第四章 多自由度系统振动(a)解析
振动力学第四章
L2
2
m2
y
(x2 , y2 )
能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。
本例202中0年1，月1可9日选(x1, x2 ) 作为广义坐标。 3
本例《振中动力，学》也可选(θ1,θ2 ) 作为广义坐标。
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
k3
0
k3
k3
2020年1月19日 12
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
例3： 直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。
k5
P2(t)
k6
k1
P1(t) k2 m2
m1
k3
P3(t) k4
m3
解： 系统的质量矩阵为：
m1 0 0
[m] 0
5
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
刚度矩阵 [k] 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产 生
单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
kij
Qi
qj qr
1 0(r
1, 2..., n, r
j)
例如
Q1
k11 Q1 k1 k2
k1 1
m1
k21 Q2 k2
m1 0
0
m2
位移向量为：
2020年1月19日 《振动力学》
{x}
结构动力学之多自由度体系的振动问题
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
第四章多自由度系统
j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1
lr
mij
)
u jr usr
lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T
1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
多自由度振动系统分析
多自由度振动系统分析引言：振动是物体在受到外力作用后，由于其固有特性而产生的周期性运动。
在实际生活和工程中，我们经常会遇到各种各样的振动现象，如桥梁的振动、机械系统的振动等。
而多自由度振动系统是一种复杂的振动系统，其分析和研究对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。
一、多自由度振动系统的基本概念多自由度振动系统是指由多个质点组成的振动系统，每个质点都可以在空间中自由运动。
在这种系统中，每个质点都有其自身的质量、刚度和阻尼等特性。
多自由度振动系统的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到，其中包括了每个质点的加速度、速度和位移等信息。
二、多自由度振动系统的分析方法1. 模态分析模态分析是一种常用的多自由度振动系统分析方法。
它通过求解系统的特征值和特征向量，得到系统的固有频率和振型。
在模态分析中，我们可以利用拉格朗日方程对系统进行建模，并通过数学方法求解得到系统的模态参数。
模态分析可以帮助我们理解系统的固有特性，如共振频率、振动模态等。
2. 频域分析频域分析是一种基于傅里叶变换的多自由度振动系统分析方法。
通过将系统的运动方程转化为频域中的复数形式，我们可以得到系统在不同频率下的响应。
频域分析可以帮助我们研究系统在不同频率下的振动特性，如频率响应函数、频谱等。
3. 时域分析时域分析是一种基于时间的多自由度振动系统分析方法。
它通过求解系统的运动方程，得到系统在不同时间下的响应。
时域分析可以帮助我们研究系统的动态特性，如振动幅值、振动周期等。
三、多自由度振动系统的应用多自由度振动系统的分析和研究在工程领域有着广泛的应用。
例如，在桥梁工程中，我们需要对桥梁的振动特性进行分析，以确保桥梁在自然灾害或车流等外力作用下的安全性。
在机械工程中，我们需要对复杂机械系统的振动进行分析，以减少系统的振动噪声和提高系统的稳定性。
此外，多自由度振动系统的分析方法还可以应用于建筑结构、航空航天等领域。
结论：多自由度振动系统的分析对于我们理解振动现象的本质和设计工程中的振动控制至关重要。
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
船体振动智慧树知到答案章节测试2023年华中科技大学
绪论单元测试1.要产生振动，需要（）。
A:时变作用B:空气C:弹性D:质量答案:ACD2.属于振动的是（）。
A:敲鼓B:钟摆C:心脏搏动D:说话时的声带答案:ABCD3.已知船体结构的动态特性，计算在输入作用下的输出。
属于（）。
A:系统识别B:响应分析C:环境预测D:系统设计答案:B4.在已知外界激励下设计合理的船体系统参数，使系统的动态响应或输出满足要求。
属于（）。
A:系统识别B:响应分析C:系统设计D:环境预测答案:C5.已知系统的输入和输出，求出船体系统的参数。
属于（）。
A:系统识别B:系统设计C:环境预测D:响应分析答案:A6.在已知系统的响应和系统参数的条件下，预测系统的输入。
属于（）。
A:系统识别B:系统设计C:环境预测D:响应分析答案:C第一章测试1.在下图所示的结构中小球质量为m，梁的质量忽略不计，梁的长度为L，截面惯性矩为I，材料的弹性模量为E。
若要使小球的自振频率ω增大，可以（）。
A:增大IB:减小EC:增大mD:增大L答案:A2.如图a所示，梁的质量忽略不计，小球的自振频率；若在小球处添加刚度为k的弹簧，如图b所示，则系统的自振频率ω1为：（）。
A:B:C:D:答案:D3.单自由度系统自由振动的幅值仅取决于系统的（）。
A:固有频率B:质量C:初速度和初位移D:刚度答案:C4.已知某单自由度系统质量为m，刚度为k，阻尼系数为c，阻尼因子为ξ。
若令系统刚度为4k，则下列说法正确的是（）。
A:新的阻尼因子为1/2 ξB:新的阻尼因子为1/4 ξC:新的阻尼系数为1/2 cD:新的阻尼系数为1/4 c答案:A5.单自由度系统只有当阻尼比时，才会产生振动现象。
（）A:ξ<1B:ξ≤1C:ξ>1D:ξ=1答案:A6.已知结构的自振周期T=0.3s，阻尼比ξ=0.04，质量m在y0=3mm，v0=0的初始条件下开始振动，则至少经过个周期后，振幅可以衰减到0.1mm以下。
（）A:14B:13C:12D:11答案:A7.速度导纳的单位是（）。
多自由度系统振动理论及应用
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
上一页
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2020年10月30日 <<振动力学>>
M 2 (t)
I 22
11
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
k 33
M 1 (t )
I11
M 2 (t)
I 22
建立方程： 矩阵形式：
II2112
k11 k 2 ( 2
2020年10月30日
5
