振动力学第8章第3、4、5节
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大学物理A-CH8-1-4振动1
End
例 8-2 一 质 点 沿 x 轴 作 简 谐 振 动 ， 振 幅 A=0.05m ， 周 期
T=0.2s。当质点正过平衡位置向负x方向运动时开始计时。
1. 写出简谐振动的表达式； 2. t=0.05s时质点的位置、速度和加速度； 3.另一质点和此质点的振动频率相同，但振幅为0.08m,并和此质点反相，写 出这另一质点的简谐振动表达式； 4. 画出两振动的旋转矢量图。
振幅和初相由初始条件决定，有
由于 表达式：
End
所以
§8.2 简谐运动的旋转矢量表示法
一. 简谐振动与匀速圆周运动的对应关系
t时刻：
End
2.旋转矢量法
特点:直观方便.
t
· · a
v o t+ x
t=0 x
End
例 8-2 一 质 点 沿 x 轴 作 简 谐 振 动 ， 振 幅 A=0.05m ， 周 期
另外，频率 v 与周期 T 有如下关系，
End
利用 v 与 T ，简谐振动可表为：
(3) 初相 和相位 ( t + )
① ( t + ) 是 t 时刻的相位
② 是 t =0 时刻的相位 —— 初相(通常取)例:不确定，还 需其他条件
End
③相位差
同相和反相(同频率振动)
x
A1
当 = 2k
求 杆作微小摆动时的周期。 解
End
能量的方法 (t 时刻系统的能量)
（其它步骤同上）
End
作业
P224~227：选6、7
End
根据初始条件则可确定另两个参数 初始条件：
结论：简谐振动的判据为 ——质点受线性回复力作用！
End
例 证明小角度的复摆作谐振动，并求其周期。
例 8-2 一 质 点 沿 x 轴 作 简 谐 振 动 ， 振 幅 A=0.05m ， 周 期
T=0.2s。当质点正过平衡位置向负x方向运动时开始计时。
1. 写出简谐振动的表达式； 2. t=0.05s时质点的位置、速度和加速度； 3.另一质点和此质点的振动频率相同，但振幅为0.08m,并和此质点反相，写 出这另一质点的简谐振动表达式； 4. 画出两振动的旋转矢量图。
振幅和初相由初始条件决定，有
由于 表达式：
End
所以
§8.2 简谐运动的旋转矢量表示法
一. 简谐振动与匀速圆周运动的对应关系
t时刻：
End
2.旋转矢量法
特点:直观方便.
t
· · a
v o t+ x
t=0 x
End
例 8-2 一 质 点 沿 x 轴 作 简 谐 振 动 ， 振 幅 A=0.05m ， 周 期
另外，频率 v 与周期 T 有如下关系，
End
利用 v 与 T ，简谐振动可表为：
(3) 初相 和相位 ( t + )
① ( t + ) 是 t 时刻的相位
② 是 t =0 时刻的相位 —— 初相(通常取)例:不确定，还 需其他条件
End
③相位差
同相和反相(同频率振动)
x
A1
当 = 2k
求 杆作微小摆动时的周期。 解
End
能量的方法 (t 时刻系统的能量)
（其它步骤同上）
End
作业
P224~227：选6、7
End
根据初始条件则可确定另两个参数 初始条件：
结论：简谐振动的判据为 ——质点受线性回复力作用！
End
例 证明小角度的复摆作谐振动，并求其周期。
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
《振动》学习课件
旋转矢量转动过程所用的时间：
t 5s 6
x=0.12cos( t )m
3
2
3
A o
x
2
这就是谐振动质点从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回
到平衡位置所需的最短时间。
18
例5: 质点作谐振动, t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B
点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动
x0 2m, υ0 2 2m / s, 求振动方程。
解：
2 2,
T
A
x02
2 0
2
2,
arctan( 0 ) arctan(1) x0
且 x0<0, 0<0
显然 在第2象限 + 3
4
4
代入：x =Acos( t+ ) x 2cos(2t 3 )m
