安徽省芜湖市高一上学期期末考试数学试题含答案
( ) ＝ ３＋１＋１ ３ ｌｏｇ２５·（１＋１＋１）ｌｏｇ５２
＝１３３×３＝１３…………………………………………………………………………… ６分 １９．（本小题满分 ６分）
（方法不唯一，其他方法按步骤给分）
２０（本小题满分 ６分）
( ) 解：（１）当 ａ＝－１时，ｆ（ｘ）＝
１ ３
－ｘ２－４ｘ＋３
， ｆ（ｘ）的定义域为 Ｒ．
芜湖市高一数学数学试题卷参考答案 第１页（共３页）
令 ｔ＝－ｘ２－４ｘ＋３＝－（ｘ＋２）２＋７，
由于 ｔ在（－２，＋∞）上递减，
( ) ｙ＝
１ ３
ｔ
在Ｒ上是减函数，∴ｆ（ｘ）在（－２，＋∞）上是增函数，
即 ｆ（ｘ）的单调增区间是（－２，＋∞）． ………………………………………… ３分
( ) （２）令 ｇ（ｘ）＝ａｘ２－４ｘ＋３，ｆ（ｘ）＝
１ ３
ｇ（ｘ）
，由于
ｆ（ｘ）有最大值
３，
所以 ｇ（ｘ）应有最小值 －１
{ａ＞０，
因此必有 １２ａ４ａ－１６＝－１，解得 ａ＝１，
即当 ｆ（ｘ）有最大值 ３时，ａ的值为 １ ………………………………………… ６分
２１（本小题满分 ８分）
( ) 解：（１）∵ｆ（ｘ）＝槡２２ｓｉｎ２ｘ＋π４ ＋ｓｉｎ２ｘ
( ) ＝槡２２槡２２ｓｉｎ２ｘ＋槡２２ｃｏｓ２ｘ ＋ｓｉｎ２ｘ
＝１ｓｉｎ２ｘ＋１ｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ
２
２
＝１ ２ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ－１２ ＋ｓｉｎ２ｘ
[ ] [ ] 当 ｘ∈ －π６，π２ 时，２ｘ＋π３∈ ０，４３π ，
( ) ∴ －槡２３≤ｓｉｎ２ｘ＋π３ ≤１，故 －槡２３×１２＋１ ２≤ １ ２ｓｉｎ（２ｘ＋π３）＋１ ２≤１×１ ２＋１ ２，
即２－４槡３≤ｇ（ｘ）≤１．
[ ] [ ] 故函数 ｇ（ｘ）在 －π６，π２ 上的值域为 ２－４槡３，１． …………………………… ８分
二、填空题（本大题共 ５小题，每题 ４分，满分 ２０分）
１３．槡－ｘ＋１ １４．－９６０° １５．－１ １６．４０４０ １７①④ 三、解答题：（本大题共 ６小题，共 ４４分，解答应写明文字说明和运算步骤 ）
１８．（本小题满分 ６分） 解： （ｌｏｇ２１２５＋ｌｏｇ４２５＋ｌｏｇ８５）·（ｌｏｇ１２５８＋ｌｏｇ２５４＋ｌｏｇ５２）
＝１ ２ｓｉｎ２ｘ＋１－１２＝１２ｓｉｎ２ｘ＋１２， ……………………………………………… ３分
∴ｆ（ｘ）的最小正周期 Ｔ＝２２π＝π． ……………………………………………… ４分
( ) （２）∵函数 ｇ（ｘ）对任意 ｘ∈Ｒ，都有 ｇ（ｘ）＝ｆｘ＋π６ ，
( ) ( ) ∴ｇ（ｘ）＝１ ２ｓｉｎ２ ｘ＋π６ ＋１２＝１２ｓｉｎ２ｘ＋π３ ＋１ ２，
{ｇ（２）＝１，
故 ｇ（３）＝４．
{ａ＝１，
解得
……………………………………………………………………… ４分
ｂ＝０．
（２）由（１）ｇ（ｘ）＝ｘ２ －２ｘ＋１，∴ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ－２，
( ) ∴ｆ（２ｘ）－ｋ·２ｘ≥０可化为
１＋
１ ２ｘ
２ －２２ｘ≥ｋ
[ ] 令 ｔ＝２１ｘ，则 ｋ≤ｔ２－２ｔ＋１． ∵ｘ∈［－１，１］，∴ｔ∈ １ ２，２．
………………………………… ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分
由图象可知，当 １≤ａ＜５４时，函数 ｙ＝ｇ（ｔ）（ｔ＜１）与 ｙ＝ａ有 ２个不同交点，
[ ) 即 ａ∈ １，５４ ……………………………………………………………………… ８分
２３（本小题满分 １０分） 解：（１）ｇ（ｘ）＝ａ（ｘ－１）２ ＋１＋ｂ－ａ，
∵ａ＞０，∴ｇ（ｘ）在［２，３］上是增函数，
∴（ｔ２ －２ｔ＋１）ｍｉｎ ＝１ ∴ｋ∈（－∞，１］ ………………………………………………………………… １０分
芜湖市高一数学数学试题卷参考答案 第３页（共３页）
( ) 解：由题意，得 ５ｃｏｓθ－５ｓｉｎθ＝１，θ∈ ０，π４
所以 ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝１５…………………………………………………………………… ２分 由（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）２ ＋（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）２ ＝２， 所以 ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝７５， ………………………………………………………………… ４分 所以 ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θ ＝（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）＝２７５ …………………………………………………… ６分
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２０１９—２０２０学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控
高一年级数学试题卷参考答案
一、单项选择题（本大题共 １２小题，每题 ３分，满分 ３６分）
题 号 答 案
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ ＢＣＡＢＢＤＡＤＤＡＣＢ
芜湖市高一数学数学试题卷参考答案 第２页（共３页）
２２（本小题满分 ８分） 解：（１）∵ｆ（１）＝－１２ －２×１＝－３ ∴ｇ（ｆ（１））＝ｇ（－３）＝－３＋１＝－２…………………………………………… ２分 （２）令 ｆ（ｘ）＝ｔ，则原方程化为 ｇ（ｔ）＝ａ．易知方程 ｆ（ｘ）＝ｔ在 ｔ∈（－∞，１）内有 ２个不 同的解，则原方程有 ４个解等价于函数 ｙ＝ｇ（ｔ）（ｔ＜１）与 ｙ＝ａ的图象有 ２个不同 的交点，作出函数 ｙ＝ｇ（ｔ）（ｔ＜１）的图象，如图所示：
2022-2023学年芜湖市第一中学高一上数学期末监测试题含解析
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.
2、D
【解析】当 时， 为单调增函数，且 ，则 的解集为 ，再结合 为奇函数，可得答案
【详解】当 时， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， 等价于 ，即 ，
综上可得： .
14、
【解析】根据对数函数定义得2x﹣1＞0，求出解集即可.
【详解】∵f（x）＝lg（2x﹣1），
根据对数函数定义得2x﹣1＞0，
解得：x＞0，
故答案为（0，+∞）.
【点睛】考查具体函数的定义域的求解，考查了指数不等式的解法，属于基础题
15、
【解析】首先保证真数位置 在 上恒成立，得到 的范围要求，再分 和 进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于 的不等式，得到答案.
【小问1详解】
由己知 ，
所以
【小问2详解】
∵ ，
所以 ，
所以 .
18、（1）
（2） 或 .
【解析】（1）根据题意，解不等式 即可得答案；
（2）由题知 ，再结合韦达定理解 即可得答案.
【小问1详解】
解：当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 的解集为 .
【小问2详解】
解：因为方程 有两个实数根 ， ，
所以 ，解得 或 .
20．已知函数 的图象关于原点对称.
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）若函数 在 内存在零点，求实数 的取值范围.
21．某种产品的成本是50元/件，试销阶段每件产品的售价 （单位：元）与产品的日销售量 （单位：件）之间有如下表所示的关系：
2019-2020学年安徽省芜湖市高一上学期期末数学试题及答案解析版
5 2
或
5 2
,
3
，
故选：B.
【点睛】
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本题考查二分法的理解，注意二分法中每次所确定的区间 的长度一定是前一次确定的区间的长度的一半，本题属于 基础题. 5．如图，若 C1，C2 分别为函数 y＝logax 和 y＝logbx 的 图象，则（ ）
A．0<a<b<1
B．0<b<a<1
A．R
B． 1,1
C．
2
,
2
D．sin1,sin1
【答案】A
【解析】直接利用求抽象函数定义域的方法，由 1 sinx 1
可得 x R. 【详解】
∵ f x 的定义域是1,1, ∴ f sinx 满足 1 sinx 1, ∴ x R,∴ f sinx 的定义域为 R ．故选 A．
【点睛】
本题主要考查抽象函数的定义域，属于简单题. 定义域的 三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式 有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义 及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函
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A．
1 2
B．
1 2
C． 3 2
D． 3
3
【答案】C
【解析】利用三角函数的定义直接求解即可.
【详解】
由题意得 P(1, 3) ，它与原点的距离为 2，∴ sin 3 .
2
故选：C.
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.
