10-11-1复变函数考试题A 2
2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院
自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）
一、 选择题（每小题3分，共18分）
1、设z =1-i ,则Im(21z
)=____________. A 、1- B 、2
1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________.
A 、Imz=0
B 、Rez=π
C 、|z|=0
D 、argz=π
3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰c z dz ||=____________.
A 、0
B 、2πi
C 、2π
D 、－2π
4、幂极数∑∞
=+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞
5、点z =0是函数)
1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点
C 、二阶极点
D 、本性奇点
6、函数⎩
⎨⎧><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω
i +11
课程考试试题
学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:
二、 填空题（每小题3分，共21分）
1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________.
2、i i )1(+为_________.
3、函数)
3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ⎰=-+2
353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1
-=z
e z z
f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______.
7、函数z
1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分）
1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。
2、求)
2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1<z <2内的罗朗展开式. 3、设C 是正向圆周⎰+-=-C z
dz z z e z .23,2
112计算 4、利用留数定理计算积分⎰=+22
2.)1(z z
dz z e 5、求积分22cos .45
x I dx x x +∞
-∞=++⎰ 四、 综合题（11分）
0)('=z f 在区域D 内处处成立的充要条件为)(z f 在区域D 内为一常数。
复变函数联系题库参考答案
复变函数综合测试题库（解答）一、选择题（单选题）1、复数z i =的幅角主值为（ C ） （A ）3π （B ）3π- （C ）6π- （D ）6π2、复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为（ A ） （A ）2sin 2θ （B ）2sin2θ- （C ）22cos θ- （D ）2cos 2θ-3、设z =，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=4、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则21ωω++=（ A ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-5、函数()f z z =在z 平面上（ C ）（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 6、满足11z z -=+的点z 所组成的点集为（B ）（A ）Im 0z = （B ）Re 0z = （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 7、函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ D ）（A ）,,,u u v vx y x y∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续 （B ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内存在，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （D ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 8、1(0)()nz a dz z a ρρ-=>-⎰的值为（ A ）（A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 9、1zz e dz z==⎰（ C ） （A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）(2)(0,1,2,)k i k π+= 10、()f z 在复平面上解析且有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z （D ）()nz n N ∈ 11、复级数1n n z ∞=∑收敛的必要条件是（ D ）（A ）对一切n ，0n z = （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z =（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=12、幂级数11nn n z n∞=+∑的收敛半径为（A ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 13、0z =为()sin f z z z =-的（ D ）（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）3阶零点 14、设1()1zf z e =-，则0z =是()f z 的（ A ） （A ）1阶极点 （B ）2阶极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 15、0z ≠∞是函数()f z 的可去奇点，则0Re (,)s f z =（ B ） （A ）0()f z （B ）0 （C ）2π （D ）2i π 16、若复数22z i =-，则z 的幅角主值为（ C ） （A ）2π （B ）2π- （C ）4π（D ）4π-17、复数1cos sin (0)z i θθθπ=++≤≤的模为（ A ） （A ）2cos 2θ （B ）2cos2θ- （C ）22cos θ+ （D ）2sin 2θ+18、设z =，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=19、若122ω=-+，则23ωωω++=（ A ） （A ）0 （B ）ω （C ）2ω （D ）ω- 20、函数()Re f z z =在z 平面上（ C ）（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 21、下列哪些点集是区域（B ） （A ）Im 0z = （B ）1Re 2z >（C ）12z i ++≤ （D ）Re 0z ≥ 22、若()f z u iv =+，且在区域D 内满足,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂，则（ D ） （A ）()f z 在D 内解析 （B ）()f z 在D 内不解析 （C ）()f z 在D 内可微 （D ）()f z 在D 内不一定可微23、113z dz z =-⎰的值为（ B ） （A ）2i π （B ）0 （C ）1 （D ）1- 24、1sin z zdz z==⎰（ A ） （A ）0 （B ）i π （C ）2i π （D ）2i π-25、若区域D 内解析函数()f z u iv =+满足00uxu y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，则()f z 在区域D 内为（B ）（A ）0 （B ）常数 （C ）不一定为常数 （D ）0v = 26、若复级数1n n z ∞=∑收敛，则（ D ）（A ）对一切n ，0n z ≠ （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z ≠（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=27、幂级数11!nn z n ∞=+∑的收敛半径为（B ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 28、0z =为()1cos f z z =-的（ D ）（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）2阶零点29、设函数()f z 在00z z <-<+∞内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ B ）（A ）非孤立奇点 （B ）极点 （C ）本性奇点 （D ）解析点 30、变换az bw cz d+=+（a ，b ，c ，d 为复常数）为分式线性变换的条件是（ A ） （A ）0ad bc -≠ （B ）0ad bc -= （C ）a bc d= （D ）a b c d ===31、复数1z =的幅角主值为（ C ）（A ）6π （B ）6π- （C ）3π（D ）3π-32、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则345ωωω++=（ A ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-33、下列等式正确的是（ B ）（A ）z z z ⋅= （B ）2z z z ⋅= （C ）2Im z z i z += （D ）2Re z z z -= 34、下列哪些函数在复平面上解析（ A ）（A ）sin z （B ）z （C ）2z （D ）Re z 35、满足11z z ->+的点z 所组成的点集为（B ）（A ）Im 0z < （B ）Re 0z < （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 36、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（B ） （A ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ （B ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （D ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 37、设()f z 在区域D 内解析，且0{}U z z z D δ=-<⊂，在U 上()0f z =，则在D 内的（ D ）（A ）()f z 不恒为零 （B ）()f z 为不为零的常数 （C ）()f z 只有惟一的零点 （D ）()0f z ≡38、1()nCdz z a -⎰（其中C 为包围点a 任意围线）的值为（ A ） （A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 39、21zz e dz z ==⎰（ C ）（A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）i π 40、()f z 在复平面上解析且Re ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）ze （D ）ln z41、在1z <内解析，在区间(1,1)-上具有展式0n n x ∞=∑的函数只能是（ D ）（A ）1(1)1z z <+ （B ）ln(1)(1)z z -< （C ）1(1)1z z <- （D ）1(1)1z z<-42、幂级数21121n n z n -∞=-∑的收敛半径为（B ）（A ）+∞ （B ）1 （C ）0 （D ）2 43、若1()cosf z z i=+，则z i =-是()f z 的（ D ） （A ）可去奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）极点 （D ）本性奇点 44、若()()g z f z z a=-，且()g z 在点a 解析，()0g a ≠，则Re (,)s f a =（ A ） （A ）()g a （B ）2()ig a π （C ）0 （D ）()g a '45、变换(01)1z aw a a z-=<<-⋅把单位圆1z <保形映射成（ B ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 46、arg(34)i -+=（ C ）（A ）3arctan4π-（B ）3arctan 4π+ （C ）4arctan 3π- （D ）4arctan 