4
8
2. 旋转矢量法(几何表示法)
x0 =Acos v0 = - Asin
6
x0 =Acos v0 = - Asin
于是可求得：
A
x02
2 0
2
arctan( 0 ) x0
Ⅱ
x0<0, 0<0
x0<0,0>0
Ⅲ
注意！
Ⅰ
x0>0, 0< 0
x0>0, 0>0
Ⅳ
学会根据x0和0的正负正确判断 所在象限，如图期T=s, t=0时，
位置：x =Acos( t+ ) 速度： Asin(t )
• ( t+ )=0, x=A,=0 ——正最大 • ( t+ )=+/2, x=0, < 0 ——平衡位置 • ( t+ )= , x= -A, =0 ——负最大 • ( t+ )= 3/2, x=0, > 0 ——平衡位置 • ( t+ )=2 , x=A, =0 ——正最大
t 5s 6
x=0.12cos( t )m
3
2
3
A o
x
2
这就是谐振动质点从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回
到平衡位置所需的最短时间。
18
例5: 质点作谐振动, t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B
点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动
x0 2m, υ0 2 2m / s, 求振动方程。
解：
2 2,
T
A
x02
2 0
2
2,
arctan( 0 ) arctan(1) x0
且 x0<0, 0<0
显然 在第2象限 + 3
4
4
代入：x =Acos( t+ ) x 2cos(2t 3 )m
4
8
2. 旋转矢量法(几何表示法)
x0 =Acos v0 = - Asin
6
x0 =Acos v0 = - Asin
于是可求得：
A
x02
2 0
2
arctan( 0 ) x0
Ⅱ
x0<0, 0<0
x0<0,0>0
Ⅲ
注意！
Ⅰ
x0>0, 0< 0
x0>0, 0>0
Ⅳ
学会根据x0和0的正负正确判断 所在象限，如图期T=s, t=0时，
位置：x =Acos( t+ ) 速度： Asin(t )
• ( t+ )=0, x=A,=0 ——正最大 • ( t+ )=+/2, x=0, < 0 ——平衡位置 • ( t+ )= , x= -A, =0 ——负最大 • ( t+ )= 3/2, x=0, > 0 ——平衡位置 • ( t+ )=2 , x=A, =0 ——正最大
振动力学［PDF］
第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
振动力学4.4
n值取决于精度要求，n越多精度越高，但同时也带来计算量 越大，i (x)
i 1,2,...,n 是系统的实际模态函数，计算时以假设
模态近似，满足部分或全部边界条件，n越大， i (x) 越接近真实
的模态，解的精度越高。 用假设模态法可以建立由有限个广义坐标表示的动力学方程。
二、广义坐标的动力学方程
d L L Qi dt qi qi
i 1,2,...,n
1 1 T l 1 T 1 T q Mq qT Kq q Mq q Kq 0 f ( x, t )i ( x)dx F (t )i ( xc ) 2 2 2 qi 2
对于有集中质量和弹性支承的情况有
1 l 1 T l ( x) 2 ( x)dx m 2 ( xb ) 2 0 2
*
Vmax
2 1 l 1 1 2 ' ( xb ) k2 2 ( xa ) EI ( x) "( x) dx k1 2 2 0 2
j
k ij q j Qi
i 1,2,...,n
矩阵形式
Mq Kq Q
方程显然与集中质量法求法（解法）不同，
结果形式相同，即都离散为一个有限自由度系统。
例题：
变截面圆轴一端自由，一端固定，如图截面的极惯性
矩 I ( x) I 0 (1 x ) ，求轴扭转振动的前两阶固有频率。
1 a (1) 0.0681
0.1995 a ( 2) 1
( x) a T
x
2l 3x 2l
1 2
3x 1 ( x) sin 0.0681 sin 2l 2l
大学物理 第八、九章
