2021版《5年高考3年模拟》A版理科数学：3.1 导数的概念及运算(试题部分)
2021版高考数学(理科)(5年高考+3年模拟)精选课件全国卷1地区通用版：第十五章 数系的扩充与复
=i得出z=
i i
1 1
是解题的关键.
方法总结 求复数z=a+bi(a,b∈R)的模时,通常只需确定a和b的值,代入公式|z|= a2 b2 计算.
1 2i
A.- 4 - 3 i
55
B.- 4 + 3 i
55
C.- 3 - 4 i
55
D.- 3 + 4 i
55
答案 D 本题主要考查复数的四则运算.
1 2i = (1 2i)2 = 3 4i =- 3 + 4 i,故选D.
1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 5
3.(2018课标Ⅲ,2,5分)(1+i)(2-i)= ( )
实数或纯虚数,故命题p2错误;对于命题p3,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),由z1·z2=(ac-bd)+
(ad+bc)i∈R,得ad+bc=0,不一定有z1= z2 ,故命题p3错误;对于命题p4,设z=a+bi(a,b∈R),则由z∈R, 得b=0,所以 z =a∈R成立,故命题p4正确.故选B.
9.(2015课标Ⅰ,1,5分,0.844)设复数z满足1 z =i,则|z|= ( )
1 z
A.1 B. 2 C. 3 D.2
答案 A 由已知1 z =i,可得z= i 1 = (i 1)2 = 2i =i,∴|z|=|i|=1,故选A.
1 z
i 1 (i 1)(i 1) 2
解题关键
利用1
1
z z
≠ z2 ,故命题p3不正确,结合选项可知选B.
解法二(直接法):对于命题p1,设z=a+bi(a,b∈R),由
2021-2022年高中数学 导数概念及运算解析 新人教A版选修1-1
2021-2022年高中数学 导数概念及运算解析 新人教A 版选修1-1问题1：导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？ 知识诊断：导数的定义：一般的设函数在区间上有定义，，当时，比值趋近于常数，则在点处可导，并称常数为函数在点处的导数，记作。
导函数：函数在区间上任一点都可导，则在各点的导数称为导函数简记为. 典例分析;例题1：设函数在处可导，则等于A ．B ．C ．D ．【解题思路】求函数在某一点的导函数值，由定义直接计算 [解析]0000000()()[()]()limlim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选【技巧指引】求解本题的关键是变换出定义式00()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆导数的几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的斜率，对应的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-。
物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度。
注意：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数不存在，但是曲线在该点不一定没有切线。
而且应明确点（x 0，y 0）不一定是切点。
典例分析：例题1：如图，函数的图象在点P 处的切线方程是 ，则= .【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的 切线的不同，后者的点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设,过P 点的切线方程为 即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+- 它与重合,比较系数知: 故=2例题2：求在点和处的切线方程。
【解题思路】：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。
【高考冲刺押题】高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 导数的概念及运算(含解析).pdf
导数的概念及运算 【考点导读】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数与x0,h的关系是 仅与x0有关而与h无关 。
2．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 1，2，4秒末。
3．已知, 则 0 。
4．已知,则当时,。
5．（1）已知,则。
（2）（理科）设函数，则′＝。
6．已知两曲线和都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。
解：因为点P（1,2）在曲线上， 函数和的导数分别为和，且在点P处有公切数 ，得b=2 又由，得 【范例导析】 例1． 电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。
从时刻开始的秒内，通过导体的电量（单位：库仑）可由公式表示。
求第5秒内时的电流强度； 什么时刻电流强度达到63安培（即库仑/秒）？ 分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平均电流强度逼近瞬时电流强度。
解：（1）从时刻到时刻通过导体的这一横截面的电量为： 则这段时间内平均电流强度为 当 当时，则（安培）。
（2）令，得（秒）。
答：（1）第5秒时电流强度为23安培；（2）第15秒时电流强度为63安培。
点评：导数的实际背景丰富多彩，本题从另一个侧面深化对导数概念的理解。
例2．下列函数的导数： ① ② ③ 分析：利用导数的四则运算求导数。
解：①法一： ∴ 法二：=+ ② ∴ ③e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）2e－xx, 点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。
例3． 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线在给定点处的切线的斜率，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
课标专用5年高考3年模拟A版2021高考数学专题三导数及其应用2导数的应用课件理
-
a
1 a
,
.