3π+ 47、若ω是方程31z =的一个非零复数根，则下列哪些也是此方程的根（ A ）（A ）ω （B ）ω- （C ）2ω- （D ）i48、下列等式不正确的是（ B ）（A ）2z z z ⋅= （B ）1212arg arg arg z z z z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （C ）1212rg rg rg A z z A z A z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （D ）arg arg (0)z z z =-≠ 49、下列哪些函数在复平面上不解析（ A ）（A ）sin z （B ）cos z （C ）chz （D ）ze -50、设{Im 2,Re 3}E z z z =<<，则E 一定是（B ）（A ）无界区域 （B ）有界单连通区域 （C ）多连通区域 （D ）闭区域 51、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（B ） （A ）u ，v 在D 内具有一阶连续的偏导数（B ）u ，v 在D 内可微，且在D 内满足柯西—黎曼条件（C ）u ，v 在D 内具有一阶偏导数，且在D 内满足柯西—黎曼条件 （D ）u ，v 在D 内在D 内满足柯西—黎曼条件52、设()f z 在复平面上解析，且C 为不通过原点的围线，则()Cf z dz z=⎰（ D ） （A ）2(0)i f π⋅ （B ）(0)f （C ）0 （D ）0或2(0)i f π⋅53、11cos z dz z==⎰（ A ） （A ）0 （B ）1 （C ）2i π （D ）i π54、若()f z 在区域D 内满足 ()0f z '=，则()f z 在区域D 内必为（ C ） （A ）0 （B ）z （C ）常数 （D ）ze55、()f z 在复平面上解析且Im ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）ze （D ）ln z 56、在复平面上解析，在区间[0,1]上等于sin x 的函数只能是（ D ） （A ）sin()2z π+ （B ）sin()z π+（C ）sin iz （D ）sin z57、若幂级数1nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则在闭圆()z r R ≤<上1nn n a z ∞=∑（B ）（A ）不绝对收敛 （B ）一致收敛且绝对收敛 （C ）绝对收敛但不一致收敛 （D ）一致收敛但不绝对收敛 58、0z =为21cos ()zf z z-=的（ D ） （A ）本性奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）二阶极点 （D ）可去奇点59、函数1()z e f z z-=在0z =处的留数为（ A ）（A ）0 （B ）2i π （C ）1 （D ）i π 60、变换z iw z i-=+把上半平面Im 0z >保形映射成（ B ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 61、若复数1z i =-，则z 的幅角主值为（ A ）（A ）4π-（B ）4π（C ）34π- （D ）34π 62、若21z =-，则z 等于（ B ）（A ）i - （B ）i ± （C ）i （D ）1±63、下列点集是区域的是（ C ）（A ）1{Im }2z z = （B ）{1}z z = （C ）1{Im }2z z > （D ）2{1}z z = 64、设()f z x yi =-（,x y R ∈），则（ D ）（A ）()f z 在z 平面上解析 （B ）()f z 在0z =可导 （C ）()f z 在z 平面上处处可导 （D ）()f z 在z 平面上连续 65、设()f z u iv =+，且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，则（ A ） （A ）()f z 在D 内不一定解析 （B ）()f z 在D 内解析 （C ）()f z 在D 内可导 （D ）()f z 在D 内一定不可导 66、下列哪些函数在z 平面上解析（B ）（A ）z （B ）cos z （C ）z （D ）ze 67、11cos z dz z==⎰（ C ） （A ）1 （B ）2i π （C ）0 （D ）1- 68、1zz e dz z==⎰（ D ） （A ）0 （B ）1 （C ）12iπ （D ）2i π 69、若()f z 在区域D 内解析，且Re ()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ） （A ）复常数 （B ）Re z （C ）z （D ）sin z 70、若()sin f z z =，则下列结论不成立的是（B ）（A ）()f z 为解析函数 （B ）()f z 有界 （C ）()f z 为周期函数 （D ）()f z 有零点71、复级数0n n i ∞=∑（ C ）（A ）一定收敛 （B ）等于11i- （C ）一定发散 （D ）以上结论都不对 72、设幂级数为00()n n n a z z ∞=-∑，则（ D ）（A ）00()nn n a z z ∞=-∑仅在点0z 收敛 （B ）00()n n n a z z ∞=-∑在全平面上收敛（C ）00()nn n a z z ∞=-∑在点0z 不收敛 （D ）00()n n n a z z ∞=-∑在点0z 收敛73、幂级数11n n n n z ∞=+⋅∑的收敛半径为（A ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）1 （D ）2 74、幂级数1n n z ∞=∑在1z <内的和函数为（ B ）（A ）11z - （B ）1z z - （C ）11z + （D ）1z z+ 75、()1cos f z z =-以0z =为（ C ）（A ）一阶零点 （B ）一阶极点 （C ）二阶零点 （D ）二阶极点 76、设()f z 在00z z R <-<内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ D ）（A ）零点 （B ）可去奇点 （C ）非孤立奇点 （D ）极点 77、若21cos ()zf z z-=，则0z =必为()f z 的 （ A ） （A ）可去奇点 （B ）零点 （C ）本性奇点 （D ）二阶极点 78、若∞是函数()f z 的可去奇点，则Re (,)s f ∞=（ B ）（A ）0 （B ）不一定为0 （C ）不存在 （D ）以上结论都不对 79、若1()zf z e =，则Re (,0)s f = （ C ）（A ）∞ （B ）0 （C ）1 （D ）以上答案都不对 