关于噪声的问题分解

噪声问题在模拟通信中，/S N 是一个非常有用的指标，它是信号平均功率和噪声平均功率的比值。

对于数字通信系统，其采用时间长度为码元间隔s T 的波形来发送和接收码元，每个码元的平均功率（在整个时间轴上取平均）等于0，所以功率不能用于描述数字信号，所以衡量系统BER 性能的指标是0/b E N ，而非单纯的信号功率和噪声功率之比。

因为噪声功率等于功率谱密度乘以带宽，对于相同功率谱密度的白噪声而言，系统带宽越高（即对应的采样率越高），自然通过的噪声功率也会越高。

一: 实带通信号与复低通等效信号对于信噪比的定义： 信噪比=信号的功率/噪声的功率 信号的功率是单位时间的能量值，噪声的功率一般用方差表示。

0/===**sE T SNR N B符号的平均功率每符号信号能量/符号周期信噪比噪声的平均功率噪声单边带功率谱密度符号带宽 假设00()()()()()cos(2)()sin(2)d q z t x t n t x t n t f t n t f t πθπθ=+=++-+ 其中()x t 为正弦信号0()cos(2)x t A f t π=对于实带通信号而言带通信号可以表示成00()exp(2)exp(2)22A Ax t j f t j f t ππ=+- 所以()x t 的功率谱密度为2200()()()44x A A S f f f f f δδ=-++所以实带通信号的总功率为：2()2x x A P S f df +∞-∞==⎰ 因此噪声是功率谱密度为2N 的带通噪声模型，所以，总的噪声功率是： 00()2()2n n N P S f df B N B +∞-∞===⎰所以实带通信噪比为：20()2bp A SNR N B=对于复低通等效信号低通信号可以表示成：0()Re{exp(2)}x t A j f t π=所以得到复包络~()x t A =所以复包络的功率为~~22{|()|}xP E x t A ==对于复低通等效信号加的噪声是功率谱密度为02N 的低通噪声模型 所以噪声功率为：~~()2nnP S f df N B ∞-∞==⎰因此，复低通等效信号的信噪比为~~20()2x lp nP A SNR P N B==所以实带通信号和复低通等效信号的信噪比保持不变。

傅里叶变换保持功率和能量不变，但是复低通等效信号的能量与其对应的实带通信号的能量不同。

*~~2200**~~~~2222001|()||()exp(2)()exp(2)|41[|()||()|exp(4)|()||()|exp(4)]4x t x t j f t x t j f t x t x t j f t x t x t j f t ππππ=+-=+++-所以有：~221{|()|}{|()|}2E x t E x t =实带通信号()x t 的平均功率是：2{|()|}x E x t ε=复低通信号~()x t 的平均功率是：~~2{|()|}xE x t ε=所以有~2x xεε=，即信号的复低通等效功率是实带通信号功率的两倍。

二：Es/No 与SNR 以及采样周期的关系对于复低通等效信号有：0/(*)(/)(/)*(*)*(*)*(/)s n n s E N S Tsymbol N B S N Tsymbol B SNR Tsymbol F SNR Tsymbol Tsample ====0/()()10l o g 10(/)s E N d BS N R d B T s y m b o l T s a m p l e=+ （1） 其中，S 为输入信号的功率（W ），N 为噪声功率（W ），n B 为噪声带宽（Hz ），s F 为采样频率（Hz ）。

对于实带通信号而言，因为信号的复低通等效功率是实带通信号功率的两倍，所以直接有：0/()()10log10(/)3()s E N dB SNR dB Tsymbol Tsample dB =++ （2）三：各种调制下的误码率性能 1：BPSK 调制对于BPSK 信号，输入的信号是1和-1，在坐标轴上有两个星座点，所以BPSK 信号是复低通等效信号。

所以在BPSK 调制过程中加的噪声也是复噪声。

因为噪声功率一般用方差表示，在实带通信号的基础上加的噪声即功率谱密度为02N 的带通噪声模型，因此有12N σ=；噪声的复低通等效表示的功率是实带通信号的基础上加的噪声功率的两倍，所以有N σ=。

所以对于复低通等效信号的SNR 与0/b E N 的关系如下：0()/()10log10(2)b SNR dB E N dB =+即： 0()/()3()b SNR dB E N dB dB =+。

（3）其有三种加噪声模型：通过AWGN 函数，通过过采样方式，通过噪声方差方式。

(1)：通过AWGN 函数加噪声(a) Y = AWGN(X,SNR),SNR 是以dB 形式，信号X 的功率被假定为0 dBW 。

如果X 是复信号，加的噪声就是复噪声。

（b ）Y = AWGN(X,SNR,SIGPOWER)，如果SIGPOWER 是数字，信号的功率的单位是dBW ；如果SIGPOWER 是measured ，表示在加噪声之前测试噪声的功率。

