习题课11--三重积分部分
三重积分、重积分习题(供参考)
三重积分1．将I=zdvΩ⎰⎰⎰分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面z=222y x --及z=x 2+y 2所围成的闭区域.分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及22y x z +=，而由这两个方程所组成的方程组22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解 将Ω投影到xoy 平面上，由22222,z x y z x y ⎧=--⎨=+⎩消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2=1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2≤1 ．为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰到的曲面为22y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1)(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积分．因此再由D ：x 2+y 2≤1，有22y x z +=≤222y x z --=，于是在直角坐标下，Ω可表示为Ω :2222221111,2,x x y x x y z x y -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪+≤≤--⎩，于是有I=⎰⎰----221111x x dy dx ⎰--+22222y x y x zdz.(2) 柱面坐标下首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2表示为z= 2ρ，z=222y x --表示为z=22ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可表示为Ω：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有I=Ω⎰⎰⎰υzd =Ω⎰⎰⎰dzd d z θρρ=⎰πθ20d ⎰1ρd ⎰-2222ρρρdz.(3) 球面坐标下用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x2+y2变为ρ=φφ2sin cos ；曲面z=222y x --变为ρ=2．由Ω在xoy 平面上的投影为x 2+y 2≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围．正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→op 与→oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y2与xoy 平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π再找ρ的变化范围．原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零．为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=22222y x z y x z ，上取一点A(0，1，1)，故A 所对应的4πφ=．当24πφπ≤≤时，r 的上界由曲面r=φφ2sin cos 所给，故这时r φφφφcsc cot sin cos 2≤≤．即r 的变化范围为0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤时。
[理学]三重积分习题课ppt课件
![[理学]三重积分习题课ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/4ee4da0b856a561253d36fa0.png)
2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于 在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体 的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：
三重积分习题
x 1}
于是
于是
{(x,y,z)|x2y2
z 1,-.1x2y \ 1x2,1 x
1<1x2
I dx:_dy
1v1 x2丿x2y由曲面z x22y2及z曲积分区域可表示为
1}
1
2w2
{(x,y,z)|x22y2z
提示
x2+y2=1
i
dx
i
曲面
由曲面cz
区域
解
于是
f (x,y,z)dz
y z)是三个函数
f2( y)>f3( z)的乘积
{(x y z)| a x
即
fi(x)、
区域
等于三个单积分的乘积
即f(
b
z)
d
fi(x)
zn}
f2(y) fa(z)积分
证明这个三重积分
b
afi(x)dx「f2(y)dylf3(z)dz
acl
化三重积分I f (x, y, z) dxdydz为三次积分
其中积分区域 分别
是
(1)
解
于是
由双曲抛物面xy z及平面x y 10 z
积分区域可表示为
{(x y z)| 0 z xy 0 y 1 x11 x xy
I dx dy f (x, y, z)dz
由曲面z x2y2及平面z 1所围成的闭区域 积分区域可表示为
2 x2所围成的闭2
2
z x
xy(c
2 x2,d
x2y 1 x2,
1 x 1}
f (x, y,z)dz
2y2与z
的交线在xOy面上的投影曲线为
0)
a2
0所围成的在第一卦限内的闭
三重积分习题
931 化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分其中积分区域分别是(1)由双曲抛物面xy z 及平面x y 10 z 0所围成的闭区域解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z xy 0y 1x 0x 1} 于是 ⎰⎰⎰-=xyx dzz y x f dy dx I 01010),,((2)由曲面z x 2y 2及平面z 1所围成的闭区域解 积分区域可表示为}11 ,11 ,1|),,{(2222≤≤--≤≤--≤≤+=Ωx x y x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰+----=111112222),,(y x x xdz z y x f dy dx I(3)由曲面z x 22y 2及z 2x 2所围成的闭区域解 曲积分区域可表示为}11 ,11 ,22|),,{(22222≤≤--≤≤---≤≤+=Ωx x y x x z y x z y x于是 ⎰⎰⎰-+----=22222221111),,(x y x x x dz z y x f dy dx I提示 曲面z x 22y 2与z 