基于偏微分方程的图像修复
图像修复毕业论文正稿
摘要随着计算机的普及和数字图像技术的广泛应用，数字图像处理技术已成为计算机视觉领域的一个研究热点。
图像修复是图像处理的重要组成部分，是对图像中的受损区域进行信息填充的过程，其目的是恢复受损的图像，并使观察者无法察觉图像曾经缺损或已被修复。
目前，图像修复算法根据待修复区域的大小，可以分为两类，即基于偏微分方程(PDE)的图像修复和基于纹理的图像修复。
Bertalmio等人把偏微分方程引入了图像修复领域，其基本思想是根据物理学息扩散原理来完成受损区域的修复，当受损区域较小时，修复效果很好，没有任何修复痕迹，但当受损区域较大时，会出现模糊效应。
因为这个缺点，基于纹理的图像修复逐渐成为该领域的主流算法，吸引了众多学者进行研究，该类算法不论对受损区域较大还是较小时都能取得很好的效果。
本文重点研究了Criminisi算法，在Criminisi算法的基础上，对模板大小、优先权计算方式、最佳匹配块的寻找等进行了改进。
论文考虑模板边缘像素点的梯度信息，提出了自适应模板大小策略，以判断能否扩展，从而适应不同的纹理图像；同时对优先权的计算方式进行了改进，考虑了周边信息，引入相关项，同时为置信度、数据项和相关项分配相应权重，避免了单一乘法带来的缺陷；引入颜色直方图以改进最佳匹配块的寻找，颜色直方图定义了图像或图像中区域的颜色分布，并且颜色直方图具有旋转不变性和缩放不变性等。
通过两个模块间颜色直方图的相交距离，从整体上考虑两个模块的相似性，从而减少错误匹配的概率。
最后通过对不同类型，包括纹理较丰富，结构较复杂，曲线较多的图片进行仿真实验，并与Criminisi算法和Sun等算法进行对比，说明了改进算法的有效性。
关键词：Criminisi，纹理合成，优先权，颜色直方图DOC格式.ABSTRACT4. A novel truncation spurious free DDFS structure and algorithm is proposed. By introducing a comparator and an adder into the traditional DDFS architecture, the sine lookup table can be compressed without significant hardware change in the design to eliminate the truncation spurs without increasing the size of the lookup table.Keywords: frequency synthesis, phase noise, spurious, frequency hopping DOC格式.目录第一章绪论 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2国外研究现状 (2)1.3本论文的结构安排 (2)第二章数字图像修复算法及模型 (7)2.1 图像的基础知识 (7)2.2 图像修复的问题描述 (10)2.3 基于偏微分方程的图像修复 (16)2.3.1 BSCB模型及原理 (20)2.3.2 TV模型及原理 (20)2.3.3 CDD模型及原理 (22)2.4 基于纹理合成的图像修复 (16)2.4.1 非参数采样纹理合成..................... 错误!未定义书签。
一种改进的基于PDE的图像修复方法
上海交通大学硕士学位论文
类似于灰度图像的做法,当分别作出从Vr , Vg , Vb 到[0,1]的一一映射后,可以得到彩色图 像的连续模型 u : x ∈ Ω → [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] ⊂ R3 而如果Ω被空间采样,Vr , Vg , Vb 被度量化为[0, 1, 2, · · · 255]后,我们可以得到彩色图像的 离散模型: u : (x1 , x 2 ) → G × G × G
