 5 8 11
2D
8 19
2 2 10
2乙9
解：用虚线将不能通行的道路表示出来，再利用“对角线法”依次标数，如上图所示。 所以从甲地到乙地有 29 条最短路线。 从甲地到乙地至少要行驶的距离：5×180＋320×5=2500（米）。
1
5
15
1
4
10
1
3
6
1
2
3
学校
1
1
市中心
养老院
25
40
66
10
15
26
5
11
4
5
6
1
1
1
是多少条？
如图，从 A 到 B 沿网格线不经过线段 CD 和 EF 的最短路径的条数
四年级组合计数
四年级名校第二讲组合计数——最短路线教学目标：1.让学生了解如何用标数法来解题。
2.让学生学会如何走最短路线。
3.让学生在学习中，学会数学的逻辑思维能力。
教学重点：如何用标数法解题。
教学难点：标数时我们应用什么样的方法去标数。
教学过程：导入：我们平时在出去玩的时候是不是有很多不同的路线可以选择，但是我们往往会选择一条最短的线路来走，但是事实上我们有的时候最短的路不止有一条。
这样就涉及到了我们数学当中一个非常有名的专题就是组合计数。
（出示课题）新授：例1下图是一个街道平面图，某人从A里走到B处（只能从南到北及从西到东）共有多少种不同的走法？分析：首先我们要看清楚题目，题目当中说的是只能从南到北及从西到东，那么我们只能怎么走呢？我们只能从下往上或者从左往右走。
我们可以这样想，从A点出发可以去2个地方，如果是这样我们是不是可以反过来想呢？到达那2个点只能从哪里来则我们可以这样标数。
那么从哪里来有几条路？（强调学生要注意标数的时候一定要一排一排的标，这样才能做到不重复不遗漏。
）那么我就可以这样标数，如图。
练习：演练一例2苏珊从A步行道Z，行走方向都是向东或向南，路线如图所示。
那么苏珊从A到Z有多少条不同的行走路线？分析：我们从A出发要到Z，可以随便走么？方向只能是向东或者向南，那么我们就可以用标数的方法将其标出来，这样就可以做出来了。
注意一定要一排一排的标，不能乱标。
要引导学生一个一个来。
练习：演练二例3 一直密封从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？分析：如果我们从蜂房的A出发回到B处，同学们可不可以将我们小蜜蜂的回家的路线试着画出来呢？将小蜜蜂的路线图画出来之后我们就可以用标数法将其做出来了。
例4如图所示科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按见图所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein”?分析：我们在拼出英文单词的时候是不是可以随便拼写呢？我们一定要按照这个引文单词拼写的顺序来标数。
小学三年级奥数 第22讲最短路线
最短路线
【例1】(☆☆)
【课前铺垫】
一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最
近。
小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
标数法：用来解决最短路线问题的方法，在给出的图形中的每一个结点标出
到达该点的
，。
【例2】(☆☆☆)【例3】(☆☆☆)
寒假到了，艾伦和爸爸决定去黄山玩。
聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行。
聪明的小朋友们，请你帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
1
【例4】(☆☆☆☆)【例5】(☆☆☆☆☆)
图中的“我爱史老师”有多少种不同的读法。
一只密蜂从A处出发，A回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧
邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
【例6】(☆☆☆☆☆)
城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最
短路线有几条？
【本讲总结】
最短路线
宗旨：不走冤枉路，就要朝着目标走
方法：标数法
标数法四步：
1．找目标、定方向
2．从起点标数，起点标1
3．按顺序每个点都要标到
4．某点数字＝指向该点箭头
尾巴上的数字相加
注意：
．坏点可以划去或看成
2．必须经过，分段标出
2。
标数法与牛顿台阶问题
标数法与牛顿台阶问题关于“标数法”，先来看两个最简单的例子。
例1：从A到B的最短路径有多少条？B1楚香凝解析：从A到C有一种路径，所以在C点标记个“1”；从A到D有一种路径，所以在D点也标记一个1；到B点有两类情况，可以从C过来，也可以从D过来，所以到达B点的情况数;（到达C点的情况数）+ （到达D点的情况数），所以在B点标记1+1="2”。
例2：从A到B的最短路径有多少条?楚香凝解析：从A到C有一种路径，所以在C点标记个“1”；从A到D有一种路径，所以在D点也标记一个1；到E点有两类情况，可以从C过来，也可以从D过来，所以在E 点标记1+1="2"；从A到F有一种路径，所以在F点标记个“1”；到B点有两类情况，可以从F过来，也可以从E过来，所以在B点标记1+2="3”。