设振子系统作用前后的角频率振幅和运动速度分别为av和av000作用瞬间水平方向上动量守恒mvmmv001振子在最大位移处发生作用kv000m质量为m的物体落到振子上一起振动则0k显然0mm0mvv00mm02922v2ax0a2a00w1212振动能量ekaka0e0所以振动能量不变222振子在平衡位置处发生作用kva0000m物体落到振子上发生作用后
解: 设运动学方程为
x/cm
x = Acos(ωt + ϕ ) 6 3
先求ϕ和ω，由图知A=6cm，
0
t=0时，x0=6cos ϕ =-3cm
-3
所以cos ϕ =-1/2， ϕ = 2 π或 4 π
33
1.5 t/s
根据初速度为正， ϕ只能取 4 π （用数学方式或弹簧振子）
3 再根据t=1.5s时，x=3cm，求ω （用周期也可以求）。即
a
T t
>0 >0 加速
12
初始条件：
x(t)=Acos(ω t+ ϕ)
t=0， X0=Acos ϕ -V0/ω=Asin ϕ
13
§8.1 简谐振动的数学描述
例8.1：一个弹簧振子沿x轴做简谐振动，其周期为T=0.5s，
在t=0时刻物体对平衡位置的位移为x0=0.05m，速度为V0=0.628m/s，写出此简谐振动的表达式。
x2 x1
同相
T t
x1
反相
T t
x2
10
• 超前和落后
若∆ϕ = ϕ 2-ϕ 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大，
称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。
x A1
A2 o - A2
x2 x1 t1 t2
解: 设运动学方程为
x/cm
x = Acos(ωt + ϕ ) 6 3
先求ϕ和ω，由图知A=6cm，
0
t=0时，x0=6cos ϕ =-3cm
-3
所以cos ϕ =-1/2， ϕ = 2 π或 4 π
33
1.5 t/s
根据初速度为正， ϕ只能取 4 π （用数学方式或弹簧振子）
3 再根据t=1.5s时，x=3cm，求ω （用周期也可以求）。即
a
T t
>0 >0 加速
12
初始条件：
x(t)=Acos(ω t+ ϕ)
t=0， X0=Acos ϕ -V0/ω=Asin ϕ
13
§8.1 简谐振动的数学描述
例8.1：一个弹簧振子沿x轴做简谐振动，其周期为T=0.5s，
在t=0时刻物体对平衡位置的位移为x0=0.05m，速度为V0=0.628m/s，写出此简谐振动的表达式。
x2 x1
同相
T t
x1
反相
T t
x2
10
• 超前和落后
若∆ϕ = ϕ 2-ϕ 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大，
称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。
x A1
A2 o - A2
x2 x1 t1 t2
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f 0 f 0 0 f x0 , x x x (8.4-6) x x 2 f0 2 f0 2 1 2 f0 2 2 x 2 x 2 x x 2! x xx x
2 2 2 x0 0 x0 x1 0 x1 2 x2 0 x2
基本的摄动方法
摄动方法是针对所谓弱非线性系统的渐近的 解析法，也称为小参数法，它是求解非线性振动 方程最有效的方法之一，是由庞加莱和李亚普诺 夫所拟定、在解决各种问题时广泛应用的方法， 其基本做法是把解展开成小参数 的幂级数，以 寻求满足一定误差要求的渐近解。 求解非线性振动的摄动法中有各种渐近的解 析方法，包括基本摄动法和各种奇异摄动法。奇 异摄动法主要包括林斯泰特法和KBM法等。非线 性振动的许多特性都可以用摄动渐近解描述出来。
8.3 自激振动 极限环
极限环或自激振动是一种非线性现象。
工程中有很多自激振动的实例，如钟表的摆、 干摩擦自振、输电线舞动、管内流体喘振、机翼 的颤振、机床颤振和车轮制动闸瓦的尖叫声等。
经典的皮带问题如图8.3-1(a)所示，皮带以等 速v移动，在适当条件下，此质量-弹簧系统可能 为动力不稳定；图8.3-1(b)表示棒在稳定流场中的 可能振动。
自激振动是一种特殊的周期运动，它的振幅 和频率由系统的物理参数唯一确定，与初始运动 状态无关。
因此自激振动在相平面内的相轨迹是孤立的 封闭曲线，庞加莱 (Poincare) 称此闭轨迹为极限 环。 在封闭曲线周围布满了螺线型的相轨迹逐渐 地趋近极限环，它们或者盘向极限环，或者盘向 奇点。
极限环又有稳定的和不 稳定之分。如果极限环两侧 的相轨线都趋近于它，既当 相点由于扰动偏离极限环后， 即沿新的相轨迹运动，若扰 动后的相轨迹仍渐近地贴近 极限环，则称极限环是稳定 的如图8.3-5中的M2。
图 8.3-5
反之，若扰动后的相轨迹远离极限环，其中 只要有一侧的相轨线是离开极限环的，则这样的 极限环称为不稳定的，如图8.3-5中的M1和M3。
不稳定的极限环是实际系统不能实现的运动， 它是用几何作图法画不出来的。稳定的极限环对 应于系统的稳态周期运动，即自激振动。 自激振动在各种技术问题中占有极重要的地 位，因此确定极限环的存在及其稳定性就成为非 线性自治系统理论中的一个重要问题。从上面的 定性分析可知，极限环的存在是明显的，但是对 于一个给定的系统要想从理论上证实极限环的存 在并具体地找到该极限环却是困难的。在很多情 况下，问题的解决还是要借助于图解法。
解：蒸汽机的活塞、 连杆和飞轮组成了振动 系统，锅炉供应的蒸汽 为恒定能源，配汽阀为 调节器。
图 8.3-3
蒸汽推动活塞，并通过连杆带动飞轮转动， 同时使配汽阀移动以改变进汽方向，使蒸汽朝相 反的方向推动活塞。活塞在蒸汽的往复推动下的 运动带动飞轮作持久的转动。
2. 自激振动的特征
(1)振动过程中，存在能量的输入与耗散，因 此自振系统为非保守系统。 (2)能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即 振动系统的位移和速度的调节，因此自振系统不 显含时间变量，为自治系统。 (3)振动的特征量，如频率和振幅，由系统的 物理参数确定，与初始条件无关。 (4)自治的线性系统只能产生衰减自由振动， 无耗散时也只能产生振幅由初始条件确定的等幅 自由振动。因此自振系统必为非线性系统。
把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的左端，有 2 2 2 2 x 0 x x0 x1 x2 0 x0 x1 x2 (8.4-5) , 因为 f x, x 把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的右端的 f x, x 0 的邻域展成 是解析函数，故可将它在母解 x0 , x 泰勒级数，即 f x0 x, x 0 x f x, x
2 2 2 2 x x x x x 0 0 0 1 0 1 2 0 x2
(8.3-3) (8.3-4)
它导致特征方程
2 1 0
有根
2 1 1 2 2 2
(8.3-5)
当 >2 时根 1 与 2 都是正实数，所以原点是 不稳定结点。另一方面，当 <2 时根 1 与 2 是具 有正实部的共轭复数，所以这个原点是不稳定焦 点。不管怎么样，原点是不稳定平衡点，而在它 邻域内开始的任何运动趋向于离开这个邻域而达 到极限环。 为得到轨迹的方程，把式(8.3-2)的第二式除 以第一式，结果有
x2 , 则方程(8.3-1)可以用两个一 令 x x1 , x 阶微分方程来代替 1 x2 , x 2 x1 1 x12 x2 0 x (8.3-2)
显然，原点是一个平衡点。为了了解这个平衡点 的性质，列出下面线性化系统的系数矩阵
0 1 a 1
一个具有极限环系统的经典例子是范德波振 子。这个例子可以说明极限环的一些性质。 范德波振子是由下面的微分方程所描述，即
x0 x x 2 1 x
0
(8.3-1)
上式可认为是一个具有可变阻尼的振子。确实, x 2 1 这一项可以看成一个与振幅相关的阻尼 系数。对于|x|<1这个系数是负的，而对|x|>1它是 正的。因此当运动在|x|<1的范围内时负阻尼有助 于增加振幅，而当|x|>1时正阻尼有助于减小振幅 ，所以预期会有极限环而且确实得到了极限环。
2 2 2 f f f f f0 2 1 1 2 0 0 0 2 0 2 1 1 x2 x x1 x1 x x 2 2 x 2! x xx 2! x x
(8.4-8)
将式(8.4-5)和式(8.4-8)同时代入式(8.4-2)得到
最后，必须指出，对于呈现有极限环的系统， 在其原点周围用线性化分析是不适当的。
对于 >0 的情况线性化分析会判定不稳定， 其运动要无限增大。控制振幅大小的是非线性 , 2 。在这种情形，恰当的线性化必须在极限 x 即 x 环的附近，这样会得出一个带有周期性系数的线 性系统。
8.4
图 8.3-1
这些例子说明：一个非线性系统在一个常数激励 作用下，可能产生周期振动。
1. 自激振动 所谓的自激振动是系统内部的非振动的能量 转换为振动的激励而产生的振动。 对于自激振动可以做如下的物理解释：
存在一个与系统有关的外部恒定的能源，自激 振动靠系统外部的来源补充能量，使运动的系统与 恒定能源之间产生交变力，这个交变力在运动方程 中体现为阻尼项。当系统振动较小时，方程中的阻 尼项成为负阻尼，使系统周期性地从恒定能源吸收 能量而使运动增长；当运动增长到一定程度，方程 中的阻尼项成为正阻尼而使运动衰减。当系统在一 个周期内损失的能量和吸入的能量相等时，系统呈 现稳态的周期运动。这种的稳态周期运动就称为自 激振动，或简称自振。
方程(8.4-2)的解除了依赖于时间t还依赖于小 参数，通常方程(8.4-2)没有精确解，根据庞加莱 展开定理，解 x(t,) 可以展开为 的幂级数的形式， 即
xt , x0 t x1 t x2 t
2
(8.4-4)
式中函数xi(t)( i 0,1,2, )为各阶渐近解，是时 间 t的函数而与 无关。 x0(t) 是方程 (8.4-2) 当 =0 时 的解，即方程(8.4-3)的解，称为零次渐近解或母 解。
如果f中不显含时间t，则得到弱非线性自治方程
2 0 x x f x, x
(8.4-2)
设有弱非线性自治系统由微分方程 (8.4-2) 所 描述。当=0时，此方程成为
2 x 0 x 0
(8.4-3)
这是大家所熟知的最简单的无阻尼单自由度线性 振动问题，0为固有频率。
描述物理系统的微分方程，可分为一部分只 包含常系数的线性项，另一部分与前者相比是微 小的非线性项 (自治的或非自治的 )，其微分方程 为如下形式
x f x, x ,t x
2 0
(8.4-1)
解析的非 式中为一个小参数，函数f是关于x和x 线性函数，也可以与时间t有关。这样的系统称为 弱非线性系统，相应地方程 (8.4-1)称为弱非线性 方程，使系统成为非线性的微小项称为摄动项。
dx2 x1 2 1 x1 dx1 x2
(8.3-6)
要求得上式的一个封闭解是不可能的。
轨线可以用某种图解方法来求得，例如用等 倾线法，或者用计算机摸拟。图 8.3-6 给出了对 =0.2和=1.0的值用计算机摸拟求得的极限环。
图 8.3-6
从图8.3-6显然可见极限环的形状决定于参数 。事实上，当 0 极限环趋于一个圆。因为所 有轨迹不论从外面或从里面都趋近于极限环，所 以这极限环是稳定的。 注意到，当 <0 时得到的是一个不稳定极限 环，而这个极限环是轨道不稳定的；当 >0 时则 是轨道渐近稳定的。 可见，一个稳定的极限环包围一个不稳定平 衡点，而一个不稳定极限环包围了一个稳定平衡 点。
(5)自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗 散的相互关系。若振幅偏离稳态值时，能量的增 减能促使振幅回至稳态值，则自激振动稳定 ( 图 8.3-4a)。反之，自激振动不稳定(图8.3-4b)。
图 8.3-4
3. 极限环 自激振动是稳态的周期性运动，所以它在相 平面上的相轨线构成一条封闭的轨迹，相平面内 的封闭相轨迹与实际系统的周期运动相对应。保 守系统在稳定平衡位臵附近的等幅自由振动对应 于相平面内围绕中心奇点的封闭相轨迹族，在密 集的封闭相轨迹族中，实际相轨迹的振幅由初始 运动状态确定。
式中 2 2 2 x x1 x2 , x x1 x
f 0 x
(8.4-7)
是指
f x, x x 在
2 2 2 x0 0 x0 x1 0 x1 2 x2 0 x2
基本的摄动方法
摄动方法是针对所谓弱非线性系统的渐近的 解析法，也称为小参数法，它是求解非线性振动 方程最有效的方法之一，是由庞加莱和李亚普诺 夫所拟定、在解决各种问题时广泛应用的方法， 其基本做法是把解展开成小参数 的幂级数，以 寻求满足一定误差要求的渐近解。 求解非线性振动的摄动法中有各种渐近的解 析方法，包括基本摄动法和各种奇异摄动法。奇 异摄动法主要包括林斯泰特法和KBM法等。非线 性振动的许多特性都可以用摄动渐近解描述出来。