这样我们建立了图像的函数模型， 即 u : x ∈ Ω → [0, 1] (2)灰度图象的离散模型： 计算机只能接受和处理离散数据，一幅图像必须要在空间和灰度上离散化才能被计 算机处理。这种离散化了的图像就是数字图像， 相应的过程称为图像的离散化其中 空间坐标的离散化称为空间采样 ， 而灰度的离散化称为灰度量化。 空间采样就是把图像支持集合Ω离散化为一些按行和列整齐排列的小方块。当我 们把图像局部放大就比较容易发现 这些小方块，他们被称为像素（pixel)，在同一幅 图像中， 像素的大小是相等的。 如果Ω被离散化为H 行和W 列，那么整个图像包含了大小相等的W × H 个像素。 我们假设最左下角的那个像素坐标 记为（0，0） ，那么图像中每个像素都有一个离散 的整数坐标(x1 , x2 ) ，0 ≤ x1 ≤ W − 1，0 ≤ x2 ≤ H − 1,在离散 的图像中，每个像素 都被赋予一个唯一的灰度值，记为u(x1 , x2 )。一幅图像经过离散化过程之后，我们就 –2– (1.3)
1
上海交通大学硕士学位论文 1.1.2 静态灰度图象的数学模型
(1) 静态灰度图象的连续模型 一般来说,一幅静态灰度图象(如黑白照片)是一个定义在矩形区域内反映现实场景的 灰度变化的组合. 其中现实图像内容的那个区域被称为图像的支撑集(support)。 假 设图像的支撑集为Ω ⊂ R2 图像u的物理模型是定义在Ω上的一个映射， 即 u:Ω→V (1.1)
基于偏微分方程的图像修补方法
基于偏微分方程的图像修补方法赵恒军;牛艳霞【摘要】根据最小能量化泛函所建立的图像修补模型可以得到其欧拉方程.把该欧拉方程所对应的梯度下降流作用于需要修补的图像,当偏微分方程的解稳定时,此时的解就是修补后的图像.基于该原理建立了一个图像修补方程,并实现了此图像修补算法.从这个修补方法的修补效果可以看到,修补后的图像具有良好的光滑性.【期刊名称】《河南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(022)001【总页数】3页(P60-62)【关键词】图像修补;偏微分方程;变分法;梯度递减【作者】赵恒军;牛艳霞【作者单位】河南工程学院数理科学系,河南,郑州,451191;中原工学院理学院,河南,郑州,450007【正文语种】中文【中图分类】TP391数字图像修补近年来已经成为数字图像处理的研究热点之一.图像修补技术是针对图像中遗失或者损坏的部分，利用未被损坏图像的信息，按照一定的规则填补，使修补后的图像接近或达到原图的视觉效果.图像修补的建模过程一般依赖于Helmholtz最佳猜测原理[1].但从数字角度来看，图像修补是一个病态问题，因为没有足够的信息可以保证能唯一正确地恢复被损坏区域，所以图像修补绝不是简单的图像插值问题.人们从视觉心理学角度进行分析，提出了各种假设限定来解决这个问题.Bertalmio，Sapiro，Caselles Balleste在文献[2]中首先将数字图像修补作为一个研究课题正式提出来.目前所出现的图像修补方法主要有非线性滤波方法，贝叶斯方法，小波和谱分析方法以及主要基于纹理突袭的学习生长方法和统计方法.除了上述提到的经典方法外，近年来很多研究人员将偏微分方程模型和变分模型用于图像修补研究.用变分和偏微分方程方法处理图像使得能够在连续域中分析图像，从而简化问题，否则只能依赖点阵和各向同性算子分析图像.在连续域中，可以将偏微分方程看作是在无限小邻域内迭代的局部滤波器，利用对偏微分方程的这种解释，可以将许多已知的迭代滤波器联合并分类，从而推出新的基于偏微分方程的图像修补模型.变分和偏微分方程方法的另一个优点是能够利用数值偏微分方程获得快速、准确、稳定的解.1 基于偏微分方程的图像修补原理图像处理中的一些重要的偏微分方程大多和热方程以及扩散强度相联系，并且可以利用各种算子建立相应的偏微分方程，比如可以从演化方程(如经典Snake模型[3])的导数中得到，也可以从求解变分问题中获得，此时的基本思想是最小能量化泛函. 