上海市松江区2020届高三第一次模拟(期末)考试数学试卷及解析
阶段
0、准备
1、人的反应
2、系统反应
3、制动
时间
t0
t1 = 0.8 秒
t2 = 0.2
t3
3
距离
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分又非必要条件
15.已知 b、 c R ，若 x2 + bx + c M 对任意的 x 0, 4 恒成立，则（ ）
（A）M 的最小值为 1 （C）M 的最小值为 4
（B）M 的最小值为 2 （D）M 的最小值为 8
16.已知集合 M = 1, 2,3, ,10 ，集合 A M ，定义 M ( A) 为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所有非
1.已知集合 A = x | x −1 0 ， B = 0,1, 2 ，则 A B = ________.
2.若角
α
的终边过点
P
2
+
= ________.
3.设 z = 1− i + 2i ，则 z = ________. 1+ i
4.
x2
已知函数 f ( x) = 2 3 sin x cos x − 2sin2 x . （1）求 f ( x) 的最大值； （2）在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 f ( A) = 0 ，b、a、c 成等差数列，且 AB AC = 2 ，
求边 a 的长. 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并 结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算
+
2 x
5
的展开式中
x4
的系数为________.
5.已知椭圆 x2 9
+
y2 4
= 1的左、右焦点分别为 F1 、F2 ，若椭圆上的点 P 满足
PF1
=2
PF2
，则
PF1
= ________.
6.若关于
x，y
的二元一次方程组
mx + 4 y = m +
x + my = m
2
无解，则实数
法（如下图所示）将报警时间划分为 4 段，分别为准备时间 t0 、人的反应时间 t1 、系统反应时间 t2 、制动时
间 t3 ，相应的距离分别为 d 0 、 d1 、 d 2 、 d3 .当车速为 v（米/秒），且 v 0,33.3 时，通过大数据统计分析 得到下表（其中系数 k 随地面湿滑程度等路面情况而变化， k 0.5, 0.9 ）.
y = f −1 ( x) + log2 x 的图像必过点________.
9.在无穷等比数列an
中，若
lim
n→
(
a1
+
a2
+
+
an
)
=
1 3
，则
a1
的取值范围是________.
10.函数 y = ax + b 的大致图像如图，若函数图像经过 (0, −1) 和 (−4,3) 两点，且 x = −1 和 y = 2 是其两条渐
M = a a = Ai Aj ,(i, j =1, 2,3, 4,5,6,i j) ，在 M 中任取两个元素 m 、n ，则 m n = 0 的概率为________.
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得 零分.
m
=
________.
( ) 7.已知向量 a = (1, 2) ， b = (m, −3) ，若向量 a − 2b ∥b ，则实数 m = ________.
8. 已 知 函 数 y = f ( x) 存 在 反 函 数 y = f −1 ( x) ， 若 函 数 y = f ( x) + 2x 的 图 像 经 过 点 (1, 6) ， 则 函 数
13.已知 l 是平面 α 的一条斜线，直线 m ，则（ ）
（A）存在唯一的一条直线 m，使得 l ⊥ m （C）存在唯一的一条直线 m，使得 l ∥ m
（B）存在无限多条直线 m，使得 l ⊥ m （D）存在无限多条直线 m，使得 l ∥ m
14.设 x， y R ，则“ x + y 2 ”是“x，y，中至少有一个数大于 1”的（ ）
如图，圆锥的底面半径 OA = 2 ，高 PO = 6 ，点 C 是底面直径 AB 所对弧的中点，点 D 是母线 PA 的中点.
2
（1）求圆锥的侧面积与体积； （2）求异面直线 CD 与 AB 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
上海市松江区 2019-2020 学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
考生注意：
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
2019．12
1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2.答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，第 1～6 题每个空格填对得 4 分，第 7～12 题每个空格 填对得 5 分，否则一律得零分．
空子集时，对应的 M ( A) 的和记为 S10 ，则 S10 = （ ）
（A）45
（B）1012
（C）2036
（D）9217
三.解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必
要的步骤.
17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
cx + d
近线，则 a : b : c : d = ________.
1
11.若实数 a， b 0 ，满足 abc = a + b + c ， a2 + b2 = 1 ，则实数 c 的最小值为________.
12. 记 边 长 为 1 的 正 六 边 形 的 六 个 顶 点 分 别 为 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ， A6 ， 集 合
2020上海高三数学松江一模
XX 市松江区2021届高三一模数学试卷一.填空题〔本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分〕 1.集合A{x|x10}，B{0,1,2}，那么A I B 2.假设角的终边过点P(4,3)，那么3 sin() 23.设1iz2i ，那么|z |1i4. 225 (x)x的展开式中 4 x 的系数为 5.椭圆22xy 941的左、右焦点分别为F 1、F 2，假设椭圆上的点P 满足 |PF|2|PF|，那么12|PF|16.假设关于x 、y 的二元一次方程组r7. 向量 a (1,2)r，b ( m, 3)mx4y m2xmym rr，假设向量(a2b) 无解，那么实数m r ∥ b，那么实数m8.函数yf(x)存在反函数y fx ，假设函数yf(x)2的图像经过点(1,6)，1()1()x那么函数1yf(x)logx 的图像必经过点 29.在无穷等比数列{a }中，假设 n那么a 1的取值X 围是1 lim(aaa)，12nn310.函数y axb cxd 的大致图像如图，假设函数图像经过 (0,1)和(4,3)两点，且x1和y2是其两条渐近线，那么a :b :c :d11.假设实数a,b0，满足abcabc ，221ab ，那么实数c 的最小值为12.记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6，集合 rru u u u r M{a |aA i A j (i,j1,2,3,4,5,6,ij)} u r ，在M 中任取两个元素m 、 n u r ，那么mn0 的概率为二.选择题〔本大题共4题，每题5分，共20分〕 13.l 是平面的一条斜线，直线m ，那么〔〕A.存在唯一的一条直线m ，使得lmB.存在无限多条直线m ，使得lmC.存在唯一的一条直线m ，使得l ∥mD.存在无限多条直线m ，使得l ∥ m2019.12设x,y R ，那么“xy2〞是“x、y中至少有一个数大于1〞的〔〕A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2019.13b,c R ，假设 2|xbxc|M对任意的x[0,4]恒成立，那么〔〕A.M的最小值为1B.M的最小值为2C.M的最小值为4D.M的最小值为82019.14集合M{1,2,3,,10}，集合AM，定义M(A)为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的M(A)的和记为S，那么S10〔〕10A. 45B. 1012C. 2036D. 9217三.解答题〔本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分〕2019.15如图，圆锥的底面半径OA2，高PO6，点C 是底面直径AB所对弧的中点，点D 是母线PA的中点.〔1〕求圆锥的侧面积和体积；〔2〕求异面直线CD与AB所成角的大小.〔结果用反三角函数表示〕2019.16函数 2f(x)23sinxcosx2sinx.