初中数学 二元二次方程组
初中数学试卷大题公式汇总
一、代数部分1. 一元一次方程：ax + b = 0，解得：x = -b/a（a ≠ 0）2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，解得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a（a ≠ 0）3. 二元一次方程组：方程组：x + y = a，mx + ny = b，解得：x = (ab - bn) / (an - bm)，y = (ac - am) / (an - bm）4. 二元二次方程组：方程组：ax^2 + bx + c = 0，dx^2 + ex + f = 0，解得：x = (e^2 - 4df) / (4d)，y = (b^2 - 4ac) / (4d）5. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b）6. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2，a^2 - 2ab + b^2 = (a -b)^27. 提公因式法分解因式：将多项式中的公因式提取出来，如：a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3 = a(a^2 + 3ab + 3b^2) + b^38. 公式法分解因式：根据公式分解因式，如：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2）二、几何部分1. 三角形面积公式：（1）底×高÷2（2）边×边×sin∠B÷22. 矩形面积公式：长×宽3. 正方形面积公式：边×边4. 圆的面积公式：π×半径×半径5. 圆的周长公式：2π×半径6. 梯形面积公式：(上底 + 下底)×高÷27. 正多边形面积公式：边×边×∠A×n÷360（其中n为边数）8. 圆柱体积公式：底面积×高9. 圆锥体积公式：底面积×高÷310. 球体积公式：4/3×π×半径^3三、其他部分1. 平行四边形面积公式：底×高2. 等腰三角形面积公式：底×高÷23. 等边三角形面积公式：边×边×√3÷44. 长方体表面积公式：(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×25. 正方体表面积公式：边×边×66. 长方体体积公式：长×宽×高7. 正方体体积公式：边×边×边以上是初中数学试卷大题公式汇总，希望对同学们有所帮助。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题附答案
0 2y2
0
【答案】
x1
y1
1 4 1 2
，
x2
y2
2 5 1 5
.
【解析】
【分析】
首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.
【详解】
2x y 1 0① 2x2 5xy 2 y2 0②
将②因式分解，得 2x y x 2y 0
∴方程组可化为两个新方程组：
分别在边 BC，AB 上，求 DN 的值． AM
【答案】（1）证明见解析；(2) 11 ；（3） 4 .
15
5
【解析】
分析：(1)过点 A 作 AP∥EF，交 CD 于 P，过点 B 作 BQ∥GH，交 AD 于 Q，根据矩形的性质
证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得 BN ；(3)过点 D 作平行于 AB 的直线，交过点 AM
x2 y2 3 5．解方程:
x y 1 0
【答案】
x
y
1 2
【解析】
【分析】
本题可用代入消元法进行求解，即把方程 2 写成 x=-1-y，代入方程 1，得到一个关于 y 的一
元二次方程，求出 y 值，进而求 x．
【详解】
解：
x x
2 y2 y
3 1 0
1 2
由（2）得： x 1 y （3）
【解析】 【分析】 根据解二元二次方程组的步骤求解即可. 【详解】
解：由方程①得： x yx-y -3 ，③
由方程②得： x y -1，④
联解③④得 x-y=3，⑤
x 1 联解④⑤得 y -2
x 1 所以原方程组的解为 y -2
【点睛】 本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程, 再降次转化为一元一次方程解之.