3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位
，
据此分类讨论：
当 0 x 10 时， mx 16m ，解得 x 16 ，不合题意，舍去； 当 x 10 时， 2mx 10m 16m，解得 x 13，符合题意； 综上可得：该职工这个月实际用水为 13 立方米. 本题选择 A 选项. 【点睛】 本题主要考查分段函数模型的应用，分类讨论的数学思想 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．在用“二分法”求函数 f x零点近似值时，第一次所取 的区间是2,4，则第三次所取的区间可能是（ ）
2020-2021学年安徽省芜湖市高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年安徽省芜湖市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知函数()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()4f f =（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．4【答案】C【分析】根据分段函数的解析式，先求()4f ，再求()2f -即可求解.【详解】由()2,0x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()42f ==-，所以()()()214224ff f -=-==. 故选：C2．设非空集合,P Q 满足P Q Q ⋃=，则下列命题正确的是（ ） A ．,x P x Q ∀∈∈. B ．,x Q x P ∀∈∈. C ．,x P x Q ∃∈∉. D ．,x Q x P ∀∈∉.【答案】A【分析】由条件得出P Q ⊆即可判断.【详解】因为非空集合,P Q 满足P Q Q ⋃=，则P Q ⊆，由子集的定义可知P 中任意一个元素都是Q 中的元素，即,x P x Q ∀∈∈，所以A 正确，C 错误，对于B ，若P 是Q 的真子集，则,x Q x P ∃∈∉,所以B 错误，对于D ，显然错误. 故选：A3．若“x a ≥”是“12x ≥”的充分条件，则下列不可能是a 的一个取值的是（ ） A ．sin3πB ．13C ．2D ．π【答案】B【分析】根据已知条件得出实数a 的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】因为“x a ≥”是“12x ≥”的充分条件，则12a ≥，而sin 32π=.故满足条件的选项为B. 故选：B.4．已知函数()f x =()()3y f x f x =+-的定义域是（ ） A ．[-5，4] B ．[-2，7]C ．[-2，1]D ．[1，4]【答案】D【分析】由函数解析式可得2820x x +-≥，解不等式可得24x -≤≤，再由24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩即可求解.【详解】由()f x =2820x x +-≥， 解得24x -≤≤，所以函数()()3y f x f x =+-的定义域满足24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩ ，解得14x ≤≤， 所以函数的定义域为[1，4]. 故选：D5．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（ ）A ．B ．3C ．9-D ．9【答案】A【分析】在等式sin cos 3αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值.【详解】()0,απ∈，sin cos αα+=两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，15cos sin 3αα∴-=-， 则()()221535cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+=-⨯=-. 故选：A.【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.6．已知()f x 是定义在[]9,23m m -+上的奇函数，且当0x 时，()2,f x x x =-则()f m 的值为（ ）A ．-2B ．-6C ．2D ．6【答案】B【分析】根据奇函数的定义求出2m =，再利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】()f x 是定义在[]9,23m m -+上的奇函数， 则9230m m -++=，解得2m =， 当0x ≤时，()2f x x x =-，所以()()()()22426f m f f ==--=-+=-. 故选：B7．某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数()f x 可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()11f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()211f x x =+【分析】根据函数对称性及定义域，直接利用排除法求出结果.【详解】选项A ：函数的图象的渐近线为 1x =或1x =-与原图象相符； 选项B ：1x =-时，()111112-==--f 与原图不相符； 选项C ：3x =时，函数无意义与原图不相符； 选项D ：1x =时，()111112f ==+与原图不相符； 故选：A8．已知函数()()*2sin 124n f n n ππ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N ，则()()()()1232021f f f f +++⋯+=（ ）A ．2020B ．2021C ．2022+D ．【答案】B【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由()()*2sin 124n f n n ππ⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N ， 由()()()()1234f f f f +++2342sin 12sin 12sin 12sin 124242424ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4=所以()()()()1232021f f f f +++⋯+2020202142sin 1424ππ⎛⎫=⨯+++ ⎪⎝⎭2021=故选：B9．设()0.61.31,tan 130,log 0.43a b c -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c <<【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及正切函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果.【详解】0.60.6133a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又指数函数3xy =是单调递增函数，0.60.533∴>=a >函数tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()()tan 130tan 18050tan50b =-=--=，所以tan 45tan 50tan 60<<，即1b <<对数函数 1.3log y x =是单调递增函数，1.3 1.3log 0.4log 10c ∴=<=，即0c <c b a ∴<<，故选：C ．【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 10．已知,αβ都是锐角，且1sin cos tan ββα+=，则有（ ）A ．4αβ-=π B ．22παβ-=C ．2παβ+=D ．22παβ+=【答案】B【分析】根据1sin cos tan ββα+=，利用二倍角的正弦，余弦公式以及两角和的正切公式化简为tan tan 42πβα⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调求解. 【详解】因为1sin cos tan ββα+=，所以222sin +cos 1sin 22tan cos cos -sin 22βββαβββ⎛⎫ ⎪+⎝⎭==， sin +cos tan+1222tan 42cos-sin1-tan 222βββπββββ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭， 因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以,4242πβππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又因为tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调， 所以42πβα=+，即22παβ-=，故选：B11．已知圆心角为60的扇形内部有一个圆C 与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C 面积为π时，该扇形的面积为（ ）A ．3π B ．23π C ．6π D ．32π 【答案】D【分析】根据圆C 面积为π，求得其半径，然后连接OC ，设圆与OA 切于点D ，然后在OCD 中，由 1sin302CD OC ==求得扇形的半径即可. 【详解】设扇形的半径为R ， 圆C 的半径为r ,因为圆C 的面积为π， 所以2r ππ=，解得1r =， 如图所示：在OCD 中， 1sin302CD r OC R r ===-， 所以 33R r ==所以扇形的面积为211392232S R ππα==⨯⨯=，故选：D12．已知函数()f x 是R 上的偶函数，它的图象是连续不断的，且当0x >时，()f x 是严格单调函数，则满足()23x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．-2 B ．2C ．-6D ．-8【答案】C【分析】根据()f x 是R 上的偶函数，0x >时，()f x 是严格单调函数，由()23x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，得到203x x x ++=+或203x x x +-=+求解. 【详解】因为函数()f x 是R 上的偶函数， 所以()()f x f x =- ，又因为它的图象是连续不断的，且当0x >时，()f x 是严格单调函数，且()23x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，所以203x x x ++=+或203x x x +-=+，即2420(3)x x x ++=≠-或2220(2)x x x +-=≠-，设2420(3)x x x ++=≠-的两个根为m ，n ，则4m n +=-， 设230(2)x x x +-=≠-的两个根为a ，b ，则2a b +=-， 所以所有x 之和为-6， 故选：C二、填空题13．已知幂函数()()2157m f x m m x+=-+是偶函数，则m =___________.【答案】3【分析】先根据函数()()2157m f x m m x+=-+是幂函数，求得m ，再验证是否为偶函数即可.【详解】因为函数()()2157m f x m m x+=-+是幂函数，所以2571m m -+=，即2560m m -+=， 解得2m =或3m =，当2m =时，()3f x x =是奇函数，不符合题意；当3m =时，()4f x x =是偶函数， 符合题意；故3m =， 故答案为：3.14．已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(]3,0-【分析】分0k =与0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围.【详解】已知命题:p “x ∀∈R ，23208kx kx +-<恒成立”是真命题. 当0k =时，则有308-<恒成立，合乎题意； 当0k ≠时，则有22030k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<.综上所述，实数k 的取值范围是(]3,0-. 故答案为：(]3,0-.【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则0a >⎧⎨∆<⎩；②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩；③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩；④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 15．将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ后得到一个奇函数的图象，则ϕ的最小正值是___________. 【答案】12π【分析】先利用平移变换得到sin 2+26y x πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭,再根据函数是一个奇函数求解. 【详解】将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ后得到sin 2+26y x πϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭, 因为函数是一个奇函数， 所以()26k k Z πϕπ-=∈，解得()+212k k Z ππϕ=∈， 所以ϕ的最小正值是12π，故答案为：12π16．当x θ=时.函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则2cos sin θθ+=___________.【答案】5-【分析】利用辅助角公式可得22k πθπϕ=++，再利用诱导公式求出cos ,sin θθ即可求解.【详解】()()sin 2cos f x x x x x x ϕ⎫=-==-⎪⎪⎭,其中，sin ϕ=cos ϕ=，当2,2x k k Z πϕπ-=+∈时，函数()f x 取得最大值，即22k πθπϕ=++时，函数()f x 取得最大值，所以cos sin 5θϕ=-=-，sin cos 5θϕ==，所以2cos sin θθ+=.故答案为： 17．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号)①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈；④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.【答案】②④⑤【分析】由题设新定义知：1sec cos αα=，1csc sin αα=，1cot tan αα=，由31cot34tan 4ππ=、1sin csc sin sin αααα⋅=⋅、1sec =cos y x x=、2224sec csc sin 2ααα+=以及正切二倍角公式，即可判断各项的正误.【详解】①31cot134tan 4ππ==-，故错误； ②1sin csc sin =1sin αααα⋅=⋅，故正确； ③1sec =cos y x x =，即cos 0x ≠，有|,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故错误； ④22222221114seccsc 4cos sin cos sin sin 2ααααααα+=+==≥，故正确； ⑤212tan cot2,tan 2tan 21tan ααααα==-，所以221tan cot 1cos 22tan 2cot ααααα--==，故正确.故答案为：②④⑤【点睛】关键点点睛：新定义有1sec cos αα=，1csc sin αα=，1cot tan αα=，结合三角恒等变换判断各项的正误.三、解答题18．已知集合[]3sin ,2,22A x x B ππ⎧⎪=≥=-⎨⎪⎪⎩⎭∣（1）求集合A ； （2）求集合AB .【答案】（1）22,2,Z 33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）542,,3333ππππ⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【分析】（1）作出正弦函数一个周期内的图象，利用图象即可求解. （2）利用集合的交运算即可求解.【详解】（1）作出正弦函数sin y x =在[]0,2π内的图象，如下：由图象可知当3sin x ≥时， 则222,Z 33k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以不等式的解集22,2,Z 33A k k k ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由22,2,Z 33A k k k ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2B ππ=-， 所以542,,3333AB ππππ⎡⎤=⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 19．已知()()()sin cos cos21f πθπθθθ-+=+（1）化简()fθ；（2）若tan 2θ=，求4f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭值.【答案】（1）()1tan 2fθθ=-；（2）32. 【分析】（1）运用诱导公式化简即可；（2）运用两角和的正切公式展开，带入数值即可. 【详解】（1）()()()()2sin cos sin cos 1tan cos212cos 2f πθπθθθθθθθ-+-===-+（2）tan 1tan 2,tan 341tan πθθθθ+⎛⎫=+==- ⎪-⎝⎭， 所以13tan 4242f ππθθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20．（1）计算133483log 2log 81tan274π-⎛⎫⋅++ ⎪⎝⎭；（2）解关于x 的方程24230x x +-+=. 【答案】（1）52；（2）10x =，223log x =. 【分析】（1）利用换底公式、指数的运算性质以及诱导公式可求得所求代数式的值； （2）将方程变形为()()21230xx--=，解此方程即可得解. 【详解】（1）原式21313433222235log 2log 3tan log 22log 3tan 21343422πππ--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅++-=⋅+-=+-=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）由24230x x +-+=可得()224230xx -⋅+=，即()()21230x x--=，可得21x =或23x =，解得10x =，223log x =.21．函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，且最高点A 与B的距离AB（1）求函数()f x 的解析式；（2）若(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求cos2α的值. 