〔1〕求f(x)的最大值；〔2〕在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设f(A)0，b、a、 c uu u r u uru成等差数列，且ABAC2 ，求边a的长.2019.17汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离〔并结合车速转化为所需时间〕，当此距离等于报警距离时就开场报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法〔如下列图所示〕将报警时间划分为4段，分别为准备时间t、人的反响时间0 t、系统反响时间1t、制动时间2t，相应的距离分别为3d、d、1d、2d，当车速为v〔米/秒〕，且v[0,33,3]时，通过大数据统计分析得到下表〔其中系数k 3随地面湿滑XX等路面情况而变化，k[0.5,0.9]〕.阶段0、准备1、人的反响2、系统反响3、制动时间t0t10.8秒t20.2秒t3距离d020米dd 2112 dv320k米〔1〕请写出报警距离d〔米〕与车速v〔米/秒〕之间的函数关系式d(v)，并求k0.9时，假设汽车到达报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，那么汽车撞上固定障碍物的最短时间〔准确到0.1 秒〕；〔2〕假设要求汽车不管在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，那么汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？2019.18设抛物线2:y4x的焦点为F，经过x轴正半轴上点M(m,0)的直线l交于不同的两点A和B .〔1〕假设|FA|3，求点A的坐标；〔2〕假设m2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部；〔3〕假设|FA||FM|，且直线l∥l，1 l与有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积1是否存在最小值？假设存在，求出最小值，并求出M点的坐标，假设不存在，请说明理由.2019.19数列{a n}满足：①a n N〔*kn N〕；②当n2〔*k N〕时，na；n2k ③当n2〔*k N〕时，a n a n1，记数列{a n}的前n项和为S n.〔1〕求a，a3，a9的值；1〔2〕假设S2021，求n的最小值；n〔3〕求证：S2n4S n n2的充要条件是a211〔n* n N〕 .参考答案一.填空题2019.20{1,2}2. 4514.14.405.46.27. 328.(4,3)9.112(0,)U(,)10.2:1:1:133311.2212. 8 51二.选择题13. B14. A15. B16. C三.解答题17.〔1积1414或arctan13.18.〔1〕f(x)2sin(2x)1，最大值为1；〔2〕6 A，a2 .319.〔1〕d20v2v20k，td20v201213.1秒；vv1818〔2〕2vd20v8020k，k0.5时，v20米/秒，合72千米/小时.uuruu u r20.〔1〕(2,22)；〔2〕OAOB40 ，证明略；〔3〕最小值2，M(3,0).21.〔1〕a10，a30或1，a90或1；〔2〕115；〔3〕略.20．解：〔1〕由抛物线方程知，焦点是F(1,0)，准线方程为x1，设A〔x1，y1〕，由|FA|=3及抛物线定义知，x1=2，代入24yx得y22所以A点的坐标A(2,22)或A(2,22)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，设直线AB的方程是：x＝my+2，xmy22联立，消去x得：y﹣4my﹣8＝0，由韦达定理得2y4x yy4m12y y1 28，⋯⋯⋯6分OAOB(x,y )(x ,y)x xyy11221212222yy(yy)1212yyyy480，1212 4416故AOB恒为钝角，O总在以线段A B为直径的圆的内部．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分故原点〔3〕设A 〔x 1，y 1〕，那么x 1y 1≠0， 因为|F A |＝|F M 1|＝x 1+1，由m ＞0得m ＝x 1+2，故M 〔x 1+2，0〕．故直线AB 的斜率K AB ＝ y 1 2．因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为 y1 yxb ，代入抛物线方程 2得 88b 2 yy yy110 ，由题意 6432b 2yy 11 0 ，得 b 2 y 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯12分设E 〔x E ，y E 〕，那么y E4 y1，xE412 yx1100111y4x11Sxy12OAE1122xy1114 1 xy11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分当且仅当y 4x11xy11，即22y 14x 1时等号成立，由22y4x11 2y4x11得24x4x ，解得x 11或x 10〔舍〕，⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分11所以M 点的坐标为M(3,0)，(S OAE )2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分 min21．解：〔1〕因a 21，a 1a 2，且a 1是自然数，a 10；⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分a 42，0a 3a 4，且a 3,a 4都是自然数；a 30或a 31；⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分a 168，0a 9a 10a 168，且*aN(iN)，a 90或a 91．⋯⋯4分i〔2〕k1akN ，当22()kkn k (n,kN)时，122k10aaaa2，由于a n N ，k1k1k1k2122232am 或m ， 所以211k mk1m1,2,3,,21.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分S 64max (01)(12)(1234)(128)(1216)23458916173233(1232)171422222S128max6465 7142794271420212，7964n128⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分20217141306，又123501275130612350511326所以n min6451115⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔3〕必要性：假S2n4S n n2设那么：n SS①24222n1nn S224S21(21)2②n1n①②得：a21a224a211(nN)③⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分n1n1n由于an121an1221,或an121an12212, 或an121an1222，且a或1210,n只有当a211,a2111,a2122同时成立时，等式③才成立nnna211(nN)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分n充分性：假设a211(nN)，由于nn1aaaa2nnnn12122232所以n a2k(nN,kN ,k2) ，nk即a211，n a，222na，⋯，233nna，又2121n1a，又na n122n1所以对任意的n N，都有a2n a2n11⋯〔I〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分另一方面，由a k，2n kn a222k(,,2)n1knNkNk所以对任意的n N，都有a2n2a n⋯〔II〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分5 S2n a1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)2(aaa n)n2a4(aaa n)n242223由于a10,a21S2n4(a1a2a n)n24S n n2证毕.⋯⋯⋯18分。
2020届上海市松江区高三一模(12月)数学试题(解析版)
【详解】
r
rr
因为向量 a (1, 2) ， b (m, 3) ，所以 a 2b (1 2m,8) ，
又
r (a
r 2b)
∥
b
，所以
1
2m
(3)
8m
0
，即
2m
3
0
，
m3
解得：
2.
3 故答案为： 2
【点睛】 本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
1 2
b
4
2
8
min
8
即M 2.
故选：B
【点睛】
本题主要考查求最值的问题，熟记绝对值不等式的性质，以及不等式的性质即可，属于常考题型.
4．已知集合 M {1, 2,3,,10} ，集合 A M ，定义 M ( A) 为 A 中元素的最小值，当 A 取遍 M 的所
有非空子集时，对应的 M ( A) 的和记为 S10 ，则 S10 （ ）
【点睛】
本题主要考查直线与直线位置关系的判定，熟记线面，线线位置关系即可，属于常考题型.
2．设 x, y R ，则“ x y 2 ”是“ x 、 y 中至少有一个数大于 1”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.