80、映射322w z z =+在点z i =处的伸缩率为 （ D ）（A （B ） （C ）25 （D ）581、若复数1z i =-+，则z 的幅角主值为（ A ）（A ）23π （B ）23π- （C ）6π- （D ）6π 82、若31z =且Im 0z >，则z 等于（ B ）（A ）1 （B ）122i -+ （C ）122+ （D ）122--83、下列点集不是区域的是（ C ）（A ）{Im 0}z z > （B ）{Re 0}z z < （C ）{1}z z i ≤+ （D ）{1}z z > 84、设()f z i z =⋅，则（ D ）（A ）()f z 在z 平面上处处不连续 （B ）()f z 在z 平面上解析 （C ）()f z 为整函数 （D ）()f z 在z 平面上处处不解析 85、设()f z u iv =+，则使得()f z 在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ A ）（A ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （B ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （C ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ （D ）,u v u v x y y x∂∂∂∂==∂∂∂∂ 86、在z 平面上处处不解析的函数是（B ）（A ）z （B ）Im z （C ）cos z （D ）sin ze87、13z zdz z ==-⎰（ C ） （A ）2i π- （B ）2i π （C ）0 （D ）1 88、21sin z z dz z==⎰（ D ） （A ）2i π （B ）1 （C ）i π- （D ）089、若()f z 在区域D 内解析，且()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ） （A ）复常数 （B ）0 （C ）z （D ）ze 90、若()zf z e =，则下列结论不成立的是（B ）（A ）()f z 为整函数 （B ）()f z 非周期函数 （C ）()f z 无零点 （D ）()f z 无界 91、幂级数0!nn n z ∞=⋅∑的收敛半径为（ C ）（A ）+∞ （B ）1（C ）0 （D ）以上结论都不对92、设幂级数为0nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则此幂级数的和函数（ D ）（A ）在z R <内不连续 （B ）在z R <内不解析 （C ）在z R <内不能逐项求导 （D ）在z R <内可逐项积分93、在1z <内解析，且在区间(1,1)-上具有展式0(1)n n n x ∞=-⋅∑的函数只能为（A ）（A ）11z + （B ）11z - （C ）211z + （D ）211z- 94、若1()cos f z z i=+，则z i =-为()f z 的（ B ）（A ）极点 （B ）本性奇点 （C ）可去奇点 （D ）非孤立奇点 95、2()(1)z zf z e =-以0z =为（ C ） （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）一阶极点 （D ）二阶极点 96、若()()z f z z aϕ=-，且()z ϕ在点a 解析，则Re (,)s f a =的（ D ）（A ）0 （B ）()a ϕ' （C ）2()i a πϕ'⋅ （D ）()a ϕ97、22()1ize f z z =+在z i =的留数为 （ A ）（A ）2i i e --（B ）0 （C ）12i e -- （D ）112e -- 98、ln(1)z +在0z =处的幂级数展开式为（ B ）（A ）1n n z n ∞=∑ （B ）11(1)n n n z n ∞-=-∑ （C ）1(1)n n n z n ∞=-∑ （D ）0!n n z n ∞=∑99、变换1i z iw ei zθ-=+⋅（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（ C ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）下半平面Im 0z < （C ）1w < （D ）1w > 100、变换i z iw ez iθ-=+（θ为实常数）把上半平面Im 0z >保形映射成（ D ） （A ）左半平面Re 0z < （B ）右半平面Re 0z > （C ）上半平面Im 0z >（D ）1z <二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、若12ω=-是方程31z =的根，则下列哪些值不为21ωω++的值（B 、C 、D ） （A ）0 （B ）i （C ）i - （D ）2ω 2、复数1cos sin z i θθ=-+（0θπ<<）的模为 （ A 、B ） （A ）2sin2θ （B（C ）2(1cos )θ- （D ）2sin2θ-3、下列点集哪些是区域 （A 、C ） （A ）Im Re(1)z i >+ （B ）0arg 4z π<≤（C ）1Im 2z << （D ）Im 3z =4、若()Re f z z =，则下列结论正确的是（ A 、B ）（A ）()f z 在z 平面上连续 （B ）()f z 在z 平面上处处不解析 （C ）()f z 在z 平面上解析 （D ）()f z 仅在0z =处解析 5、若1()1f z z=+，则下列结论正确的是 （ A 、C 、D ） （A ）Re (,0)1s f = （B ）2Re (,0)1s f = （C ）2Re (,0)2s f = （D ）Re (,0)0s z f ⋅=6、若ω不是方程31z =的虚数根，则下列哪些值也一定不是此方程的根（A 、B 、C 、） （A ）ω （B ）3ω （C ）1- （D ）ω-7、复数z =的指数表示形式为 （ A 、C ） （A ）4i z e π-⋅= （B ）4i z eπ⋅= （C ）(2)4i k z eππ-⋅+= （k Z ∈）（D ）(2)4i k z eππ⋅+= （k Z ∈）8、设{1Im 1,1Re 1}E z z z =-<<-<<，则E 一定不能是 （B 、C ） （A ）有界单连通区域 （B ）有界闭区域 （C ）无界区域 （D ）区域9、下列哪些函数在全平面上不解析（B 、C 、D ）（A ）sin z （B ）z （C ）Re z （D ）2z 10、若1()sinf z z=，则0z =为()f z 的（ A 、B ） （A ）本性奇点 （B ）孤立奇点 （C ）可去奇点 （D ）极点三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、复数(3)(2)(3)(2)i i z i i +-=-+的模z =1。
