二三重积分习题课
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二重积分的习题课(无解题过程)
Ik f ( x, y)d (k 1, 2, 3)
Dk
试比较I1, I2 , I3之大小。
y
2 D1 D2 1 D3
o
x
12
例2 设f (x, y)是有界闭域D : x2 y2 a2上的
连续函数,
试求极限
lim
a0
1
a
2
D
f (x, y)dxdy。
例3 把 f (x, y)d表为极坐标下的二次积分, D
2
D1
f
( x,
y)d ,
当f ( x, y) f ( x, y)时 当f ( x, y) f ( x, y)时
其中D1是D的右半区域 （奇零偶倍）
8
2、若D关于x轴对称
即当(x,y)∈D时，必有(x, y) ∈D，则
f ( x, y)d
D
0,
如D的边界是由直角坐标方 程:y =f (x) 给出，通常可从几何 意义去确定D的极坐标表示（图
形是重要的）或利用x=rcos， y=rsin 进行变换。
r 2( )
D
O
r 1( )
r x2( ) D
O
r 1( )
x
r ( )
oD
x
6
(3)坐标系的选取
D
D
1 [ f ( x, y) f ( y, x)]d
2D
（轮换对称）
（四）有关二重积分的一些证明题
中值定理、变上限积分、换元等
11
例1 设D1是以(0,1)为中心,边长为2的正方形,
D2, D3分别为D1的内切圆和外接圆 f ( x, y) (2 y x2 y2 )e x2 y2
Dk
试比较I1, I2 , I3之大小。
y
2 D1 D2 1 D3
o
x
12
例2 设f (x, y)是有界闭域D : x2 y2 a2上的
连续函数,
试求极限
lim
a0
1
a
2
D
f (x, y)dxdy。
例3 把 f (x, y)d表为极坐标下的二次积分, D
2
D1
f
( x,
y)d ,
当f ( x, y) f ( x, y)时 当f ( x, y) f ( x, y)时
其中D1是D的右半区域 （奇零偶倍）
8
2、若D关于x轴对称
即当(x,y)∈D时，必有(x, y) ∈D，则
f ( x, y)d
D
0,
如D的边界是由直角坐标方 程:y =f (x) 给出，通常可从几何 意义去确定D的极坐标表示（图
形是重要的）或利用x=rcos， y=rsin 进行变换。
r 2( )
D
O
r 1( )
r x2( ) D
O
r 1( )
x
r ( )
oD
x
6
(3)坐标系的选取
D
D
1 [ f ( x, y) f ( y, x)]d
2D
（轮换对称）
（四）有关二重积分的一些证明题
中值定理、变上限积分、换元等
11
例1 设D1是以(0,1)为中心,边长为2的正方形,
D2, D3分别为D1的内切圆和外接圆 f ( x, y) (2 y x2 y2 )e x2 y2
习题课2(三重积分)
z 1 x 2 y 2 所围成的。
解
关于yoz面为对称 f ( x, y, z) x 为 x 的奇函数
有 xdv 0。
O
y
( x z )dv
x : 0 r 1, 0 , 4 0 2 zdv （利用球面坐标）
1
一、利用直角坐标系计算三重积分。
适用性较广，要有一定的空间想象力。
(1)“投影法”又叫“先单后重法”
f ( x , y, z )dv dxdy
D xy
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y, z )dz
再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺 序。
f ( x, y, z)dV
若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 0, 2 f ( x, y, z)dV , 若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 1
1是的z0的部分
类似地：…
7
(2)设关于原点O对称， 1是的z0 (或x 0， 或y 0) 的部分，则
三重积分习题课
基本方法：化三重积分为三次积分计算。
关键步骤： (1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限 要结合被积函数、积分区域两方面的因素综 合考虑才能找到好的方案。
对积分区域要有一定的空间想象力，最好能 画出的图形。如 的图不好画，也要画出在 某坐标面上的投影区域的图形。
1 1 y
0
例7 设f (t )连续, f (t )dt A, 求证
0
1
即F ( x)是f ( x)的一个原函数, 且F (0) 0, F (1) A, 则
解
关于yoz面为对称 f ( x, y, z) x 为 x 的奇函数
有 xdv 0。
O
y
( x z )dv
x : 0 r 1, 0 , 4 0 2 zdv （利用球面坐标）
1
一、利用直角坐标系计算三重积分。
适用性较广，要有一定的空间想象力。
(1)“投影法”又叫“先单后重法”
f ( x , y, z )dv dxdy
D xy
z2 ( x, y )
z1 ( x , y )
f ( x , y, z )dz
再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺 序。
f ( x, y, z)dV
若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 0, 2 f ( x, y, z)dV , 若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 1
1是的z0的部分
类似地：…
7
(2)设关于原点O对称， 1是的z0 (或x 0， 或y 0) 的部分，则
三重积分习题课
基本方法：化三重积分为三次积分计算。
关键步骤： (1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限 要结合被积函数、积分区域两方面的因素综 合考虑才能找到好的方案。
