数学建模军事建模
数学与军事数学在军事战略和武器设计中的应用
数学与军事数学在军事战略和武器设计中的应用数学与军事：数学在军事战略和武器设计中的应用导言：数学与军事的关系是密不可分的。
在军事战略和武器设计中，数学为决策制定提供了理论基础，为军事活动的规划和执行提供了重要的支持。
本文将探讨数学在军事领域中的应用，包括战略决策、兵力运用、武器设计等方面。
一、战略决策战略决策是军事活动的核心，涉及到军队的布局、作战计划和指挥调度等。
数学在战略决策中发挥了重要的作用。
1. 战略模型战略模型是应用数学方法分析和研究军事战略问题的数学模型。
其中包括线性规划、对策论、博弈论等方法。
通过这些模型，军事指挥官可以优化资源配置、提高作战效率。
例如，线性规划可以帮助军事指挥官确定兵力部署，使得兵力分配合理，最大程度地发挥作战效能。
2. 网络优化网络优化是利用图论和最优化理论解决军事行动中的路径规划、网络流等问题。
在军事行动中，兵力的移动路径和资源的分配是关键问题。
通过网络优化方法，可以找到最优路径、减少时间和能量消耗，提高作战效果。
3. 决策支持系统决策支持系统是基于数学模型和信息技术的复杂决策问题的支持系统。
通过决策支持系统，军事指挥官可以实时获取战场情报、模拟战场环境、进行决策分析等。
决策支持系统的应用，可以提高军事指挥官的决策能力和决策效率。
二、兵力运用兵力运用是军事指挥活动中的关键环节，涉及到兵力部署、打击效果评估等问题。
数学在兵力运用中具有重要的应用价值。
1. 兵力部署数学方法可以帮助军事指挥官确定兵力部署的最佳方案。
通过模型和算法，可以考虑到地理条件、敌情分析、兵种特性等因素，制定出有效的兵力部署方案。
例如，最短路径算法可以帮助军事指挥官找到最优的兵力部署方案，使得兵力能够迅速集中、及时响应。
2. 打击效果评估数学方法可以对军事打击效果进行评估和优化。
通过模拟实验和数据分析，可以评估不同作战方案和武器装备的打击效果，为军事指挥官提供决策参考。
例如，使用数学模型和仿真技术，可以评估不同武器系统的打击精度、杀伤能力，为军事指挥官的决策提供科学依据。
(完整版)三方军备竞赛数学模型
东北大学秦皇岛分校数学建模课程设计报告三方军备竞赛模型及其改进分析学院数学与统计学院专业数学与应用数学学号7100405姓名燕云指导教师刘超张尚国成绩教师评语：指导教师签字:2013年7月15日1 绪论1.1背景军备竞赛是指和平时期敌对国家或潜在敌对国家相互视为假想敌，在军事装备方面展开的质量和数量上的竞赛。
各国之间为了应对未来可能发生的战争，相互扩充军备，增强军事实力。
是一种预防式的军事对抗。
近代比较著名的例子是第一次世界大战前20年欧洲列强之间展开的军备竞赛。
资料显示，几乎所有的先到战争都是以军备竞赛为前导的。
1979年加拿大人理查森研究了1816-1965年间99件国际争端[1]得到了理查森军备竞赛模型。
这个属性模型可为从事社会科学研究的人们提供一个借鉴。
引起两国间爆发战争的原因是多种多样的，但是在这众多原因中,军备竞赛是一个很重要的原因.例如，甲乙两国是敌对国家,乙国感到甲比他强大,就会为了自身的安全而增加预防开支,扩充军备；当甲看到乙在增加军费，扩充军备，其目的是在针对自己,为了保证自身的安全，甲也会扩充军备，如此循环，造成恶性循环，最终导致战争爆发。
1。
2 预备知识在解决这一类模型时，我们常常要求解一些三次方程.所以我们在这里介绍一些实系数三次方程根的性质。
1. 实系数一元三次方程320x ax bx c +++=的根具有负实部的充要条件是：若0c >有0,a a bc >>成立。
2. 理查森军备竞赛模型（两国家）：两国家的理查森军备竞赛模型如下:()x ()t x ky gy t y lx h αβ⎧=-++⎪⎨⎪=-++⎩甲乙两方在时刻t 的军备数量分别是()(),x t y t ，在一方军备增加时,另一方军备也增加，设甲的增长速率为k ，乙的增长速率为l 。
同时,由于一个国家的经济实力有限，任一方军备越大，对其军备增长的制约作用也越大。
设甲的制约系数为α，乙为β。
数学建模实例战争模型
x
y0
x = f ( y)
x0
x