复变函数与积分变换期末考试题
哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年 第一 学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （ ）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在 （ ）.A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）.Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。
复变函数 题库
复变函数题库第一章 复变函数 1. 复数21ii +的指数表示为 主辐角为 三角式为 , z=i ，则Arg z= , 复数z 3/5+4i/5=，则z 为( ), 复数1-的三角式为 , Arg(z+2i)=（）2. 复数的指数式 ，复数11ii -+的三角式 ，复数1i e +的三角式 ，z y ix =+的辐角为3. Im(32)i -= ，Re(32)i += ，arg(22)i += ，复数z 16/25+8i/25=的主辐角为4. 内点指 ，外点指 ，边界点指 ，闭区域指 ,柯西-黎曼方程是复变函数可导的 条件5. 推导直角坐标系和极坐标系下的柯西-黎曼第二章 复变函数的积分1. 极坐标系中的柯西-黎曼方程为2. 调和函数的表达式为3. 复连通区域柯西定理的数学表达形式为4. 单连通区域柯西定理的数学表达形式为5. 柯西公式为6.()nl z dz α-=⎰Ñ ,若z 和α为复数，则1l dz z α=-⎰Ñ7. ()()n f z =8. 已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数9. 已知一个解析函数)(z f 的实部是22u x y xy =-+，(0)0f =,求该解析函数 10. 已知一个解析函数)(z f 的实部是32u 3x xy =-，(0)0f =,求该解析函数 11. 已知一个解析函数)(z f 的虚部是22v yx y=+,求该解析函数 12. 已知一个解析函数)(z f 的实部是u (cos sin )x e x y y y =-，(0)0f =,求该解析函数。
第三章 幂级数展开1. 幂级数11()kk z i k ∞=-∑的收敛圆半径为 ，幂级数1!()k k z k k ∞=∑的收敛圆半径为 ,幂级数1!kk z k k ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的收敛圆半径为 , 幂级数0k k k e t ∞=∑(其中t为复变数)的收敛圆半径为2. 32382(4)z z z +=-是的 阶极点，z i=是221()(1)f z z =+的 阶极点，00zz e =是的 ，若某函数的展开式为0100000!()()kk k f z z z -=-=-∑，则0z 为该函数的 ，若某函数的展开式为00()!()k f z k z z ∞=-∑，则0z 为该函数的 。
复变函数练习题
复变函数练习题一、选择题1．)0(=z z 的辐射角情况为（ ）。
A 有无穷多个B 有限个C 可能无穷可能有限D 不存在 2．如果21z z e e =则（ ）。
A 21z z =B i z z π221+=C i z z π221-=D i k z z π221+= 3．设}{k a 为复数列，k k k k z b z a Im ,Re ==，则（ ）。
A 级数∑+∞=1k k a 收敛而级数∑+∞=1k k b 不收敛B 级数∑+∞=1k k a 不收敛而级数∑+∞=1k k b 收敛C 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均收敛D 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均不收敛4．nz w =4的支点是（ ）。
A 0B ∞C 0及∞D 不确定5．设f (z)及g (z)都在区域D 内解析，且在D 内的某一段曲线上的值相同，则这两个函数在D 内（ ）。
A 不恒等B 恒等C 相差个非零常数D 不确定 6．方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为（ ）。
A 园B 直线C 椭圆D 双曲线 7．设i z cos =，则（ ）。
A 0Im =zB π=z ReC 0=zD π=z arg 8．设W=Ln(1-I)则Imw 等于（ ）。
A 4π- B ,1,0,42±=-k k ππ C4πD ,1,0,42±=+k k ππ9．解析函数的幂级数展式有（ ）。
A 唯一一个B 无穷多个C 不一定存在D 可数个10．同一函数在不同的圆环内的洛朗展式（ ）。
A 相同B 不同C 不一定唯一D 以上均错 11．若a 是E 的聚点，则（ ）。
A E a ∈B E a ∉C a 是E 内点D A 、B 均对 12．设C 为正向圆周1=z ，则积分zdzc⎰等于（ ）。
A 0B i π2C π2D π2- 13．3π=z 是函数ππ--=z z z f 3)sin()(3的（ ）。
(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。
10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。
z11、。
方程0273=+z 的根为_________________________________。
12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。
15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
复变期末考试题及答案
