复变函数 试题剖析

复变函数复习提要 第1章：复数与复变函数复数是用有序数对),(y x 定义的，其中y x ,为实数。

要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，),(),(x y y x ≠。

正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示，即},:),({R b a b a z C ∈==复数的四则运算定义为),(),(),(d b c a d c b a ++=+ ),(),(),(d b c a d c b a --=- ),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⋅0,),(),(),(222222≠++-++=÷d c d c ad bc d c bd ac d c b a 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ⋅=⋅④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅),(y x -称为),(y x z =的共轭复数，记为z 。

22y x +称为),(y x z =的模，记为z 。

共轭复数满足 z zz z zz z z z Im i2,Re 2,2=-=+=⋅ 2121z z z z ±=± 2121z z z z ⋅=⋅ 0,)(22121≠=z z zz z 例1 设i 3,i 5221+=-=z z ，求21z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。

解 为求21z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=⋅⋅=zz z z z z z例2 求复数)i 21)(i 34()i 21)(i 34(+--+=A 的模．解 令i 21,i 3421-=+=z z ，有2121z z z z A ⋅⋅=由共轭复数的运算结果得1212121212121=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=z z z z z z z z z z z z A复数的三角式 )s i n i (c o s θθ+=r z （其中z r =） 复数的三角式 θi e r z = 由此得如下关系式)(i 21i 2i 1212121e e e θθθθ+⋅=⋅=⋅r r r r z z0,e e e 2)(i 21i 2i 1212121≠==-z r r r r z z θθθθ θn n n r z i e = 2121z z z z ⋅=⋅0,22121≠=z z z z z)A r g ()A r g ()A r g (2121z z z z +=⋅)A r g ()A r g ()A r g (2121z z z z -=对于复数θi e r z =，它的n 次方根为)1,,1,0(e π2i-==+n k r z nk nn θ。

例3 求8)i 1(+．解 4πi e 2i 1=+，故有16e 16e)2()e 2()i 1(2πi 4π8i 884πi8====+⋅例4 设i z +=1，求4z ．解 因4πie 2=z ，故4arg ,2π==z z ．于是，z 的四个四次方根为 16πi80e 2=w 169πi81e2=w 16π17i82e 2=w 16π25i83e2=w0z 点的ρ邻域为复数集合}:{0ρ<-z z z ，记为),(0ρz N 。

0z 点的去心ρ邻域为复数集合}0:{0ρ<-<z z z ，记为),(0*ρz N 。

无穷远点的ρ邻域为复数集合}:{ρ>z z ，记为),(ρ∞N 。

对于区域D ，若D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D ，则称D 为单连通区域。

不是单连通区域的区域称为复连通区域。

复变函数)(z f w =的定义类似于数学分析中实函数)(x f y =的定义，不同的是前者)(z f w =是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。

复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即 A z f A z f z z z z z z Re )(Re lim )(lim 000Im Im Re Re =⇔=→→→且A z f z z z z Im )(Im lim 00Im Im Re Re =→→复变函数期末复习提要第2章：解析函数函数在一点可导的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，D z z D z ∈∆+∈)(,00，若zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim存在，则称此极限为函数)(z f 在点0z 的导数，记为)(0z f '，即 zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000 （2.1）此时，称函数)(z f 在点0z 可导，否则，称函数)(z f 在点0z 不可导。

函数在一点解析的定义是设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在一个邻域),(0p z N ，使得函数)(z f 在该邻域内处处可导，则称函数)(z f 在点0z 解析。

此时称点0z 为函数)(z f 的解析点。

若函数)(z f 在点0z 不解析，则称0z 为函数)(z f 的奇点。

函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。

例1 试证：函数)Re()(z z f =在复平面上处处不可导。

分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值。

证 对任意点z ，因zz z z z z f z z f ∆-∆+=∆-∆+)Re()Re()()( 令y x z ∆+∆=∆i ，于是有yx xz z f z z f ∆+∆∆=∆-∆+i )()( 由于上式当z z ∆+沿平行于虚轴的方向趋于点z 时（即0,0→∆=∆y x ），其极限为0；当z z ∆+沿平行于实轴的方向趋于点z 时（即0,0→∆=∆x y ），其极限为1，所以zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim不存在，故)(z f 在点z 处不可导。

由点z 的任意性，函数)Re()(z z f =于复平面上处处不可导。

若函数),(i ),()(y x v y x u z f ++=定义在区域D 内，则函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是：⑴),(y x u 与),(y x v 在D 内可微。

⑵x y y x v u v u -==,在D 内成立。

条件⑵称为柯西——黎曼条件或C.— R.条件。

函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是： ⑴y x y x v v u u ,,,在D 内连续．⑵x y y x v u v u -==,在D 内成立．例2 试证函数1)(+=z z f 在复平面解析． 证 令y x z v u z f i ,i )(+=+=，则 1i 1)(++=+=y x z z f y x i 1++= v i u +=于是1+=x u y v = 从而有0,1==y x u u 1,0==y x v v显然，y x y x v v u u ,,,在复平面上处处连续，且满足C.— R.条件，故函数)(z f 在复平面解析。