战争模型正规战和游击战军备竞赛核武器竞赛正规战与游击战战争分类正规战争游击战争混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关第一次世界大战lanchester提出预测战役结局的模型00ytgxyvtxtfxyxyut?????一般模型?每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力?每方非战斗减员率与本方兵力成正比?甲乙双方的增援率为utvtxt甲方兵力yt乙方兵力模型假设fg取决于战争类型模型vtxyaybxxyut???????正规战争模型?甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力fxy?aya乙方每个士兵的杀伤率arypyry射击率py命中率双方均以正规部队作战xxgbxbrp??忽略非战斗减员?假设没有增援0000xyxaybxxyy???????正规战争模型???????000y0xyxbxyayxaybxdxdy???2020bxayk?0kbxay?22tytx0ak0k0kbk?0k00kx?y0kk??0yyxxprprabxy甲方胜?????200乙方胜平局游击战争模型双方都用游击部队作战?甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加fxy?cxyc乙方每个士兵的杀伤率crypyry射击率py命中率sry乙方射击有效面积?忽略非战斗减员?假设没有增援gxyxxxrxydxydrprss???0000xyxcxydxyxyy?????pysrysxsx甲方活动面积tycm0dm?tx0m0m0m??????游击战争模型?dxyy0000xyyxcxyx00dxcymmdxcy??r?000mxy?y00yryyxrxxssrsscdxmm00??cddxdy乙方胜甲方胜平局tytx0乙方胜0n平局0n甲方胜0n0000xyxcxybxxyy???????220022cynbx???ncy??0ybx混合战争模型甲方为游击部队乙方为正规部队?yx??设x0100rxry12px01sx1km2sry1m2200202crb2??0nx200100yx00xsrspxryyxxx??????乙方必须10倍于甲方的兵力乙方胜美国人曾用这个模型对越南战争进行分析认为在混合战争中要想战胜至少应投入8倍于游击部队一方的兵力而美国人只能派出6倍于越南的兵力那么就不得不接受和谈的结局退兵根据二战中的硫磺岛战役中的纪录数据engel对正规战争模型进行了验证
12水2数学建模核军备
数学建模课程设计第一作者：陈日训第二作者：专业班级：2012级水利水电工程2班论文题目：美苏核武器平衡状态变化模型团队个人信息：2014年11月30号美苏核武器平衡状态变化问题【摘要】：核武器是一种大规模杀伤性武器，拥有核武器对一国的国防安全具有重要意义。
当今世界上以美俄（苏）的核武器为最多，两个国家存在用核武器威慑对方以确保自身安全的竞争关系，对世界安全有重要影响。
本课程设计以双方核威慑战略为基础，建立简化的数学模型，通过提出函数作图分析双方的安全区、威慑值、残存率及他们核军备的平衡问题。
关键词：竞争、威慑值、残存率、平衡问题1.1.1模型问题的提出：战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。
随着苏联解体和冷战结束，双方通过了一系列核裁军协议。
问：（1）在什么情况下双方核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时平衡。
（2）估计平衡状态下双方拥有最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。
（3）当一方采取加强防御，提高武器精度，发展多弹头导弹等不同措施时，平衡状态会发生什么变化。
1.2.1建立模型的条件假设为了有利我们建立模型，我们这样假设：（1）双方均只采用核威慑战略，没有其他影响对抗的方法。
（2）以他们的核导弹数量来描述核军备规模。
（3）不存在一枚导弹可以摧毁数枚导弹的情况（视为一对一的游戏），可以认为一枚导弹就是一个基地。
这样的话合理的攻击行为就是不同的导弹尽可能去攻击对方不同的核基地。
但我们不能确定一枚导弹就一定会摧毁一个基地，所以基地有一个存活率的问题，为了定量描述模型，我们再假设这一存活率为常数。
1.2.2模型求解设当甲有x枚核导弹时，乙需要至少y=f(x)枚核导弹才会感到安全；当乙有y枚导弹时，甲需要至少x=g(y)枚导弹才会感到安全。
依此，我们可以确定y=f(x)和x=g(y)两条曲线形式。
在实际中X和y, f(x)和g(y)都不可能为负值，所以f(x)和g(y)均为在第一象限上的曲线。
数学建模正规战与游击战ppt课件
6
f=ay
a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵 的杀伤率（单位时间的杀伤数）， 称乙方的战斗有效系数。可以进一 步分解为a=ry py，其中ry是乙方的射 击率（每个士兵单位时间内射击次 数），py是每次的命中率。
进一步分析某一方譬如乙方获胜