复变期末考试题及答案复变函数期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 若复数 \( z = x + yi \)，则 \( \overline{z} \) 是：A. \( x - yi \)B. \( -x - yi \)C. \( -x + yi \)D. \( x + yi \)2. 复平面上，单位圆上的点 \( z = e^{i\theta} \) 对应的实部是：A. \( \cos\theta \)B. \( \sin\theta \)C. \( \tan\theta \)D. \( \sec\theta \)3. 以下哪个是解析函数：A. \( f(z) = \frac{1}{z} \)B. \( f(z) = z^2 \)C. \( f(z) = \log z \)D. \( f(z) = \sin z \)4. Cauchy-Riemann方程是：A. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partialv}{\partial y} \)B. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partialv}{\partial y} \)D. 所有选项5. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列哪个说法是正确的：A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析D. 以上都是...二、填空题（每空3分，共30分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是 _________。
2. 如果 \( f(z) = z^3 + 2z^2 + z \)，则 \( f'(z) = _________ \)。
复变函数模拟考试题参考解答
f (z)
1 cos z 1
2 z2
的
(
).
(A) 可去奇点
(B) 一阶极点
(C) 二阶极点
【答案】 A
【解析】
(D) 本性奇点
1 cos z 1
2 z2
2 z2
z2
1 z4
2 z2
2 z2
1 6
z2 120
1 6
z2 120
,
2! 4!
【解析】由对数的运算性质有
Ln(z12 z22 ) Ln z12 Ln z22 ，但 Ln z2 2 Ln z ，例如取 z 1则容易验证，故选（B）.其他
等式均可由相应的运算法则得到.
6.设 D 为复平面除去上半虚轴的割缝区域，w z 为该区域上的单值分支，且 w(1) i ，
z(z 2) (1 z)2
在
z
0 处等于零，所以该函数非单叶
解析函数,故选（B）.可以用定义验证其他函数在单位圆盘内是单叶解析的，如（D）的函数，
由于
1
z1 z12
z2 1 z22
(z1 z2 )(z1z2 1) (1 z12 )(1 z22 )
，易知该函数在
z
1内是单叶的.
（B）必要但非充分条件 （D）既非充分条件也非必要条件
【解析】由定义 f (z) 在点 z 解析要求 f (z) 在点 z 的一个邻域内可导，因此在 z 处一定可导.
但反之则不成立，例如函数 f (z) z 2 在 z 0 处可导但不解析，故选（B）.
复变函数A
武夷学院期末考试试卷（ 2009 级 数学(本) 专业2010 ～20 11学年度 第 2 学期） 课程名称 复变函数论 A 卷 考试形式 闭卷 考核类型 考试 本试卷共 八 大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。
一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．复数i 258-2516z =的辐角为（ B ）A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．设z=cosi ，则（ A ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 3．复数i 3e +对应的点在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（ D ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 5．幂级数∑∞=1n 1-n n!z 的收敛区域为（ B ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |<6．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ B ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点二、填空题：（每题3分,共21分）1．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，00A u iv =+，000z x iy =+，则0lim ()z z f z A →=的充要条件是_______00),(lim ,),(lim 000v y x v u y x u y y x x y y x x ==→→→→________________．2．计算:(1)_____31_____)2(222i dz z i-=+⎰+-- ;(2)_____1cosh 2_2cos 20=⎰+dz zi π3．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z af z →=_______∞_____________． 4．设21()1f z z =+，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_____1,)1(21<-∑∞=z z n n n ____________．5．=-==o z zz sf i z z e z f )(Re ,)()(42则π______54ππi -___________________． 6.函数)6(sin 6633-+z z z 在零点z=0的阶为 157.||Z e 在闭圆1||0≤-z z 的最大值=1Re 0+z e三、计算题(10分):验证22),(y xy x y x u -+=是调和函数,求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ,使之适合i i f +-=1)(分于是得代入分分有取定点于是积分与路径无关程因上式右端为全微分方则记为调和函数即故解方程1021)211()(21,1)(8)211()21()0,()0,()21221()(621221)2()()2()2(),0,0(.,)2()2(,)(.),(,0,2,2,2,2:22222222220),()0,0(0..-------------------+-==+-=-------------+-=+-+=+≡+++-+-+=+=-+++-=+++-=+++-=+++-=+-=====∂∂+∂∂=+==+-==-=+=⎰⎰⎰-i z i z f C i i f iC z i C z i z z iv z u C y xy x i y xy x iv u z f C y xy x C dy y x dx x dy y x dx y x v dyy x dx y x dy u dx u dy y v dx x v dv iv u z f y x u u u u u y x u y x u y y x x x y R C yy xx yy xx y x四.