注意：标数法适用的前提条件为“最短路径”，更通俗来讲，即不能走“回头路”。
下面来看近几年出现过的三道真题。
例1：A、B、Cm地的地图如下图所示，其中A在C正北，B在C正东，连线处为道路。
如要从A地到达B地，且途中只能向南、东和东南方向行进，有多少种不同的走法：【山东2014】A.9B.11C.13D.15楚香凝解析：标数法，共15种，选D例2：从A地到B地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果要以最短距离从A地到达B地，有多少种不同的走法可以选择？【黑龙江2015】A.14B.15C.18D.21楚香凝解析：标数法，共15种，选B例3：下图为某大厦走火通道逃离路线。
某大厦集中所有的人员开展火灾逃生演习，从入口A点出发，要沿某几条线段才到出口F点。
逃离中，同一个点或同一线段只能经过1 次。
假设所有逃离路线都是安全的，则不同的逃离路线最多有（）种。
【广州2015】A.8B.9C.10D.11应闲B 匚『出口楚香凝解析：此题与标数法的区别在于，可以往上和斜上走，所以标数法不再适用，需分类计算；A―D,之后有四种；A—B―D,之后有三种；A—B―C,之后有三种；共10种，选C牛顿台阶问题（斐波那契递推数列）例1：十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走完此楼梯共有多少种方法？A.55B.67C.74D.89楚香凝解析：解法一：列举找规律；阶梯数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10方法数： 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89走到1阶只有1种方法；走到2阶有2种（1+1或直接上2阶）；走到3阶有3种（1+1+1 或1+2或2+1）…依次类推，选D解法二：到达第十阶的前一步只有两类情况：【从第九阶迈一步上来】或者【从第八阶迈两步上来工所以到达第十阶的情况数二（到达第九阶的情况数）+ （到达第八阶的情况数），以此类推，到达某阶的情况数等于前面两个数之和（前两项通过列举得到），由此可得斐波那契递推数列 1、2、3、5、8、13、21、34、55、89,选 D解法三：分类计算；走五次两阶、共五步，有1种；走四次两阶、共六步，选出四步来走两阶，有C （6 4） =15种；走三次两阶、共七步，选出三步来走两阶，有C （7 3） =35种;走两次两阶、共八步，选出两步来走两阶，有C （8 2） =28种;走一次两阶、共九步，选出一步来走两阶，有C （9 1）=9种；走0次两阶，有1种；共 1+15+35+28+9+1=89 种，选 D拓展：十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶或者三阶，请问走完此楼梯共有多少种 方法？A.89B.169C.230D.274楚香凝解析：到达第十阶的情况数=（到达第九阶的情况数）+（到达第八阶的情况数） + （到达第七阶的情况数），以此类推…到达某阶的情况数等于前面三个数之和（前三项通过 列举得到），由此可得斐波那契递推数列如下：阶梯数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10方法数： 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274例2：小璐有8元钱，她准备从明天起，用这8元钱每天买一个冰激淋或者一包果冻吃。
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计数的基本方法——标数法
例1：沿着下图所显示的线段，从A 点到B 点，有多少条最短路线？
例2：沿着下图所显示的线段，从A 点到B 点，有多少条最短路线？ (1)
(2)
F
I
C
A
G
E
B
B
A
A
B
例3：沿下图所示的线段，从A 步行到Z ，但行走方向只能向东或向南，他有多少种不同的行走路线？
例4：如图，求A 到B 沿网格线的最短路线数： （1） 必须经过点C ； （2） 必须经过线段EF ； （3） 不经过点C ； （4） 不经过线段EF ；
例5：按下图箭头所指的方向行走，从A 到达Z 有多少种不同行走路线？
A
Z
A
Z
B
A
C
F
E
本章小结：
1.什么是标数法？
答：在每个点上标记出从起点出发到此点的路线数的一种计数方法。
2.如何使用标数法解决长方形网络图中的最短路线问题？
答：
1.确定标数的方向；
2.将与起点共直线的点上标上数字1；
3.画出每个小方格对角线；
4.把每个小方格内对角线顶点上的两个数字相加，和标记在剩下的那个点上；
2.如何使用标数法解决路线数问题？
答：
1.从某一点出发到另一点只有一条路线的时候，则后点上标记的数字应该和前一点相
同；
2.如果到达某一点必须经过与这个点相邻的两个或几个点时，则该点上标记的数字是能
够到达这一点的相邻的两个或几个点上标记的数字之和。