综上可知,当a>0时,函数f(x)的单调增区间为
-
,-
a
1 a
和(-1,+∞),单调减区
间为
-
a
a
1
,-1 ;
当a=0时,函数f(x)的单调增区间为(-1,+∞),单调减区间为(-∞,-1);
当a<0时,函数f(x)的单调增区间为
-1,-
a
1 a
,单调减区间为(-∞,-1),
x 1
故f '(1)=ea,结合题意知ea=e,∴a=1. (4分)
(2)由题意知x∈(0,+∞)时, f '(x)=eax+1- 2 <0有解,
x 1
当x∈[1,+∞)时, f '(x)=eax+1- 2 >0恒成立,不存在单调递减区间. (5分)
x 1
当x∈(0,1)时, f '(x)=eax+1- 2 <0有解等价于ln 1-x -ax>0有解. (6分)
有极大值点之和与所有极小值点之和的差为 ( )
A.-5π
B.5π
C.55π
D.-55π
解析 ∵函数f(x)=ex(cos x-sin x), ∴f '(x)=(ex)'(cos x-sin x)+ex(cos x-sin x)'=-2exsin x, ∵x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)时, f '(x)>0,x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)时, f '(x)<0,∴x ∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k∈Z)时, f(x)递增,x∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z)时, f(x)递减,∴当 x=2kπ+π(k∈Z)时, f(x)取极小值,当x=2kπ(k∈Z)时, f(x)取极大值. f(x)的所有极大值点为x=2π,4π,6π,8π, f(x)的所有极小值点为x=π,3π,5π,7π,9π, 故(2π+4π+6π+8π)-(π+3π+5π+7π+9π)=-5π,故选A.
2021版《3年高考2年模拟》高考数学(浙江版理)检测：9.1 导数的概念及运算 Word版含答案
第九章导数及其应用§9.1导数的概念及运算Ａ组基础题组1.(2021江西重点中学盟校一联)函数f(x)=x3的图象在原点处的切线方程为( )A.y=xB.x=0C.y=0D.不存在2.(2022湖北荆门调考,3,5分)函数f(x)=xe x在点A(0,f(0))处的切线斜率为( )A.0B.-1C.1D.e3.(2021浙江重点中学协作体摸底)已知点P在曲线f(x)=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为( )A.(0,0)B.(1,1)C.(0,1)D.(1,0)4.(2021吉林二调)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c图象上点A(2,1)处的切线方程为2x-y+a=0,则a+b+c=( )A.-B.-C.0D.5.(2021广东惠州第三次调研)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是( )A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=-xe-x6.(2022山东曲阜期中,8,5分)设函数h(x),g(x)在[a,b]上可导,且h'(x)<g'(x),则当a<x<b时,有( )A.h(x)<g(x)B.h(x)>g(x)C.h(x)+g(a)>g(x)+h(a)D.h(x)+g(b)>g(x)+h(b)7.(2022陕西,10,5分)如图,修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x8.(2021天津,11,5分)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为.9.(2022广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.10.(2021课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .11.(2021河北石家庄一模,14)已知点P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为.12.(2021课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .13.(2021浙江温州十校联考,03(2))已知函数f(x)=(x2+ax+2)e x(a∈R).(1)当a=0时,求函数f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)为单调函数,求实数a的取值范围.14.(2021浙江冲刺卷五,03(2))已知函数f(x)=x3-12x+2,其图象过原点的切线与函数g(x)=m-lnx的图象有两个交点,试求m的取值范围.B组提升题组1.(2022课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.32.(2021浙江丽水二模,6)设曲线y=x2+alnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为( )A.(1,1)B.(2,3)C.(3,1)D.(1,4)3.(2021江西九校联考)等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=( )A.26B.29C.212D.2154.(2021河南新乡质检,12)过点A(2,-1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有( )A.3条B.2条C.1条D.0条5.(2022山东淄博摸底,10,5分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时不等式f(x)+xf'(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),c=log3·f,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a6.(2022江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.7.(2021浙江温州十校联合体联考)与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是.8.(2021浙江台州椒江一中段考)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为.9.(2021陕西,15,5分)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.10.(2022江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.11.(2022安徽,15,5分)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(i)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P四周位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是(写出全部正确命题的编号).①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx12.(2021河北唐山二模,20,12分)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线?假如存在,求出k的值;假如不存在,说明理由.13.(2022北京,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论) Ａ组基础题组1.C 由f'(x)=3x2得f'(0)=0,所以f(x)的图象在原点处的切线方程为y=0,故选C.2.C ∵f'(x)=(x+1)e x,∴f'(0)=1,即所求切线的斜率为1.3.D 设P(x0,y0),由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f'(x0)=4-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).