大量用于图像处理的偏微分方程都是根据最小能量化泛函得到的，下边先介绍一个关于变分法的经典结果.给定一个一维函数u(x)∶[0，1]→R,并且有边界条件： u(0)=a, u(1)=b，这里又给定另一个函数F∶R2→R.定义能量模E：此时的问题是：求使该能量模最小的u的取值.根据微积分知识，可以得到：(1)该式是能量函数E(u)取得极值的必要条件，此即为一维变分问题的欧拉方程.类似地，对于能量形式：也可以得到其欧拉方程：(2)同样，可得到二维问题的欧拉方程：给定二维函数u(x,y)∶Ω→R, Ω∈R2,以及其能量函数E,这里：则其欧拉方程为：(3)例如，设F=ρ(|u|), 这里ρ(r)∶R→R是给定的函数，u是u的梯度.即：则其欧拉方程为：即：(4)对于特殊情形ρ(r)=r2,因为ρ′(r)=2r,则此时(4)式即为 div(u)，即△u=0,这里△表示拉普拉斯算子.由以上可知, 根据最小化能量泛函的思想可以得到其欧拉方程，而此欧拉方程即为能量泛函取得最小值的必要条件.现在的问题是如何求出该欧拉方程的解，也就是如何去求解方程E′(u)=0,从而求得使能量泛函E(u)取得最小值时的u的取值.对于如何求解该方程，一般情况下直接求解是很困难的，甚至可以说是不可能的.现在给出一个比较可行的求解欧拉方程的技巧.首先给定一个初值u0, 再引进一个辅助的时间参数t, 然后来求偏微分方程的数值解.随着t的增长，当该方程达到稳定状态，即时的解u就是我们要找的方程E′(u)=0的解.这个技巧称为梯度递减(Gradient descent).不过在利用这种技巧前，常常需要解决一些问题.例如，这个偏微分方程的解是否唯一？它的解是否依赖于初值条件？当然，在能量非凸的情况下，这个解将会很大程度地地依赖于初值u0.总之，基于偏微分方程的图像修补可以看做是这样一个过程：根据图像修补模型(建立的能量泛函)，可以得到其欧拉方程，再把该欧拉方程所对应的梯度下降流作用于需要修补的图像(称它为初始图像u0)，此时梯度下降流即为图像修补方程，随着时间参数的增长，图像会一步步地被修补，当偏微分方程的解稳定时的解就是修补后的图像.2 用光滑修补模型建立偏微分方程的图像修补记D为待修补区域，E为待修补区域的外邻域，一般为环状，如图1所示.图1 待修补区域及其外邻域Fig.1 Being patched region and its outer neighborhood记修补前E∪D区域内的图像值为u0,修补后E∪D区域内的图像值为u.光滑的图像修补模型为：u|2dxdy(5)该图像修补模型的几何意义是：在修补的图像中，使沿各水平线的梯度积分最小，所以趋向于得到光滑图像,即该修补模型是为了使待修补区域及其边界尽可能的光滑.由以上介绍的变分问题的欧拉方程的知识可知，该模型的欧拉方程为：△u=0,其对应的梯度下降流(即图像修补方程)为：=△u=uxx2+uyy2(6)该方程是一个各向异性的扩散方程，扩散强度的大小依赖于各点的梯度，即等水平线的强度变化，而不依赖其他几何信息.设(i, j)为目标像素，时间层n=0,1,2…,则un(i, j)表示像素(i, j)在时间层n处的灰度值，uxx(i, j)表示(i, j)处对x的二阶偏导数.那么，该图像修补方程离散化后为:(7)最终的算法步骤如下：先将待修补图像各像素点的灰度值读取出来，判断哪些是待修补区域，哪些是非修补区域.将待修补区域内的像素点记为0，非修补区域内的像素点记为1，再对待修补图像中的像素点逐一进行判断，如果当前像素点的标记为0，就将该点的灰度值按(7)中的第一式进行迭代；如果当前像素点的标记为1，就将该点的灰度值按(7)中的第二式进行迭代，这样就更新了待修补图像各像素点的灰度值.设定N及δ>0,当迭代N次后，计算前后两次迭代的图像距离差，设新旧两幅图像分别为u和v,将新旧两幅图像的距离差定义为:若距离差小于δ,则停止迭代；若距离差大于δ,则增大迭代次数N,继续进行迭代.当前的迭代结果即为修补后图像.图2是用光滑模型对图像修补前后的对比.