2x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1(4)由曲面cz xy (c 0) 12222=+by a x z 0所围成的在第一卦限内的闭区域解 曲积分区域可表示为}0 ,0 ,0|),,{(22a x x a ab yc xyz z y x ≤≤-≤≤≤≤=Ω于是 ⎰⎰⎰-=c xy x a a b adz z y x f dy dx I 000),,(22提示 区域的上边界曲面为曲面c z xy 下边界曲面为平面z 02 设有一物体 占有空间闭区域{(x y z )|0x 1 0y 1 0z 1} 在点(x y z )处的密度为(x y z )x y z 计算该物体的质量解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++==Ω101010)(dz z y x dy dx dxdydz M ρ⎰⎰++=1010)21(dy y x dx⎰⎰+=++=1010102)1(]2121[dx x dx y y xy 23)1(21102=+=x3如果三重积分⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ),,(的被积函数f (xy z )是三个函数f 1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积 即f (x y z ) f 1(x )f 2(y )f 3(z ) 积分区域{(x y z )|a x b c y d l z m } 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωmldcbadzz f dy y f dx x f dxdydz z f y f x f )()()()()()(321321证明 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z f y f x f )()()(321dx dy dz z f y f x f ba dcml]))()()(([321⎰⎰⎰=dx dy dz z f y f x f b a d c m l]))()()(([321⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=m ldcb adx dy y f dz z f x f )])()()()([(231dx x f dy y f dz z f bam ld c)]())()()([(123⎰⎰⎰=⎰⎰⎰=d cbam ldx x f dy y f dz z f )())()()((123⎰⎰⎰=d cmlb adzz f dy y f dx x f )()()(3214计算⎰⎰⎰Ωdxdydzz xy 32 其中是由曲面z xy 与平面y x x 1和z 0所围成的闭区域 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z xy 0y x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32⎰⎰⎰=xyxdz z dy y xdx 030210⎰⎰=xxy dy z y xdx 004210]4[⎰⎰=x dy y dx x 051054136412811012==⎰dx x5 计算⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz 其中为平面x 0 y 0 z 0x y z 1所围成的四面体 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z 1x y 0y 1x 0x 1}于是 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰--++=xdy y x dx 1021]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ )852(ln 21-=提示⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ⎰⎰⎰---+++=y x x dz z y x dy dx 1031010)1(1 ⎰⎰---+++-=xyx dy z y x dx 101021])1(21[⎰⎰--++=x dy y x dx 10210]81)1(21[ dx y y x x-⎰-++-=101]81)1(21[dx x x ⎰+-+=10]8183)1(21[ 102]16183)1ln(21[x x x +-+= )852(ln 21-=6计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz其中为球面x 2y 2z 21及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域解 积分区域可表示为}10 ,10 ,10|),,{(222≤≤-≤≤--≤≤=Ωx x y y x z z y x 于是 ⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ⎰⎰⎰---=222101010x y x xyzdz dy dx⎰⎰---=2102210)1(21x dy y x xy dx ⎰-=1022)1(81dx x x 481=7计算⎰⎰⎰Ωxzdxdydz其中是由平面z 0 z y y 1以及抛物柱面y x 2所围成的闭区域 解 积分区域可表示为 {(x y z )| 0z y x 2y 1 1x 1}于是 ⎰⎰⎰Ωxzdxdydz ⎰⎰⎰-=yx zdz dy xdx 01112⎰⎰-=1211221x dy y xdx)1(61116=-=⎰-dx x x8计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz其中是由锥面22y x Rh z +=与平面zh (R 0h 0)所围成的闭区域解 当0z h 时 过(0 0 z )作平行于xOy 面的平面 截得立体的截面为圆D z 222)(z h R y x =+ 故D z 的半径为z h R 面积为222z h R π 于是⎰⎰⎰Ωzdxdydz⎰⎰⎰zD hdxdy zdz 0⎰==h h R dz z hR 0223224ππ9 利用柱面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωzdv其中是由曲面222y x z --=及z x 2y 2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 021222ρρ-≤≤z于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=1022022ρρπρρθzdz d d ⎰--=1042)2(212ρρρρπdπρρρρπ127)2(1053=--=⎰d(2)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面x 2y 22z 及平面z 2所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为02 