【答案】（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2323-【分析】（1）根据最高点A 与点B 的距离22994T AB π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，求得,T ω，点7,03B π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上求解. （2）由(),,4363f ππαα⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭，求得sin 2,cos 266ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后由cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1）最高点A 与点B 的距离22994T AB π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，14,2T πω==， ()13sin ,2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为点7,03B π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上， 所以773sin 0,36f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()43sin 22663f ππααα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为,63ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 所以2,622πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以cos 26πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 所以cos2cos 266ππαα⎛⎫=-+⎪⎝⎭， cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6=. 【点睛】方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．22．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值.甲给出的解法是：由21x y +=≥，则128x y +≥=≥，所以12x y +的最小值为8. 而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为5+.【分析】（1）本题可通过两次基本不等式取等号的情况不能同时成立判断出甲的解法错误，然后将12x y +转化为2214y xx y+++，通过基本不等式即可求出最值； （2）本题首先可令x m =、12x n -=，将题意转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，然后将13+m n 转化为65n m m n++，通过基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）甲的解法错误，原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法：()12122221459y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当13x y ==时等号成立. （2）令x m =，12x n -=，则0m >，0n >，即可将“求函数()1312f x x x=+-最小值”转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，因为()13136255n mm n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当m =等号成立，所以当x =时，函数()1312f x x x=+-取最小值，最小值为5+.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．已知函数()2825f x x x x=-+- （1）用定义证明()f x 在(0，2)内单调递减；（2）证明()f x 在区间()0,∞+存在两个不同的零点12,x x ，且12 4.x x +> 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用证明函数单调性的方法：取值、作差、变形、定号即可证明. （2）判断函数()f x 在()2,+∞上单调递增，利用零点存在性定理可得()f x 的零点分别在48,2,,433⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内，即证. 【详解】（1）证明：任取()12,0,2,x x ∈且12.x x <则()()2212112212882525f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()2212121212121288822x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=---+-=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1212,0x x x x ∴-<<，又12121211,(0,2),4,4x x x x x x ∈+<>()()()121212820,0x x f x f x x x ∴+--<∴->即()()12f x f x > 所以函数()f x 在(0，2)上单调递减.（2）证明：由（1）利用定义法可证函数()f x 在()2,+∞上单调递增；又4168110,3939f ⎛⎫=-+=>⎪⎝⎭()864162210,203939f f ⎛⎫=-<=--=-< ⎪⎝⎭，()450f =>()()4820,4033f f f f ⎛⎫⎛⎫⋅<⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ∴分别在48,2,,433⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有零点，即()f x 有两个零点，记为()1212,x x x x ≠， 且1248433x x +>+=。
安徽省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}=1A x x ≤{}=Z 04B x x ∈≤≤A B = A ．B ．C ．D ． {}0<<1x x {}01x x ≤≤{}0<4x x ≤{}0,1【答案】D【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，{}=Z 04B x x ∈≤≤{}0,1,=2,3,4B {}0,1A B = 故选：D2．“”是“”的（ ） 6x π=1sin 2x =A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】若，则成立，逆命题不成立，可得出结论. 6x π=1sin 2x =【详解】当时，， 6x π=1sin 2x =所以“”是“”的充分条件， 6x π=1sin 2x =当时，或，， 1sin 2x =26x k ππ=+526x k ππ=+Z k ∈所以“”是“”的不必要条件， 6x π=1sin 2x =即“”是“”的充分不必要条件， 6x π=1sin 2x =故选：A.3．已知，则下列不等式成立的是0a b >>A ．BC ．D ．11a b >>lg lg a b <22a b -->【答案】B【分析】由于，可以根据分式、根式、对数式、指数式对应的函数的单调性直接分析即0a b >>可.【详解】∵，∴，. 0a b >>11a b<>lg lg a b >22a b --<只有B 正确．故选B ．【点睛】本题考查基本初等函数的单调性并利用单调性比较大小，难度较易.4．函数的定义域是（ ） ()12f x x =+A ． B ． [)3-+∞，[)32--，C ．D ． [)()322--⋃-+∞，，()2-+∞，【答案】C 【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】因为， ()12f x x =++所以，解得且， 3020x x +≥⎧⎨+≠⎩3x ≥-2x ≠-即函数的定义域为. ()f x [)()322--⋃-+∞，，故选：C.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型.5．已知函数，则的值为（ ） ()()sin ,042,0x x f x f x x π⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩()3f -A ．BC ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据函数解析式，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果.【详解】依题意()()()()()3321121sin4f f f f f π-=-+=-=-+===故选：B【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及特殊角的正弦值，属综合简单题.6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） 3()1x f x x +=+A ．B ． (1)1f x --(1)1f x -+C ．D ． (1)1f x +-(1)1f x ++【答案】A【分析】根据给定的函数，逐一计算各个选项中的函数，并分别判断作答.【详解】函数， 32()111x f x x x +==+++对于A ，，其图象关于原点对称，是奇函数，A 是； 2(1)1f x x --=对于B ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，B 不是； 2(1)12f x x-+=+对于C ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，C 不是； 2(1)12f x x +-=+对于D ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，D 不是. 2(1)122f x x ++=++故选：A 7．幂函数在区间上单调递增，且，则的值()()22251m m f x m m x +-=--()0,∞+0a b +>()()f a f b +（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 【答案】A【分析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可m 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或．()()22251m m f x m m x +-=--211m m --=2m =1m =-当时，；当时，．2m =()3f x x =1m =-()6f x x -=因为函数在上是单调递增函数，故．()f x ()0,∞+()3f x x =又，所以，0a b +>a b >-所以，则．()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>故选：A ．8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另72︒一种是两底角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图36o所示，在其中一个黄金△ABC 中，sin 54°＝（ ） BC AC =A BCD【答案】C【分析】先求出，再借助倍角公式求出，通过诱导公式求出sin 54°.cos 72 cos144 【详解】正五边形的一个内角为，则，31801085⨯=︒72ABC ACB ∠=∠= ， 12cos cos 72BC ABCAB ∠===()2cos144cos 9054sin 542cos 721=+=-=-= sin54= 故选：C.二、多选题9．与角终边相同的角是（ ） 43π-A ．B ． 3π23πC ．D ． 43π103π-【答案】BD【分析】写出终边相同的角的集合，再判断选项.【详解】与角终边相同的角的集合是， 43π-42,3k k Z ααππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭当时，，当时，. 1k =23απ=1k =-103απ=-故选：BD10．已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（ ）20ax bx c ++>{}2<<3x x A ． B ．0a <0c >C ．的解集为 D ．的解集为或 20cx bx a ++<11<<32x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭20cx bx a ++<1<3x x ⎧⎨⎩1>2x ⎫⎬⎭【答案】AD 【分析】依题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入a<00c <5b a =-6c a =求解即可.20cx bx a ++<【详解】不等式的解集为20ax bx c ++>{}2<<3x x根据一元二次不等式解法可知，且， ∴a<05b a -=60c a =>0c ∴<故由上可知A 正确，B 错误；由，可知：将，代入 5b a -=6c a=5b a =-6c a =20cx bx a ++<2056ax x a a -∴+<由可得：，解得：或 a<026510x x -+>13x <12x >故的解集为或，C 错误，D 正确； 20cx bx a ++<1<3x x ⎧⎨⎩1>2x ⎫⎬⎭故选：AD11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．2ω=B ．的图象关于直线对称 ()f x 5π12x =-C ．在上单调递减 ()f x 2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦D ．该图象向右平移个单位可得的图象 π62sin 2y x =【答案】ABD【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项．【详解】根据函数的部分图象，可得，()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭2A =，所以，故A 正确； 12πππ44312T ω=⨯=-2ω=利用五点法作图，可得，可得，所以，令，求得π2π3ϕ⨯+=π3ϕ=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5π12x =-，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故B 正确； ()2f x =-()y f x =5π12x =-当时，，函数没有单调性，故C 错误； 2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎣⎦[]2,03x π+∈-π()f x 把的图象向右平移个单位可得的图象，故D 正确． ()f x π62sin 2y x =故选：ABD ．12．已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为()()()log 1log 3a a f x x x =-++0a >1a ≠，，若对任意，存在，使得，则实数的取值2()212x xm g x ⋅-=111,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,1x ∈-()()12f x g x ≥m 可以是（ ）A ．B ．0C ．D ．31-2log 7【答案】ABC【分析】先求出，得到时， ()()22log 14f x x ⎡⎤=-++⎣⎦11,2x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦()[]2log 72,2.f x ∈-再由题意得到，即可求出m 的范围，对照四个选项即可得到正确答案.2log 722m --…【详解】定义域为.()f x ()3,1- ()()()()()22log 1log 3log 23log 14a a a a f x x x x x x ⎡⎤=-++=--+=-++⎣⎦由题意知时，，即.=1x -()2f x =log 42,2a a =∴=此时， ()()22log 14f x x ⎡⎤=-++⎣⎦时， 11,2x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦()[]2log 72,2.f x ∈-时，，由得. ()[]1,1,12x g x m x =-∴∈- min ()2g x m =-2log 722m --…2log 7m …对照四个选项，可以选:ABC.故答案为：ABC三、填空题 13．若是钝角，，则____________． α()1sin π4α-=tan α=【答案】/ 【分析】由诱导公式求得，再由同角关系式求得．sin αtan α【详解】， ()1sin πsin 4αα-==因为是钝角，所以． αcos α==sin tan cos ααα==故答案为：14．已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ________ ． 32π【答案】3π【解析】由扇形的面积公式直接求解.【详解】由扇形面积公式， 21122S l r r α=⋅=⋅可得圆心角， 22322233S r ππα⨯===故答案为：. 3π【点睛】(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.15．设二次函数（，）的值域是，则的最小值是()22f x mx x n =++m n ∈R [)0,∞+11m n+____________．【答案】2【分析】结合二次函数图象，由值域为，求得，，再由基本不等式求解即可.[)0,∞+0m >1mn =【详解】当二次函数的图象开口向上，且与轴有且只有一个交点时，其值域()22f x mx x n =++x 为，[)0,∞+∴，∴，，. 20Δ24440m mn mn >⎧⎨=-=-=⎩1mn =0m >0n >∴由基本不等式，， 112m n +≥=当且仅当时等号成立．1m n ==∴的最小值是． 11m n+2故答案为：.216．已知函数，若方程有3个实数根，则实数k 的取值范围是221,0()21,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩()0f x k -=________.【答案】(0,1)【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合()f x y k =()f x 函数图象判断交点情况，进而求k 的范围.【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点，()0f x k -=()f x y k =由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如()f x 0x <()(0,1)f x ∈0x ≥1x =()[0,)f x ∈+∞下图示：∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根.01k <<()f x y k =()0f x k -=故答案为：(0,1)【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围.四、解答题17．（1；)0m >（2）若，求的值．3log 41x =44x x -+【答案】（1）1；（2） 103【分析】（1）化成同底数指数幂的形式，底数不变指数相加减，即可求出结果.（2）通过方程求出x 的值，代入表达式即可.【详解】（1）原式． 1111115132423464051641m m m m m m m ++--⋅⋅====⋅（2）∵，3log 41x =∴， 431log 3log 4x ==∴． 4441log log 3log 33110444434333x x --+=+=+=+=18．已知集合,． {}22|240A x x ax a =-+-≤{}|12=-<<B x x(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．