故选D.4.C 由于A(2,1)在直线2x-y+a=0上,所以4-1+a=0,a=-3,又由于f'(x)=3x2+2ax+b,f'(2)=2,所以12+4a+b=2,得b=2.将A(2,1)代入f(x)=x3-3x2+2x+c中,得8-12+4+c=1,得c=1,所以a+b+c=0,故选C.5.D 若f(x)=sinx+cosx,则f″(x)=-sinx-cosx,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=lnx-2x,则f″(x)=-,在x ∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-x3+2x-1,则f″(x)=-6x,在x∈上,恒有f″(x)<0;若f(x)=-xe-x,则f″(x)=2e-x-xe-x=(2-x)e-x,在x∈上,恒有f″(x)>0,故选D.6.D 令f(x)=g(x)-h(x),x∈[a,b],则f'(x)=g'(x)-h'(x)>0,所以f(x)为增函数,所以f(b)>f(x)>f(a),即g(b)-h(b)>g(x)-h(x)>g(a)-h(a),故选D.7.A 设三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则y'=3ax2+2bx+c.由已知得y=-x是曲线y=ax3+bx2+cx+d 在点(0,0)处的切线,则y'|x=0=-1⇒c=-1,排解选项B、D.又y=3x-6是该曲线在点(2,0)处的切线,则y'|x=2=3⇒12a+4b+c=3⇒12a+4b-1=3⇒3a+b=1.只有A选项中的函数符合,故选A.8.答案 3解析∵f'(x)=alnx+a,∴f'(1)=aln1+a=3,解得a=3.9.答案5x+y-3=0解析y'=-5e-5x,曲线在点(0,3)处的切线斜率k=y'|x=0=-5,故切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0.10.答案 1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.11.答案解析设P(x0,y0),P点处切线倾斜角为α,则0≤tanα≤1,由f(x)=x2+2x+3,得f'(x)=2x+2,令0≤2x0+2≤1,得-1≤x0≤-.12.答案8解析令f(x)=y=x+lnx,求导得f'(x)=1+,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-,又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,明显不满足此方程,∴x0=-,此时a=8.13.解析(1)f'(x)=e x[x2+(a+2)x+a+2].当a=0时,f'(x)=e x(x2+2x+2).f(1)=3e,f'(1)=5e,∴切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.(2)f'(x)=e x[x2+(a+2)x+a+2],∵e x>0恒成立,且x2的系数为正,∴f(x)在R上单调等价于x2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,∴(a+2)2-4(a+2)≤0,解得-2≤a≤2.∴a∈[-2,2].14.解析设切点为(x0,-12x0+2),则切线斜率为f'(x0)=3-12,所以切线方程为y-+12x0-2=(3-12)(x-x0),将原点坐标代入上式得x0=1,所以切线方程为y=-9x.由得lnx-9x-m=0,设h(x)=lnx-9x-m,则h'(x)=,令h'(x)=>0,得0<x<,所以h(x)在上单调递增,在上单调递减,所以h(x)最大值=h=-ln9-1-m. 若lnx-9x-m=0有两个解,则h(x)最大值>0.∴m<-ln9-1.B组提升题组1.D y'=a-,x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.2.A y=x2+alnx的定义域为(0,+∞),y'=2x+≥2=4,即a=2,当且仅当x=1时等号成立,此时y=1,故所求的切点坐标是(1,1).3.C 函数f(x)的开放式含x项的系数为a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212,而f'(0)=a1·a2·…·a8=212,故选C.4.A 由题意得,f'(x)=3x2-3,设切点为(x0,-3x0),那么切线的斜率为k=3-3,利用点斜式方程可知切线方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),将点A(2,-1)代入可得关于x0的一元三次方程2-6+5=0.令y=2-6+5,则y'=6-12x0.由y'=0得x0=0或x0=2.当x0=0时,y=5>0;x0=2时,y=-3<0.所以方程2-6+5=0有3个解.故过点A(2,-1)作曲线f(x)=x3-3x的切线最多有3条,故选A.5.D 令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)+xf'(x),由题意知g(x)在(0,+∞)内递减,由于f(x)为偶函数,所以g(x)为奇函数,故g(x)在R上为减函数,又log3<logπ3<30.3,所以c>b>a.故选D.6.答案(-ln2,2)解析令f(x)=y=e-x,则f'(x)=-e-x.令P(x0,y0),则f'(x0)=-=-2,解得x0=-ln2,所以y0==e ln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).7.答案3x+y+2=0解析设切点的坐标为(x0,+3-1),由切线与直线2x-6y+1=0垂直,可得切线的斜率为-3,又f'(x)=3x2+6x,故3+6x0=-3,解得x0=-1,于是切点坐标为(-1,1),从而得切线的方程为3x+y+2=0.8.答案 4解析∵g(x)=f(x)-x2,∴g'(x)=f'(x)-2x,由题意知g'(1)=2,∴g'(1)=f'(1)-2=2,∴f'(1)=4.9.答案y=-解析由y=xe x可得y'=e x+xe x=e x(x+1),从而可得y=xe x在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,所以当x=-1时,y=xe x取得微小值-e-1,由于y'|x=-1=0,故切线方程为y=-e-1,即y=-.10.答案-3解析∵y=ax2+,∴y'=2ax-,由题意可得解得∴a+b=-3.11.答案①③④解析①直线l:y=0在P(0,0)处与曲线C:y=x3相切,且曲线C在点P(0,0)四周位于直线l的两侧,①对;②直线l:x=-1不是曲线C:y=(x+1)2在P(-1,0)处的切线,②错;③中y'=cosx,cos0=1,因此曲线C:y=sinx在P(0,0)处的切线为l:y=x,设f(x)=x-sinx,则f'(x)=1-cosx≥0,即f(x)是增函数,又f(0)=0,从而当x<0时,f(x)<0⇒x<sinx,当x>0时,f(x)>0⇒x>sinx,即曲线C:y=sinx在P(0,0)四周位于直线l的两侧,③正确;④中y'='=,=1,因此曲线C:y=tanx在P(0,0)处的切线为l:y=x,设g(x)=x-tanx,则g'(x)=1-≤0,即g(x)在上是减函数,且g(0)=0,同③得④正确;⑤中y'=,=1,因此曲线C:y=lnx在P(1,0)处的切线为l:y=x-1,设h(x)=x-1-lnx(x>0),则h'(x)=1-=,当0<x<1时,h'(x)<0,当x>1时,h'(x)>0,因此当x=1时,h(x)min=h(1)=0,因此曲线C在P(1,0)四周位于直线l的一侧,故⑤错误.因此答案为①③④.12.解析(1)f'(x)=3ax2+6x-6a,由于f'(-1)=0,所以a=-2.(2)存在.由题意得直线m恒过点(0,9).先求直线m是曲线y=g(x)的切线.设切点为(x0,3+6x0+12),∵g'(x0)=6x0+6.∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9,当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18,当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9,∴y=9是公切线.又由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,∴y=12x+9不是公切线.综上所述,k=0时,y=9是两曲线的公切线.13.解析(1)由f(x)=2x3-3x得f'(x)=6x2-3.令f'(x)=0,得x=-或x=.由于f(-2)=-10,f=,f=-,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的变化状况如下表:x (-∞,0)0 (0,1) 1 (1,+∞)g'(x) + 0 - 0 +g(x) ↗t+3 ↘t+1 ↗所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的微小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,由于g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.。