对积分区域要有一定的空间想象力，最好能 画出的图形。如 的图不好画，也要画出在 某坐标面上的投影区域的图形。
1 1 y
0
例7 设f (t )连续, f (t )dt A, 求证
0
1
即F ( x)是f ( x)的一个原函数, 且F (0) 0, F (1) A, 则
三重积分习题课(一)
r2 : z 2, 0 r 2, 0 2 2 2 2 2 2 2 2 故有 ( x y )dv 0 d 0 dr r r dz
2
z
2
x
y
16 3
【例5】计算三重积分 zdxdydz .其中 是由锥面 z 与平面 z h ( R 0, h 0) 所围成的闭区域。
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz
d sin cos d r 3dr 0
4 0
R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中 是由球面 【例7】求
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于 在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z
2
dxdydz
D xy : 0 y x , 0 x 1
z
x+ y=1
z=xy
y
1
o
z =0
1
x
1 : z xy (2) 确定上顶曲面 1 及下顶曲面 2 。
2: z 0
(3) 转化为先对
z 后对 x, y
D xy
的三次积分计算：
1 5 6 x y dxdy 4 D xy
xy z dxdydz
2
z
2
x
y
16 3
【例5】计算三重积分 zdxdydz .其中 是由锥面 z 与平面 z h ( R 0, h 0) 所围成的闭区域。
解法二:利用球面坐标计算
zdxdydz
d sin cos d r 3dr 0
4 0
R
1 R 4 8
注：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法 来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。
2 2 2 I ( x y z )dxdydz，其中 是由球面 【例7】求
0
R
59 R 5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
2 3 R 2 2 由于 在 xoy 平面的投影区域 D xy : x y 4
；
故在柱面坐标下，
3R : R R r z R r , 0 r , 0 2 2
2 2 2 2
于是有
z
2
dxdydz
D xy : 0 y x , 0 x 1
z
x+ y=1
z=xy
y
1
o
z =0
1
x
1 : z xy (2) 确定上顶曲面 1 及下顶曲面 2 。
2: z 0
(3) 转化为先对
z 后对 x, y
D xy
的三次积分计算：
1 5 6 x y dxdy 4 D xy
xy z dxdydz
二重及三重积分习题课
习题课
重积分(二重)
习题二重积分计算
一
∫ ∫ f ( x, y )dσ 的解题程序
D
（1）画出积分域D的草图。 （2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被 积函数的形式，见表11-1。
表11-1
（3）选择积分次序 选序的原则：① 先积分的容易，并能为后积分创造条件； ② 对积分域D的划分，块数越少越好。 （4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。 定限口诀： 后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数) 限内划条线，(该直线//坐标轴且同向.) 先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数) 后交上限见。 直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).
y2 2a
f ( x, y)dx +
∫
2a
a
dy
∫
2a
y2 2a
f ( x, y)dx +
∫
2a
a
dy
∫
2a
2 2
a+ a − y
f ( x, y)dx
(4) I =
∫
4
0
dy
∫
4 y− y2 4− y
f ( x, y )dx
图11-7
写出确定D的不等式组， 并作出其图形，见图。
⎧− 4 − y ≤ x ≤ 4 y − y2 ⎪ D: ⎨ ⎪0 ≤ y ≤ 4 ⎩
【例1】 设
1− x
∫ ∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫
0 D
1
1− x
0
f ( x , y ) dy ，则改变其
1− x
积分次序后为
。
(a )
∫
0 1
重积分(二重)
习题二重积分计算
一
∫ ∫ f ( x, y )dσ 的解题程序
D
（1）画出积分域D的草图。 （2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被 积函数的形式，见表11-1。
表11-1
（3）选择积分次序 选序的原则：① 先积分的容易，并能为后积分创造条件； ② 对积分域D的划分，块数越少越好。 （4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。 定限口诀： 后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数) 限内划条线，(该直线//坐标轴且同向.) 先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数) 后交上限见。 直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).