图2 修补前后图像对比Fig.2 The comparison of the primal image and the patched image3 结语本文基于偏微分方程方法建立了一个光滑图像修补模型，利用该模型修补图像的过程中，使沿各水平线的梯度积分最小，也即是使待修补区域及其边界尽可能光滑，趋向于得到光滑图像.从试验的结果也可以看到，该光滑修补模型使修补后的图像光滑，具有良好的修补效果.但此方法的不足之处是，若修补区域在边缘处时，这种模型的修补结果就模糊了边缘，使得修补的痕迹较为明显，这是有待继续改进的地方.参考文献:【相关文献】[1] GEMAN S,GERMAN D. Stochastic relaxation, Gibbs distribution and the Bayesian restoration images[M]. IEEE Tran PAMI-616,1984.[2] BERTALMIO M,MASELLES G D,BALLESTER C. Image inpainting. proceedings of the 27th international conference on computer graphics and interactive techniques(SIGGRAPH 2000)[M]. New Orleans, LA,ACM Press, New York, 2000.[3] GOLDENBERG R, KIMMEL R, RUDZSKY M. Fast geodestic active contour[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2001, 10(10):1 467-1 475.。
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
林石算子改善了Catte模型中尖峰被削平的情况，同时还保留了P_M模型以及Catte模型的优点。比较改进的林石算子和Catte模型对图像的处理效果，如图（1）所示从帽沿、头发等细节信息可发现，林石算子对于保持边缘和细节等高频量有明显的改善。
(a)噪声图像(b) Catte模型(c)林石算子
图（1）Catte模型和林石算子的图像处理效果
3.3林石算子
P_M模型以及Catte模型都能够在去噪的同时，较好地保持边缘，但是仍然不能保留边缘的细节信息，尤其是不能保持尖峰状边缘和窄边缘[13]的信息。这两个模型对图像来说是基于大尺度范围的处理，对小目标的处理效果欠佳，处理后的图像真实感很差。所以1999年，林宙辰，石青提出了对Catte[2]模型的改进形式，改进的模型如下：
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
一.引言
医学图像增强技术是临床上应用最多的医学图像处理技术之一。通常情况下，临床医生需要对比度好的图像，以便于医生对图像的判读。在这种情况下，一般是利用图像增强（mage Enhancement）技术改善图像的视觉效果，使医学图像能显示出更多的细节信息。另外，医学图像增强技术也是对医学图像进行进一步分析和处理的先行步骤。许多文献中采用的所谓图像预处理技术指的就是图像增强技术，其目的是为了提高图像的信噪比，突出图像的某些特征，为后续对图像的进一步分析和识别奠定基础。为了改善视觉效果或便于人或机器对图像的分析理解，根据图像的特点、存在的问题或应用目的等，所采取的改善图像质量的方法，或加强图像某些特征的措施称为图像增强。
3.4 J.Weickert模型
针对线形纹理信息较多并且该信息对于图像分析很重要的图像，J.Weickert等人提出了一致性增强扩散，引入了结构张量来分析图像结构；该方法在指纹、纤维编织物图像的去噪方面，已经取得了很好的效果[14]。J.Weickert模型较P-M模型增加了扩散滤波的方向可控性，在梯度方向上进行较弱的平滑滤波，在与梯度垂直方向上进行较大的平滑滤波，但它自身也有缺点，该模型在求解时对方程的离散格式有很高的要求，再迭代收敛时容易产生问题[15]。