8.3 自激振动 极限环
极限环或自激振动是一种非线性现象。
工程中有很多自激振动的实例，如钟表的摆、 干摩擦自振、输电线舞动、管内流体喘振、机翼 的颤振、机床颤振和车轮制动闸瓦的尖叫声等。
经典的皮带问题如图8.3-1(a)所示，皮带以等 速v移动，在适当条件下，此质量-弹簧系统可能 为动力不稳定；图8.3-1(b)表示棒在稳定流场中的 可能振动。
自激振动是一种特殊的周期运动，它的振幅 和频率由系统的物理参数唯一确定，与初始运动 状态无关。
因此自激振动在相平面内的相轨迹是孤立的 封闭曲线，庞加莱 (Poincare) 称此闭轨迹为极限 环。 在封闭曲线周围布满了螺线型的相轨迹逐渐 地趋近极限环，它们或者盘向极限环，或者盘向 奇点。
极限环又有稳定的和不 稳定之分。如果极限环两侧 的相轨线都趋近于它，既当 相点由于扰动偏离极限环后， 即沿新的相轨迹运动，若扰 动后的相轨迹仍渐近地贴近 极限环，则称极限环是稳定 的如图8.3-5中的M2。
图 8.3-5
反之，若扰动后的相轨迹远离极限环，其中 只要有一侧的相轨线是离开极限环的，则这样的 极限环称为不稳定的，如图8.3-5中的M1和M3。
不稳定的极限环是实际系统不能实现的运动， 它是用几何作图法画不出来的。稳定的极限环对 应于系统的稳态周期运动，即自激振动。 自激振动在各种技术问题中占有极重要的地 位，因此确定极限环的存在及其稳定性就成为非 线性自治系统理论中的一个重要问题。从上面的 定性分析可知，极限环的存在是明显的，但是对 于一个给定的系统要想从理论上证实极限环的存 在并具体地找到该极限环却是困难的。在很多情 况下，问题的解决还是要借助于图解法。
解：蒸汽机的活塞、 连杆和飞轮组成了振动 系统，锅炉供应的蒸汽 为恒定能源，配汽阀为 调节器。
图 8.3-3
蒸汽推动活塞，并通过连杆带动飞轮转动， 同时使配汽阀移动以改变进汽方向，使蒸汽朝相 反的方向推动活塞。活塞在蒸汽的往复推动下的 运动带动飞轮作持久的转动。
2. 自激振动的特征
(1)振动过程中，存在能量的输入与耗散，因 此自振系统为非保守系统。 (2)能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即 振动系统的位移和速度的调节，因此自振系统不 显含时间变量，为自治系统。 (3)振动的特征量，如频率和振幅，由系统的 物理参数确定，与初始条件无关。 (4)自治的线性系统只能产生衰减自由振动， 无耗散时也只能产生振幅由初始条件确定的等幅 自由振动。因此自振系统必为非线性系统。
把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的左端，有 2 2 2 2 x 0 x x0 x1 x2 0 x0 x1 x2 (8.4-5) , 因为 f x, x 把式(8.4-4)代入式(8.4-2)的右端的 f x, x 0 的邻域展成 是解析函数，故可将它在母解 x0 , x 泰勒级数，即 f x0 x, x 0 x f x, x
2 2 2 2 x x x x x 0 0 0 1 0 1 2 0 x2
(8.3-3) (8.3-4)
它导致特征方程
2 1 0
有根
2 1 1 2 2 2
(8.3-5)
当 >2 时根 1 与 2 都是正实数，所以原点是 不稳定结点。另一方面，当 <2 时根 1 与 2 是具 有正实部的共轭复数，所以这个原点是不稳定焦 点。不管怎么样，原点是不稳定平衡点，而在它 邻域内开始的任何运动趋向于离开这个邻域而达 到极限环。 为得到轨迹的方程，把式(8.3-2)的第二式除 以第一式，结果有
x2 , 则方程(8.3-1)可以用两个一 令 x x1 , x 阶微分方程来代替 1 x2 , x 2 x1 1 x12 x2 0 x (8.3-2)
显然，原点是一个平衡点。为了了解这个平衡点 的性质，列出下面线性化系统的系数矩阵
0 1 a 1
一个具有极限环系统的经典例子是范德波振 子。这个例子可以说明极限环的一些性质。 范德波振子是由下面的微分方程所描述，即
x0 x x 2 1 x
0
(8.3-1)