a2
an
)
1 3
，则
a1
的取值范围是________
2020-2021上海市松江数学一模(学生版)
1松江区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.3lim 32nn nn →∞=+_________; 2.若集合{13},{1,2,3,4},A xx B =−<<=∣则A B ⋂=_________;3.已知复数z 满足1 (1)z i i i ⋅−=+（为虚数单位），则||z =_________;4.若1sin ,3α=则cos(2)πα−=_________; 5.抛物线24y x =−的准线方程是_________;6.已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x = 对称,则(3)f =_________;7.从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本, 则学生甲被抽到的概率为________;8.在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于_________;9.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,220,1c aB +=则角A =_________;10.从以下七个函数：221,,,2,log ,x y x y y x y y x x=====sin ,cos y x y x ==中选取两个函数记为()f x和(),g x 构成函数()()(),F x f x g x =+若()F x 的图怡如图所示,则()F x =_________;杨浦数学教研团队211.已知向量||||||1,a b c ===若1,2a b ⋅=且,c xa yb =+则x y +的最大值为_________; 12.对于定义城为D 的函数(),f x 若存在12,x x D ∈且12,x x ≠使得()()()2212122,f x f x f x x ==+则称函数()f x 具有性质M.若函数2()log 1g x x =−(0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为_________;二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知两条直线12,l l 的方程分别为1:10l ax y +−=和2:210,l x y −+=则“2a ="是“直 线12"l l ⊥的 （ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件14.在正方体1111ABCD A B C D −中,下列四个结论中错误的是 （ ）(A)直线1B C 与直线AC 所成的角为60︒(B)直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒ (C)直线1B C 与直线1AD ,所成的角为90︒(D)直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒15.设0,0,x y >>若121,x y+=则y x 的 （ ）(A)最小值为8 (B)最大值为8 (C)最小值为2 (D)趣大值为2 16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知点(),n n a 在直线102y x =−上、若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是 （ ） (A)(8,14] (B)(14,18] (C)(18,20] (D)8118,4⎛⎫ ⎪⎝⎭杨浦数学教研团队3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1,在三棱柱111ABC A B C −中,已知1,1,2,AB AC AB AC AA ⊥===且1AA ⊥ 平面ABC.过11 A C B 、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图 2 ). (1)求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示)； (2)求四棱锥11B ACC A −的体积和表面积.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos cos 1.f x x x x =++(1)求()f x 的最小正周期和值域(2)若对任意的2,()()20x R f x k f x ∈−⋅−≤恒成立,求实数k 的取值范围.杨浦数学教研团队419．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件).经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x −与促销费t 之间的关系为31k x t −=+(其中k为常数), 如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1 (万件), 促销费t 至少为多少(万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件),另有固定成本3(万元).定义每件售出商品的平均成本为332x+(元).若将商品售价定为:“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费1为多少(万元)时，该网店售出商品的总利汪最大? 此时商品的剩余量为多少?20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点坐标为(2,0),倍.直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N . (1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线l 经过点(0,4),P 且OMN的面积为求直线l 的方程;(3)若直线l 的方程为(0),y kx t k =+≠点M 关于x 轴的对称点为,M '直线MN 、MN 分别与x 轴相交于P 、Q 、两点,求证:||||OP OQ ⋅为定值.杨浦数学教研团队521．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于由m 个正整数构成的有限集{}123,,,,,m M a a a a =记12()m P M a a a =+++特别规定()0.P ∅=若集合M 满足：对任意的正整数(),k P M ≤都存在集合M 的两个 子集A 、B,使得()()k P A P B =−成立，则称集合M 为“满集". (1) 分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集",请说明理由; (2) 若12m a a a 、、、由小到大能排列成公差为()*d d N∈的等差数列，求证:集合M 为“满集"的必要条件是11,1a d ==或2； (3)若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项1,公比为2的等比数列,求证:集合M 是“满集"杨浦数学教研团队。
上海市松江区2019-2020学年度第一学期期末质量监控试卷数学试卷(含答案)
松江区2019学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2019．12考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = ▲ ．2．若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= ▲ ． 3．设1i2i 1iz -=++，则z = ▲ ． 4．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 ▲ ．5．已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1PF = ▲ ．6．若关于,x y 的二元一次方程组{42mx y m x my m+=++=无解，则实数m = ▲ ．7．已知向量(1,2)a =，(,3)b m =-，若向量(2)a b -∥b ，则实数m = ▲ ． 8．已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数()2xy f x =+的图像经过点(1,6)，则函数12()log y f x x -=+的图像必过点 ▲ ．9．在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是 ▲ ．10．函数ax by cx d+=+的大致图像如图，若函数图像经过(0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d = ▲ ．11．若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为 ▲ ． 12．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,A A A A A A ，集合{,(,1,2,3,4,5,6,)}i j M a a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素m 、n ，则0m n ⋅=的概率为 ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知l 是平面α的一条斜线，直线m α，则(A) 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥ (B) 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥ (C) 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥m (D) 存在无限多条直线m ，使得l ∥m 14．设,x y R ∈，则“2x y +>”是“,x y 中至少有一个数大于1”的(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 15．已知b 、c R ∈，若2||x bx c M ++≤对任意的[0,4]x ∈恒成立，则 (A) M 的最小值为1 (B) M 的最小值为2 (C) M 的最小值为4 (D) M 的最小值为8 16． 已知集合{1,2,3,,10}M =，集合A M ⊆，定义()M A 为A 中元素的最小值，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应的()M A 的和记为10S ，则10S =(A) 45 (B) 1012 (C) 2036 (D) 9217三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，圆锥的底面半径2OA =，高6PO =，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线CD 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．A18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数2()cos 2sin f x x x x =-．（1）求()f x 的最大值；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =， b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、3d ．当车速为v （米/秒），且[0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[0.5,0.9]k ∈）．（1）请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？20． （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分设抛物线:Γ24y x =的焦点为F ，经过x 轴正半轴上点(,0)M m 的直线l 交Γ于不同的两点A 和B ．（1）若3FA =，求A 点的坐标；（2）若2m =，求证：原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部； （3）若FA FM =，且直线1l ∥l ，1l 与Γ有且只有一个公共点E ，问：OAE ∆若存在，求出最小值，并求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列{}n a 满足：①n a N ∈()n N *∈；②当2()kn k N *=∈时，2n n a =； 当2()kn k N *≠∈时，1n n a a +<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求139,,a a a 的值；（2）若2020n S =，求n 的最小值；（3）求证：242n n S S n =-+的充要条件是211()n a n N *+=∈．松江区2019学年度第一学期高三期末考试数学试卷参考答案一、填空题1．{}12， ； 2．45- ； 3．1 ； 4． 40； 5．