二元二次方程组的解法公式法
二元二次方程组的解法公式法二元二次方程组是一组有两个未知数的二次方程。
解法公式法是一种使用公式求解二元二次方程组的方法。
解法步骤1. 化成标准形式：将方程组化成以下形式：```ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0```2. 计算判别式：计算判别式Δ，它由以下公式给出：```Δ = b² - 4acAC + 4BDF - B²CE - CD²```3. 根据判别式确定解的性质：Δ > 0：方程组有两个相异的实数解。
Δ = 0：方程组有两个相同的实数解。
Δ < 0：方程组无实数解，但可能有两个复数解。
4. 计算解：Δ > 0：使用以下公式计算两个解：```x = (-b ± √Δ) / (2a)y = (-B ± √Δ) / (2A)```Δ = 0：使用以下公式计算两个相同的解：```x = -b / (2a)y = -B / (2A)```5. 验证解：将解代入方程组中以验证它们是否满足方程。
例子求解以下方程组：```x² + 2xy + y² = 25x - y = 2```解：1. 化成标准形式：```x² + 2xy + y² - 25 = 0x - y - 2 = 0```2. 计算判别式：```Δ = (2)² - 4(1)(1)(-1) = 8 > 0```3. 方程组有两个相异的实数解。
4. 计算解：```x = (-2 ± √8) / 2 = -1 ± 2√2y = (-2 ± √8) / 2 = 1 ± 2√2```因此，方程组有两个解：(√2 - 1, √2 + 1) 和 (-√2 - 1, -√2 + 1)。
初中数学 什么是二元二次方程组
初中数学什么是二元二次方程组二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
每个二次方程通常具有形如ax^2 + bx + c = 0 的标准形式，其中a、b 和c 是已知系数，x 是未知数。
二元二次方程组的一般形式如下：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中a1、b1、c1、d1、e1、f1、a2、b2、c2、d2、e2 和f2 都是已知的系数，x 和y 是未知数。
解二元二次方程组需要找到满足两个方程同时成立的变量值（即x 和y 的值）。
解的形式可以是唯一解、无解或者无穷多解。
要解决二元二次方程组，可以使用以下方法：1. 消元法：使用消元法可以通过消去其中一个未知数的平方项来简化方程组。
首先，通过除以一个方程中的系数，使得两个方程中二次项的系数相等。
然后，将两个方程相减，可以消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
2. 代入法：使用代入法可以将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并将其代入另一个方程中。
这样可以得到一个只包含一个未知数的一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代回到另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
3. 图像法：通过绘制两个二次方程的图像，可以观察它们的交点来确定解。
交点的横坐标和纵坐标分别对应于x 和y 的值。
通过观察交点的数量和位置，可以判断方程组的解的情况。
4. 矩阵法：将二元二次方程组写成矩阵形式，并利用矩阵运算求解。
将未知数的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
需要注意的是，解二元二次方程组可能会得到不同的解形式，包括唯一解、无解或者无穷多解。
具体的解形式取决于方程组的特点和系数的取值。
二元二次方程组
第三单元 二元二次方程组一、教法建议：【抛砖引玉】本单元由实例“X 2＋2XY ＋Y 2＋X ＋Y ＋6=0”向同学展现了二元二次方程。
这样引入教学使同学们感到实实在在。
对其二元二次方程的概念容易接受，进而再结合实例，介绍这个方程的二次项、常数项，然后，再通过实例，讲述二元二次方程组，继续再引导同学研究二元二次方程组（研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组）的解法，把教学推上高峰。
适时让学生回顾二元一次方程组的解法──代入消元法，然后类比到可学新内容上来，向学生讲述一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般都可用代入法来解。
交待解法，那么特殊的由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组，除用代入法可以求解外，还有特殊解法，如例2与课本P 31的根与系数关系一脉相承，把x 、y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x 、y ，也十分简便。
引导学生在这方面作积极有益的探索。
对于“由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组”必须强调首先把一个方程分解，达到降次，进而组合新的方程组，达到转化，用代入法求解。
【指点迷津】简单的的二元二次方程组的两种类型：一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；二、由一个二元二次方程和一个可以分解为两为二个二元一次方程的方程组成的方程组，第一种类型用代入法求解；第二种类型通过分解因式，重新组合方程组转化为第一种类型，仍用代入法求解。
总之，应掌握用代入法进行“消元”，用因式分解进行“降次”，这是解二元二次方程组的基本思想和方法。
新颖、简捷，而且这种方法涉及面广，对于几何、代数涉及两数和与两数积的问题，都可应用这种方法求解。
可转化为这种形式的数学问题，亦可用此法求解。
对于对称方程组用构造法求解，必须注意两个问题：(1)设原方程组的x 、y 是一元二次方程z 2-7z+12=0的两根，可设的一元二次方程的未知数，（这里是z ，也可是m 、n 、t 、…）应代表x 、y ，这样才能避免字母的混乱；(2)当解出一元二次方程的解z 1=3，z 2=4后，得出原方程组的解： x 1=3 x 2=4y 1=4 y 2=3这是两个“对称解”，千万不能漏掉一个解。
最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组单元汇编含解析(3)
最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组单元汇编含解析(3)一、选择题1．解方程组:223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得y =， 解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.2．已知1132x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】22-23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩ 中求出m 、n 的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩中得：131m n =⎧⎨=⎩ ， 则方程组变形为：22131x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 由x+y=1得：x=1-y ，将x=1-y 代入方程x 2+y 2=13中可得：y 2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-23x y =⎧⎨=⎩ . 【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m 和n 的值是解题的关键.3．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．4．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】 注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】 解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.5．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩. 【答案】1212323222x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 1，y 2④，将④代入③，得x 1＝，2x ＝﹣所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.6．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.7．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩. 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.8．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．9．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩①②．