x A ∈x B ∈【答案】(1){}|15A B x x ⋃=-<≤(2)[0,1]【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；A （2）若“”是“”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，列不等式求解，即可得实数a x A ∈x B ∈的取值范围．【详解】（1）解：若，则，又3a ={}{}2|650|15A x x x x x =-+≤=≤≤{}|12=-<<B x x 所以；{}|15A B x x ⋃=-<≤（2）解：，{}{}22|240|22A x x ax a x a x a =-+-≤=-≤≤+因为“”是“”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，x A ∈x B ∈所以，解得，所以实数a 的取值范围是． 2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩01a ≤≤[0,1]19．已知函数. ()sin cos 1f x x x x =++(1)求的最小正周期和单调递增区间；()f x (2)当时，求的最大值和最小值. ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)，； π5[,](Z)1212k k k ππππ-+∈(2)最大值，最小值.212【分析】（1）利用二倍角的正弦、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解作答. ()f x （2）在给定条件下求出（1）中函数的相位，再利用正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，，则的最小正周期()1sin 221sin 2123f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭()f x ， 22T ππ==由，得， ()222Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈()5Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈所以的单调递增区间是. ()f x 5[,](Z)1212k k k ππππ-+∈（2）由（1）知，，由，得， ()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，有最大值， 232x ππ+=12x π=()f x 11212f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭当时，即时，有最小值. 236x ππ+=-4x π=-()f x 111422f π⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭20．已知函数，其中且． ()2ln 2mx f x x-=+0m >()()011f f +-=(1)求的值并写出函数的解析式；m (2)判断并证明函数的奇偶性；()f x (3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．()f x ()ln 3f x <x 【答案】(1)， 1m =()2ln2x f x x -=+(2)奇函数，证明见解析(3)()1,2x ∈-【分析】（1）由求解即可；()()011f f +-=（2）由函数奇偶性的定义判断并证明即可；（3）由，结合函数单调性求解即可. ()()()21ln 3ln 121f --==-+-【详解】（1）由已知，， ()()()2222411ln ln ln ln 2ln 0212133m m m m f f m -+--+-=+=++==+-∴，解得（舍）或， 2413m -=1m =-1m =∴． ()2ln 2x f x x -=+（2）为奇函数，证明如下：()f x ∵，∴由即，解得， ()2ln 2x f x x -=+202x x->+()()220x x -+>22x -<<∴的定义域为，()f x ()2,2-，都有，()2,2x ∀∈-()2,2x -∈-且，即， ()()()()()()2222ln ln ln ln102222x x x x f x f x x x x x -+-++-=+===+-+-()()f x f x -=-∴函数是定义在上的奇函数．()f x ()2,2-（3）∵在定义域上单调递减，， ()f x ()()()()212lnln 3ln 1221x f x f x ---=<==-++-∴解得，1x >-又∵的定义域为，()f x ()2,2-∴的取值范围是．x ()1,2-21．某公司生产“中国共产党成立100周年”纪念手册，向人们展示党的百年光辉历程，经调研，每生产万册，需要生产成本万元，若生产量低于20万册，；若生产量不低于x ()C x 2()20C x x x =+20万册，. 上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册2500()54500C x x x =+-能全部售出.(1)设总利润为万元，求函数的解析式（利润=销售额成本）；y ()y f x =-(2)生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值. 【答案】(1) 230,020()2500500(4),20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当生产25万册时，总利润最大，为300万元【分析】（1）按生产量不低于20万册和低于20万册两种情况分别去求函数的解析式； ()y f x =（2）分段求得函数的最大值，二者中较大者为最大总利润.()f x 【详解】（1）当时，020x <<22()50(20)30f x x x x x x =-+=-+当时， 20x ≥25002500()50(54500)500(4)f x x x x x x=-+-=-+所以 230,020()2500500(4),20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）当时，020x <<22()30(15)225f x x x x =-+=--+当时，取得最大值为22515x =()f x 当时，， 20x≥25004200x x +≥=（当且仅当，即时取得等号.） 25004x x =25x =所以，即当时，取得最大值为300. 2500()500(4)300f x x x=-+≤25x =()f x因为，所以当生产25万册时，总利润最大，为300万元.225300<22．已知函数，．()()412x x f x k k k =⋅-++R k ∈(1)若的最小值是，求的值．()f x 1-k (2)是否存在，使得当的定义域为时，的值域为？若存1k >()f x [](),0a b b a >>()f x 112,2a b ++⎡⎤⎣⎦在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．k 【答案】(1)； 13k =(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）讨论、，结合换元法、二次函数的性质及最值求参数即可.0k =0k ≠()f x k （2）根据（1）及已知判断的单调性，进而将问题转化为有两个不同()f x ()14122x x x k k k +⋅-++=的正根，结合二次函数性质列不等式组求，即可判断存在性.k 【详解】（1）当时，，没有最小值，不符合题意．0k =()2x f x =-当时，设，则．0k ≠()20x t t =>()()21g t kt k t k =-++①当时，的图象开口向下，无最小值，则无最小值，不符合题意． 0k <()g t ()g t ()f x ②当时，对称轴，因为的最小值是， 0k >102k t k +=>()f x 1-所以， ()()2min 11111222k k k g t g k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫==-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得，解得（舍去）或， 23210k k +-=1k =-13k =所以． 13k =（2）当时，由（1）知：，[],x a b ∈1t >当时，的对称轴， 1k >()()21g t kt k t k =-++()10,12k t k+=∈所以当时为增函数，即为增函数．1t >()g t ()f x 所以定义域为时，值域为可转化为有两个不同()f x [],a b ()f x 112,2a b ++⎡⎤⎣⎦()14122x x x k k k +⋅-++=的正根，．a b 所以有两个大于1且不相等的根．()230k t k t k ⋅-++=所以，解得， ()()220Δ34031230k k k k k k k k >⎧⎪=+->⎪⎪⎨+>⎪⎪-++>⎪⎩k ∈∅所以不存在满足题意的． k。
安徽高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（ ）()()321m f x m x -=-()f x A ．奇函数 B ．偶函数C ．定义域为D ．在单调递减[)0,∞+()0,∞+【答案】C【分析】根据函数为幂函数，得到，从而求出定义域和单调性，并得到既不是奇函2m =()12f x x =数，也不是偶函数. 【详解】为幂函数，故，解得：，()()321m f x m x-=-11m -=2m =所以，定义域为，不关于原点对称， ()12f x x =[)0,∞+所以既不是奇函数，也不是偶函数，AB 错误， ()12f x x =在上单调递增，D 错误. ()0,∞+故选：C2．已知集合，则＝（ ） 1{|1216}{|0}6xx A x B x x -=≤=≥-＜，R A C B ⋂A ．{x |1＜x ≤4} B ．{x |0＜x ≤6} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |4≤x ≤6}【答案】A【分析】化简集合，按照补集定义求出，再按交集定义，即可求解. ,A B R C B 【详解】, {|1216}{|04}x A x x x =<=<≤≤或， 1{|0}{|16x B x x x x -=≥=≤-6}x >，{|16}R C B x x =<≤.R A C B ⋂4{|}1x x <≤=故选:A.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题. 3．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）α2αA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当是第四象限角时，，则，即α3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈3,42k k k Z παπππ+<<+∈是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”2α324απ=32πα=α是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．2α故选：A4．设，，，则a ，b ，c 的大小关系是 0.40.5a =0.4log 0.3b =8log 0.4c =A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1， b=log 0.40.3＞log 0.40.4=1， c=log 80.4＜log 81=0，∴a ，b ，c 的大小关系是c ＜a ＜b ． 故选C ．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要0,1借助其“桥梁”作用，来比较大小． 5．下列说法中，正确的是（ ） A ．第二象限的角是钝角 B ．第二象限的角必大于第一象限的角 C ．是第二象限的角 D ．是终边相同的角150-︒25216,46744,118744'''-︒︒︒【答案】D【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解 【详解】对于A ：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A 错误； 510︒对于B ：分别取第一象限的角为，第二象限角， 730︒510︒此时第一象限的角大于第二象限的角，故B 错误； 对于C ：是第三象限的角，故C 错误；150-︒对于D ：因为， 46744252162360,118744252164360''''︒=-︒+⨯︒︒=-︒+⨯︒所以是终边相同的角，故D 正确； 25216,46744,118744'''-︒︒︒故选：D了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那2500mg 20%么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，lg 20.3010≈，结果精确到）lg30.4771≈0.1h A ．小时 B ．小时 C ．小时 D ．小时2.33.5 5.68.8【答案】A【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即()5002500120%1500x≤⨯-≤可求得结果.【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药， x 则，整理可得：，()5002500120%1500x≤⨯-≤0.20.80.6x ≤≤，0.80.8log 0.6log 0.2x ∴≤≤，， 0.8lg 0.6lg 61lg 2lg 31log 0.6 2.3lg 0.8lg813lg 21-+-===≈-- 0.8lg 0.2lg 21log 0.27.2lg 0.83lg 21-==≈-，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药. 2.37.2x ∴≤≤ 2.3故选：A.7．关于函数，下列说法正确的是（ ）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．在区间上单调递增B ．的图象关于直线对称 ()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5π6x =C ．的图象关于点对称D ．的解析式可改写成()f x 5π,06⎛⎫⎪⎝⎭()f x πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】对于A ，由，可得，又由于在上不单调，从而π02x <<ππ5π2666x -<-<sin y x =π5π(,)66-可得在区间上也不单调，即可判断为错误；()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭对于B ，因为，取最小值，所以得的图象关于直线对称，从而判断为正15π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 5π6x =确；对于C ，由选项B 可得的图象关于直线对称，从而判断为错误； ()f x 5π6x =对于D ，由诱导公式可得，从而判断为错误.()πcos(23f x x =-+【详解】解：对于A ，当时，，因为在上不单调，所以π02x <<ππ5π2666x -<-<sin y x =π5π(,)66-在区间上也不单调，故错误；()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭5ππ9π3π3π所以的图象关于直线对称，故B 正确； ()f x 5π6x =对于C ，由选项B 可知，所以的图象关于直线对称，故错误；5π()16f =-()f x 5π6x =对于D ，因为，故错误.()ππππsin 2sin[(2)cos(2)6323f x x x x ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若()f x R ()()11f x f x -=+[]0,1x ∈()22f x x =函数（其中且）恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） ()log a y f x x =-0a >1a ≠6aA ．B ．C ．D ．()1,3()5,7【答案】B【分析】由函数（其中且）恰有个不同的零点，得()log a y f x x =-0a >1a ≠6()log 0a f x x -=，即，恰有个不同的解，，又得函数是周期函数，且最小正周()log a f x x =6()log a g x x =()f x 期，函数为偶函数，图象关于直线对称，根据数形结合及即可. 2T =()log a g x x =0x =【详解】由题知，因为函数（其中且）恰有个不同的零点， ()log a y f x x =-0a >1a ≠6所以，即，恰有个不同的解， ()log 0a f x x -=()log a f x x =6令()log a g x x =因为由函数是偶函数知，函数的图象关于轴对称， ()f x ()f x y 由， ()()()()1111f x f x f x f x -=+⇒-=+所以函数是周期函数，且最小正周期，()f x 2T =因为易知函数为偶函数，图象关于直线对称， ()log a g x x =0x =当时，由函数的图象与函数的图象知， 01a <<()f x ()log a g x x =函数的图象与函数的图象有且只有2个交点， ()f x ()log a g x x =即方程有且只有2个不相等的实数根，不符合题意，舍去； ()()f x g x =当时，在同一坐标系中作出函数图象与函数的图象， 1a >()f x ()g x即方程有6个不相等的实数根，()()f x g x =所以，1log 32log 52a a a>⎧⎪<⎨⎪>⎩a <<故选：B.二、多选题9．已知关于的不等式的解集为，则（ ） x 20ax bx c ++>()(),23,-∞-⋃+∞A ．B ．不等式的解集为a<00bx c ->{}|6x x <C ． D ．不等式的解集为420a b c ++<20ax bx a -+≥11,32⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】BC【分析】根据题意结合韦达定理，即可得到，然后对选型逐一判断，即可得到结果. ,,a b c 【详解】∵关于的不等式的解集为，x 20ax bx c ++>()(),23,-∞-⋃+∞∴，即，；故选项A 错误；02323a b a c a ⎧⎪>⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩=-b a ()60c a a =->不等式可化为，故不等式的解集为，故选项B 正确； 0bx c ->60x -<0bx c ->{}|6x x <，故选项C 正确；4242640a b c a a a a ++=--=-<∵，∴，20ax bx a -+≥20ax ax a ++≥即，且，所以的解集为R ，故选项D 错误； 210x x ++≥1430∆=-=-<210x x ++≥故选：BC.10．对于函数的定义域中任意的，有如下结论：当时，上述结论正确的()f x (),x x x x ≠()2x f x =是（ ）A ．B ．()()()1212f x x f x f x +=⋅()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．D ．()()12120f x f x x x ->-()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】利用指数幂的运算和指数函数的性质判断.【详解】对于A ，，，则，()21122x xf x x ++=()()221112222x x x x f x f x +⋅=⋅=()()()1212f x x f x f x +=⋅正确；对于B ，，，，错误；()21122x x f x x ⋅⋅=()()121222xx f x f x ++=()()()1212f x x f x f x ⋅≠+对于C ，∵在定义域中单调递增，∴，正确；()2xf x =()()12120f x f x x x ->-对于D ，，又， ()()()2112121221222222x x x x f x f x x x f +⎛⎫==++ +≤=⎪⎝⎭12x x ≠则，错误；()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：AC ．