4； 6．2-；7．32-； 8．(4,3) ；9．112(0,)(,)333； 10．2:1:1:1-；11．-；12． 851；二、选择题13．B 14．A 15．B 16．C 三、解答题17． 解：（1）由题意，得OA ＝2，PO ＝6，∴PA = ………………………2分∴圆锥的侧面积为2S rl ππ==⨯⨯=；……………………4分 体积为221126833V r h πππ==⨯⨯= ；………………6分 （2）取PO 的中点E ，连接DE ，CE ，则∠CDE 或其补角即为所求，如图所示；……………… 8分因AO ⊥EO ，AO ⊥CO ，EOCO=O 知，AO ⊥平面ECO 又//DE AO ，∴DE ⊥平面ECO ，∴DE ⊥EC ，∴DEC ∆是RT ∆ ……………… 10分由112DE OA ==， ……………… 11分CE === ……………… 13分∴CDE ∠=AB 与CD 所成的角为…………14分 18． 解：（1）2()cos 2sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x x π=-=+-=+-……4分∴max ()()2116f x f π==-=……………… 6分此时2262x k πππ+=+，则6x k ππ=+，()k Z ∈，（2） 由 ()0f A = 得1sin(2)62A π+=， ∴2266A k πππ+=+或2266A k ππππ+=-+，()k Z ∈因0A π<< ∴3A π=………………………… 9分由b ，a ，c 成等差数列，得2a ＝b +c ， ………………… 10分 ∵2AB AC ⋅=，∴bc cos A ＝2，∴bc ＝4， ………………… 11分 由余弦定理，得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ，…………12分 ∴a 2＝4a 2﹣3×4，∴2a =． ………………………… 14分19． 解：（1）由题意得0123()d v d d d d =+++ ……………………… 1分 ∴21()2020d v v v k=++………………………… 3分 当0.9k =时，2()2018v d v v =++， ……………4分20()1112 3.1183v t v v =++≥+=+⋅=（秒）……………7分 （2）根据题意, 要求对于任意[0.5,0.9]k ∈，()80d v <恒成立，…………9分 即对于任意[0.5,0.9]k ∈， 21208020v v k ++< 即2160120k v v<-恒成立， 由[0.5,0.9]k ∈得 111[,]201810k ∈ ∴2160110v v<- 即2106000v v +-< ………………………12分 解得3020v -<<∴020v ≤<（米/秒）， ………………………13分360020721000⨯=（千米/小时）∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时………………………14分20． 解：（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A （x 1，y 1），由|F A |=3及抛物线定义知，x 1=2，代入24y x =得y =±所以A 点的坐标(2,A 或(2,A - ………………………4分（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 设直线AB 的方程是：x ＝my +2， 联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：y 2﹣4my ﹣8＝0，由韦达定理得121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，………6分 11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<， 故AOB ∠恒为钝角，故原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部． ………………………10分（3）设A （x 1，y 1），则x 1y 1≠0，因为|F A |＝|FM |，则|m ﹣1|＝x 1+1，由m ＞0得m ＝x 1+2，故M （x 1+2，0）．故直线AB 的斜率K AB ＝12y -． 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为12y y x b =-+，代入抛物线方程 得211880b y y y y +-=，由题意21164320b y y ∆=+=，得12b y =-．……………12分 设E （x E ，y E ），则14E y y =-，21141E x y x ==11111111014111222141OAEy x S x y x y x y ∆==+≥- ………………………14分当且仅当11114y x x y =，即22114y x =时等号成立， 由221121144y x y x ⎧=⎨=⎩ 得21144x x =，解得11x =或10x =（舍），………………15分 所以M 点的坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S ∆= ………………………16分 21． 解：（1）因21a =，12a a <，且1a 是自然数，10a ∴=； ………………2分42a =，340a a ≤<，且34,a a 都是自然数；∴30a =或31a =；………………3分168a =，9101608a a a ≤<<<=，且*()i a N i N ∈∈，∴90a =或91a =．……4分（2）122()k k a k N -*=∈，当122k k n -<≤(,)n k N *∈时，1111212223202k k k k k a a a a ----+++≤<<<<=，由于n a N ∈，所以121k m a m -+=-或m ，11,2,3,,2 1.k m -=- ………………………6分∴()64max (01)(12)(1234)(128)(1216)S =+++++++++++++++23458916173233(1232)171422222⨯⨯⨯⨯⨯++++=+++++= ()128max 646571427942S ⨯=+= 7142020279<<，64128n ∴<< ………………………8分 又20207141306-=，123501275130612350511326++++=<<+++++=所以min 6451115n =+= ………………………10分（3）必要性：若242n n S S n =-+则：122422n n n S S +=-+ ①122214(21)2n n n S S +++=-++ ②①-②得：1121222141()n n n a a a n N ++*++++=-∈ ③ ………………………11分由于1121220,1n n a a ++++=⎧⎨=⎩或1121221,2n n a a ++++=⎧⎨=⎩或1121222n n a a ++++=⎧⎨=⎩，且210,n a +=或1 只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立211()n a n N *+∴=∈ ………………………13分充分性：若211()n a n N *+=∈，由于1212223212n n n n n a a a a ++++=<<<<=所以2(,,2)n n k a k n N k N k **+=∈∈≤，即211n a +=，222n a +=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=所以对任意的n N *∈，都有2211n n a a -=+…（I ） ………………………14分 另一方面，由2n k a k +=，1222n k a k ++=(,,2)n n N k N k **∈∈≤所以对任意的n N *∈，都有22n n a a =…（II ） ………………………15分21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -∴=+++=+++++++2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n ∴=+++-+=-+ 证毕. ………18分。
2020届松江区高三一模数学Word版(附解析)(2021年整理)
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上海市松江区2020届高三一模数学试卷2019。
12一。
填空题（本大题共12题，1—6每题4分，7-12每题5分,共54分) 1。
已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =,则A B = 2. 若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= 3. 设1i2i 1i z -=++，则||z = 4。
252()x x+的展开式中4x 的系数为5。
已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足12||2||PF PF =，则1||PF =6. 若关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解,则实数m =7。
已知向量(1,2)a =，(,3)b m =-,若向量(2)a b -∥b ,则实数m =8。
已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数()2x y f x =+的图像经过点(1,6)， 则函数12()log y f x x -=+的图像必经过点 9。
在无穷等比数列{}n a 中，若121lim()3n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是 10。
函数ax by cx d+=+的大致图像如图，若函数图像经过 (0,1)-和(4,3)-两点，且1x =-和2y =是其两条渐近线，则:::a b c d =11。
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷(4月份)(有答案解析)
2020年上海市松江区高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共21小题，共150.0分）1.若复数，则A. 1B.C. 5D.2.已知向量，若，则实数A. 1B.C.D.3.已知，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.4.已知椭圆分别过点和点，则该椭圆的焦距为A. B. 2 C. D.5.已知实数，，且，则行列式的A. 最小值是2B. 最小值是C. 最大值是2D. 最大值是6.““是“直线：和直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在直三棱柱中，已知，，，则异面直线与所成的角为A. B. C. D.8.样本中共有五个个体，其值分别是a，1，2，3，4，若样本的平均数是2，则样本的标准差是A. 1B. 2C. 4D.9.下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是A. B.C. D.10.给出以下四个命题：其中正确命题的个数是过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；依次首尾相接的四条线段必共面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行．A. 0B. 1C. 2D. 311.已知，在，，，，这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为A. B. C. D.12.下列命题中是假命题的是A. 对任意的，函数都不是奇函数B. 对任意的，函数都有零点C. 存在、，使得D. 不存在，使得幂函数在上单调递减13.函数的大致图象为A.B.C.D.14.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A、C之间的距离为A. B. C. D.15.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，设数列的前n项和为，则A. 0B.C. 1D. 216.在中，已知，，的外接圆圆心为O，则A. 4B. 8C. 10D. 1617.已知函数，若函数的所有零点依次记为，，，，且，则A. B. C. D.18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，，，则的值为A. B. 0 C. 2 D. 419.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数k的取值范围为A. B. C. D.20.已知点在抛物线C：上，点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点，则直线PA与PB的斜率之积为A. B. 1 C. 2 D.21.若数列的每一项都是数列中的项，则称是的子数列．已知两个无穷数列、的各项均为正数，其中是各项和为的等比数列，且是的子数列，则满足条件的数列的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 无穷多个-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：复数；；故选：B．