inpaint_telea算法原理
inpaint_telea算法原理Inpainting是一种图像修复技术，它可以从图像中移除不想要的内容，并用合适的图像信息填补这些区域。
其中，inpaint_telea算法是一种经典的基于偏微分方程的inpainting算法。
本文将详细介绍inpaint_telea算法的原理。
inpaint_telea算法是由Alexandre Telea在2004年提出的。
这个算法的核心思想是利用图像区域中的局部信息来重建缺失区域的像素值。
具体来说，它假设缺失区域的像素值可以由其周围已知像素值通过其中一种方式计算得到。
1.初始化：将输入图像拷贝到输出图像中，同时创建一个标记图像，用于标记待修复的像素区域。
2.检测缺失像素：遍历输入图像，将缺失像素的位置标记在标记图像中。
对于RGB图像，可以通过检测像素值是否为0来判断是否缺失。
3.寻找边界像素：在标记图像上进行遍历，找到位于缺失区域与非缺失区域之间的边界像素。
4. 修复像素：对于每个边界像素，计算它的修复值。
inpaint_telea 算法采用了基于偏微分方程的方法来计算修复值。
具体来说，它使用了Poisson方程，该方程可以在已知边界值的情况下，通过最小化梯度的平方和来计算未知像素值。
修复值的计算涉及到求解一个线性方程组，可以通过迭代的方法进行求解。
5.更新标记图像：将修复像素对应的标记图像中的像素值更新为1，表示这些像素已经修复。
6.迭代修复过程：重复进行步骤4和步骤5，直到所有的边界像素都被修复或达到设定的迭代次数。
每次迭代都会增加像素的修复范围，使算法能够利用新修复的像素来计算更多像素的修复值。
7.输出结果：将修复结果输出为最终图像。
inpaint_telea算法的优点是能够产生具有平滑边界的修复结果，并且在边界区域上具有较好的局部一致性。
它在处理小面积缺失以及文本、纹理等复杂结构时表现良好。
然而，该算法在处理大面积缺失以及存在大量细节的图像时，可能会出现一些模糊或失真的问题。
基于偏微分方程的图像修复研究的开题报告
基于偏微分方程的图像修复研究的开题报告
一、开题背景
随着数字图片的广泛应用，图像修复成为了一个重要的研究方向。
在数字图片处理中，很多时候由于图像受损或者存在噪声等问题，需要
使用专门的算法进行修复和重建。
而基于偏微分方程的图像修复算法，
相比于传统的方法，具有更高的准确度和可靠性。
二、研究目的
本文旨在探讨基于偏微分方程的图像修复方法，并通过实验验证其
效果和可行性。
具体研究内容如下：
1. 研究图像修复的基本原理和方法；
2. 研究偏微分方程的基本概念和理论知识；
3. 探索基于偏微分方程的图像修复算法，并进行算法分析和实验验证；
4. 对比基于偏微分方程的图像修复算法与传统修复方法的效果差异；
5. 对实验结果进行分析总结，提出展望和未来研究方向。
三、研究方法
本文的研究方法主要为实验和分析，具体步骤如下：
1. 收集和整理相关文献资料，确定研究方向和方法；
2. 编写基于偏微分方程的图像修复算法，并进行测试和验证；
3. 对比实验结果，分析算法效果和性能等方面的差异；
4. 总结和分析实验结果，提出未来研究的展望和方向。
四、论文结构
本文主要分为五个部分：
第一部分为绪论，介绍图像修复的研究背景、意义和现状；
第二部分为基础理论，介绍偏微分方程的基本概念、理论和应用，并阐述基于偏微分方程的图像修复算法的理论基础；
第三部分为实验设计，包括算法设计和实验环境的具体描述；
第四部分为实验结果和分析，对比和分析基于偏微分方程的图像修复算法和传统算法的效果和性能差异；
第五部分为总结和展望，对本文的研究成果进行总结和分析，并提出未来研究的方向和建议。
基于偏微分方程的图像修复模型介绍
修 复 区域 内不 同 的 区域 是 由边 界 线 划 分 的 ，根 据 修 复 区 域 边 界 信 息来 填充破损 区域的信息 。 图像 的修复过程就是逐渐扩散平 滑的过 程 ， 这个
Ｅ 。 ］ （Ｉ ｕ ｄ ＩｕｕＩ ｘ ｕＩ ， ＝Ｊ ｋ ｘ ｕ Ｄ ｇ ） ｌ ＋ —ｏ ｄ Ｖ Ｉ
ａ ， 示 正 数 ，ｘ 示 弧 长 ， 示 曲率 。Ｃ ａ ｂ表 ｄ表 ｋ表 ｈ ｎ和 Ｓ ｅ 弹性 能 量 ｈｎ 将
应用到 图像修 复中并对 Ｔ Ｖ修复模型改进 ， 出了弹性修复能量方程 ： 提
Ｅ ０ ）』（ｄ＋ Ｊｕｕ （ （ Ｉ， ＝ Ｏ ） （ １ ｕ Βιβλιοθήκη Ｄ ｕ ｋｘＡ — ｘ ０
Ｌ
其 中 ０ｋ＝ ＋ ｋ。 ｆ）ａ ｂ
五 、 ｍｆｒ— ｈ ｈ修 复 模 型 Ｍｕ ｏ ｄ ｓ ａ
Ｍｕｆ ｒ— ｈｈ 型 是 Ｍｕ ｆｒ ｎｏｄ ｓａ ｍｏｄ和 ｓａ ｈ ｈ在 研 究 图 像 分 割 时 提 出 的 ， 之后 被用于 图像降 噪等 ，ｓｉ ｅｚ， ｌ ｋ Ｔａ， ｚｉ ｌ ｙ和 Ｃ ａ — ｈ ｎ将其用于 图像 Ｙ Ｗｉｓ ｈｎＳｅ 修 复。 Ｍｕ ｆｒ—ｈｈ图像修 复模 型其能量方 程 ： ｍｏｄ ｓａ
的 介 绍一 下 。 微 观 仿 真 技 术 （ＳＣＢ Ｂ ） Ｍ．ｅｔｍｉ Ｇ．ａｉ Ｉ 人 于 ２ ０ Ｂ ｒ ｌ ０和 Ｓｐ 等 ａ ０ ０开 始 研 究 数 字 图像 修 复 ， 此 从
一
、
修复结果不能满 足人类视觉 的“ 接性 准则” 连 。如图 ２ｃ （） 所示 。 以发现 可 在Ｔ ｖ修复结果 中的四个拐点处 的曲率 ｋ ￣ｏ 而我们所 希望 的修复结 ＝ ｏ， 果 如图 ２ｂ所示 ， 时等照度线被尽量拉 伸 ， ｆ） 此 反映在 曲率 上就是使修复 结 果 中沿 等照 度 线 的 曲 率尽 量 小 。为 了 解决 这个 问题 ， 入 了 曲 率驱 动 引
基于偏微分方程的图像修复
关键词：图像修复；相干方向；张量扩散；全变差模型
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｄｉ舀ｔＭ
ｉｍａｇｅ ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ ｉｓ
ａｎ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒｔ
ｏｆ
ｉｍａｇｅ
ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｗｉｔｈ
ａｒｅ
ｔｈｅ
ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｍｏｒｅ ａｎｄ Ｍｏｒｅ ｐｏｐｕｌａｒ ｉｎ ｔｈｅ Ｉａｓｔ ｔｗｏ ｄｅｃａｄｅｓ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｒｅｅ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｒｅｓｅａｒｃｈ
题。
目前有许多图像处理软件，如Ｐｈｏｔｏｓｈｏｐ等，也可以对数字图像进行专业的特 效处理和对受损图像进行有效的修复，但这种方法对用户的专业技术要求很高，如 在操作时用户必须严格区分出待修复的区域，还要考虑要填充的颜色、格式以及纹 理效果，然后经过复杂的手工处理后才能完成。这种修复方法，主观性较强，不同 的用户对于同一幅图像处理的效果会不同。另外，对于实时性要求很高、运算量很 大的图像处理，Ｐｃ机就很难胜任。ＤＳＰ是数字信号处理专用芯片，具有数学运算精 度高、速度快等特点，能够胜任要求运算量大、实时性强的工程。因此．用高速ＤＳＰ 芯片工程实现先进的图像修复算法，就能将复杂的手工过程自动化，并适合对实时 性要求高且有大量数据运算的应用，使得不论是平面图像还是视频图像的修复变得 更加准确和快捷。
的艺术品往往被多次易手，再经过长期的雎化、油墨脱落，它们难免有所损伤。图 像修复就是指对受到一定损坏程度的绘画作品，手工填补或修改损坏的部分，以使 得复原后的作品尽可能与原作保持一致的风格，而并不被察觉出修改的痕迹。图１ 高的风险，需要有丰富经验的艺术品柬处理。