函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。

例3 设222),(y xy x y x u --=，试求以),(y x u 为实部的解析函数),(i ),()(y x v y x u z f +=，使得i )0(=f ．解 依C.— R.条件有y x u v x y 22-== 于是⎰-=y y x v d )22( )(22x y xy ϕ+-= 由此得)(2x y v x ϕ'+= y u -= y x 22+= 从而有c x x +=2)(ϕ 因此c x y xy y x v ++-=222),( （c 为任意常数） 故得)2(i 2)(2222c x y xy y xy x z f ++-+--= c z i )i 1(2++= 将i )0(=f 代入上式，得i c f ==i )0( 由此得1=c ，故得i )i 1()(2++=z z f 经验证，所得)(z f 既为所求。

复变函数期末复习提要 第3章：初等函数⒈理解z z sin ,e 与z cos 的定义及其主要性质； ⒉知道支点概念。

幂函数定义3.1 设y x z i +=，n 为正整数，称n z w =为幂函数． 根式函数定义3.3 设)0(e i ≠=θr z ，称满足z w n = （n 为不小于2的正整数）的w 为z 的n 次根式函数，或简称根式函数，记作n z w =⑴根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有n nr w θi0e = nnr w π2i1e +=θ （3.1）nn n n r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．⑵根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数．定义3.4 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点．⑶根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数． 指数函数定义3.5 设y x z i +=，称)s i n i (c o s e e y y x z ⋅+= （3.2） 为指数函数，其等式右端中的e 为自然对数的底，即 2.71828e =． ⑴对任意二复数111i y x z +=与222i y x z +=,有2121e e e z z z z +=⋅⑵z e 在复平面上为解析函数，且有z z e )(e =' ⑶对任意一复数y x z i +=，有π2)(A r g,e e k y z x z +== （k ：整数） ⑷z e 只以i π2k (k 为整数)为周期． ⑸21e e z z =的充分必要条件是i π212k z z =- （k 为整数）⑹z z e lim ∞→不存在．⑺设y x z i +=，若0=y ，则x z e e =；若0=x ，则y y y sin i cos e i ⋅+=这便是欧拉公式．⑻若y x z i +=，则zz e e =． 例1 试证z z e1e =-． 证：设y x z i +=，由定义得及（实）三角函数的性质得)]sin(i )[cos(e e y y x z -⋅+-=-- xyy es i n i c o s ⋅-= )s i n i (c o s e )s i n i )(c o s s i n i (c o s y y y y y y x⋅+⋅+⋅-=)s i n i (c o s e s i n c o s 22y y yy x ⋅++=ze 1=对数函数定义3.6 设∞≠,0z ，称满足z w =e的w 为z 的对数函数，记作z w Ln =令v u w z r z i ,,0,e i +=∞≠=θ由定义3.6可得z w Ln =)π2(ln k i r ++=θz i z A r g ln += （k ：整数） 即对于每一个∞≠,0z ，有无穷个不同的w ，即有)π4(i ln 2k z w ++=θ )π2(i ln 1k z w ++=θθi ln 0+=z w （3.3）)π2(i ln 1k z w -+=-θ )π4(i ln 2k z w -+=-θ与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数． 例2 计算)i 1(Ln +．解：)i 1(Arg i i 1ln )i 1(Ln +++=+)π24π(i 2ln 21k ++= （k ：整数）三角函数定义3.7 设z 为复数，称i2e e i i zz -- 与2e e i i z z -+分别为z 的正弦函数和余弦函数，分别记作i2e e sin i i zz z --=与 2e e cos i i z z z -+= 正、余弦 函数的性质：⑴z sin 与z cos 在复平面解析，且有z z z z sin )(cos ,cos )(sin -='='⑵三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：例如，由定义可推得1cos sin 22=+z z z z cos )2sin(=+πz z sin )2cos(-=+π212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=±212121sin sin cos cos )cos(z z z z z =±z z sin )sin(-=- z z cos )cos(=-⑶z z z i e sin i cos =+⑷z sin 仅在πk z =处为零，z cos 仅在π2πk z +=处为零，其中的k 为整数． ⑸z sin 与z cos 均以π2k （k 为整数)为周期；⑹命题“若z 为复数，则1cos ,1sin ≤≤z z ”不真． ⑺z z sin lim ∞→与z z cos lim ∞→均不存在．例3 试证z z z i 2i e sin i 21e =-证：由定义zz z z z i 2i i i ei 21e i 2e e sin -=-=- 可得z z z i 2i e sin i 21e =-例4 计算)i 1cos(+的值．解 由定义得2e e 2e e )i 1cos(1i 1i )i 1(i )i 1(i +--+-++=+=+ 1s i n )e e (21i 1c o s )e e (2111-++=-- 复变函数期末复习提要 第4章：解析函数的积分理论⒈理解积分基本定理、积分基本公式、高阶导数公式；⒉了解刘维尔定理、最大模原理，掌握证明它们的方法；⒊掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法；⒋熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分。