先根据复数的除法对其化简，再代入模长计算公式即可．本题主要考查复数的有关概念，比较基础．2.答案：D解析：解：向量，，，，解得实数．故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：解：，，，．故选：D．根据即可得出，进而得出．本题考查了描述法的定义，分式不等式的解法，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：有题意可得：，且，可得：，，，所以，所以焦距，故选：C．有题意将点的坐标代入椭圆的方程求出a，b再由a，b，c之间的关系求出c的值，再求焦距2c的值．本题考查椭圆的定义，a，b，c之间的关系，属于基础题5.答案：B解析：解：实数，，且，，当且仅当时，取等号，行列式的最小值是．故选：B．由实数，，且，得到，由此能求出行列式的最小值．本题考查行列式的最小值的求法，考查行列式展开法则和基本不等式的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由，解得．经过验证，都满足条件．““是“直线：和直线：平行”的充分不必要条件．故选：A．由，解得k，即可判断出关系．本题考查了平行线与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．由题意画出图形，连接，，可知为异面直线与所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接，，可知为异面直线与所成的角．为直角三角形，且，，，，得．即异面直线与所成的角为．故选：C．8.答案：D解析：解：数据a，1，2，3，4的平均数是，解得；所以该组数据的方差是，标准差是．故选：D．根据平均数求出a的值，再计算方差和标准差．本题考查了平均数和方差、标准差的计算问题，是基础题．9.答案：C解析：解：A：在定义域内内不单调，不符合题意；B：在定义域R上先减后增，不符合题意；C：在定义域R上单调递增，且，为奇函数，符合题意；D：因为为偶函数，不符合题意．故选：C．结合函数的奇偶性及单调性的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．10.答案：B解析：解：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；由平面的判定的应用直接得出．正确；依次首尾相接的四条线段必共面；错误，可以异面，故错误；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；也可以是互补，故错误；垂直于同一直线的两条直线必平行．可以是异面直线，故错误．故选：B．直接利用线面的平行和垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：立体几何中的线面之间的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：因为，，，，，这7个数分别为：，，，，，，．4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：种；所取的两数之和为偶数的有：；所取的两数之和为偶数的概率为：．故选：B．先根据条件得到，，，，这7个数分别为：，，，，，，，4个奇数，3个偶数；进而求得其对应的概率．本题主要考察二项式系数的性质，以及概率的应用，属于基础题目．12.答案：A解析：解：对于选项A：当时，故函数为奇函数，故该命题为假命题．对于选项B：对任意的，函数的值域为R，所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点，故该命题为真命题．对于选项C：当时，使得，故该命题为真命题．对于选项D：由于，所以函数在单调递增，故不存在，使得幂函数在上单调递减，所以故该命题为真命题．故选：A．直接利用函数的性质的应用，三角函数关系式的变换和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：C解析：解：根据题意，，有，则有，即函数的定义域为，又由，即函数为奇函数，排除A；又由当时，，则，排除BD；故选：C．根据题意，分析可得为奇函数，可以排除A，进而分析时，函数图象的变化趋势，排除BD，即可得答案．本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性、特殊值，属于基础题．14.答案：C解析：解：，，，，，，；中，由余弦定理得：，所以；所以，即两山顶A，C之间的距离为．故选：C．由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．15.答案：C解析：解：依题意，由，可得：，两式相减，可得：，，，，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，．，则，则．故选：C．本题由，可得，两式相减，进一步转化计算可得，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和，最后计算出极限的值．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求和，以及数列极限的计算．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．16.答案：B解析：解：如图，取AC中点D，AB中点E，并连接OD，OE，则：，；，；．故选：B．可画出图形，并将O和AC中点D连接，O和AB中点E连接，从而得到，，根据数量积的计算公式及条件即可得出，，从而便可得出的值．本题主要考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义．17.答案：D解析：解：令得，，即的对称轴方程为，．的最小正周期为，，在上有5条对称轴，第一条是，最后一条是：；，关于对称，，关于对称，，，，，将以上各式相加得：．故选：D．求出的对称轴，根据的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．18.答案：A解析：解：，由对应系数相等知：，，．故选：A．由，利用对应系数相等知，，再由，能求出结果．本题考查代数式的值的求法，考查类比推理等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：D解析：解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值11，则k的取值范围是，故选：D．运用的图象关于对称，求得，由题意可得在恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得t的范围，设，求得其最大值，可得k的范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.答案：C解析：解：由点在抛物线C：上，可得，，抛物线方程为：，由已知得，设点，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，，，因为点A，B在抛物线C上，所以，，，，，故选：C．把点P的坐标代入抛物线方程求出p的值，得到抛物线方程，设直线AB 的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合点A，B 在抛物线上化简，即可得到．本题主要考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，以及斜率公式，是中档题．21.答案：C解析：解：设，公比，则．对任意的都成立，故m是正奇数，又S 存在，所以．时，，此时，即，成立．当时，，此时，不是数列中的项，故不成立．时，，此时，，成立．当时，，由，得，得，又因为，所以，2，此时或，分别代入，得到不合题意，由此满足条件的数列只有两个，即，或，故选：C．由是的子数列，可设，，公比，又因为可得k，m 得关系，再有等比数列的通项公式得通过m取值代入不定方程检验求解，找出符合条件的数列有2个．本题根据新定义子数列，结合等比数列的公式，寻找符合条件的数列，属于探索性试题，方法思路不易，是道有难度试题．第11页，共11页。
上海市2021届松江区高三一模数学试卷word含评分答案
高三数学 第1页 共9页松江区2020学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2020．12考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．3lim 32n n n n →∞=+ ▲ ． 2．若集合{}13A x x =-<<，{}1,2,3,4B =，则A B = ▲ ．3．已知复数z 满足(1i)1i z ⋅-=+（i 为虚数单位），则z = ▲ ．4．若1sin 3α=，则cos(2)πα-= ▲ ． 5．抛物线24y x =-的准线方程是 ▲ ． 6．已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x =对称，则(3)f = ▲ ．7．从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率为 ▲ ．8．在262()x x +的二项展开式中，常数项等于 ▲ ．9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3220cos 1b ca B +=，则角A =▲ ．10．从以下七个函数:y x =,1y x=,2y x =,2x y =,2log y x =,sin y x =,cos y x =中选取两个函数记为()f x 和()g x ，构成函数()()()F x f x g x =+，若()F x 的图像如图所示，则()F x = ▲ ．高三数学 第2页 共9页 11．已知向量1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为 ▲ ． 12．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在12,x x D ∈且12x x ≠，使得221212()()2()f x f x f x x ==+，则称函数()f x 具有性质M ．若函数2()log 1g x x =-(0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为 ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．13．已知两条直线1l 、2l 的方程分别为1:10l ax y +-=和2:210l x y -+=，则“2a =”是“直线12l l ⊥”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．在正方体1111ABCD A B C D - 中，下列四个结论中错误．．的是（ ） （A ）直线1B C 与直线AC 所成的角为60︒（B ）直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒（C ）直线1B C 与直线1AD 所成的角为90︒（D ）直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒15．设00,x y >>，若121x y+=，则y x 的（ ） （A ）最小值为8（B ）最大值为8（C ）最小值为2 （D ）最大值为216．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是( )（A ）(8,14]（B ）(14,18] （C ）(18,20]（D ）81(18,]4高三数学 第3页 共9页三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，且1AA ⊥平面ABC ．过1A 、1C 、B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．（1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知函数2()3sin cos cos 1f x x x x =++．（1）求()f x 的最小正周期和值域； （2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)．经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31k x t -=+（其中k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件), 促销费t 至少为多少 (万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件), 另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为332+x（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?图1 图2高三数学 第4页 共9页20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知椭圆12222=+Γby a x ：（0>>b a ）的右焦点坐标为)0,2(，且长轴长为短轴长的2倍．