振动理论及其应用：第4章_多自由度系统振动(d)
多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
第4章多自由度系统振动
坐标X下系统：
MX KX P
坐标Y 下系统：
T T MTY T T KTY T T P
如果恰巧Y 是主坐标： T T MT T T KT 对角阵
2021年3月6日
第4章多自由度系统振动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这样的T 是否存在？如何寻找？
4
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT） 合同。
2021年3月6日
8
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
三自由度系统
振动形式1
振动形式2
振动形式3
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相 同外，随时间变化的规律都相同的运动 。
2021年3月6日
思考：同步振动是不是解耦振动？
9
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
柔度矩阵： F中的元素fij是使系统仅在第 j 个坐标受到单位力 作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移.
柔度矩阵与刚度矩阵的关系： F K 1 FK I
2021年3月6日 位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。 3
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：耦合与坐标变换
小结：作用力方程、位移方程和矩阵
作用力方程 位移方程
MX KXP(t)
XF(PM X )
质量矩阵 ：M 中的元素 mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
刚度矩阵： K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位 位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
汽车振动基础第4章-多自由度
直接法
所谓直接法，就是直接应用动力学的基本定律或定理（列如牛 顿第二定律或达朗贝尔原理）建立系统运动微分方程的方法。以前建 立单自由度和二自由度振动系统的微分方程就是采用了这种方法。这 种方法的特点是：分析比较直观，简便，适用于比较简单的系统。
利用直受力分析
（2） 根据牛顿第二定律建立微分方程
运动方程推导
1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P1 (t ) m1 x1 (c1 c2 ) x 2 c2 x 1 c3 x 3 (k2 k3 ) x2 k2 x1 k3 x3 P2 (t ) m2 x2 (c2 c3 ) x 3 c3 x 2 k3 x3 k3 x2 P3 (t ) m3 x3 c3 x
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法 K kij
对于n 自由度的振动系统，刚度矩阵K为n*n矩阵，具有n*n 个元素 k ij，这些元素称为刚度影响系数。 刚度影响系数 k ij 的定义是使系统的第j个坐标产生单位位 移，而其它的坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力 的大小。
2lm21 lm2 x
m2 m11 m1 4 m2 m21 m12 4
j2
x1 0
1 x 2
x2 1
2lm22 2lm3 x2 lm2 x
m2 m22 m3 4
m22
m3
m1
m2
m12
l
m2 x
l
2 m3 x
注意：1）总是假定 kij 的方向与坐标方向相同，通过静力
平衡方程求得其值的 符号即为 kij 的符号；
第四章(无限自由度系统的振动)ppt课件
( a c o s x b s i n x ) q () t 2 2 2 2 2 c c
x
2
dU1(x1) EA 0 1 dx1 x 0
1
b1 0
u
2
E ,A ,L 2, 2
d Ux (1 ) d Ux (2 ) 1 2 E A E A 1 2 d x d x 1 x 2 x L 0
2 2
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2 2 u (,) x t u (,) x t 1 2 c f(,) x t 2 2 A t x
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
1.固有振动
uxt ( , ) 2 uxt (,) c 2 2 t x
0
0
自由端： M Ip t G
0 x
0
(二) 课堂练习
【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量 M的等 直杆作纵向振动的频率方程。 O
u (,) x t U ()( x q t ) ( a c o s xa s i nx ) ( b c o s t b s i n) t 1 2 1 2 c c
(二) 固有振动
U ( x) ( )2U ( x) 0 c q(t ) 2 q(t ) 0
U (x) a o s xa 1c 2 sin x c c qt ( ) b o s t b t 1c 2 sin
u (,) x t U ()( x q t )
神六设计时便改动了氧气输送管道的
一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。 图 神州五号飞船
4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
振动力学［PDF］
第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
第四章 多自由度体系(自由振动)
第四章多自由度体系无阻尼自由振动主要内容1 多自由度体系的自振振型和自振频率2 振型的正交性3 位移的振型展开和能量的振型展开1 多自由度体系的自振振型和自振频率所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。
当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。
因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。
多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。
因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。
结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：其中[M ]、[K ]为N ×N 阶的质量和刚度矩阵，{u }和{ü}是N 阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N 阶零向量。
上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u }是什么形式时可以满足此式要求。
[]{}[]{}{}0=+u K uM根据前面经验，多自由度体系的振动形式可写为：{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。
ω—简谐振动的频率，θ—相位角。