【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.【详解】解：由②得()()310x y x y ---+=，得30x y --=或10x y -+=，原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.10．222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩ 【答案】111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.【详解】222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=∴方程组可化为两个新方程组：21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩∴方程组的解为：111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.11．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．12．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=， 整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）设1A x y =+，1B x y=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩， 解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．13．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．14．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②， 由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．15．如图在矩形ABCD 中，AB= n AD,点E 、F 分别在AB 、AD 上且不与顶点A 、B 、D 重合， AEF BCE ∠=∠, 圆O 过A 、E 、F 三点。
初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
第七章二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程
关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法。
人教版初中数学方程与不等式之二元二次方程组真题汇编附答案
人教版初中数学方程与不等式之二元二次方程组真题汇编附答案一、选择题1．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩. 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.2．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩ 【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=， 整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）设1A x y =+，1B x y=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩， 解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．3．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩（2）217,11 1.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩ 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ， 所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．4．222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩【答案】111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.【详解】222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=∴方程组可化为两个新方程组：21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩∴方程组的解为：111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.5．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩ 【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --= 解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②+①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.6．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩ ，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.7．解方程组： 222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩． 【答案】1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.【详解】222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩①② 由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，原方程组化为：①2203260x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，②2203260x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩， 解方程组①得： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩，方程组②无解， 所以原方程组的解为： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】 本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.8．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①②由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩；解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．9．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】 222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．10．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．【详解】原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝， 原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.11．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组：2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．12．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩ 【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可． 【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．13．解方程组【答案】原方程组的解为：， 【解析】【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.【详解】 解：把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，x 2+4x =0，解得：x =-4或x =0，当x =-4时，y =-3，当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.14．已知方程组222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的解.