直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)T ，且OMN ∆的面积为22，求直线l 的方程；（3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠， 点M 关于x 轴的对称点为M '，直线MN 、M N '分别与x 轴相交于P 、Q 两点，求证：OP OQ ⋅ 为定值．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=．若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A 、B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”．（1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集”，请说明理由；（2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为*()d d N ∈的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11a =，1d =或2； （3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”．高三数学 第5页 共9页2020.12松江区高三数学一模试卷参考答案一、填空题1．1； 2．{}1,2 ； 3．1 ； 4．79-；5．1x = ； 6．2log 3； 7．115 ；8．240 ；9．56π；10．2cos x x +；11．23；12．222+ 二、选择题13．C14．B 15．A 16．C17.如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，且1AA ⊥平面ABC .过1A 、1C 、B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．（1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．（2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积．解：（1）∵11//AA CC ∴1BC C ∠即为异面直线1BC 与1AA 所成的角，………2分∵1AA ⊥平面ABC ，∴1CC ⊥平面ABC ，∴190C CB ∠=︒，∵22112,CB AB AC =+=+=12CC =………5分∴ 12tan 2C CB ∠=∴ 12tan 2C CB arc ∠=， 即异面直线1BC 与1AA 所成的角为2tan arc .………7分 (或 3arcsin ， 或6arccos ) （2）11121233B ACC A V -=⋅⋅= ……………10分 111111BAC BAA BA C BC C CAA C S S S S S S ∆∆∆∆=++++全 111115111215221212222222=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=++++ 7522=++……………14分 18.已知2()3sin cos cos 1f x x x x =++（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求k 的取值范围．高三数学 第6页 共9页解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin(2)2222262x x x x x π+=++=++=++………3分 ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==，………5分 值域为15()[,]22f x ∈……………7分（2）记()f x t = ，则15[,]22t ∈ ，…………………8分由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立，即22kt t ≥-恒成立， ∵0t >∴222t k t t t-≥=-……………11分 ∵2()g t t t =-在15[,]22t ∈时单调递增 max 55417()()22510g t g ==-=∴k 的取值范围是1710k ≥……………14分19.某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)．经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31k x t -=+（其中k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件), 促销费t 至少为多少 (万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件), 另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为332+x（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?解：（1）由31k x t -=+，当0t =时，1x =，得2k =∴ 231x t -=+……………4分 由20.11t ≤+解得19t ≥……………7分 （2）网店的利润y (万元)，由题意可得：332(1.5)(332)2x t y x x t x x+=⋅+-++……………10分 993232150()21212t t t t +=--=-+++5042≤-=……………12分 当且仅当32112t t +=+，即7t =时取等号，此时30.25x -=； 所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万高三数学 第7页 共9页件).……………14分20.已知椭圆12222=+Γby a x ： （0>>b a ）的右焦点的坐标为)0,2(，且长轴长为短轴长的2倍.直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)T ，且OMN ∆的面积为l 的方程；（3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠， 点M 关于x 轴的对称点为M '，直线MN 、M N '分别与x 轴交于P 、Q 两点，求证：OP OQ ⋅ 为定值.解：（1）由题意得b a 2=，422=-b a ，……………2分 解得22=a ，2=b ，所以椭圆Γ的方程为14822=+y x .…………4分 （2）设点M 、N 的坐标为11(,)M x y 、),(22y x N ，直线l 的方程为4+=kx y .…5分 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=148422y x kx y ，得02416)21(22=+++kx x k 所以2212116k k x x +-=+，2212124k x x +=………7分12142OMN S x x ∆=⋅⋅-==解得k ∴直线l的方程为42y x =±+…………10分 （3）由题意知M '点的坐标为11(,)M x y '-…………11分将y kx t =+，代入14822=+y x 得：0824)12(222=-+++t ktx x k ，1282,1242221221+-=+-=+∴k t x x k kt x x 12122()221t y y k x x t k +=++=+…………13分 对于直线y kx t =+，令0y =得t x k=-∴t OP k =-…………14分 对于直线M N '：212221()y y y y x x x x +-=--，令0y = 得221122112212212121()()()y x x x y x y x kx t x kx t x x y y y y y y --++++=+==+++高三数学 第8页 共9页1212212()8kx x t x x k y y t ++==-+，∴8k OQ t=- 88t k OP OQ k t⋅=-⋅-=…………16分 21.对于由m (2)m ≥个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++.若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集,A B ，使得()()k P A P B =-成立，称集合M 为“满集”.特别规定()0P ∅=.（1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集”，请说明理由； （2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为*()d d N ∈的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11a =，1d =或2； （3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”；.[解答]：（1）集合1M 是“满集”，集合2M 不是“满集”. …………2分对于集合1M ，1()123P M =+=，且1M 共有4个子集：,{1},{2},{1,2}∅当k 分别取1,2,3时，由1({1})();2({2})();3({1,2})();P P P P P P =-∅=-∅=-∅ 故1M 是“满集”；……………3分对于集合2M ，1()145P M =+=，且1M 共有4个子集：,{1},{4},{1,4}∅当2k =时，不存在{1,4}的两个子集,A B ，使得()()2P A P B -=，故2M 不是“满集”……………4分（2）∵12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为*()d d N ∈的等差数列，∴12m a a a <<<，记012()m k P M a a a ==+++……………5分∵M 为“满集”，∴对任意的正整数0k k ≤，都存在集合M 的两个子集,A B ，使得()()k P A P B =-成立， 当01k k =-时，由01()()k P A P B -=-，及()0P B ≥知0()P A k =或0()1P A k =-， 若0()P A k =，则()1P B =，∴11a =，此时123{,,,,}m A a a a a =，1{}B a =……7分 若0()1P A k =-，则A M ⊂，在M 的真子集中，23()m P A a a a =+++最大，必有11a =， 此时23{,,,}m A a a a =，B =∅.综上可得：∴11a =………………8分若3d ≥，当03k k =-时，∵0000(0)(1)((1)1)((1))k k k k k d ->->-->>-+>，∴不存在M 的子集,A B ，使得03()()k k P A P B =-=-，∴1,2d =， 综合得：集合M 为“满集”的必要条件是，1d =或2………………10分（3）由已知：11{1,2,4,,2},()124221m m m P P M --==++++=-…………11分 对任意21m k ≤-，∵k N *∈，∴存在*11,k k k N <∈和1{0,1}p ∈，使得112k k p =+， 同理有1222k k p =+，2332k k p =+，其中*1,,{0,1}i i i i k k k N p -<∈∈，经过有限次的操作后，必存在1s k =(0)s m ≤<，高三数学 第9页 共9页 ∴1201122112122(2)22222s s s s s k k p k p p p p p p ---=+=++==+++++…………14分 当121n j j j p p p ====时，122222n j j j s k =++++…………16分 此时取1{2,2,,2},n j j s A B ==∅，则有12()()(2222)0n j j j s P A P B k -=++++-= .∴集合M 是“满集”.…………18分。
2020年上海松江区高三一模数学试卷