2021版新高考数学一轮教师用书：第3章 第1节 导数的概念及运算 Word版含答案
全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”．2．考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中．(2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题．3．备考策略(1)熟练掌握导数的运算公式，重点研究导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与极(最)值、导数与不等式、导数与函数的零点等问题．(2)加强数形结合、分类讨论等数学思想的应用．第一节导数的概念及运算[考点要求] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(对应学生用书第44页)1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0). 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x ).3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)函数f (x )＝sin (－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×二、教材改编1．函数y＝x cos x－sin x的导数为()A．x sin x B．－x sin xC．x cos x D．－x cos xB[y′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－x sin x－cos x＝－x sin x．]2．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．－3C．9 D．15C[因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线方程为y－12＝3(x－1).令x＝0，得y＝9.故选C.]3．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为()A B C DB[由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.]4．[一题两空]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v＝______m/s，加速度a＝_______m/s2.－9.8t＋6.5－9.8[v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.](对应学生用书第45页)考点1导数的计算(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．已知函数解析式求函数的导数求下列各函数的导数：(1)y ＝x 2x ；(2)y ＝tan x ； (3)y ＝2sin 2x2－1.[解] (1)先变形：y ＝2x 32，再求导：y ′＝(2x 32)′＝322x 12．(2)先变形：y ＝sin xcos x ，再求导：y ′＝(sin x cos x )′＝（sin x ）′·cos x －sin x ·（cos x ）′cos 2x ＝1cos 2x .(3)先变形：y ＝－cos x ，再求导：y ′＝－(cos x )′＝－(－sin x )＝sin x ．[逆向问题] 已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝________． 1 [因为f (x )＝x (2 017＋ln x )，所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.]求导之前先对函数进行化简减少运算量．如本例(1)(3). 抽象函数求导已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________． －4 [∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.]赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f ′(x )，最后分别令x ＝1，x ＝0代入f ′(x )求解即可．1.已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________． e [由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x ，则f ′(1)＝e.]2．[一题两空]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(1)＝________，f ′(2)＝________．－2 －94 [因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.]3．求下列函数的导数 (1)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝ln xx 2＋1； (3)y ＝ln 2x －12x ＋1.[解] (1)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(2)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2. (3)y ′＝(ln2x －12x ＋1)′＝[ln (2x －1)－ln (2x ＋1)]′＝[ln (2x －1)]′－[ln (2x ＋1)]′ ＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′ ＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1. 考点2 导数的几何意义导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0).(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可．求切线方程(1)(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________． (2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．(1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 [(1)∵y ′＝3(x 2＋3x ＋1)e x ，∴曲线在点(0，0)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，∴曲线在点(0，0)处的切线方程为y ＝3x .(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0).又∵f ′(x )＝1＋ln x ， ∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.](1)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围；(2)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别．