y2 2a
f ( x, y)dx +
∫
2a
a
dy
∫
2a
y2 2a
f ( x, y)dx +
∫
2a
a
dy
∫
2a
2 2
a+ a − y
f ( x, y)dx
(4) I =
∫
4
0
dy
∫
4 y− y2 4− y
f ( x, y )dx
图11-7
写出确定D的不等式组， 并作出其图形，见图。
⎧− 4 − y ≤ x ≤ 4 y − y2 ⎪ D: ⎨ ⎪0 ≤ y ≤ 4 ⎩
【例1】 设
1− x
∫ ∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫
0 D
1
1− x
0
f ( x , y ) dy ，则改变其
1− x
积分次序后为
。
(a )
∫
0 1
高等数学 二重积分习题课
所以
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x
1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 （) 令 y 2 u )
D
D1
D2
0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x
y
dy
1
1 x
0
x 1
0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e
e 2 x1 )dx
e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2
y2
重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再 利用极坐标计算即可。
解：令
Байду номын сангаас
2
x2
y2
x2
y2,
求得曲线
z
2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D
y
1
D
1
dx
1 x 2e y2 dy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
x
0
0
.
0
y x 1x
1 y 3 e y2 dy 1
03
6
1 y 2e y2 d( y 2 （) 令 y 2 u )
D
D1
D2
0
dx
1 x e x y dy
1
dx
1
x
e
x
y
dy
1
1 x
0
x 1
0 (e 2 x1 e 1 )dx
1
(e
e 2 x1 )dx
e e1
1
0
【例3】计算二重积分
D
y dxdy. x
其中D 是由圆周 x 2
y2
重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再 利用极坐标计算即可。
解：令
Байду номын сангаас
2
x2
y2
x2
y2,
求得曲线
z
2 x2 y2
z x 2 y2
在xoy坐标面上的投影曲线方程为 x2 y2 1;
故立体在 xoy坐标面上投影区域为Dxy : x2 y2 1.
f (i ,
i ) i
2．几何意义：表示曲顶柱体的体积
V f ( x, y)d ( f ( x, y) 0)
D
顶 : z f ( x, y) 底 : D
二重积分习题课(简)
1
错误点：大多同学都做错了， 错误点：大多同学都做错了，可能是正切函数的导数 不清楚了。 不清楚了。
11
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第三次作业共有2 第三次作业共有2题 P13） 多元函数微分法 习题课二 （习题册第一本 P13） 填空 1. f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处有极值，则 D 处有极值， (A) f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 ) 内唯一驻点, (B) ( x0 , y0 ) 是D内唯一驻点,则必为最大值点;且 ) 内唯一驻点 则必为最大值点;
1 2 1 2 −0 ≤ x + y < × 2ε = ε 2 2 x2 + y2 xy
即
( x , y ) →(0,0)
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0).
处连续。 因此函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 处连续。 错误作法： 取极限， 错误作法： 有的同学令 y = kx 取极限，得到
∆y →0
= lim
∆y ∆y
∆y →0
g (0, 0),
存在， 因为 f x (0, 0) 和 f y (0, 0) 存在，并且
∆x → 0
lim
∆x ∆x
不存在， 不存在，所以 g (0, 0) = 0.