2020年上海松江区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，共54分）1.已知集合，，则 ．2.若角的终边过点，则 ．3.设，则 ．4.的展开式中的系数为 ．5.已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上的点满足，则．6.若关于，的二元一次方程组无解，则实数 ．7.已知向量，，若向量，则实数 ．8.已知函数存在反函数，若函数的图象经过点 ，则函数的图象必经过点 ．9.在无穷等比数列中，若，则的取值范围是 ．10.函数的大致图象如图，若函数图象经过和两点，且和是其两条渐近线，则 ．11.若实数，，满足，，则实数的最小值为 ．12.记边长为的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则的概率为 ．二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）．A.存在唯一的一条直线，使得B.存在无限多条直线，使得C.存在唯一的一条直线，使得D.存在无限多条直线，使得14.设，，则“”是“、中至少有一个数大于”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.已知，，若对任意的恒成立，则（ ）．A.的最小值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为16.已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则（ ）．A.B.C.D.三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点．求圆锥的侧面积和体积．求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数表示）（1）（2）18.已知函数．求的最大值．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，、、成等差数列，且，求边的长．19.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为段，分别为准备时间、人的反应时间、系统（1）（2）反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑成度等路面情况而变化，）．请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间（精确到秒）．若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？（1）（2）（3）20.设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．若，求点的坐标．若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部．若，且直线，与有且只有一个公共点，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由．（1）（2）（3）21.已知数列满足：①；②当时，；③当时，，记数列的前项和为．求，，的值．若，求的最小值．求证：的充要条件是．【答案】1.解析:∵集合，，∴．2.解析:∵角的终边过点，∴，，，故．3.解析:，．4.解析:二项展开式的通项，令，得，所以展开式中的系数为．5.解析:椭圆，左、右焦点为，，为椭圆上的点，则，∵，即，．∴．解析:关于，的二元一次方程组无解，则①与②两直线平行，．当时，①，②，①与②有交点，所以不符合题意．．当时，方程无解，则①与②平行，∵①：，②：，则∴．故答案为：．解析:∵，，，6.①②7.由，则，，即，解得，，故实数．8.解析:∵函数图象经过点，∴，则，函数经过，由为函数的反函数，则过点，∵，当时，，∴函数 的图象经过点．9.解析:∵无穷等比数列中，∴且且，∴．∵且，∴且．故答案为：．10.解析:已知函数的大致图象经过和．且和是其两条渐近线．所以有，即．解得，即．11.解析:,∵，∴，∵，∴，，∴，此时．故答案为：．12.解析:如下图所示，集合中的向量包含三类：六条边有个向量（如），过中心有个向量（如），剩余个向量（如），即集合中有个元素．其中每条边上的向量（如）都和两个向量（如和）垂直，然后每条过中心的向量（如）都和两个向量（如和）垂直，即概率．解析:已知是平面的一种斜线则过与平面的交点有且只有一条直线与垂直．在平面内有无数条直线与平行．所以在无限多条直线，使得．故选．解析:假设，均不大于，即且，则，这与已知条件矛盾，即当时，中至少有一个大于，即充分性成立，若，，满足，中至少有一个数大于，但不成立，即必要性不成立，故““是“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件，故正确．故选．解析:如图，等价转化为“已知，，若，求的最小值”．化动为静，结合图像，容易得到时．最小，为，∴．故选．B 13.A 14.B 15.C16.（1）（2）解析:当，此时，这种情况共有种（相当于的子集，加上后形成的新集合），当，，此时，这种情况共有种（相当于的子集，加上后形成的新集合），，依此类推，∴当取遍的所有非空子集时，．选．解析:已知圆锥底面半径为，高，所以底面周长为，，所以圆锥的侧面积．体积．以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图直角坐标系，所以，，，，（1）侧面积．．（2）直线与直线所成角的大小为．17.（1）（2）因为点是母线的中点，所以的坐标为，故，，，所以直线与直线所成角的大小为．解析:函数，∵，∴，函数最大值为．∵，，，由为内角，则，即，∵，∴，即，∵，，成等差数列，则，由余弦定理，，（1）．（2）．18.（1）（2）（1）（2）即，，得，故．解析:根据题意，，当时，秒，当且仅当，即时等号成立．依题意，若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则路况最糟糕时也需满足，即时，，即，解得米/秒，合千米/小时．解析:由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设，由及抛物线定义知，，代入得，所以点的坐标或．设，，（1）秒．（2）米/秒，合千米/小时．19.（1）或．（2）证明见解析．（3）点的坐标为，．20.（3）（1）设直线的方程是：，联立，消去得：，由韦达定理得，，故恒为钝角，故原点总在以线段为直径的圆的内部．设，则，因为，则，由得，故．故直线的斜率．因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设，则，，，当且仅当，即时等号成立，由得，解得或（舍），所以点的坐标为，．解析:因，，且是自然数，∴；，，且，都是自然数；∴或；，，且，（1）；或；或．（2）．（3）证明见解析．21.（2）（3）∴或．，当时，，由于，所以或，，，，，．∴，．∵，∴，又，，所以．必要性：若，则，①，②①②得：，③由于，或或，且或，只有当，，同时成立时，等式③才成立，∴，充分性：若，由于，所以，即，，，，，又，所以对任意的，都有，（Ⅰ）另一方面，由，，所以对任意的，都有，（Ⅱ）∴，由于，，∴，证毕．。
2020学年上海市松江区高考一模数学
2020年上海市松江区高考一模数学一.填空题(本大题满分56分)本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N=_____.解析：∵集合M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}，∴M∩N={1}.答案：{1}.2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a+i=2-bi，则(a+bi)2=_____.解析：由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案.答案：3-4i.3.已知函数f(x)=a x-1的图象经过(1，1)点，则f-1(3)=_____.解析：根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案.答案：2.4.不等式x|x-1|＞0的解集为_____.解析：∵x|x-1|＞0，∴x＞0，|x-1|＞0，故x-1＞0或x-1＜0，解得：x＞1或0＜x＜1，故不等式的解集是(0，1)∪(1，+∞)，答案：(0，1)∪(1，+∞).5.已知向量a=(sinx，cosx)，b=(sinx，sinx)，则函数f(x)=a·b的最小正周期为_____. 解析：由平面向量的坐标运算可得f(x)，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期. 答案：π.6.里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道.在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为_____.解析：先求出基本事件总数n=88A，再求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m=2727A A，由此能求出2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率.答案：14.7.按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是_____.解析：模拟程序的运行，可得 x=17，k=0执行循环体，x=35，k=1不满足条件x ＞115，执行循环体，x=71，k=2 不满足条件x ＞115，执行循环体，x=143，k=3 满足条件x ＞115，退出循环，输出x 的值为143. 答案：143.8.设(1+x)n=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，若2313a a =，则n=_____. 解析：利用二项式定理展开可得：(1+x)n=1+12233nnnx x x+++…= a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，比较系数即可得出.答案：11.9.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是_____cm 2.解析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案..10.设P(x ，y)是曲线C上的点，F 1(-4，0)，F 2(4，0)，则|PF 1|+|PF 2|的最大值=_____.解析：先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知|PF 1|+|PF 2|的最大值为10. 答案：10.11.已知函数f(x)=3283x x x ≤≤-⎪⎩，＞，若F(x)=f(x)-kx 在其定义域内有3个零点，则实数k ∈_____.解析：问题转化为f(x)和y=kx 有3个交点，画出函数f(x)和y=kx 的图象，求出临界值，从而求出k 的范围即可.答案：(0，3).12.已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，若|a n+1-a n |=2n (n ∈N *)，且{a 2n-1}是递增数列、{a 2n }是递减数列，则212limn n na a -→∞=_____.解析：依题意，可求得a 3-a 2=22，a 4-a 3=-23，…，a 2n -a 2n-1=-22n-1，累加求和，可得a 2n =2131233n-⋅，a 2n-1=a 2n+22n-1=2131236n+⋅；从而可求得212lim n n na a -→∞的值.答案：-12.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.已知a ，b ∈R ，则“ab ＞0“是“b aa b+＞2”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：根据充分必要条件的定义判断即可. 答案：B.14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在截面A 1DB 上，则线段AP 的最小值等于( )A.13B.12C.解析：由已知可得AC 1⊥平面A 1DB ，可得P 为AC 1与截面A 1DB 的垂足时线段AP 最小，然后利用等积法求解. 答案：C.15.若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：a 11，a 12，a 21，a 22∈{0，1}，且11122122a a a a =0，则这样的互不相等的矩阵共有( )A.2个B.6个C.8个D.10个解析：根据题意，分类讨论，考虑全为0；全为1；三个0，一个1；两个0，两个1，即可得出结论. 答案：D.16.解不等式(12)x -x+ 12＞0时，可构造函数f(x)=(12)x-x ，由f(x)在x ∈R 是减函数，及f(x)＞f(1)，可得x ＜1.用类似的方法可求得不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0的解集为( ) A.(0，1] B.(-1，1) C.(-1，1] D.(-1，0)解析：由题意，构造函数g(x)=arcsinx+x 3，在x ∈[-1，1]上是增函数，且是奇函数，不等式arcsinx 2+arcsinx+x 6+x 3＞0可化为g(x 2)＞g(-x)，∴-1≤-x ＜x 2≤1， ∴0＜x ≤1. 答案：A.三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB=a ，E 是棱PC 的中点.(1)求证：PC ⊥BD ；(2)求直线BE 与PA 所成角的余弦值.解析：(1)推导出△PBC ，△PDC 都是等边三角形，从而BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，由此能证明PC ⊥BD.(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE ，则AP ∥OE ，∠BOE 即为BE 与PA 所成的角，由此能求出直线BE 与PA 所成角的余弦值.答案：(1)∵四边形ABCD 为正方形，且PA=AB=a ，∴△PBC ，△PDC 都是等边三角形， ∵E 是棱PC 的中点，∴BE ⊥PC ，DE ⊥PC ，又 BE ∩DE=E ， ∴PC ⊥平面BDE 又BD ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BD(2)连接AC ，交BD 于点O ，连OE.四边形ABCD 为正方形，∴O 是AC 的中点 又E 是PC 的中点∴OE 为△ACP 的中位线，∴AP ∥OE ∴∠BEO 即为BE 与PA 所成的角在Rt △BOE 中，BE=2a ，EO=12PA=12a ，∴cos ∠BEO=OE BE=3.∴直线BE 与PA .18.