如本例(1)是“在点(0，0)”，本例(2)是“过点(0，－1)”，要注意二者的区别．求切点坐标(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(e ，1) [设A (x 0，y 0)，由y ′＝1x ，得k ＝1x 0，所以在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0).因为切线经过点(－e ，－1)， 所以－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0).所以ln x 0＝ex 0，令g (x )＝ln x －ex (x ＞0)， 则g ′(x )＝1x ＋ex 2，则g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数． 又g (e)＝0，∴ln x ＝ex 有唯一解x ＝e.∴x 0＝e.∴点A 的坐标为(e ，1).]f ′(x )＝k (k 为切线斜率)的解即为切点的横坐标，抓住切点既在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键．求参数的值(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A ．a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1(2)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________．(1)D (2)－2 [(1)∵y ′＝a e x ＋ln x ＋1，∴y ′|x ＝1＝a e ＋1， ∴2＝a e ＋1，∴a ＝e －1.∴切点为(1，1)，将(1，1)代入y ＝2x ＋b ，得1＝2＋b ， ∴b ＝－1，故选D.(2)∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， ∴m ＝－2.]已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围．导数与函数图象(1)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是()A BC D(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．(1)B(2)0[(1)由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×(－13)＝0.]函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出图象升降的快慢．1.曲线f(x)＝e xx－1在x＝0处的切线方程为________．2x＋y＋1＝0[根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝（x－1）（e x）′－e x（x－1）′（x－1）2＝（x－2）e x（x－1）2，故切线的斜率k ＝f ′(0)＝（0－2）e 0（0－1）2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝－2(x －0)， 即2x ＋y ＋1＝0.]2．(2019·大同模拟)已知f (x )＝x 2，则曲线y ＝f (x )过点P (－1，0)的切线方程是________． y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 [设切点坐标为(x 0，x 20)， ∵f ′(x )＝2x ，∴切线方程为y －0＝2x 0(x ＋1)， ∴x 20＝2x 0(x 0＋1)， 解得x 0＝0或x 0＝－2，∴所求切线方程为y ＝0或y ＝－4(x ＋1)， 即y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.]3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________． 1 [由题意知，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1.]。
2021版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第3章 导数及其应用 3.3 文档
1．定积分的概念在ʃb a f(x)d x 中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；(3)ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，假如f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了便利，常把F(b)－F(a)记作F(x)|b a，即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形肯定在x轴下方．(×)(4)若f(x)是偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(√)(5)若f(x)是奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.(√)(6)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是ʃ10(x2－x)d x.(×)1．定积分ʃ2－2|x2－2x|d x等于()A．5B．6C．7D．8答案 D解析ʃ2－2|x2－2x|d x＝ʃ0－2(x2－2x)d x＋ʃ20(2x－x2)d x ＝(x33－x2)|0－2＋(x2－x33)|2＝83＋4＋4－83＝8.2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4答案 D解析如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2,8)，图中阴影部分即为所求图形面积．S阴＝ʃ20(4x－x3)d x＝(2x2－14x4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25ln113C．4＋25ln5 D．4＋50ln2答案 C解析令v(t)＝0得t＝4或t＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃ40(7－3t＋251＋t)d t＝(7t－32t2＋25ln(1＋t))|40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.4．(2021·湖南)ʃ20(x－1)d x＝________.答案0解析ʃ20(x－1)d x＝(12x2－x)|20＝12×22－2＝0.5．(教材改编)若ʃT0x2d x＝9，则常数T的值为________．答案 3解析∵ʃT0x2d x＝13x3|T0＝13×T3＝9.∴T 3＝27，∴T ＝ 3.题型一 定积分的计算例1 (1)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.(2)设f (x )＝错误!则ʃ错误!f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56D ．不存在 答案 (1)23(2)C解析 (1)ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x 2d x ＝2·x 33|10＝23.(2)如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要留意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有确定值符号的被积函数，要先去掉确定值号再求积分．(1)若ʃπ20(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－3D. 3 (2)定积分ʃ20|x －1|d x ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)ʃπ20(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )|π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.