【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；【详解】 解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①②把②代入①后计算得()222112120m x mx +++=，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：1m =±，当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．15．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩ 【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.16．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②． 【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．17．解方程：【答案】【解析】 解：原方程组即为···································· （2分）由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，························································ （2分） 代人得18．解方程组：222220,21,x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】1123;13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．【详解】2222x 2y 0x 2y 1xy xy ⎧--=⎨++=⎩①②， 由①得 （x+y ）（x-2y ）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得 （x+y ）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为01x y x y +=⎧⎨+=⎩或01x y x y +=⎧⎨+=-⎩或201x y x y -=⎧⎨+=⎩或201x y x y -=⎧⎨+=-⎩，所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．19．解方程组：2234021x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩． 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】方程组中第一个方程可因式分解为两个二元一次方程，这两个方程与组中的另一个方程组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可求得原方程组的解．【详解】解：2234021x xy y x y ①②⎧--=⎨+=⎩， 由①得：(x ﹣4y )(x +y )＝0，∴x ﹣4y ＝0或x +y ＝0．原方程组可化为4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩． 解4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，得112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；解021x y x y +=⎧⎨+=⎩，得，2211x y =-⎧⎨=⎩． ∴原方程组的解为112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握解法是求解的关键.20．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩．【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩334,2;x y =⎧⎨=⎩444,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】 由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．【详解】22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②， 由①得(x+2y)(x-2y)=0，∴x+2y=0或x-2y=0，由②得(x-y)2=4，∴x-y=2或x-y=-2，∴原方程组可化为202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 分别解这四个方程组得114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。
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【例1】解下列方程组：（题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；）
；
练习1：、 ；练习2：
练习3：
【例2】、解下列方程组：（Ⅱ型方程组，应将 分解为 或 与 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。）
练习1： 练习2：
练习3：
用适当的方法解下列二元二次方程组：
1、 2、
【例3】已知方程组 有两个不相等的实数解，求 的取值范围。
分析：将 代入①得 的一元二次方程， 、 是两根，可用根与系数的关系，将 ， 代入 后，用根与系数的关系即可求值。
练习1：方程组 的两组解为 ， ，则 ＝。
练习2：已知方程组 的两组解是 和 且 ， ≠ ，设 。
（1）求 的取值范围；
（2）试用含 的代数式表示出 ；
（3）是否存在这样的 值，使 的值等于1？若存在，求出所有这样的 值，若不存在，请说明理由。
教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：课时数：3
学员姓名：辅导科目：学科教师：
课题
二元二次方程和方程组及列方程组解应用题
教学目标
理解二元二次方程和二元二次方程组的概念，会用带入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组，会用因式分解法解两个方程中至少有一个容易变形为二元一次方程的二元二次方程组，会列方程组解决简单的实际问题
分析：由②代入①得到关于 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
练习1：方程组 有唯一解，则 的值是多少？
练习2：方程组 有两组不同的实数解，则求m的取值范围
练习3： 为何值时，方程组 有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。
【例4】方程组 的两组解是 ， 不解方程组，求 的值。
（2）因式分解法解两个方程中至少有一个容易变形为二元一次方程的二元二次方程组通常把原
方程组化为两个第一类方程组，或者化为四个二元一次方程组，再利用已有的知识和方法求出
原方程组的解。
3、列方程组解应用题：
实际问题----建立方程----方程求解----解释应用
在应用方程组解决实际问题的过程中，提高分析问题和解决实际问题的能力，体会方程的应用价值增强数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
跟踪训练：
解下列方程组：
1、 ；2法解下列方程组：
1、 2、
3、 4、
5、 6、
7：
总结与反思：
课后作业：
（2）
（1）
1．解方程：
解方程组：
解方程组：
2.若方程组有实数解，求实数k的取值范围？
3.一汽艇用一定速度驶完一段路程，若汽艇每小时少走8千米，则走完全程要多用4小时，若汽艇每小时多走8千米，则走完全程可少用2小时，试求这段路的长度以及汽艇原来的速度？
教学内容
一、知识梳理
1、概念：二元二次方程：
一般形式：
二元二次方程组：
2、二元二次方程组的解法：
（1）代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组
一般步骤：1、把一个未知数用另一个未知数的代数式表示
2、代入消元
3、解一元方程
4、回代
5、写出原方程组的解
注意：不要盲目乱代：不要将二元一次方程变形所得的代数式又代入这个二元一次方程回代不当：将求出的一个未知数的值代入到原方程组的二元二次方程中，在求出另一未知数
【例5】：今年“子弹头”新型高速列车投入沪杭线运行.已知上海到杭州全程约为200公里，如果“弹头”列车行驶的平均速度比原来特快列车行驶的平均速度每分钟快0.5公里，那么它从上海到杭州比原来特快列车少用20分钟.问“子弹头”列车从上海到达杭州大约需要多少分钟？
练习：某市为治理污水，需要铺设一端全长3000米的污水排放管道。为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前10天完成了这项任务。原计划完成这项工程是多少天？
4．某学校组织学生乘坐甲、乙两车(甲为大客车、乙为小客车)到洋山深水港参观，连接临港新城和深水港的东海大桥全长32千米，从临港新城出发到深水港时，甲车比乙车8分钟上桥，但由于乙车比甲车每小时多行32千米，所以甲车比乙车晚到2分钟到达深水港，求甲、乙两辆大客车的速度各是多少？