上式可认为是一个具有可变阻尼的振子。确实, x 2 1 这一项可以看成一个与振幅相关的阻尼 系数。对于|x|<1这个系数是负的，而对|x|>1它是 正的。因此当运动在|x|<1的范围内时负阻尼有助 于增加振幅，而当|x|>1时正阻尼有助于减小振幅 ，所以预期会有极限环而且确实得到了极限环。
2 2 2 f f f f f0 2 1 1 2 0 0 0 2 0 2 1 1 x2 x x1 x1 x x 2 2 x 2! x xx 2! x x
(8.4-8)
将式(8.4-5)和式(8.4-8)同时代入式(8.4-2)得到
最后，必须指出，对于呈现有极限环的系统， 在其原点周围用线性化分析是不适当的。
对于 >0 的情况线性化分析会判定不稳定， 其运动要无限增大。控制振幅大小的是非线性 , 2 。在这种情形，恰当的线性化必须在极限 x 即 x 环的附近，这样会得出一个带有周期性系数的线 性系统。
8.4
图 8.3-1
这些例子说明：一个非线性系统在一个常数激励 作用下，可能产生周期振动。
1. 自激振动 所谓的自激振动是系统内部的非振动的能量 转换为振动的激励而产生的振动。 对于自激振动可以做如下的物理解释：
存在一个与系统有关的外部恒定的能源，自激 振动靠系统外部的来源补充能量，使运动的系统与 恒定能源之间产生交变力，这个交变力在运动方程 中体现为阻尼项。当系统振动较小时，方程中的阻 尼项成为负阻尼，使系统周期性地从恒定能源吸收 能量而使运动增长；当运动增长到一定程度，方程 中的阻尼项成为正阻尼而使运动衰减。当系统在一 个周期内损失的能量和吸入的能量相等时，系统呈 现稳态的周期运动。这种的稳态周期运动就称为自 激振动，或简称自振。
方程(8.4-2)的解除了依赖于时间t还依赖于小 参数，通常方程(8.4-2)没有精确解，根据庞加莱 展开定理，解 x(t,) 可以展开为 的幂级数的形式， 即
xt , x0 t x1 t x2 t
2
(8.4-4)
式中函数xi(t)( i 0,1,2, )为各阶渐近解，是时 间 t的函数而与 无关。 x0(t) 是方程 (8.4-2) 当 =0 时 的解，即方程(8.4-3)的解，称为零次渐近解或母 解。
如果f中不显含时间t，则得到弱非线性自治方程
2 0 x x f x, x
(8.4-2)
设有弱非线性自治系统由微分方程 (8.4-2) 所 描述。当=0时，此方程成为
2 x 0 x 0
(8.4-3)
这是大家所熟知的最简单的无阻尼单自由度线性 振动问题，0为固有频率。
描述物理系统的微分方程，可分为一部分只 包含常系数的线性项，另一部分与前者相比是微 小的非线性项 (自治的或非自治的 )，其微分方程 为如下形式
x f x, x ,t x
2 0
(8.4-1)
解析的非 式中为一个小参数，函数f是关于x和x 线性函数，也可以与时间t有关。这样的系统称为 弱非线性系统，相应地方程 (8.4-1)称为弱非线性 方程，使系统成为非线性的微小项称为摄动项。
dx2 x1 2 1 x1 dx1 x2
(8.3-6)
要求得上式的一个封闭解是不可能的。
轨线可以用某种图解方法来求得，例如用等 倾线法，或者用计算机摸拟。图 8.3-6 给出了对 =0.2和=1.0的值用计算机摸拟求得的极限环。
图 8.3-6
从图8.3-6显然可见极限环的形状决定于参数 。事实上，当 0 极限环趋于一个圆。因为所 有轨迹不论从外面或从里面都趋近于极限环，所 以这极限环是稳定的。 注意到，当 <0 时得到的是一个不稳定极限 环，而这个极限环是轨道不稳定的；当 >0 时则 是轨道渐近稳定的。 可见，一个稳定的极限环包围一个不稳定平 衡点，而一个不稳定极限环包围了一个稳定平衡 点。
(5)自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗 散的相互关系。若振幅偏离稳态值时，能量的增 减能促使振幅回至稳态值，则自激振动稳定 ( 图 8.3-4a)。反之，自激振动不稳定(图8.3-4b)。
图 8.3-4
3. 极限环 自激振动是稳态的周期性运动，所以它在相 平面上的相轨线构成一条封闭的轨迹，相平面内 的封闭相轨迹与实际系统的周期运动相对应。保 守系统在稳定平衡位臵附近的等幅自由振动对应 于相平面内围绕中心奇点的封闭相轨迹族，在密 集的封闭相轨迹族中，实际相轨迹的振幅由初始 运动状态确定。
式中 2 2 2 x x1 x2 , x x1 x
f 0 x
(8.4-7)
是指
f x, x x 在