条件。由(6)式并注意到a , b的含义,乙 方获得胜利的条件可表示为
y0 x0
2
b a
rx ry
px py
(7)
12
Y(t)
k a
0
k
x(t)
b
图5-6 正规战争模型的相线
13
(7)式表明双方初始兵力之比y0/x0 以平方关系影响着战争结局。例如若
乙方的兵力增加到原来的2倍（甲方 不变），则影响战争结局的能力增加
2
2 • 0.1• 0.1106 2 •1•100
100
（18）
即y0/x0>10，乙方必须10倍于甲方的 兵力。
美国人曾用这个模型分析越南战 争（甲方是越南，乙方为美国）。更 具类似于上面的计算以及四五十年代 发生在马来西亚、菲律宾、印尼、老 挝等地的混合战争的实际情况估计出，
27
正规部队一方要想取胜必须派出8 倍于游击部队的兵力，而美国最 多只能够派出6倍于越南的兵力。 越南战争的结局是美国不得不接 受和谈撤军，越南人民取得最后 的胜利。
由此可以写出关于x(t)、y(t)的微 分方程为
x(t) f (x, y) x u(t), 0 y(t) g(x, y) x v(t), 0 （1）
导弹攻击问题的数学建模
湖南第一师范学院HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY论文题目: 导弹攻击姓名专业班级及学号分工队员1 李丽11402050122 建立模型，计算队员2 盛名11402050128 建立模型，编程队员3 张旋11402050148 建立模型，画图摘要本文研究导弹攻击敌艇的问题。
首先，本文关于可改变角度的导弹攻击敌艇的问题建立了相关数学模型。
针对第一问，研究速度大小恒定，速度方向随时间改变的导弹，来攻击沿水平方向运动，速度大小不变的敌艇的问题。
由于导弹在任意时刻都指向敌艇，我们通过图形找到了速度和坐标的相似三角形，又根据速度和时间有函数关系，以及对导弹合速度的分解，使用了微分方程模型。
在第二个问题中，由于敌艇的运动方向与导弹每个时刻都成固定90度的角，再利用第一问的方法不再那么简单。
所以采取微元思想把整个攻击过程划分为非常小的时间段来进行研究，然后再用数学归纳法得出一般化的迭代格式，再利用迭代格式得到击中点。
在第三个问题中，本文对第二个问题的特殊角度进行了推广来得出最优逃离角度，即逃离时间周期最长的角度。
第四问根据前三问算出来的数据和画出的图像得出结论。
针对模型的求解，本文第一问使用偏微分方程和参数方程的求解方法计算出，并只用c语言编写程序求解出第二，三问题。
本文模型方法简单易懂，结果采用相关程序用计算机计算，并用matlab画出图像，明了，准确。
在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性。
最后通过修改模型，得出导弹追击敌艇的模型。
关键词：微分方程模型、微元思想、数学归纳法、迭代公式一、问题重述1、问题背景：导弹自第二次世界大战问世以来，受到各国普遍重视，得到很快发展。
导弹的使用，使战争的突然性和破坏性增大，规模和范围扩大，进程加快，从而改变了过去常规战争的时空观念，给现代战争的战略战术带来巨大而深远的影响。
导弹技术是现代科学技术的高度集成，它的发展既依赖于科学与工业技术的进步，同时又推动科学技术的发展，因而导弹技术水平成为衡量一个国家军事实力的重要标志之一。
数学建模的多种作战模型
数学建模中的作战模型在第一次世界大战期间，F ·W 兰彻斯特（Lanchester ）投身于作战模型的研究，他建立了一些可以从中得到交战结果的数学模型，并得到了一个很重要的“兰彻斯特平方定律”：作战部队的实力同投入战斗的战士人数的平方成正比。
对于一次局部战斗，有些因素可以不考虑，如气候，后勤供应，士气的高低，而有些因素我们把双方看成是相同的，如武器配备，指挥艺术。
还可简单地认为两军的战斗力完全取决于两军的士兵人数。
两军士兵都处于对方火力范围内，由于战斗紧迫，短暂，也不考虑支援部队。
一、 正规战模型：令()X t 表ｔ时刻甲军人数,()y t 表ｔ时刻乙军人数：在以上假设下，显然甲军人数的减员率与乙军人数成正比，同样乙军减员率与甲军人数成正比．可得正规部队对正规部队的作战模型为dxdt aydydtbx =-=-⎧⎨⎪⎩⎪ (1)其中a > 0，b > 0均为常数，积分（1）得ay bx ay bx c 220202-=-= (2)这就是“兰彻斯特平方定律”，（2）式在X-Y 平面上是一族双曲线。
如图17.8所示，双曲线上的箭头表示战斗力随着时间而变化的方向。
由图17.8可知，乙军要想获胜，即要使不等式2020bx ay >成立。
可采用两种方式：(1) 增加a ，即配备更先进的武器；(2) 增加最初投入战斗的人数y 0。