02222≤≤z ρ于是 dv y x )(22+Ω⎰⎰⎰dz d d θρρρ⋅=Ω⎰⎰⎰2⎰⎰⎰=22123202ρπρρθdz d d⎰⎰-=205320)212(ρρρθπd d ⎰==ππθ2031638d10 利用球面坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ω++dvz y x )(222 其中是由球面x 2y 2z 21所围成的闭区域 解 在球面坐标下积分区域可表示为 02 00r 1于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(222⎰⎰⎰Ω⋅=θϕϕd drd r sin 4⎰⎰⎰=104020sin dr r d d ππϕϕθπ54=(2)⎰⎰⎰Ωzdv其中闭区域由不等式x 2y 2(z a )2a 2 x 2y 2z 2 所确定解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⋅=θϕϕϕd drd r r zdv sin cos 2⎰⋅=404)cos 2(41cos sin 2πϕϕϕϕπd a4405467cos sin 8a d a πϕϕϕππ==⎰11 选用适当的坐标计算下列三重积分(1)⎰⎰⎰Ωxydv其中为柱面x 2y 21及平面z 1 z 0 x 0 y 0所围成的在第一卦限内的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为10 ,10 ,20≤≤≤≤≤≤z ρπθ于是 ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰Ω⋅⋅=dz d d θρρθρθρsin cos⎰⎰⎰==101032081cos sin dz d d ρρθθθπ别解 用直角坐标计算⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰-=1010102dz ydy xdx x ⎰⎰-=21010x ydy xdx ⎰-=103)22(dx x x 81]84[1042=-=x x (2)⎰⎰⎰Ω++dvz y x 222 其中是由球面x 2y 2z 2z 所围成的闭区域解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 0 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222⎰⎰⎰⋅=ϕππϕϕθcos 022020sin dr r r d d10cos 41sin 2204πϕϕϕππ=⋅=⎰d(3)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中是由曲面4z 225(x 2y 2)及平面z 5所围成的闭区域解 在柱面坐标下积分区域可表示为 525 ,20 ,20≤≤≤≤≤≤z ρρπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰=52520320ρπρρθdz d dπρρρπ8)255(2203=-=⎰d(4)⎰⎰⎰Ω+dvy x )(22 其中闭区域由不等式Az y x a ≤++≤<2220 z所确定解 在球面坐标下积分区域可表示为Ar a ≤≤≤≤≤≤ ,20 ,20πϕπθ于是 ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22θϕϕθϕϕϕd drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222⎰⎰⎰Ω+=)(154sin 55420320a A dr r d d Aa -==⎰⎰⎰πϕϕθππ12 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积(1)z 6x 2y 2及22y x z +=解 在柱面坐标下积分区域可表示为0 2 02 z 62于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dz d d dv V θρρ⎰⎰⎰-=262020ρρπρρθdz d d⎰=--=2032332)6(2πρρρρπd(2)x 2y 2z 22az (a 0)及x 2y 2z 2(含有z 轴的部分)解 在球面坐标下积分区域可表示为ϕπϕπθcos 20 ,40 ,20a r ≤≤≤≤≤≤于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd r dv V sin 2⎰⎰⎰=ϕππϕϕθcos 2024020sin a dr r d d34033sin cos 382a d a πϕϕϕππ==⎰(3)22y x z +=及zx 2y 2解 在柱面坐标下积分区域可表示为 02 01 2z于是 6)(2103210202πρρρπρρθρρπ=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωd dz d d dv V(4)225y x z --=及x 2y 24z解 在柱面坐标下积分区域可表示为 22541 ,20 ,20ρρρπθ-≤≤≤≤≤≤z于是 ⎰⎰⎰-=22541220ρρπρρθdz d d V)455(32)45(22022-=--=⎰πρρρρπd13 球心在原点、半径为R 的球体 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比 求这球体的质量 解 密度函数为222),,(z y x k z y x ++=ρ 在球面坐标下积分区域可表示为02r R于是 ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x k M 2224220sin R k dr r kr d d R πϕϕθππ=⋅=⎰⎰⎰。
习题课11--三重积分部分
宁波工程学院 高等数学AI 教案习题课11（三重积分部分）1.利用二重积分、三重积分求下列立体Ω的体积：⑵ Ω是由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体.2.化三重积分dv z y x f ⎰⎰⎰Ω).,(为三次积分，其中积分区域Ω是：由曲面z x y =及平面1,0,0,0x y z x y +====围成的位于第一卦限的闭区域.3.dv z ⎰⎰⎰Ω2其中Ω为两个球体2222R z y x =++与2222x y z Rz ++=的公共部分(0)R >.提示：用坐标轴投影法.4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）v d y x ⎰⎰⎰+Ω22，其中Ω是由曲面229z x y =--及平面0z =所围成的闭区域； （2）v d y ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲面22z x y =+及平面2z y =所围成的闭区域.（3）⎰⎰⎰Ω++122y x dxdydz ，其中Ω为锥面222z y x =+及平面1=z 所围成的闭区域； （4）dxdydz y x z ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω由曲面22x x y -=，0=z ，)0(>=a a z ，0=y 所围成的闭区域。
5.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）dv y ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω为介于两球面2222x y z a ++=与2222b z y x =++之间的部分(0)a b ≤<.（2）v d y x ⎰⎰⎰Ω+)(22，其中Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域. （3）计算⎰⎰⎰Ω++dv z y x f )(222，Ω： 1222≤++z y x （4）计算dv e z y x Z ⎰⎰⎰≤++1222 6.选用适当的坐标系计算下列三重积分。
（1）⎰⎰⎰Ωdxdydz xyz ，Ω是由曲面226y xz --=，22y x z +=所围成闭区域； （2）dxdydz z y x z⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是由不等式：1222≤++z y x ，223y x z +≥所确定；（3）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2其中Ω是2222R z y x≤++ ，)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分。
三重积分习题ppt课件
z
2
解法1：利用“先二后一”方法计算。
1
因 {(x, y, z) | (x, y) Dz, 0 z 2}
oD
y
由于当 0 z 1 时， Dz : x 2 y 2 z 2；
x
而当 1 z 2 时， Dz : x2 y2 2 z2 。
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故需用平面 z 1 将积分区域 划分为两部分： 1 2
h
所以本题也可采用柱面坐标计算
解法1：利用“先二后一”方法计算。
由于 {( x, y, z) | ( x, y) Dz , 0 z ，h}
o R x
Dz
R
y
其中 Dz : x 2 y 2 Rh22z，2 故
zdxdydz
h
zdz
dxdy
h
R2z2
z
dz
0 Dz
0
h2
R 2
注意：从上面两种解法的过程来看, 虽然本题可用两种方法
来计算，但“先二后一”法相对简便。
26/37
9(2). 计算三重积分 zdxdydz , 其中 是由圆锥面 z x2 y2 与上半球面 z 2 x2 y2 所围成的闭区域。
分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面
坐标方法进行计算。
D
a
b ax
xy
Dxy
dx a
dy c f ( x, y, z)dz 0
a
20/37
y x
x
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4. 计算三重积分 xy2z 3dxdydz。其中 是由曲面 z xy
与平面
y
x，x
1
及
微积分习题课参考答案(三重积分概念、性质、计算,重积分应用)_883402960
2 2
Ω
2 2
2 2
2
2
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV =
Ω
x2 + y 2 1
∫∫
≤
dx ∫ 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
= ∫ dx ∫
−1
1
1− x 2
− 1− x
dy ∫ 2 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
Ω1 Ω2
， w( x, − y, z) = w( x, y, z) ，
2 2
．（化三重积分为累次积分） 设函数 f ( x, y, z) 连续， Ω 由曲面 z = x + y 和曲面 z = 2 − x + y 围成，将三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV 分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐 标系下化为累次积分． x + y ≤ z ≤ 2 − x + y , 解：在直角坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 Ω : 所以 x + y ≤1,
4
2π
2z
0
( r 2 + z ) ⋅ rd r 256π 3
= 4π ∫ z 2 dz =
．
9
． （交换积分次序） 设 D = {( x, y) 1≤ x
u
0 2
+ y2
sin( z x + y ) 1 ≤ 4} ，求极限 I = lim 2π ∫ dz ∫∫ x + y dxdy ．
u
2 2
u →+∞
Ω Ω
重积分直角坐标系下三重积分的计算PPT课件
z
(2) x2 yzdv
H
: x2 y2 z H (H 0) •
•
解 区域 是关于zox面是对称的
o
y
f ( x, y, z)关于y是奇函数 x
x2 yzdv
x 2 zdxdz
z x2
ydy
zx2
Dzx
x2z 0dxdz 0 。
Dzx
16
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z ln(x2 y2 z2 1)
f ( x, y, z)dv
0
2
1
f (x,
y, z)dv
f 关于y是奇函数 f 关于y是偶函数
其中1是的右半部分
11
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2、若 空间区域 是关于yoz面是对称的, 则
f ( x, y, z)dv
其中1是的前半部分
0
f 关于x是奇函数
2
1
f
( x,
y, z)dv
f 关于x是偶函数
• z Dz
o
y
1
x
zdv 0 dz zd
: x2 y2 z 1
Dz
1
0 zdzd
1
z(z
2
)dz
0
Dz
1 z3dz
0
z4
4
1 0
。
4
Dz oz
Dz:x2 y2 z2
24
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练习二计算 I ( y4 sin x z)dv z
: x2 y2 z2 2Rz。
(1) : y1(z, x) y y2(z, x),(z, x) Dzx
f ( x, y, z)dv dzdx y2 (z,x) f ( x, y, z)dy
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宁波工程学院 高等数学AI 教案
习题课11（三重积分部分）
1.利用二重积分、三重积分求下列立体Ω的体积：
⑵ Ω是由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体.