错误：多数同学做得不好，从偏导数的形式得不到 错误：多数同学做得不好，
g (0, 0) = 0
x →0, y = kx →0
lim
f ( x, y ) = 0 = f (0, 0) 从而得到结论。 从而得到结论。
3
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第二节：（ ：（习题册第一本 P4） （2）第二节：（习题册第一本 P4）四 四、设 f ( x, y ) = x − y g ( x, y ), 其中 g ( x, y ) 在点 (0, 0) 的邻域内连续。 应满足什么条件， 的邻域内连续。问：g ( x, y ) 应满足什么条件，使
第九章习题课重积分
问题4．写出在不同坐标下的二重积分的
面积元素和三重积分的体积元素。
答：面积元素:直角坐标：d dxdy 极坐标：d d d
体积元素:直角坐标：dv dxdydz
柱面坐标：dv drddz
球面坐标：dv r 2 sindrdd
四 典型题目
1.求 1 x2 dxdy，D是以0，0、1，0和1，1
2 cos sin d
2 sin3 cosd
1 r 5dr
0
0
0
1 sin2
2
|02
1 sin4
4
|02
1 6
r6
|10
1 48
先二后一法：
取Dz : x2 y2 1 z2 , x 0, y 0
1
I 0 zdz xydxdy Dz
d
r2( ) rdr
z2(r, ) f (r cos , r sin , z)dz
r1( )
z1(r , )
c.球面坐标系（图9-7）
x r sin cos
球面坐标与直角坐标的关系如下： y r sin sin
体积元素为 r2 sindrdd
b.柱面坐标系（图9-6）
柱面坐标与直角坐标的关系如下：
面积元素为d d dz
x y
cos sin
z z
:
z1
( , 1 (
) )
z
z2 ( , 2( )
)
f (x, y, z)dxdydz
高等数学重积分习题课PPT课件
质心定义
质心是物体质量的中心点，对于 连续分布的物体，质心可以通过 重积分计算得到。
形心定义
形心是物体几何形状的中心点， 对于平面图形或立体图形，形心 可以通过重积分计算得到。
质心与形心的关系
在某些情况下，质心和形心可能 重合，但在一般情况下，它们是 不同的点。质心和形心的求解方 法类似，都需要用到重积分。
保号性
若在区域$D$上，有$f(x,y) leq g(x,y)$，则 $iint_{D} f(x,y) dsigma leq iint_{D} g(x,y) dsigma$。
积分区域的可加性
若区域$D$被划分为两个子区域$D_1$和$D_2$， 且它们没有公共部分，则$iint_{D} f(x,y) dsigma = iint_{D_1} f(x,y) dsigma + iint_{D_2} f(x,y) dsigma$。
球面坐标系下三重积分计算
球面坐标变换
将直角坐标系下的三重积分通过球面坐标变 换转化为球面坐标系下的三重积分。
投影法与截面法在球面坐标 系中的应用
类似于直角坐标系和柱面坐标系下的方法，通过投 影或截面将三重积分转化为二重积分或一重积分进 行计算。
利用球面坐标系的性质简 化计算
根据球面坐标系的性质，选择合适的积分顺 序和积分限，简化三重积分的计算过程。
学习方法与建议
01
重视基础知识的学习
在学习重积分的过程中，需要重视基 础知识的学习，如多元函数的微分学 、向量分析等，这些知识是理解和应 用重积分的基础。
02
多做习题巩固知识
通过大量的习题练习，可以加深对重 积分知识的理解和掌握，提高解题能 力和思维水平。
03
寻求帮助和辅导
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0
0
1
1 y
(d) d y f (x, y)dx
0
0
[解] （a）显然是错的，因为后积分的上、下限不能含有变 量；（b）也是错的，因为先积分的上、下限或者为常数或者 后积分变量的函数，而（b）违背了；（c）也是错的，原因 是改变积分次序不会改变积分域，由排除法可知（d）该入选。
二 极坐标系中积分限的确定
先积分，故
I 1ey2 dy y x2dx 1 1 y3ey2 dy
0
0
30
X=0
1 1 y 2 d(e y 2 ) 60
X=y
1 [ y 2e y2 6
|10
2
1 ye y2 dy]
0
图11-10
1 1 2 6 e
(2) sinx dxdy, D是由直线y = x及抛物线y = x2所围成的区域。
2. 当极点0在域D的边界线上时
图11-3(b)
I d f ( cos , sin )d
0
3. 当极点0在积分域D的边界线之内时
图11-3(c)
2
( )
I f (x, y)d d f ( cos , sin )d
0
0
D
I
f (x, y)d
2
d
2 ( ) f ( cos , sin )d
a x b
D : 1( x) y 2 ( x)
f x, ydxdy
b
dx
2 x f (x, y)dy
a 1x
D
图11-2(a)
与以上作类似分析，可得
f x, ydxdy
d
dy
2 x f ( x, y)dx
D
c 1x
图11-2(b)
注：一般讲，后积分的变量，积分上下限均为常数；先积分的变量
，积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数。
1 1x
【例1】 设
f (x, y)dxdy dx f (x, y)d，y 则改变其 00
D
积分次序后为
。
1 x
1
(a) d y f (x, y)dx
0
0
1
1 x
(b) d y f (x, y)dx
0
0
1
1
(c) d y f (x, y)dx
y cos x2dx, ex2 dx, dx, e x dx,
dx ,
ln x
等等，一定要将其放在后面积分。
【例3】计算下列二重积分： (1)
x2e y2 dxdy,
D是以(0,0),(1,1),(0,1)为 顶点的三角形。 D
[解] （1）∵ e y2dy 不能用有限形式表示出其结果，∴它不能
习题课
重积分(二重)
习题二重积分计算
一
f (x, y)d 的解题程序
（1）画出积分域DD的草图。
（2）选择坐标系，主要根据积分或D的形状，有时也参看被
积函数的形式，见表11-1。
表11-1
（3）选择积分次序 选序的原则：① 先积分的容易，并能为后积分创造条件；
② 对积分域D的划分，块数越少越好。 （4）确定累次积分的上下限，作定积分运算。
一般而言，极坐标系中二重积分的积分次序是“先后 ”。
?