已知函数F(x)=2121x x a ⋅-+，(a 为实数).(1)根据a 的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若对任意的x ≥1，都有1≤f(x)≤3，求a 的取值范围.解析：(1)根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F(-x)的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f(x)是偶函数，②若y=f(x)是奇函数，分别求出每种情况下a 的值，综合即可得答案；(2)根据题意，由f(x)的范围，分2种情况进行讨论：f(x)≥1以及f(x)≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a 的值，进而综合2种情况，可得答案.答案：(1)函数F(x)=2121x x a ⋅-+定义域为R ，且F(-x)=2121x x a --⋅-+=212xxa -+，①若y=f(x)是偶函数，则对任意的x 都有f(x)=f(-x)，即2121xxa⋅-+=212xxa-+，即2x(a+1)=a+1，解可得a=-1；②若y=f(x)是奇函数，则对任意的x 都有f(x)=-f(-x)，即2121xxa⋅-+=-212xxa-+，即2x(a-1)=1-a，解可得a=1；故当a=-1时，y=f(x)是偶函数，当a=1时，y=f(x)是奇函数，当a≠±1时，y=f(x)既非偶函数也非奇函数，(2)由f(x)≥1可得：2x+1≤a·2x-1，即22x≤a-1∵当x≥1时，函数y1=22x单调递减，其最大值为1，则必有a≥2，同理，由f(x)≤3 可得：a·2x-1≤3·2x+3，即a-3≤42x，∵当x≥1时，y2=42x单调递减，且无限趋近于0，故a≤3，综合可得：2≤a≤3.19.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”.兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P 点为塔尖、点P在地面上的射影为点H.在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°(点A、B、O都在同一水平面上)，此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米.试求：(1)塔高(即线段PH的长，精确到0.1米)；(2)塔身的倾斜度(即PO与PH的夹角，精确到0.1°).解析：(1)由题意可知：△PAH，△PBH均为等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86； (2)∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：sin sin OH BH OBH BOH =∠∠，OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，则倾斜角∠OPH=arctan OHPH =arctan 2.2818.86=6.89°. 答案：(1)设塔高PH=x ，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°， ∴△PAH ，△PBH 均为等腰直角三角形， ∴AH=BH=x在△AHB 中，AH=BH=x ，∠HAB=27°，AB=33.6，∴x=16.82cos cos 27ABHAB =∠︒=18.86 (2)在△BOH 中，∠BOH=120°，∴∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.9，由sin sin OH BHOBH BOH =∠∠， 得OH=18.86sin 6sin120⨯︒︒=2.28，∴∠OPH=arctan OHPH=arctan 2.2818.86≈6.9°，∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9°.20.已知双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l 交双曲线于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率k PA ，k PB 均存在，求证：k PA ·k PB 为定值；(3)若l 过双曲线的右焦点F 1，是否存在x 轴上的点M(m ，0)，使得直线l 绕点F 1无论怎样转动，都有MA MB ⋅=0成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1)利用双曲线C ：2222x y a b-=1经过点(2，3)，两条渐近线的夹角为60°，建立方程，即可求双曲线C 的方程；(2)设M(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得N 的坐标，设P(x ，y)，结合题意，又由M 、P在双曲线上，可得y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，将其坐标代入k PM ·k PN 中，计算可得答案.(3)先假设存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设出M 点坐标，根据数量级为0，求得结论.答案：(1)解：由题意得22491a bb a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得a=1，∴双曲线C 的方程为223y x -=1；(2)证明：设A(x 0，y 0)，由双曲线的对称性，可得B(-x 0，-y 0). 设P(x ，y)，则k PA ·k PB =22020y y x x --，∵y 02=3x 02-3，y 2=3x 2-3，∴kPA ·kPB=22020y y x x --=3(3)解：由(1)得点F 1为(2，0)当直线l 的斜率存在时，设直线方程y=k(x-2)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)将方程y=k(x-2)与双曲线方程联立消去y 得：(k 2-3)x 2-4k 2x+4k 2+3=0，∴x 1+x 2=2243k k -，x 1x 2=22433k k +-假设双曲线C 上存在定点M ，使MA ⊥MB 恒成立，设为M(m ，n) 则MA MB⋅=(x 1-m)(x 2-m)+[k(x 1-2)-n][k(x 2-2)-n]=(k 2+1)x 1x 2-(2k 2+kn+m)(x 1+x 2)+m 2+4k 2+4kn+n 2=()()2222224512313mn m k nk m n k +----+--=0，故得：(m 2+n 2-4m-5)k 2-12nk-3(m 2+n 2-1)=0对任意的k 2＞3恒成立，∴222245012010m n m n m n ⎧+--=⎪=⎨⎪+-=⎩，解得m=-1，n=0 ∴当点M 为(-1，0)时，MA ⊥MB 恒成立；当直线l 的斜率不存在时，由A(2，3)，B(2，-3)知点M(-1，0)使得MA ⊥MB 也成立.又因为点(-1，0)是双曲线C的左顶点，所以双曲线C上存在定点M(-1，0)，使MA⊥MB恒成立.21.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”.(1)若数列{a n}为“H型数列”，且a1=1m-3，a2=1m，a3=4，求实数m的取值范围；(2)是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2+n(n∈N*)？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由.(3)已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n=23a n，c n=()512nnan-+⋅，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由.解析：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m范围即可得出.(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.解出即可判断出结论.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，可得a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n-b n-1}(n≥2)中，“b2-b1”为最小项.由{a n}为“H型数列”，可知只需a2-a1＞2，即 a1(q-1)＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2-b1”为最小项，可得b2-b1≤2，即 a1(q-1)≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论.答案：(1)由题意得，a2-a1=3＞2，a3-a2=4-1m＞2，即2-1m=21mm-＞0，解得m＞12或m＜0.∴实数m的取值范围时(-∞，0)∪(12，+∞).(2)假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：S n=n+()12 n n-d，由题意可得：n+()12n n-d＜n2+n对n∈N*都成立，即d＜21nn-都成立.∵21nn-=2+21n-＞2，且2lim1nnn→∞-=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”.(3)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，且每一项均为正整数，且a n+1-a n=a n(q-1)＞2＞0，∴a1＞0，q＞1.∵a n+1-a n=a n(q-1)＞a n-a n-1，即在数列{a n-a n-1}(n≥2)中，“a2-a1”为最小项.同理在数列{b n -b n-1}(n ≥2)中，“b 2-b 1”为最小项.由{a n }为“H 型数列”，可知只需a 2-a 1＞2，即 a 1(q-1)＞2，又因为{b n }不是“H 型数列”，且“b 2-b 1”为最小项，∴b 2-b 1≤2，即 a 1(q-1)≤3，由数列{a n }的每一项均为正整数，可得 a 1(q-1)=3，∴a 1=1，q=4或a 1=3，q=2，①当a 1=1，q=4时，a n =4n-1，则c n =()13542121n n n n n -+-=⋅++，令d n =c n+1-c n (n ∈N *)，则d n =432221n n n n ++-++=2n+3·()()12nn n ++，令e n =d n+1-d n (n ∈N *)，则e n =2n+4·()()123n n n +++-2n+3·()()12n n n ++=322n n ++·()()2213n n n n ++++＞0， ∴{d n }为递增数列，即 d n ＞d n-1＞d n-2＞…＞d 1，即 c n+1-c n ＞c n -c n-1＞c n-1-c n-2＞…＞c 2-c 1， ∵c 2-c 1=323-8=83＞2，所以，对任意的n ∈N *都有c n+1-c n ＞2，即数列{c n }为“H 型数列”.②当a 1=3，q=2时，a n =3·2n-1，则c n =()153?2481?21n n n n --=++，显然，{c n }为递减数列，c 2-c 1＜0≤2， 故数列{c n }不是“H 型数列”； 综上：当a n =4n-1时，数列{c n }为“H 型数列”，当a n =3·2n-1时，数列{c n }不是“H 型数列”.。
上海市松江区2020-2021学年第一学期一模考试 高三年级 数学 试卷及参考答案
（2）若直线 l 经过点T (0, 4) ，且 OMN 的面积为 2 2 ，求直线 l 的方程；
（3）若直线 l 的方程为 y = kx + t(k 0) ， 点 M 关于 x 轴的对称点为 M ，直线 MN 、 M N 分别与 x 轴
相交于 P 、 Q 两点，求证： OP OQ 为定值．
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松江区 2020 学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
2020．12
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非
选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号。
▲．
8．在 (x2 + 2 )6 的二项展开式中，常数项等于 ▲ ． x
9．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 3b + 2c 2a = 0 ，则角 A = ▲ ． cos B 1
10．从以下七个函数:
y
=
x
,
y
=
1 x
,
y
=
x2
,
y
=
2x
,
y
=
log2
x
,
y
=
sin
x
,
y
=
cos
x 中选取两个函数记为
f (x) 和 g(x) ，构成函数 F(x) = f (x) + g(x) ，若 F(x) 的图像如图所示，则 F(x) = ▲ ．
11．已知向量 a = b = c = 1，若 a b = 1 ，且 c = xa + yb ，则 x + y 的最大值为 ▲ ． 2