上式对时间求两次导数可得{}{}{})sin()(θωφ+==t t u u {}{}{})sin()(2θωφω+−==t t u u对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。
对于N 个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N 次方程，由此可以解得N 个根（ω12<ω22<ω32…<ωN 2）。
ωn (n =1, 2, …, N )即为体系的自振频率。
其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T 1=2π/ω1叫基本周期)从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。
按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
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φ(i)T Mφ( j) ij mpi
φ(i
)T
Kφ(
j
)
ij k pi
ij
1 0
i j i j
第 i 阶固有频率：
i
k pi m pi
(i 1n)
2020年12月9日 《振动力学》
φ(i)T Kφ( j) i2φ(i)T Mφ( j)
7
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
多自由度系统： MX KX 0 X Rn M、K Rnn
主模态： i 1~ n
φ(i)
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶主模态
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
另一种模态：正则模态 φ(i) N 定义：全部主质量皆为1的主模态
i 1~ n
mpi φN(i)T MφN(i) 1
• 模态
• 模态的正交性
• 主质量和主刚度ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 模态叠加法
• 模态截断法
2020年12月9日
3
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
小结：固有频率
正定系统： MX KX 0
X Rn M 正定，K 正定
主振动： X φsin( t ) 代入振动方程： (K 2M )φ 0
N
N
i2
固有频率的平方
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
多自由度系统： MX KX 0 X Rn M、K Rnn
主模态
正交性条件：
φ(i
φ(i
)T )T
Mφ( Kφ( j
j) )
ij mpi ij k pi
i 1~ n
将 φ(i) (i 1 ~ n) 组成矩阵 Φ [φ(1) φ(n) ] Rnn
φ有非零解的充分必要条件： K 2M 0 特征方程
2n a1 2(n1) an1 2 an 0 频率方程或特征多项式 最小的固有频率：1为基频。
自由振动的位移方程：FMX X 0 主振动： X φsin( t )
代入，得：
2020年12月9日
(FM I)φ 0
特征方程： FM I 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
当i j 时
φ(i)T Mφ( j) 0 φ(i)T Kφ( j) 0
模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性
当 i＝j 时
主质量 φ(i)T Mφ(i) mpi
主刚度 φ(i)T Kφ(i) k pi
利用 Kronecker 符号：
主模态： i 1~ n φ(i)
第 i 阶主模态
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
正则模态：i 1~ n
φ(i) N
φ(i)T N
MφN(i)
1
第 i 阶正则模态
主质量为1
2020年12月9日 《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
i2
ci
1 m pi
8
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
正则模态的正交性条件：
φN(i)T MφN( j) ij
φN(i
)T
KφN( j)
2
ij i
ij
1 0
i j i j
主模态的正交性条件：
φ(i)T Mφ( j) ij mpi
φ(i
)T
Kφ( j)
ij k pi
第四章
多自由度系统振动
4
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2020年12月9日
2
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率
主振动仅取决于系统的 M 阵、K 阵等物理参数。
因为有：(K i2M)adjB(i ) 0 比较： (K i2M)φ(i) 0
2020年12月9日
adjB(i ) 的任一非零列都是第 i 阶主振动 φ(i)
5
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
• 模态的正交性，主质量和主刚度
模态矩阵
ΦT MΦ diag(mp1,, mpn ) M p ΦT KΦ diag(k p1,, k pn ) K p
主质量矩阵 主刚度矩阵
对角阵
2020年12月9日
10
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
推导： ΦT MΦ diag(mp1,, mpn) M p ΦT MΦ [φ(1) φ(n) ]T M[φ(1) φ(n) ]
若 i j 时，i j 恒成立
模态关于质量的正交性
φ(i)T Kφ( j) 0
当 i＝j 时
模态关于刚度的正交性
2020年12月9日 《振动力学》
φ(i)T Mφ(i) mpi 第 i 阶模态主质量
φ(i)T Kφ(i) k pi 第 i 阶模态主刚度 φ(i) 第 i 阶主模态
(K 2M)φ 0 6
令：φ(i) N
cφi (i)
φ φ M (i)T
(i)
N
N
φ c2 (i)T i
Mφ(i
)
ci2mpi
1
正则模态和主模态之间的关系：
φ(i) N
相对于φN(i) 的主刚度：
2020年12月9日 《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
N
N
1 φ(i)T Kφ(i)
mpi
1 φ(i)
mpi
k pi mpi
φ(1)T
M
[φ(1)
φ(n)T
φ(n) ]
φ(1)T M
[φ(1)
φ(
n)T
M
φ(n) ]
φ(1)T Mφ(1)
φ(1)T Mφ(n)
4
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
小结：模态
特征值问题： (K 2M)φ 0 特征值（固有频率） φ 特征向量（模态）
在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过 程称为归一化 。
φ(i) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态。
i φ(i) j φ( j) 均满足：
Kφ(i) i2 Mφ(i)
Kφ(
j
)
2 j
Mφ(
j
)
转置右乘φ( j) φ 左乘 (i)T
φ(i)T Kφ( j)
φ 2 (i)T i
Mφ(
j
)
φ(i)T Kφ( j)
φ 2 (i)T
j
Mφ(
j
)
两式相减：
(i2
2 j
)φ(i)T
Mφ(
j
)
0
φ(i)T Mφ( j) 0