但是，值得注意的是：在上式中，a 增大两倍，结果ay 02也增大两倍，但y 0增大两倍则会使ay 02增大四倍。
这正是两军摆开战场作正规战时兰彻斯特平方定律的意义，说明兵员增加战斗力将大大增加。
如果考虑两军作战时有增援，令)(t f 和)(t g 分别表示甲军和乙军t 时刻的增援率，所谓增援率，就是增援战士投入战斗或战士撤离战斗的速率。
此时正规部队对正规部队的作战模型为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=)()(t g bx dtdyt f ay dt dx(3)现在回答一开始时提出的问题，设甲军有m=100人，乙军有n=50人，两军装备性能相同，即令ab=1，没有援军，将(2)变为 y b a x c ay x ca2222-=-=(4)将y = 100，x = 50代入(4)式得 10050750022-==ca(5) 再将c/a=7500代入(17.29)式得y t x t 227500()()-= (6) 战斗结束一方人数为零，显然这里乙军x=0，代入(6)式得y y 2750087=≈即甲军战死13人，剩下87人，乙军50人全部被消灭。
战争中的数学建模--从兰彻斯特方程到现代战争模拟系统
战争中的数学建模--从兰彻斯特方程到现代战争模拟系统谢嘉俊
【期刊名称】《军民两用技术与产品》
【年(卷),期】2016(0)16
【摘要】随着科学技术的不断发展，军事斗争中的装备技术也愈加复杂，训练、行动所花费的成本不断攀升，因此利用数学手段进行的战争模拟仿真在军队建设中所饰演的角色也变得越来越重要。
【总页数】2页(P252-253)
【关键词】战争模拟;兰彻斯特方程
【作者】谢嘉俊
【作者单位】国防科技大学人文与社会科学学院,长沙,410073
【正文语种】中文
【中图分类】Z1
【相关文献】
1.多维战争中兰彻斯特方程探讨 [J], 张啸天;李志猛;邓红艳
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3.现代战争中的"杀手锏"--浅谈心理战在现代战争中的作用 [J], 宋江波
4.《赢得现代战争》：克拉克“眼”中的现代战争 [J], 无
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类似地，乙方的战斗减员率设为
g = bx
且甲方的战斗有效系数
b = rx p x
rx和 px 是甲方的射击率和命中率。于是
dx dt dy dt ay x u (t ) (2) bx y v(t )
忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
y0 2 01 01106 100 2 1100 x0
即y0 / x0 >10，乙方必须 10 倍于甲方的兵力。
美国人分析越南战争： y0 / x0 ＝6 < 8，所以美 国败。
等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战
争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结
局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有
参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为
我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问
题提供了可以借鉴的示例。
数学建模
军事模型
4
一般战争模型
用x( t ) 和y( t ) 表示甲乙交战双方 t 时刻的兵力
数学建模
军事模型
6
正规战模型
甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的 战斗减员率f ( x, y ) . f 可简单假设为
f ＝ay
其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位 时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数。
a ＝ ry py
其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数) py—乙方的命中率
区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向
这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战