证明题:(12分)若iy x z +=, 试证:yx z y x i y x z 222sinh cos |cos |)2(;sinh .sin cosh .cos cos )1(+=-=分分解12sinh cos sinh sin )sinh 1(cos sinh sin cosh cos cos 6sinh sin cosh cos sin sin cos cos )cos(cos )1(:22222222222-----------------------------+=⋅++⋅=⋅+⋅=--------------------------------------⋅-⋅=⋅-⋅=+=y x y x y x y x y x z y x i y x iy x iy x iy x z五.证明题:(7分)1:,1||__=++=az b b az z 试证设分此即分由于解71||||4)Re(2||||)Re(2||||||)Re(2||||)Re(2||||||,1||:222222222222--------------=++⇒+=+----++=⋅++=+++=⋅++=+=-----=-------QED az b b az a z b b az z b a a b a z b a z b a z b z b a b a b az b az b az z六.计算题:(12分)将下列函数在指定圆环内内展开为洛郎级数.+∞<<<<-+||1,1||0,)1(12z z z z z 分时当分时解1221)1(21)/11121(1)121(1)1(1,1|1|0,||1621)121(1)1(1,1||0:03203222202222-----+=+=-⋅+=-+=-+<<∞<<--------=--=-+<<∑∑∑∞=+∞=∞=n n n n n nz z z zz z z zz zz z z zz zz z z zz z z z七. 计算题:(8分)ze z 111--类别判定下列函数的奇点及分为非孤立奇点点显然是这些极点的聚点点为原函数的一级极点分为原函数的可去奇点于是又由于或令分母解洛必达法则8.,;,24;021lim 11lim )1(1lim ,200)1()1(1111:*000*--------------------------------∞∞∈=-----------------------=-=++-=+--=====-+-∈=⇒=--+-=--→→→Z k i k z z ze e e e ze e e e z e z Z k i k z z e e z e z z e z z z z z z z z z z z z z z z z ππ 八. 计算题:(求下列积分, 12分))1(cos )2(sin )1(201||>+⎰⎰=a a d zz dzz πθθ分从而分其中的二级极点为则在单位圆内令解602)(Re 2sin 4||0,0),1(1)!31(1sin 1,)(0,1||,sin 1)(:)1(101||121222------------------=⋅=⋅=------<<=++=+-==<=-==-⎰C i z sf i z z dzz C z a zz z z z z f z z zz z f z z πππ 分从而原积分且仅有一个一级极点被积函数内在单位圆域分于是变为闭圆变换下区间在令20121214)(Re 22,121|221)(Re 1)(,1||1512221cos ,1||]2,0[,1,2cos ,)2(222211||21||1201111---------------=-⨯=⋅=-=+=-+-=<-----++=++=+====+=======--⎰⎰⎰a a z f s i i I a a z z f s a a z z f z az z dzi iz dz z z a a d I z e z dz izd z ze z z z z z z z z z i i πππθθπθθπθθ。
复变函数综合练习题及答案
1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(K12教育文档)
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«复变函数与积分变换»期末试题(A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）;2。
)1(iLn+-的主值是（ )；3. 211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的( )极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs( )；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A) yxiuuzf+=')(； (B）yxiuuzf-=')(;（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B)2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz；（D)2)2(3-z.3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛； (B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛； (D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dzzf)(=dzzf（D)函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A ） 的可去奇点；为z1sin ∞(B ） 的本性奇点；为z sin ∞ （C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞（D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）(1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a(2）．计算⎰-Cz z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点,请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; （1）110<-<z ，（2）10<<z ,（3）∞<<z 1五．(本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：ted tββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分,共计15分)1．231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2。