11．已知，，则下列结论正确的是（ ） ()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A ．B ．C ．D ． π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-θ得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答sin θcos θ案.【详解】因为， 1sin cos 5θθ+=所以，则， ()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-因为，所以，，()0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，故A 正确；π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=所以，故D 正确； 7sin cos 5θθ-=联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-所以，故C 错误. sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD.12．设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）x y 23x y +=A．的最小值为4B ．的最大值为3yx y +xy 98C D ．的最小值为224x y +92【答案】ABD【解析】由可得，，然后可判断出CD 23x y +=23224yyx y y xx y xy x y ++=+=++≥=98xy ≤的正误.【详解】因为23x y +=所以，当且仅当，即时等号成立，故A 正23224yyx y y x x y xy x y ++=+=++≥+=y x x y=1x y ==确因为，当且仅当，即时等号成立，故B 正确23x y+=≥98xy ≤2x y =33,24x y ==因为，22336x y =++=+≤+=，故C 错误因为()22299249494824x y xy y x xy =+-=-≥-⋅=+所以D 正确 故选：ABD【点睛】易错点睛：运用基本不等式求解最值时，要验证是否满足“一正二定三相等”，否则容易出错.三、填空题13．求值：______. cos 600︒=【答案】1-【解析】利用诱导公式化简三角函数.【详解】()cos 600cos 360240cos 240=+=()cos 18060cos 60=+=-12=-故答案为：12-14．已知，，，则的值为___________.3sin 5α=(,)2παπ∈1tan()2πβ-=tan()αβ-【答案】 211-【分析】根据三角函数诱导公式及和差公式计算即可得出答案. 【详解】3π3sin πtan 524ααα⎛⎫=∈∴=- ⎪⎝⎭，根据诱导公式得： ()()()tan tan παβtan απβαβ⎡⎤-=+-=+-⎣⎦由正切函数的和差公式，且，上式可计算得： ()1tan πβ2-=()()()()31tan tan πβ242tan tan απβ311tan ·tan πβ11142ααβα-++-⎡⎤-=+-===-⎣⎦--⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭故答案为：. 211-15．已知，则的值是________． cos 21π2sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 2α【答案】##0.875 78【分析】先利用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式化简可求得，再平方，结合平cos sin αα-方关系及二倍角的正弦公式即可得解.【详解】cos 2πsin 4αα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,)1cos sin 2αα=-=所以， cos sin αα-=则，即， ()21cos sin 8αα-=11sin 28α-=所以. 7sin 2α=故答案为：. 7816．已知 ，方程与的根分别为，若，则1a >e 0+-=x x a ln 0+-=x x a 12,x x 2212122=++m x x x x m的取值范围为___________． 【答案】()1,+∞【分析】由题意知，与图象交点的横坐标分别为，数形结合知e x y =ln y x =y a x =-12,x x ，结合，即可求解.12x x a +=1a >【详解】方程的根，即与图象交点的横坐标， e 0+-=x x a e x y =y a x =-方程的根，即与图象交点的坐标， ln 0+-=x x a ln y x =y a x =-而与的图象关于直线轴对称，如图所示：e x y =ln y x =y x =与交点为，，y a x =-y x =,22a a ⎛⎫⎪⎝⎭12x x a ∴+=，()22121222122∴+=+=+x x x x x x a 又，，即1a >22121221∴++>x x x x 1m >故答案为：()1,+∞四、解答题17．求（1）；21log 32.5log 6.25lg1002+++（2）.20.53221820.756427--⎛⎫⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）；（2）32-1【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解. （2）利用指数幂的运算性质即可求解.【详解】（1）原式()22log 322.51log lg10ln 22225e ++=-⨯⋅. 2log 313222222=++-⨯=-（2）原式 122223931274468⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22233132462⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22331391124421616⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，xOy θx P 点的横坐标为. P 35-(1)求的值；cos 3sin 3sin cos θθθθ+-(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值.OP O 2πα22sin sin cos cos αααα--【答案】(1)35(2) 1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本tan α关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得，再将化为，即3tan 4α=22sin sin cos cos αααα--22tan tan 1tan 1ααα--+可求得答案．【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限，的横坐标为，可求得纵坐标为，P P P 35-45所以，则． 434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--（2）由题知，则，，则2παθ=+3sin(cos 5sin 2παθθ=+==-24cos cos()sin 5παθθ=+=-=- ， sin 3tan cos 4ααα==故 22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++.2233()443()121951--==-+19．已知函数的最大值为5． π()2sin 26f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)求a 的值和的最小正周期；()f x (2)求的单调递增区间．()f x 【答案】(1)，3a =πT =(2) πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z【分析】（1）根据正弦函数的值域结合题意可求得，再根据周期公式求周期即可；a （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【详解】（1）由题意，，25a +=3a =； 2ππ2T ==（2）令，解得， πππ2π22π262k x k -≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈∴增区间为． πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 20．已知函数.()()()2lg 39f x x ax a R =++∈（1）若函数的定义域为，求实数a 的取值范围；()f x R （2）若对于任意，恒有，求实数a 的取值范围[)1,x ∞∈+()0f x >【答案】（1）；（2）. ()2,2-⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）函数的定义域为转化为恒成立问题，利用判别式，求出a 的范围；()f x R （2）用分离参数法，把求a 的范围转化为恒成立问题，求最值.【详解】（1）因为函数的定义域为.()()2lg 39f x x ax =++R 所以恒成立，2390x ax ++>所以，解得，29360a =-<△22a -<<所以实数的取值范围为.a ()2,2-（2）若对于任意，恒有，[)1,x ∞∈+()0f x >则对于任意，恒有成立，[)1,x ∞∈+2391x ax ++>即对于恒成立， 83a x x>--[)1,x ∞∈+记，，则只需.()8g x x x=--[)1,x ∞∈+()max 3a g x >当时，，所以，[)1,x ∞∈+()(,g x ∈-∞-()max g x =-所以 3a >-a >所以实数的取值范围是. a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】求参数范围的方法:（1）不分离常数，转化为不等式，解不等式即可；（2）分离参数法.21．已知函数，． 5π()cos 416g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,824x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(1)求的值域；()g x (2)若关于x 的方程有两个不等的实根，求实数m 的取值范围．2()(2)()30g x m g x m +-+-=【答案】(1) 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)3m <≤ 【分析】（1）根据余弦函数的性质结合整体思想即可求得函数的值域；（2）令，则，令，则题目可转化为函数有两个不()t x g =30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2()(2)3f t t m t m =+-+-()f t 等的零点，再根据二次函数的性质即可得解.【详解】（1）当时，， ππ,824x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦5ππ4,π63x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以， 5π1cos 41,62x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以， 5π3()cos 410,62g x x ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故的值域为； ()g x 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）令，则， ()t x g =30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令，2()(2)3f t t m t m =+-+-根据题意，解得， ()()()2Δ243023022(0)30323930242m m m f m m f m ⎧=--->⎪-⎪<<⎪⎪⎨=-≥⎪⎪-⎛⎫=++-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩3m <≤此时有两个不同的零点，而在上单调， ()f t ()t x g =ππ,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以.3m <≤22．已知函数是偶函数．()()2log 21x f x kx =+-(1)求的值；k (2)若函数，且在区间上为增函数，求m 的取值范围． ()()[]1224,1,2f x x x h x m x +=+⋅∈()h x [1,2]【答案】(1) 12k =(2)1[,)8-+∞【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；（2）根据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而根据二次函数的单调性即可求解.【详解】（1）由是偶函数可得， ．()f x ()()0f x f x --=则， ()()()22log 21log 210x x k x kx -+---++=即 , 2212log 21x x kx x -+==+所以恒成立，(21)0k x -=故. 12102k k -=⇒=（2）由（1）得， ()()21log 212x f x x =+-所以， ()21()log (21)22424421x f x x x x x x h x m m m ++=+⋅=+⋅=⋅++令，则 ．[]2,1,2x t x =∈[]21,2,4y mt t t =++∈为使为单调增函数，则()h x ①时显然满足题意；0m =②； 00122m m m>⎧⎪⇒>⎨-≤⎪⎩③. 0101842m m m<⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩综上：m 的范围为. 1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
安徽省芜湖市四校联考近年-近年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)(最新整理)
安徽省芜湖市四校联考2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题,共60。
0分）1.已知全集，集合0，1，,，则如图中阴影部分所表示的集合为( ）A. 0,B. C。
D。
0，【答案】D【解析】【分析】由题意知,所以，则阴影部分为0，【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0,1,,,即0，故选：D．【点睛】本题考查Venn图及集合的交集和补集运算，属基础题.2.已知，且，则A. B. C. D。
【答案】B【解析】【分析】把左右同时平方，可得，根据x的范围进一步判断x为钝角，可得的值，解方程组求得和,即可得到．【详解】，且，,，为钝角．，，，，故选：B．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求出,是解题的关键，属于基础题．3。
函数的零点所在区间是A. B. C。
D.【答案】C【解析】【分析】根据函数零点存在性定理进行判断即可．【详解】∵,，∴，∴函数在区间（2，3）上存在零点．故选C．【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．4。
2003年至2015年北京市电影放映场次单位：万次的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是A。
B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据图象可知,13年间电影放映场次基本变化趋势为逐年增加，且增速越来越快，进而判断.【详解】根据图象可知，13年间电影放映场次基本变化趋势为逐年增加,且增速越来越快对于A．f（x)=ax2+bx+c，当a＞0，−＜0，可得满足条件的函数；对于B．当a＞0，b＞0，可得满足条件的函数;对于C．当a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．当a＞0时，为“上凸函数",不符合图象的特征；当a＜0时，为单调递减函数，也不符合图象的特征．故选：D【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型，考查了根据函数增长差异选择函数模型,综合考查了二次函数、指数函数、对数函数等函数的图象与性质，考查了推理能力。
2022-2023学年安徽省芜湖县一中高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
函数 的图象可由指数函数 的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到.
因为函数 的图象过定点 ，故函数 的图象恒过定点 ，
又因为A点在 图象上，则
∴ 解得
【小问2详解】
，
若函数 有两个零点，则方程 有两个不等实根，
令 ， ，则它们的函数图象有两个交点，
由图可知： ，故b的取值范围为 .
21．已知 ，计算下列各式的值.
（1） ；
（2） .
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】令 ，得y轴上的截距 ，令 得x轴上的截距
2、C
【解析】根据指数式与对数式的互化关系逐一判断即可.
【详解】 ，故 正确；
，故 正确；
16、3
【解析】由 ，得 ，
作出y＝f(x)， 的图象，
由图象可知共有3个交点，故函数的零点个数为3
故答案为：3
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由函数图象的平移变换可得点A坐标，然后代入函数 可解；
（2）将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解.
1．对于直线 的截距，下列说法正确的是
A.在y轴上的截距是6B.在x轴上的截距是6
C.在x轴上的截距是3D.在y轴上的截距是-3
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
3．已知 ．则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
安徽省芜湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)word版
15.已知函数 的定义域为 ，若其值域也为 ，则称区间 为 的保值区间．若 的保值区间是 ，则 的值为_____．
16.设函数 , 最大值为 ,最小值为 ,那么 ___________.
17.已知函数 （ ），且 ，给出下列四个结论：①点 为函数 的图像的一个对称中心；②对任意的 ，函数 都不可能是偶函数；③函数 在区间 上单调递减；④当 时，函数 的值域为 ，其中正确结论的序号是___________.
故 或 ，其中 .
若 且 ，
则 ，故 .
同理，若 且 ，
则 ，故 .
若 ， ，
则 ，故 ，
故交点间距离的最小值为 ，
当 时， ，故 ，
解得 ；
当 时， ，故 ，
解得 ，但 ，故舍去.
故选：B.
【点睛】本题考查正弦型函数和余弦型函数的图象和性质，注意根据两点横坐标所处的范围分类讨论，本题属于难题.
二、填空题（本大题5个小题,每小题4分,共20分）在每小题中,请将答案直接填在题后的横线上）
7.若函数 的定义域是 ，则 的定义域为（ ）
A.RB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用求抽象函数定义域的方法，由 可得 .
【详解】∵ 的定义域是 ,
∴ 满足 ,
∴ ,∴ 的定义域为 ．故选A．
【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.