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程 • 刚度矩阵和质量矩阵 • 位移方程和柔度矩阵 • 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 • 耦合与坐标变换
2020年10月30日
6
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k2 k2 k3
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
例2：
I1
0
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
可统一表示为： M X K X P(t) 作用力方程
质 加 刚位 激
量 速 度移 励
矩 度 矩向 力
阵 向 阵量 向
量
量
P2(t)
k2
k3
m2
m1 0
0
m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
k 1
M 1 (t )
k 2
M 2 (t)
I1
k 3 I2
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k 3
1
2
M 1 (t ) M 2 (t)
车、人、车轮的质量分别考 虑，并考虑各自的弹性和阻尼。
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮之间的相互耦合，模 型较为精确.
m人
k1
c1
m车
k2
c2
mm轮
k3
c3
k2
c2
m轮
k3
c3
2020年10月30日
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
4
<<振动力学>>
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2020年10月30日
的相互影响。
2
<<振动力学>>
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
k2 建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各 自的弹性和阻尼。
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；
缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。
2020年10月30日 <<振动力学>>
c2
3
多自由度系统振动
建模方法3：
P1(t)
P2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
建立方程：
m1x1
m2 x2
mm12xx12kk12x(1x1
k2 (x1 x2 )
x2 ) P1(t) k3x3 P2 (t
)
力量纲
矩阵形式：
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
• 作用力方程
几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
m2
试建立系统的运动微分方程
2020年10月30日
7
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
P1(t)
x1 P2(t)
x2
k1
k2
k3
m1
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
2020年10月30日
14
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
n 个自由度系统:
M X K X P(t) X [x1, x2 ,..., xn ]T Rn
广义坐标列向量
m11...m1 j ...m1n
M
m21.
k 2
(1 2 ) 1 ) k33
M1 (t) M 2 (t)
I1
0
0 I2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 M 2
(t ) (t)
坐标间的耦合项
2020年10月30日
12
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
k1 m1
M 2 (t)
I1
I2
试建立系统的运动微分方程
2020年10月30日
10
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标： 受力分析：
设某一瞬时： 角位移 1, 2
k 11
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 1 (t )
M 2 (t)
I1
I2
k 2 (2 1)
角加速度 1 ,2
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的
2020年10月30日
13
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：
例1：
m1 0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
m2
建立坐标： x1、x2 的原点分别取在 m1、m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移 x1、x2
受力分析：
加速度 x1、x2
P1(t)
P2(t)
k1x1
k2(x1-x2) k2(x1-x2)
k3x2
m1
m2
2020年10月30日 <<振动力学>>
m1x1
m2 x2
8
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
.
.m2
j
.
..m2
n
.....................
mn1...mnj ...mnn
nn
质量矩阵第 j 列
2020年10月30日 <<振动力学>>
k11...k1 j ...k1n
K
k21...k2 j ...k2n
第四章
多自由度系统振动
1
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。 m
k
c
要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。
分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。
建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。 优点：模型简单；
缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间
x1
x2
P1(t)
P2
(t
)
坐标间的耦合项
2020年10月30日
9
<<振动力学>>
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
例2：转动运动
两圆盘 外力矩 M1(t), M 2 (t) 转动惯量 I1, I2
轴的三个段的扭转刚度 k1, k 2 , k 3
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )