大学物理 波动

2 y ( x, t ) A cos[ t ( x x0 )] 2 3 y p (t ) A cos[ t ( x x0 )] 3
s (t ) t

例二
已知：
ys (t ) A cos( t
解：

3
)
P（x）
u
x0 4
波速 —振动朝前传播的速度
u

质元的振动速度
dy v dt
T
机械波的传播速度完全取决于媒介质的弹性性质和密 度。与频率 ，波长， 振幅无关
可以证明：
* 对于柔软的绳索和弦线中横波波速为 ut
T为绳索或弦线中张力;
T

为质量线密度
ul Y
* 细长的棒状媒质中纵波波速为
Y 为媒质的杨氏弹性模量;
2 / T u /T
2x
。
y
O
u
x
P
x
沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式 y o
u
x
P
x
O 点简谐运动方程：
y0 A cos(t 0 )
由P 点的振动得到波动表示式：
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
沿波的传播方向,各质点 振动时间和相位依次落后
s (t ) t


( x0 x)
二 波动方程的物理意义 （1）给定x，波动方程给出该处质元的振动方程。
（2）给定t，波动方程给出该时刻各质元离开平衡 位置位移的分布情况，即该时刻的波形图。 （3）t 和 x都变，波动方程给出任意质元在任意 时刻 t的位移。 即给出波形随时间而变化的情况。
3. 波阵面和波射线 波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面 (简称波面)。 波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面 即是波前。波前只有一个。 波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指 向表示波的传播方向。
平面波：波面为平面
平面波 波 阵 面 波线
球面波：波面为球面
球面波
x 平面简谐波 y( x, t ) Acos (t ) u 1 2 2 x 2 可以证明 Wk Wp A (V ) sin (t ) 2 u
体积元的总机械能
x W Wk Wp A (V ) sin (t ) u
2 2 2
讨论:介质质元（m = V）的机械能
y
x
t 时刻波形 t t 时刻波形
A
x
u
x x
X
x ut
例三：已知：
处： y (t ) A cos( t ) 2 2 T 求（1）：波动方程， （2）t 0及 t 时的波形。 4 u 解：（1） x0


2 p (t ) x0 (t ) t ( x x0 ) 2 2 t x 2 2x y ( x, t ) A cos(t ) 2
平面简谐波的波动方程
平面简谐波的波动表式
x （1） y p (t ) A cos[ (t ) 0 ] u
y(x, t)
2 x ] （2） y ( x, t ) A cos[( t 0 )
也即p点的位相落后于O点相位：
波源带动弹性媒质中与其 相邻的质点发生振动，振 动相继传播到后面各相邻 质点，其振动时间和相位 依次落后。
(1）一个完整波的长度
(2)质元完成一次全振动的时间内,振动朝前传播的距离 （3）位相差
2
两点间距离
——沿波的传播方向，两个最邻近的振动 状态相同的质元间的距离。称为波长，用 表示。 沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。 传播方向 b点比a点的相位落后： u a b x 2 重要结论！ x x
a点：位移最大处，动能为零； 没有形变，形变势能为零。 b点：位移为零处，动能最大； 形变最大，形变势能最大。
波动的能量与振动能量是有区别的。
体积元的总机械能
x W ( V ) A sin (t ) u ⑵ 质元机械能不是常量，而是随时间作周期性变化， 这与弹簧振子总的机械能是一常数不同。
2 2 2
因为弹簧振子是保守孤立系统， 而波的传播过程中,质元却与周围介质有 相互作用。
⑶ 质元能量由0 逐渐增加为m2A2，表明该质元从外 部吸收能量；由m2A2逐渐减少为0，表明该质元向外 部输出能量。 整个过程，介质不积累能量。所以波的传播过程也是能量 的传播过程。
x W V 2 A2 sin 2 (t ) u
1 2 2 x 2 Wk Wp A (V ) sin t 2 u
⑴ 由动能、势能公式来看，波在传播过程 中任一质元的动能和势能都随时间变化，且 在同一时刻，位相相同，大小相等。
y

既动能达到最大值时，势能也达到最大； 动能为零时，势能也为零。 u
0
x
b

为质量密度
5.2 平面简谐波的波动方程 一 波动方程的获得
以横波为例说明平面简谐波的波动方程。
已知O点振动方程：yo A cos( t 0 )
y
u
p
x t u
O
x
X
y p (t t ) yo (t ) y p (t ) yo (t t )
x y p (t ) A cos[ (t ) 0 ] u
2. 能量密度（单位体积媒质中波的能量）
w
A
2 2
能量密度：
w lim V 0
2 2
W V
2
0
t
w
0
1 2 2 A 2
x A sin (t ) u

y v振动速度 t A点向下运动，y < 0； 速度小于零。
例一 已知： Ｏ ys (t ) A cos( t ) 3 解：
x0 4
u
Ｓ
P
x x0
Ｘ

2

xsp
2
x

( x x0 )
3 2 (x x 0 ) p (t ) s (t ) t 3
波线
波 阵 面
0
1
2 3
4
5
6
7
8
9
10
11
T 4 T 2 3T 4
12
13
T
波的特征：（1）：波是大量媒质质元的集体行为。 （2）：波具有时间周期性。 （3）：波具有空间周期性。
二
波的特征量 —波长
波速
频率 振幅
周期— 媒质中质点的振动周期。 频率—单位时间内质点振动的次数。
T
1 T
波长:
X (m)
o
0.2
0.4
0.4 102 cos(100 t 5x 2)m u
设波动方程:
y ( x, t ) A cos[( t 0 )
2 x

]
§5-3 波的能量与能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。 1. 波的能量 考虑棒中的体积V，其质量为m (m=V )。当波动 传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能Wp。
地震波
地震波从震源以弹性波的形式向四面八方传播。地震波在地球 内部传播时称为体波，当它到达地表，即产生沿地表（界面）传播 的波，称为面波。 地震波在地球内部（体波）的传播有纵波（P 波）和横波（S 波） 两种形式，并且纵波（P 波）的传播速度比横波（S 波）的传播速度 快（前者的速度在地壳内是 5 km /s，在地幔深处是14 km /s，而后者 的速度是 3 km /s～ 8 km /s）。 当地震发生时，如果人站在震源正上方的地面上，会感觉到先 上下颠（纵波引起的感觉）然后横向摇（横波引起的感觉）。 发生较大的近震时，一般人们先感到 上下颠簸，过数秒到十几秒后才感到 有很强的水平晃动。 横波是地震时造成建筑物破坏的 主要原因。
地球內部地震波速度分布图
地震时，纵波总是先到达地表，而横波总落后一步。这 样，发生较大的近震时，一般人们先感到上下颠簸，过数秒 到十几秒后才感到有很强的水平晃动。这一点非常重要，因 为纵波给我们一个警告，告诉我们造成建筑物破坏的横波马 上要到了，快点作出防备。
地震的纵波和横波间的时间差—自救时间
日本 “（2004年）新潟县中越地震”。在地震中，新干 线发生了脱轨事故，这是日本新干线开通 40年以来首次，为此 日本舆论普遍对新干线应对地震等突发灾害时的安全性提出了 质疑。 据称日本新干线所采用的系统会让列车在地震发生时，利用 地震的纵波和横波间的时间差自动停止运行， 但是，由于此次新潟地震属于纵波和横波几乎同时到来的直下 型浅源地震，因此在列车制动前地震就已袭来，日本新干线相关 负责人对于此后如何应对仍未想出最好的办法。
第五章 波 动 5.1 机械波的产生和传播 一 波及描述波的几个有关概念 （1）机械波： 机械振动在弹性媒质中的传播
弹性媒质和波源——（机械波产生的条件）
弹性媒质： 相邻媒质质元间由弹性力互相联系。 波源： 作机械振动的振源。
波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性 力，将振动传播开去，从而形成机械波。 波动是振动状态的传播，是能量的传播， 而不是质点的传播。
(1) 质元并未“随波逐流 ” 波的传播不是媒质质 元的传播
(2) “上游”的质元依 次带动“下游”的质元 振动
横波：
质点振动方向
软绳
波的传播方向
软弹簧 质点振动方向
纵波
波的传播方向
在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在 气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液 体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。