（c ）Y = AWGN(X,SNR,SIGPOWER,S)，S 是使用正态分布随机数产生随机噪声样本。

（d ）Y = AWGN(X,SNR,SIGPOWER,STATE)，重置正态分布的随机数到STATE 。

（e ）Y = AWGN(..., POWERTYPE 指定SNR 和SIGPOWER 的单位，如果POWERTYPE 是‘dB ’，SNR 的单位是dB 形式，SIGPOWER 的单位是dBW 形式；如果POWERTYPE 是线性的，SNR 是一个比值，SIGPOWER 的单位是W 。

复低通等效信号的SNR 与0/b E N 的关系0()/()3()b SNR dB E N dB dB =+(2)：通过过采样方式加噪声对于过采样方式，即对BPSK 调制信号进行过采样，根据复低通等效信号0/b E N 与SNR 的关系，即0/()()10log10(/)s E N dB SNR dB Tsymbol Tsample =+所以有：0b E S TsymbolN N Tsample=∙因此：00/()10/10b b E N dB S TsymbolN E N TsampleS Tsymbol Tsample=∙=∙对于BPSK 符号周期与采样周期一样 ，所以有：0/()1010b E N dB SN =又因为噪声方差与噪声功率的关系为：12N σ=；从而根据噪声方差加随机高斯噪声，即Noise=σ·rand n(1,length(singal))。

(3)：根据噪声方差与信噪比的直接关系方式加噪声 假设信号的功率为单位1，所以有：1SNR N=N 是噪声功率，又因为噪声功率和噪声方差的关系12N σ=； 所以有噪声方差与信噪比的关系：12SNRσ=∙又因为0/()100/10b E N dB b SNR E N ==，所以有0/()101210b E N dB σ=∙。

以后的步骤，使用这种方法与第二种方法加噪声是一样的，只是噪声方差的计算方法不同。

这三种加噪声模型下的误码率性能曲线图如下：BPSK 调制三种加噪声方式下的误比特率曲线图从上面的仿真图可以看出，BPSK 调制信号的误比特率性能可以达到610-数量级，理论上，对于这三种方式加噪声，其BPSK 调制信号的误比特率曲线图应该是完全重合的，但是每种方式都有其针对性，导致这三条曲线有稍微的偏差。

对于通过AWGN 信道函数加噪声，一般情况下，AWGN （X ，SNR ），这里的SNR 是以dB 的形式加的信噪比。

而其他两种方式信噪比都是使用dB 转换过来的形式。

一般情况下，在做仿真时都是通过给定的0/()b E N dB 和信号，然后再加噪声。

所以，一般都通过方法二和方法三直接得出噪声，再与信号混合。

2：QPSK 调制对于QPSK 调制，可以看成两路BPSK 调制，每一路加的噪声都可以根据BPSK 调制加噪声一样。

同样，对于复低通等效信号加的噪声是功率谱密度为02N 的低通噪声模型。

所以噪声方差与噪声功率的关系为：N σ=。

所以，复低通等效信号的SNR 与0/b E N 的关系如下：0()/()3()b SNR dB E N dB dB =+QPSK 调制也有三种加噪声方式：通过AWGN 函数，通过过采样方式，通过噪声方差方式。

（1）：通过AWGN 函数加噪声与BPSK 调制一样，使用AWGN 函数加噪声也一样，同样有SNR 与0/b E N 的关系：0()/()3()b SNR dB E N dB dB =+ （2）：通过过采样方式加噪声QPSK 调制就是两路BPSK 调制，对每一路信号分别进行过采样、加噪声。

QPSK 信号的每一路信号都是BPSK 信号，所以和BPSK 的推导一样，即0b E S TsymbolN N Tsample=∙所以有：00/()10/10b b E N dB S TsymbolN E N TsampleSTsymbol Tsample=∙=∙因此0/()1010b E N dB SN =又因为噪声功率和噪声方差的关系是如下：12N σ=，从而根据噪声方差加入随机高斯白噪声。

（3）：根据噪声方差跟信噪比的直接关系方式加噪声与BPSK 调制一样，假设信号功率为单位1，所以有1SNR N=又因为12N σ=，因此有： 12SNRσ=∙因为0/()100/10b E N dB b SNR E N ==，所以0/()101210b E N dB σ=∙算出噪声的方差就可以根据第二种方法一样的步骤加噪声。

然后得出误码率。

这三种方式加噪声模型下的误码率性能曲线图如下：QPSK 调制信号三种加噪声方式下的误比特率曲线从上面的仿真图可以看出，对于QPSK 调制，三种加噪声方式下的误比特率曲线图基本上重合，其误比特率性能比BPSK 调制的误比特率性能要好，其他的情况与BPSK 调制类似。

3：MSK 调制对于CPM 信号是一个恒包络波形，并且具有如下的一般形式：02()cos(2(,)),(1)bc b b bE s t f t t nT t n T T πϕαϕ=++≤≤+ （4） (,)2()i b i nt hq t iT ϕαπα≤=-∑ （5）这里21012(...,,,,,,...)αααααα--=，相互独立，具有相同的二进制数据序列，每个元素等概率的取1±，2b h fT =∆为调制指数，()q t 为归一化的相位平滑响应。