?
即 f (x, y)d d ( cos , sin )d
?
?
D
积分限随极点0与积分域D
的边界曲线的相对位置而定。
1. 当极点0在域D的 2. 边界曲线之外时 图11-3(a)
I
d
2 ( cos , sin )d
1
1
x
2
x
2a
2ax
(3) I d x
f (x, y)dy,(a 0)
0
2 ax x 2
4
4 yy2
(4) I d y
f (x, y)dx
0
4 y
[解] （1）由积分的上下限知
1
2xx2
2
2x
(1) I d x
0
0
f (x, y)dy dx f (x, y)dy
1
0
D1
:
（ 1）由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组； （2）依据不等式组画出积分域D的草图； （3）写出新的累次积分，积分限的确定与前面所讲的相同。
【例2】更换下列积分次序：
1
2xx2
2
2x
(1) I d x
0
0
f (x, y)dy dx f (x, y)dy
1
0
2
x2
8
8
(2) I d x f (x, y)dy dx f (x, y)dy
图11-14
[解] 由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影，即积分域D如 图 11-14所示， 由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱 体的 体积更简单。
V z dxdy xy dxdy
3
D
D
曲线L1：=2cos， L2： =1，联立解得，
故
V 2
3 d
定限口诀： 后积先定限,(累次积分中后积变量的上下限均为常数) 限内划条线，(该直线//坐标轴且同向.) 先交下限写,(上下限或者为常数或者后积分变量的函数) 后交上限见。 直角坐标系中积分限的确定，参看图11-2(a)、(b).
直角坐标系中积分限参看图11-2(a)、(b).
直线l//y轴它先与D的边界曲线y = 1(x)相 交, 1(x)取做下限,后成D的边界曲线y = 2(x) 相交, 2(x)取作上限,故
x D
（2）因为
sinx dx x
不能用有限形式
表示出其结果，所以它不能先积分，故
1 sin x x
I
dx dy
0x
x2
1 sin x (x x2 )dx 0x
图11-11
1
0 (1 x) sin xdx 1 sin1
3. 坐标系的选择
【例6】设有一曲顶柱体，以 双曲抛物面z = xy为顶，以xoy 坐标面为底，柱面x2 + y2 = 1外、 柱面x2 + y2 = 2x内为侧， 试求这个柱体的体积。
D
0
1 ( )
3. 当极点0在积分域D的边界线之内时
图11-3(c)
I
2
( )
f (x, y)d d f ( cos , sin )d I
f (x, y)d
2
d
2( ) f ( cos , sin )d
0
0
D
D
0
1( )
三 典型例题分析
1. 更换积分次序 解题程序
三 典型例题分析
0 0
x y
1
2x
x2
及D2
:
1 0
x2 y2
x
由D1, D2作出D的图形，见图11-4。
于是
D
:
1
1 y2 x 2 y
0 y 1
图11-4
1 2 y
故 I dy
f (x, y)dx
0 1 1 y2
2. 选择积分次序 凡遇如下形式积分：
s in x dx, s in x2dx, cosx2dx, x