2023-2024学年安徽省芜湖市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省芜湖市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设A＝{x|x2＝1}，B＝{1，3}，则A∪B＝（）A．{﹣1，1，3}B．{1，3}C．{1}D．{3}2．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜0B．∀x∈R，x2+1≤0C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＜03．若实数x，y满足xy＝1，则x2+2y2的最小值为（）A．1B．√2C．2D．2√24．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝2|x|B．f（x）＝lgx C．f（x）＝x3D．f（x）＝cos x5．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为（0，π）时，其所对的“古典̂=2时，θ的“古典正弦”值正弦”为|BC|（D为BC的中点）．根据以上信息，当圆心角θ对应弧长BC为（）A．2sin1°B．2sin1C．2sin1D．sin2π6．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）可以是（）A．f（x）＝e|x|cos x B．f(x)=x−2xC．f(x)=xD．f（x）＝xln（x2+1）3|x|7．已知1＜a＜b＜32，则以下四个数中最大的是（）A ．lgaB ．lnbC ．lg （sin a ）D ．ln （tan b ）8．函数f （x ）＝x 1﹣lnx，x ∈（1，e ）的最大值为（ ） A ．e 2B ．eC ．e 12D ．e 14二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知角α的顶点在平面直角坐标系原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点(45，−35)，现将角α的终边按逆时针方向旋转π2后与角β的终边重合，则下列结论正确的是（ ）A ．sinα=45B ．tanα=−34C ．sinβ=45D ．cosβ=−3510．已知函数f(x)=1+x 21−x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠0}B ．f （x ）是偶函数C ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D ．f(x)+f(−1x)=011．已知cos(π3−α)=13，则下列结论正确的是（ ）A ．sin(π6+α)=13B ．tan(π3−α)=2√2C ．cos(2π3−2α)=−79D ．cos(π6−α2)=±√6312．已知函数f （x ）＝sin （2x ﹣x 2），则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）的最小值是﹣1C ．f （x ）的图象至少有一条对称轴D ．f （x ）在(0，π4)上单调递增三、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分.）13．若幂函数f （x ）＝ax b （a ，b ∈R ）的图象经过点(3，√3)，则f （x ）＝ ． 14．已知函数y =a +42x−1为奇函数，则实数a ＝ ． 15．已知x ∈R ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数，比如[2.8]＝2，[﹣5.3]＝﹣6，若函数f(x)=[x]x+a(x ＞0)有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．16．若函数f(x)=sin(ωx +π4)与g(x)=sin(ωx −π4)在区间（0，π）单调性一致，则ω的最大值为 ．四、解答题（本题共6小题，共44分.） 17．（6分）化简求值：（1）(2a 43b −13)(ab)2÷(−23a 13b 23)(a ，b ＞0)；（2）3lg 5﹣e ln 4+lg 8．18．（6分）如图，动点P 从边长为2的正方形的顶点B 开始，顺次经过点C ，D ，A 绕正方形的边界运动，最后回到点B ，用x 表示点P 运动的的路程，y ＝f （x ）表示△APB 的面积，求函数f （x ）．（当点P 在AB 上时，规定S △APB ＝0）19．（6分）已知函数f(x)=2cosx(√3sinx +cosx)−1． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，求函数g （x ）在[0，π4]上的值域．20．（8分）设函数f （x ）＝ax 2+bx +3，关于x 的一元二次不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，1）． （1）求不等式x 2+ax +b ＞0的解集；（2）若∀x ∈[﹣1，3]，f （x ）≥mx 2，求实数m 的取值范围．21．（8分）如图，已知l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一点，点A 到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2，且h 1+h 2＝2，B 是直线l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ．设∠ABD ＝α． （1）若α=π6，求√3AC +1AB的最小值；（2）若h 1＝h 2＝1，求△ABC 周长的最小值．22．（10分）已知函数f （x ）＝lgx ．（1）若g （x ）＝f （|x ﹣m |），且g （x ）图象关于x ＝2对称，求实数m 的值； （2）若ℎ(x)=f(1x+a)，（i ）方程h （x ）＝lg （ax +2a ﹣1）恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（ii ）设a ＞0，若对任意b ∈[12，1]，当x 1，x 2∈[b ，b +1]时，满足|h （x 1）﹣h （x 2）|≤lg 2，求实数a 的取值范围．2023-2024学年安徽省芜湖市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设A＝{x|x2＝1}，B＝{1，3}，则A∪B＝（）A．{﹣1，1，3}B．{1，3}C．{1}D．{3}解：因为A＝{x|x2＝1}＝{1，﹣1}，B＝{1，3}，则A∪B＝{1，﹣1，3}．故选：A．2．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1＜0B．∀x∈R，x2+1≤0C．∃x∈R，x2+1≤0D．∃x∈R，x2+1＜0解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定“∃x∈R，x2+1≤0”，故选：C．3．若实数x，y满足xy＝1，则x2+2y2的最小值为（）A．1B．√2C．2D．2√2解：因为实数x，y满足xy＝1，则x2+2y2≥2√2xy＝2√2，当且仅当x2＝2y2时取等号．故选：D．4．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝2|x|B．f（x）＝lgx C．f（x）＝x3D．f（x）＝cos x解：对于A，因为f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝2|﹣x|＝2|x|＝f（x），所以函数是偶函数，当x∈（0，+∞）时，函数f（x）＝2x单调递增，故符合题意；对于B，因为定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以函数不是偶函数，是非奇非偶函数，不符；对于C，f（x）的定义域为R，因为f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），所以函数不是偶函数，是奇函数，不符；对于D，因为f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝cos（﹣x）＝cos x＝f（x），所以函数是偶函数，当x∈（0，+∞）时，y＝cos x没有单调性，不符．故选：A．5．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为（0，π）时，其所对的“古典正弦”为|BC |（D 为BC 的中点）．根据以上信息，当圆心角θ对应弧长BC ̂=2时，θ的“古典正弦”值为（ ）A ．2sin1°B ．2sin1C ．2sin 1πD ．sin2解：由题意可知，OB ＝1，BĈ=2，则圆心角∠BOC =21=2，|BC |＝2BD ＝2×OB ×sin1＝2sin1． 故选：B ．6．函数f （x ）的部分图象如图所示，则f （x ）可以是（ ）A ．f （x ）＝e |x |cos xB ．f(x)=x −2xC ．f(x)=x 3|x| D ．f （x ）＝xln （x 2+1）解：根据题意，由函数的图象，f （x ）的定义域为R ， 当x ＞0时，f （x ）＞0，且x →+∞时，f （x ）→0，对于A ，f （x ）＝e |x |cos x ，在区间（π2，3π2）上，f （x ）＜0，不符合题意；对于B ，f （x ）＝x −2x，其定义域为{x |x ≠0}，不符合题意；对于D ，f （x ）＝xln （x 2+1），当x →+∞时，f （x ）→+∞，不符合题意． 故选：C ．7．已知1＜a ＜b ＜32，则以下四个数中最大的是（ ）A ．lgaB ．lnbC ．lg （sin a ）D ．ln （tan b ）解：因为1＜a ＜b ＜32，所以0＜sin a ＜1＜a ＜b ＜tan b ，所以lg （sin a ）＜0＜lga ＜lnb ＜ln （tan b ）， 所以四个数中最大的是ln （tan b ）．故选：D ． 8．函数f （x ）＝x 1﹣lnx，x ∈（1，e ）的最大值为（ ） A ．e 2B ．eC ．e 12D ．e 14解：∵f （x ）＝x 1﹣lnx ⇒lnf （x ）＝（1﹣lnx ）lnx ＝lnx ﹣（lnx ）2，⇒f′(x)f(x)=1x −2lnx x⇒f ′(x)=x 1−lnx ⋅1−2lnx x =(1−2lnx)x −lnx ，f ′（x ）＞0⇒1﹣2lnx ＞0⇒0＜x ＜√e ，∴f （x ）在（1，√e ）上单调递增，在（√e ，e ）上单调递减， 故f （x ）在（1，e ）上的最大值为f （√e ）=e 14． 故选：D ．二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知角α的顶点在平面直角坐标系原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点(45，−35)，现将角α的终边按逆时针方向旋转π2后与角β的终边重合，则下列结论正确的是（ ）A ．sinα=45B ．tanα=−34C ．sinβ=45D ．cosβ=−35解：∵角α的顶点在平面直角坐标系原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点(45，−35)，现将角α的终边按逆时针方向旋转π2后与角β的终边重合，∴β=π2+α． ∴sin α=−35，cos α=45，tan α=−3545=−34，sin β＝cos α=45，cos β＝﹣sin α=35，故BC 正确，AD 错误．故选：BC ． 10．已知函数f(x)=1+x 21−x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的定义域为{x |x ≠0}B ．f （x ）是偶函数C ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D ．f(x)+f(−1x)=0解：由题意得，1﹣x 2≠0，即x ≠±1，A 错误；因为f （﹣x ）=1+(−x)21−(−x)2=1+x 21−x 2=f （x ），即f （x ）为偶函数，B 正确；因为y ＝f （x ）=1+x 21−x 2，所以x 2=y−1y+1≥0且x 2=y−1y+1≠1，解得，y ≥1或y ＜﹣1，C 正确；f （x ）+f （−1x ）=1+x 21−x 2+1+(−1x )21−(−1x)2=1+x 21−x 2+1+x 2x 2−1=0，D 正确．故选：BCD ．11．已知cos(π3−α)=13，则下列结论正确的是（ ）A ．sin(π6+α)=13B ．tan(π3−α)=2√2C ．cos(2π3−2α)=−79D ．cos(π6−α2)=±√63解：对于A ，sin(π6+α)=sin[π2−(π3−α)]=cos(π3−α)=13，故A 正确；对于B ，因为cos(π3−α)=13，所以sin(π3−α)=±2√23，所以tan(π3−α)=sin(π3−α)cos(π3−α)=±2√2，故B 错误；对于C ，cos(23π−2α)=2cos 2(π3−α)−1=2×(13)2−1=−79，故C 正确；对于D ，cos(π3−α)=2cos 2(π6−α2)−1=13，所以cos(π6−α2)=±√63，故D 正确．故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （2x ﹣x 2），则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）的最小值是﹣1C ．f （x ）的图象至少有一条对称轴D ．