复变函数与积分变换期中考试题附答案

得分
得分
«复变函数与积分变换»期中考试题
电子信息专业2015年11月
题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．231i -的幅角是 ； 2,1,0,23
±±=+-
k k ππ
2.)1(i Ln +-的主值是 ；i 4
32ln 21π
+ 3.
211)(z
z f +=，
=)0()5(f ；0 4．以原点为中心，焦点在实轴上，长半轴短半轴分别为a ，b 的椭圆曲线方程是 （用复数形式表示！！！）；
z=acost+ibsint t ∈[0,2π]
5．
=⎰+i
11
z)dz z(e^ ；ie^(1+i)=ie(cos1+isin1)
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；B
（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；
（C ）
y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.
2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰C
z z f ； D
（A ）
23-z ； （B ）2
)
1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .
3．若c 为不经过1与-1的正向曲线，则⎰+-c
dz 1)^2)(z 1（z
z 为（）
；D
（A ）πi/2； (B ）-πi/2； （C ）0； (D)以上的都可能.
４．下列结论正确的是( )；B
（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰
C
dz z f ；
（C ）如果0)(=⎰
C
dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；
（D ）函数
),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是
),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．
5．函数)(z f 在z 点可导是)(z f 在点z 解析的（）．B (A) 充分不必要条件;(B) 必要不充分条件; (C) 充分必要条件;(D) 即不充分也不必要条件.
三．按要求完成下列各题（共计40分）
（1）设)()(2
2
2
2
y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求
d
c b a ,,,;
解：因为)(z f 解析，由C-R 条件
y v x u ∂∂=∂∂ x
v
y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+
,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c
给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

得分
（2）．计算
⎰
-C
z
z z z e d )
1(2
其中C 是正向圆周：2=z ； 因为函数z z e z f z
2
)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆
2
1,c c 且位于c 内
⎰⎰⎰-+-=-21
d )1(d )1(d )1(222C z C z C z
z z z e z z
z e z z z e i z e i
z e i z z
z z πππ2)1(2)(20
2
1=-+'===
（3）计算积分
c
2
d 1
-z z
4πsin
z ,其中|z|=2；
（4）求积分⎰=1
d z z
z z e ，并证明p.d θ）sin θ（cos p
=⎰
四、（本题10分）设复数z1，z2，z3对应等边三角形的三个顶点得分
试求证： z1^2+z2^2+z3^2-z1z2-z2z3-z3z1=0.
五．（本题14分）用解析函数与调和函数的关系解问题
验证3xy^2-x^3y)u(x,=是调和函数，并求以）y u(x,为实
部的解析函数)(z f ，使之适合i )
0(=f .
得分
六、（本题6分）将一对二元实变函数
2
^2^,y^2x^22x u y x y
v +=+=
化为一个复变函数.
得分。