2.化三重积分dv z y x f ⎰⎰⎰Ω
).,(为三次积分，其中积分区域Ω是：由曲面z x y =及平面
1,0,0,0x y z x y +====围成的位于第一卦限的闭区域.
3.dv z ⎰⎰⎰Ω
2其中Ω为两个球体2222R z y x =++与2222x y z Rz ++=的公共部分(0)R >.
提示：用坐标轴投影法.
4.利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1）v d y x ⎰⎰⎰+Ω22，其中Ω是由曲面22
9z x y =--及平面0z =所围成的闭区域； （2）v d y ⎰⎰⎰Ω
，其中Ω是由曲面22z x y =+及平面2z y =所围成的闭区域.
（3）⎰⎰⎰
Ω++1
22y x dxdydz ，其中Ω为锥面222z y x =+及平面1=z 所围成的闭区域； （4）dxdydz y x z ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω由曲面22x x y -=
，0=z ，)0(>=a a z ，
0=y 所围成的闭区域。
5.利用球面坐标计算下列三重积分：
（1）dv y ⎰⎰⎰
Ω2，其中Ω为介于两球面2222
x y z a ++=与2222b z y x =++之间的部分(0)a b ≤<.
（2）v d y x ⎰⎰⎰Ω+)(22，其中Ω是由曲面z =
与z =所围成的闭区域. （3）计算⎰⎰⎰Ω
++dv z y x f )(2
22，Ω： 1222≤++z y x （4）计算
dv e z y x Z ⎰⎰⎰≤++1
222 6.选用适当的坐标系计算下列三重积分。
（1）⎰⎰⎰
Ωdxdydz xyz ，Ω是由曲面226y x
z --=，22y x z +=所围成闭区域； （2）dxdydz z y x z
⎰⎰⎰
Ω++222，其中Ω是由不等式：1222≤++z y x ，223y x z +≥所确定；
（3）⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2其中Ω是2222R z y x
≤++ ，)0(2222>≤++R Rz z y x 的
公共部分。
7.将三次积分⎰⎰⎰=1
01),,(x y x
dz z y x f dy dx I 改换积分次序，按x,y ,z 的次序积分。
8.设f(x)在[0,1]上连续，求证：⎰⎰⎰⎰=103
1
01])([61)()()(dx x f dxdydz z f y f x f x y x 9.求平面Z=122++y x 上M 0（1，-1，3）的切平面与曲面Z=22y x +所围成的空间区域的体积。
10.计算⎰⎰⎰
Ω+=dv y x I )(2
2，Ω为平面曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕Z 轴旋转一周形成的曲面与平面Z=8围成的区域。
11. 计算dx e I x ⎰+∞
-=02
12.设⎰⎰⎰Ω
=dV z y x f I ),,(，其中Ω是由4222≤++z y x 和z y x 322≤+围成的区域，
试在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I 化为三次积分。
解：（1）在直角坐标系下，
两曲面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=++
13 342222222z y x z y x z y x ， }3),{(22≤+=y x y x D xy 。
⎰⎰⎰--+----=22432223233
3),,(y x y
x x x dz z y x f dy dx I 。
（2）在柱面坐标系下，
}43 ,30 ,20),,{(22
ρ-≤≤ρ≤ρ≤π≤ϕ≤ϕρ=Ωz z ，dz d d dV ϕρρ=，
（3）在球面坐标系下，21ΩΩ=Ω ，
}20 ,30 ,20),,{(1≤≤π
≤θ≤π≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ，
}sin cos 30 ,23
,20),,{(22θθ≤≤π≤θ≤ππ≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ， ϕθθ=d drd r dV sin 2。