f （x ）在(0，π4)上单调递增解：根据题意，设t ＝2x ﹣x 2，则y ＝sin t ， 依次分析选项：对于A ，t ＝2x ﹣x 2，是二次函数，不是周期函数，则f （x ）也不是周期函数，A 错误； 对于B ，t ＝2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+1≤1，则有sin t ≥﹣1，即f （x ）的最小值为﹣1，B 正确； 对于C ，t ＝2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+1，是对称轴为x ＝1的二次函数，其对称轴是唯一的， 则故f （x ）的图象有唯一的对称轴x ＝1，C 正确；对于D ，t ＝2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+1，在区间（0，π4）上，t ＝2x ﹣x 2为增函数，且0＜t ＜1，而y ＝sin t 在（0，1）上也是增函数，故f （x ）在（0，π4）上单调递增，D 正确．故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分.）13．若幂函数f （x ）＝ax b （a ，b ∈R ）的图象经过点(3，√3)，则f （x ）＝ √x ．解：幂函数f （x ）＝ax b （a ，b ∈R ）的图象经过点(3，√3)， 则a ＝1，√3=3b ，∴b =12，则f （x ）=√x ．故答案为：√x ． 14．已知函数y =a +42x−1为奇函数，则实数a ＝ 2 ． 解：y =f(x)=a +42x−1为奇函数，则f （x ）＝﹣f （x ）， 则a +42x−1=−(a +42−x −1) a =−22x −1−22−x −1=−22x −1−2×2x1−2x =2×2x−22x−1=2． 故答案为：2．15．已知x ∈R ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数，比如[2.8]＝2，[﹣5.3]＝﹣6，若函数f(x)=[x]x+a(x ＞0)有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是 [−34，−23） ．解：∵函数f(x)=[x]x+a(x ＞0)有且仅有2个零点， ∴方程[x]x=−a 在（0，+∞）上有且仅有2个实数根，且a ≤0，即函数g （x ）=[x]x与y ＝﹣a 在（0，+∞）上有2个交点， ∵x ＞0，∴[x ]≥0，若[x ]＝0，即0＜x ＜1，此时g （x ）＝0，若[x ]＝1，即1≤x ＜2，此时g （x ）=1x ，且12＜g(x)≤1，若[x ]＝2，即2≤x ＜3，此时g （x ）=2x ，且23＜g(x)≤1，若[x ]＝3，即3≤x ＜4，此时g （x ）=3x ，且34＜g(x)≤1，画出函数g （x ）的图象，如图所示：由图象可知，当23＜−a ≤34，即−34≤a ＜−23时，函数g （x ）=[x]x 与y ＝﹣a 在（0，+∞）上有2个交点，即实数a 的取值范围是[−34，−23）．故答案为：[−34，−23）．16．若函数f(x)=sin(ωx +π4)与g(x)=sin(ωx −π4)在区间（0，π）单调性一致，则ω的最大值为 14 ．解：根据题意，若函数f(x)=sin(ωx +π4)与g(x)=sin(ωx −π4)在区间（0，π）单调性一致，则ω≠0，且两个函数的周期都大于等于2π，而函数f(x)=sin(ωx +π4)与g(x)=sin(ωx −π4)的周期都是2π|ω|，必有2π|ω|≥2π，解可得﹣1≤ω≤1，当ω＞0时，x ∈（0，π），则有π4＜ωx +π4＜ωπ+π4，−π4＜ωx −π4＜ωπ−π4，必有ωπ+π4≤π2，解可得ω≤14，此时有0＜ω≤14， 当ω＜0时，x ∈（0，π），则有ωπ+π4＜ωx +π4＜π4，ωπ−π4＜ωx −π4＜−π4，必有ωπ−π4≥−π2，解可得ω≥−14，此时有−14≤ω＜0， 故−14≤ω＜0或0＜ω≤14，则ω的最大值为14．故答案为：14．四、解答题（本题共6小题，共44分.） 17．（6分）化简求值：（1）(2a 43b −13)(ab)2÷(−23a 13b 23)(a ，b ＞0)；（2）3lg 5﹣e ln 4+lg 8．解：（1）原式=2×(−32)a 43+2−13b −13+2−23=−3a 3b ； （（2）原式＝3lg 5﹣4+3lg 2＝3（lg 5+lg 2）﹣4＝3lg 10﹣4＝3﹣4＝﹣1．18．（6分）如图，动点P 从边长为2的正方形的顶点B 开始，顺次经过点C ，D ，A 绕正方形的边界运动，最后回到点B ，用x 表示点P 运动的的路程，y ＝f （x ）表示△APB 的面积，求函数f （x ）．（当点P 在AB 上时，规定S △APB ＝0）解：当点P 在边BC 上运动时，0≤x ＜2，此时y =12×2×x =x ， 当点P 在边CD 上运动时，2≤x ＜4，此时y =12×2×2=2，当点P 在边DA 上运动时，4≤x ＜6，此时y =12×2×(6−x)=6﹣x ， 当点P 在边AB 上运动时，6≤x ≤8，此时y ＝0，综上可知，f （x ）={ x ，0≤x ＜22，2≤x ＜46−x ，4≤x ＜60，6≤x ＜8．19．（6分）已知函数f(x)=2cosx(√3sinx +cosx)−1．（1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，求函数g （x ）在[0，π4]上的值域． 解：（1）因为f （x ）＝2√3sin x cos x +2cos 2x ﹣1=√3sin2x +cos2x ＝2sin （2x +π6）， 令2kπ−π2≤2x +π6≤π2+2kπ，得kπ−π3≤x ≤π6+kπ，k∈Z ， 所以f （x ）的单调递增区间为[kπ−π3，π6+kπ]，k ∈Z ； （2）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位，得到f(x −π6)=2sin[2(x −π6)+π6]=2sin(2x −π6)， 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到g(x)=2sin(4x −π6)， 当x ∈[0，π4]，可得4x −π6∈[−π6，5π6]， 所以g （x ）的值域[﹣1，2]．20．（8分）设函数f （x ）＝ax 2+bx +3，关于x 的一元二次不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，1）．（1）求不等式x 2+ax +b ＞0的解集；（2）若∀x ∈[﹣1，3]，f （x ）≥mx 2，求实数m 的取值范围．解：（1）因为一元二次不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，1），所以﹣3和1是方程 ax 2+bx +3＝0 的两个实根，则{−3+1=−b a −3×1=3a，解得a ＝﹣1，b ＝﹣2， 因此所求不等式即为：x 2﹣x ﹣2＞0，解集为{x |x ＜﹣1或x ＞2}；（2）f （x ）≥mx 2可化为（m +1）x 2≤﹣2x +3，当x ＝0时显然成立；当x ≠0时，m +1≤−21x + 3(1x)2对x ∈[﹣1，3]恒成立，令t =1x ∈(−∞，−1]∪[13，+∞)，则m +1≤﹣2t +3t 2， t =13即x ＝3时，(−2t +3t 2)min =−13， 所以m +1≤−13， 即m 的范围为{m |m ≤−43}． 21．（8分）如图，已知l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一点，点A 到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2，且h 1+h 2＝2，B 是直线l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ．设∠ABD ＝α．（1）若α=π6，求√3AC +1AB的最小值； （2）若h 1＝h 2＝1，求△ABC 周长的最小值．解：（1）当α=π6时，AC =ℎ1cosα=132，AB =ℎ2sinα=2ℎ2， 所以√3AC +1AB =32ℎ1+12ℎ2=(32ℎ1+12ℎ2)(ℎ1+ℎ2)2=14(4+3ℎ2ℎ1+ℎ1ℎ2)≥14(4+2√3)， 当且仅当ℎ1=3−√3，ℎ2=√3−1时，上式等号成立；（2）由题意知：AB =ℎ2sinα=1sinα，AC =ℎ1cosα=1cosα， BC =√1cos 2α+1sin 2α=1sinαcosα， 所以△ABC 的周长为1sinα+1cosα+1sinαcosα=cosα+sinα+1sinαcosα(0＜α＜π2)， 令t =cosα+sinα=√2sin(α+π4)∈(1，√2]，则sinαcosα=t 2−12， 所以周长为t+1t 2−12=2t−1，在(1，√2]上递减， 所以当t =√2，即α=π4时周长最小，最小值为2(√2+1)． 22．（10分）已知函数f （x ）＝lgx ．（1）若g （x ）＝f （|x ﹣m |），且g （x ）图象关于x ＝2对称，求实数m 的值；（2）若ℎ(x)=f(1x+a)， （i ）方程h （x ）＝lg （ax +2a ﹣1）恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（ii ）设a ＞0，若对任意b ∈[12，1]，当x 1，x 2∈[b ，b +1]时，满足|h （x 1）﹣h （x 2）|≤lg 2，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意知g （x ）＝f （|x ﹣m |）＝lg |x ﹣m 图象关于x ＝2对称，所以y ＝g （x +2）＝f （|x +2﹣m |）＝lg |x +2﹣m |为偶函数，即m ＝2；（2）由题意知ℎ(x)=f(1x +a)=lg(1x+a)， （i ）方程lg(1x+a)=lg(ax +2a −1)， 所以{1x +a =ax +2a −1①1x+a ＞0②，由①可得ax 2+（a ﹣1）x ﹣1＝0，即（ax ﹣1）（x +1）＝0， 当a ＝0 时，方程有唯一解x ＝﹣1，代入②中，1x+a =−1+0＜0，不符合条件； 当a ＝﹣1 时，方程①变为（﹣x ﹣1）（x +1）＝﹣（x +1）2＝0，解得x ＝﹣1，也不符合条件；当a ≠0且 a ≠﹣1 时，方程有两不等解x 1=1a x 2＝﹣1，若x 1=1a 满足②1x 1+a =2a ＞0，则a ＞0， 若x 2＝﹣1 满足②1x 2+a =−1+a ＞0，则a ＞1，所以当a ∈（0，1]时方程恰有一个实根；综上，实数a 的取值范围为（0，1]；（ii ）令t =1x +a ，则t =1x+a 在（0，+∞）上为减函数， 而y ＝lgt 在（0，+∞）上为增函数，所以函数ℎ(x)=lg(1x+a) 在[b ，b +1]上为减函数， 当x 1，x 2∈[b ，b +1]时，满足|h （x 1）﹣h （x 2）|≤lg 2，则ℎ(x)max −ℎ(x)min =ℎ(b)−ℎ(b +1)=lg(1b +a)−lg(1b+1+a)≤lg 2， 所以1b +a ≤2(1b+1+a)， 因为1b +a ≤2(1b+1+a)， 即ab 2+（a +1）b ﹣1≥0对任意的b ∈[12，1]恒成立， 设φ（b ）＝ab 2+（a +1）b ﹣1，又a ＞0，所以函数φ（b ）＝ab 2+（a +1）b ﹣1在[12，1]单调递增， 所以φ(b)min =φ(12)=a 4+a+12−1≥0， 所以a ≥23， 即实数a 的取值范围为[23，+∞）．。
安徽省芜湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
安徽省芜湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={(x,y)|{x+y−1≥02x−y−2≤0}，B={(x,y)|x−y−1≤0}，则集合A与B的关系为()A. A∩B=⌀B. A⊆BC. B⊆AD. A与B关系不确定2.已知角α的终边过点P(13,−2√23)，则sinα的值为()A. −2√23B. 13C. 2√23D. √233.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入−个税起征点−专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用…等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额x元(含税)x≤30003000<x≤1200012000<x≤25000税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为()A. 1800B. 1000C. 790D. 5604.用二分法求函数f(x)在区间(1,2)内的零点近似值的过程中，经计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(2)>0，则下一次应计算x0=()时，f(x0)的值．A. 1.75B. 1.625C. 1.375D. 1.255.函数y=log a(x−1)(0<a<1)的图象大致是()A. B. C. D.6.cos13°cos17°−sin17°sin13°=()A. −√32B. −12C. 12D. √327. 若f(x −1)的定义域为[1,2]，则f(x +2)的定义域为( )A. [0,1]B. [2,3]C. [−2,−1]D. 无法确定8. 已知tanα=−12，则(sinα−cosα)2cos2α的值为( )A. 2B. −2C. 3D. −39. 三个数70.3,0.37，ln 0.3的大小关系是( )．A. 70.3>0.37>ln 0.3B. 70.3>ln 0.3>0.37C. 0.37>70.3>ln 0.3D. ln 0.3>70.3>0.3710. 为得到函数 y=sin2x 的图象，只需将函数 y=sin(2x−π4)的图象向( ) A. 右平移 π4个单位 B. 左平移 π4个单位 C. 右平移 π8个单位 D. 左平移 π8个单位 11. 某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是( )A. y =sin(−56x +3π5) B. y =sin(65x −2π5) C. y =sin(65x +3π5)D. y =−cos(56x +3π5)12. 已知函数y =2cos(ωx +φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )A. 12B. 32C. 23D. 13二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）13. 