斗减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的
增加而增加。
数学建模
军事模型
11
f 可简单假设为
f ＝cxy
其中：c —乙方的战斗有效系数。
c ＝ ry py = ry Sry / Sx
其中： ry—乙方的射击率
数 学 建 模
——从自然走向理性之路
数学建模 军事模型 1
第四讲
军事模型
【主要内容】 介绍军事模型，包括： Lanchester 作战模
型、核武器竞赛模型和军备竞赛模型 【主要目的】 了解数学建模方法在军事研究中的应用，
建模思路和方法为用数学模型讨论社会领 域的实际问题提供了可借鉴的示例。
数学建模2 0Fra bibliotek(5)由(5)式确定的相轨线是双曲线族，如图
数学建模 军事模型 9
乙方获胜条件：
k>0
y0 b rx px x0 a ry p y
——平方律模型
图 1. 正规战模型的相轨线
2
数学建模
军事模型
10
游击战模型
甲乙双方都用游击部队作战。
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为 Sx的隐蔽
dx f ( x y ) x u (t ) 0 dt dy g ( x y ) y v(t ) 0 dt
(1)
下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率 f ( x, y )和 g( x, y ) 的具体表示形式，并分析影响 战争结局的因素。
数学建模 军事模型 8
不解方程，在相平面上讨论相轨线的变化规律 。
dy bx dx ay (4)
dx dy
dt
ay bx x0 y (0) y0 (3)
dt x(0)
ay bx k ay bx
2 2 2 0
f ＝cxy , g = bx
同样在忽略非战斗减员与增援的假设下，模型为
数学建模
dx dy
dt
cxy bx x0
军事模型
dt x(0)
y (0) y0
16
相轨线
cy 2bx n cy 2bx0
2 2 0
乙方获胜条件： n > 0
数学建模
军事模型
13
于是，模型为
(t ) cxy x u(t ) x (t ) dxy y v(t ) y (7)
同样忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
dxy x(0) x0 y (0) y0
军事模型
2
Lanchester 作战模型
第一次世界大战时Lanchester提出的预测战役结局
的模型。 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力—因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加
战斗力—与射击率（单位时间的射击次数）、射击命 中率以及战争的类型 （正规战、游击战）等有关。
数学建模
军事模型
3
模型没有考虑交战双方的政治、经济、 社会
假设
1. 每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力， 用f ( x, y ) 和 g( x, y ) 表示。 2. 每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引 起）与本方的兵力成正比。
3. 每一方的增援率是给定的函数，用u( t ) 和 v( t ) 表示。
数学建模 军事模型 5
由此可以写出用微分方程表示的模型
军事模型
x y
cxy (8)
数学建模
14
解得相轨线方程为
cy dx m cy0 dx0
乙方获胜条件： m > 0
(9)
y0 rx srx sx d x0 c ry sry s y
——直线律模型
图 2. 游击战争模型的相轨线
数学建模
军事模型
15
混合战模型
甲方为游击部队，乙方为正规部队。 根据对正规战和游击战模型的分析和假设：
py—乙方的命中率
Sx — 甲方士兵的隐蔽区域面积
Sry— 乙方一次射击的有效面积
数学建模
军事模型
12
类似地，乙方的战斗减员率设为
g = dxy
且甲方的战斗有效系数
d = rx px = rx Srx / Sy
rx和 px 是甲方的射击率和命中率，Sy是乙方士兵
的隐蔽区域面积， Srx甲方一次射击的有效面积 。
2 y0 2rx px sx x0 ry sry
——抛物线律模型
数学建模
军事模型
17
看具体数字。不妨设甲方兵力x0 = 100 ，命中 率px = 0.1 ，火力rx 是乙方火力ry 的一半，活动区域 面积Sx = 0.1 平方千米， 乙方每次射击的有效面积 Sry = 1 平方米，那么乙方取胜的条件为