已知函数f (x )为偶函数，且x >0时，，则f (−e )= __________．14. 钟表时针走过2小时40分，则分针转过的角度是__________．15.若函数f(x)=12(x−1)2+1的定义域和值域都是[a,b]，则称[a,b]为f(x)的保值区间．那么的保值区间是______.16.已知函数f(x)=g(x)+2，x∈[−3,3]，且g(x)满足g(−x)=−g(x)，若f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M+N=__________．17.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点M(5π12,0)对称，且与点M相邻的一个最低点为N(2π3,−3)，则对于下列判断：①直线x=π2是函数f(x)图象的一条对称轴；②点M(−π12,0)是函数f(x)的一个对称中心；③函数y=1与y=f(x)(x∈(−π12,11π12))的图象的交点的横坐标之和为π6．其中判断正确的是______．三、解答题（本大题共6小题，共44.0分）18.计算：(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52)．19.若θ为任意角度，求32cos6θ−cos6θ−6cos4θ−15cos2θ的值．20.已知函数f(x)=−x2+2ax−a−a2在x∈[0,2]上的最大值为−2，求实数a的值．21.已知函数f(x)=sin(2x+π6)+12+m的图象过点(5π12,0)(1)求实数m的值及f(x)的周期及单调递增区间；(2)若x∈[0,π2]，求f(x)的值域．22.若f(x)=x−1x，求方程f(x)=−x的根．23.已知函数f(x)=x2−2ax+2，x∈[−2,3]．(1)当a=−2时，求函数f(x)的最大值和最小值．(2)求y=f(x)在区间[−2,3]上的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：如图集合A 表示的区域为阴影部分， 直线x −y −1=0上方部分表示集合B ， 由图可知A ⊆B ．故选B ．由题意在平面直角坐标系中作出集合，从而求解． 本题考查了数形结合的应用，属于基础题．2.答案：A解析：解：因为α的终边过点P(13,−2√23)， ∴|OP|=(13)2√23)=1，∴sinα=−2√231=−2√23． 故选：A ．通过α的终边过点P(13,−2√23)，利用三角函数的定义直接想sinα，求解即可． 本题考查三角函数的定义，基本知识的考查．3.答案：C解析：本题考查了分段函数的应用与函数值计算，属于中档题． 由题意分段计算李某的个人所得税额．解析：解：李某月应纳税所得额(含税)为：18000−5000−2000−1000=10000元，不超过3000的部分税额为3000×3%=90元，超过3000元至12000元的部分税额为7000×10%=700元，所以李某月应缴纳的个税金额为90+700=790元．故选C．4.答案：D解析：解：∵f(1)<0，f(1.5)>0，∴根据函数零点存在定理，函数零点落在区间(1,1.5)内，取x0=1.25．故选D．根据题意可得，f(1)<0，f(1.5)>0，函数零点落在区间(1,1.5)内，再由二分法的步骤，应该计算区间中点的函数值，即1.25对应的函数值，判断符号，可以进一步确定零点的范围．本题主要考查二分法以及零点存在定理，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换，属于基础题．把对数函数的图象向右一个单位即可得到结果．解：∵0<a<1，∴y=log a x在(0,+∞)上单调递减，又∵函数y=log a(x−1)的图象是由y=log a x的图象向右平移一个单位得到，故选A．6.答案：D解析：直接利用两角和与差的余弦函数以及特殊角的三角函数化简求值即可．本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．解：cos13°cos17°−sin17°sin13°=cos(17°+13°)=cos30°=√32．故选：D．7.答案：C解析：由f(x−1)的定义域为[1,2]，∴1≤x≤2，∴0≤x−1≤1，∴0≤x+2≤1，∴−2≤x≤−1，∴f(x+2)的定义域为[−2,−1]．8.答案：C解析：解：∵tanα=−12，∴原式=sin2α+cos2α−2sinαcosαcos2α−sin2α=tan2α+1−2tanα1−tan2α=14+1+11−14=3．故选：C．原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，将tanα的值代入计算即可求出值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9.答案：A解析：本题考查大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．借助于中间量0，1，即可得出结论．解：∵70.3>70=1，0<0.37<0.30=1，ln0.3<ln1=0，∴70.3>0.37>ln0.3．故选A．10.答案：D解析：本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．先把y=sin(2x−π4)整理为sin2(x−π8)；再根据图象平移规律即可得到结论，(注意平移的是自变量本身，须提系数).解：因为：y=sin(2x−π4)=sin2(x−π8)，根据函数图象的平移规律可得：须把函数y=sin2(x−π8)向左平移π8个单位得到函数y=sin2x的图象．故选D．11.答案：C解析：本题考查了三角函数图象以及性质；熟练掌握正弦函数的图象和性质是解答的关键．首先由函数图象求出A，T，再计算φ，即可求出解析式．解：由图象得到A=1，函数周期为T=4(3π4−π3)=5π3=2πω，所以ω=65，由f(3π4)=−1得到φ=3π5，所以f(x)=sin(65x+3π5)，故选C. 12.答案：B解析：解：由函数的图象可得2πω=2π×23，求得ω=32，故选：B．由函数的图象可得2πω=2π×23，由此求得ω的值．本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．13.答案：3解析：本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．函数f(x)为偶函数，f(x)=f(−x)，所以f(−e)=f(e)解：已知函数f(x)为偶函数，∴f(x)=f(−x)，．故答案为3．14.答案：−960∘解析：首先注意到时针是按顺时针方向转动，转过的角是负角．2小时40分钟=223小时，时针走1小时分针恰好转1圈，即转了−360∘，∴−360∘×223=−960∘．15.答案：[1,3]解析：本题考查二次函数在闭区间的值域，属基础题．先根据f(x)=12(x −1)2+1≥1确定a ≥1，而函数的对称轴x =1，则函数在[a,b]上单调递增，转化为求方程f(x)=x 的根． 解：因为，函数的值域为[a,b]，则a ≥1 又函数的对称轴x =1，函数在[a,b]上单调递增，若值域是[a,b]，则{f(a)=a f(b)=b ⇒{12a 2−a +32=a 12b 2−b +32=b 此时a =1，b =3， 综上可得a =1，b =3 故答案为：[1,3]16.答案：4解析：本题考查了函数的奇偶性和最值问题，属于基础题．由已知g (x )满足g (−x )=−g (x )，得函数g (x )图象关于原点对称，则f (x )的图象关于(0,2)对称，其最大最小值对应的坐标也关于(0,2)对称，进而可得答案． 解：由已知g (x )满足g (−x )=−g (x )， 则函数g (x )是奇函数，得函数g(x)图象关于原点对称，则f(x)的图象也关于(0,2)对称，其最大最小值对应坐标也关于(0,2)对称，所以M+N=4．故答案为4．17.答案：②解析：本题考查了三角函数的图象变换及其性质、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．先求出函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式，然后对每个命题利用性质进行判断即可得出正误．解：由题图象关于点M(5π12,0)对称，且与点M相邻的一个最低点为N(2π3,−3)，可得A=3，T4=|5π12−2π3|=π4，∴T=π，又2πω=π，∴ω=2，因为图象关于点M(5π12,0)对称，且与点M相邻的一个最低点为N(2π3,−3)，0<φ<π，∴2×5π12+φ=kπ，(k∈Z)，∴当k=1时，φ=π6，所以f(x)=3sin(2x+π6).①当x=π2时，sin(2×π2+π6)=sin(−π6)=−32≠±1，∴①错误；②由2x+π6=kπ，解得：x=kπ2−π12，当k=0时，对称中心为：(−π12,0)，M(−π12,0)是函数f(x)的一个对称中心．故②正确；③由2x+π6=kπ+π2，解得：x=kπ2+π6，当k=0时，对称轴为x=π6，则在第一个周期内函数y=1与y=f(x)图象的所有交点的横坐标关于x =π6对称，则横坐标之和为π6×2=π3，因此③不正确．综上可得：②正确．故答案为：②． 18.答案：解：(log 2125+log 425+log 85)⋅(log 1258+log 254+log 52)=(3log 25+2log 25log 24+log 25log 28)⋅(log 58log 5125+log 54log 525+log 52) =(3+1+13)log 25⋅(1+1+1)log 52 =133×3=13．解析：本题考查了对数的运算性质、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用对数的运算性质即可得出．19.答案：解：方法一 根据二倍角和三倍角公式知，32cos 6θ−cos6θ−6cos4θ−15cos2θ=32cos 6θ−(2cos 23θ−1)−6(2cos 22θ−1)−15(2cos 2θ−1)=32cos 6θ−[2(4cos 3θ−3cosθ)2−1]−6[2(2cos 2θ−1)2−1]−15(2cos 2θ−1)=32cos 6θ−(32cos 6θ−48cos 4θ+18cos 2θ−1)−(48cos 4θ−48cos 2θ+6)−(30cos 2θ−15) =10．方法二 由cos 2θ=1+cos2θ2，cos6θ=4cos 32θ−3cos2θ，cos4θ=2cos 22θ−1知，待求式中的每一项均可用cos2θ表示．令cos2θ=a ，则32cos 6θ−cos6θ−6cos4θ−15cos2θ=32(a+12)3−(4a 3−3a )−6(2a 2−1)−15a =10．解析：本题主要考查了二倍角公式的应用，属于中档题．方法一：根据二倍角公式化简，再由完全平方公式求解；方法二：由cos2θ=1+cos2θ2，cos6θ=4cos32θ−3cos2θ，cos4θ=2cos22θ−1知，待求式中的每一项均可用cos2θ表示．从而求解．20.答案：解：函数f(x)=−x2+2ax−a−a2=−(x−a)2−a，函数f(x)的图象的对称轴为x=a，∵函数f(x)在x∈[0,2]上的最大值为−2，闭区间[0,2]的中点为1，当a<1时，f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=−4+3a−a2=−2，求得a=2(舍去)，或a=1(舍去)．当a≥1时，f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)=−a−a2=−2，求得a=−2(舍去)，或a=1．综上可得，a=1．解析：函数的对称轴方程为x=a，求出闭区间的中点为1，分a<1、a≥1两种情况，分别根据函数在[0,2]上的最大值为−2，求得a的值，综合可得结论．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21.答案：解：(1)由函数f(x)=sin(2x+π6)+12+m的图象过点(5π12,0)，可得sinπ+12+m=0，求得m=−12，∴f(x)=sin(2x+π6)，故函数的周期为2π2=π；令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，故函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．(2)∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈x∈[π6,7π6]，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，所以f(x)的值域为[−12,1]．解析：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，属于基础题．(1)由函数f(x)=sin(2x+π6)+12+m的图象过点(5π12,0)，求得m的值，可得f(x)的解析式，从而利用正弦函数的周期性求得函数的周期．令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，求得x的范围，可得函数的增区间；(2)根据x∈[0,π2]，利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的值域．22.答案：解：由x−1x =−x，得x2+x−1=0，即x=−1±√52．经检验x=−1±√52是原方程的根．解析：本题主要考查分式方程的解法.把分式方程转化为一元二次方程，即可．23.答案：解：(1)当a=−2时，原式f(x)=x2+4x+2，x∈[−2,3]，对称轴为x=−2，∴f(x)min=f(−2)=−2，f(x)max=f(3)=23；(2)对称轴为x=a，当a≤−2时，f(x)min=f(−2)=6+4a；当a≥3时，f(x)min=f(3)=11−6a；当−2<a<3时，f(x)min=f(a)=−a2+2．故a≤−2时，；当a≥3时，；当−2<a<3时，．解析：本题考查二次函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题．(1)求出对称轴方程，利用二次函数的性质即可求解；(2)对a进行分类讨论即可求解．。