(2)ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 答案 π2＋e －1e －2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x . 由于ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 即ʃ1－11－x 2d x ＝π2，而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e－2.命题点2 利用定积分求平面图形面积例3 (1)如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( ) A.23 B.13 C.12D.14(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为43，则k ＝________.答案 (1)D (2)2解析 (1)由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝ʃ120(14－x 2)d x ＋ʃ112(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x )|112＝14.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为ʃk 0(kx －x 2)d x ＝(k 2x 2－13x 3)|k 0＝k 32－k 33＝43，即k 3＝8，解得k ＝2.思维升华 (1)依据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.题型三 定积分在物理中的应用例4 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6s 间的运动路程为______m. 答案 494解析 由图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)，2(1≤t ≤3)，13t ＋1(3≤t ≤6).由变速直线运动的路程公式，可得 s ＝ʃ612v (t )d t ＝ʃ1122t d t ＋ʃ312d t ＋ʃ63(13t ＋1)d t ＝t 2|112＋2t |31＋(16t 2＋t )|63＝494(m)． 所以物体在12s ～6s 间的运动路程是494m.思维升华 定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：假如变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为_______________________________________________________________． 答案 342解析 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝ʃ101F (x )d x ＝ʃ101(x 2＋1)d x＝(13x 3＋x )|101＝342， 即变力F (x )对质点M 所做的功为342.5．利用定积分求面积时易错点典例 已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，则函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．易错分析 本题在依据函数图象写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错．解析 由题意，F (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1，则xF (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛01210x 2d x ＋⎠⎛121(－10x 2＋10x )d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪12＋(5x 2－103x 3)⎪⎪⎪112＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54. 答案 54温馨提示 (1)利用定积分求图形的面积要依据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积；(2)留意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正．[方法与技巧]1．求定积分的基本方法：(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )． (2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后依据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间． [失误与防范]1．若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和． 2．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．3．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要留意：面积非负，而定积分的结果可以为负．A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4 C.223D ．22－2答案 D解析 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，解得x ＝π4.故图中阴影部分的面积S ＝π40⎰(cos x －sin x )d x ＋π2π4⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )π40|＋(－cos x －sin x )π2π4|＝sin π4＋cos π4－cos0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)3．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A.3JB.233JC.433JD ．23J答案 C解析 ʃ21F (x )cos30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为433J.4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( ) A.2π5B.43C.32D.π2答案 B解析 依据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)． 由于f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1， 即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x＝2(x －13x 3)|10＝2(1－13)＝43.5．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 依据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A.6．ʃ10(e x＋x )d x ＝________.答案 e －12解析 ʃ10(e x ＋x )d x ＝(e x ＋12x 2)|10＝e ＋12－1 ＝e －12.7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析 所求面积S ＝ʃπ3－π3cos x d x ＝sin x |π3－π3＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦． 答案 36解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x＝5×2＋(32x 2＋4x )|42 ＝10＋[32×42＋4×4－(32×22＋4×2)]＝36(焦)．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x 得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31 ＝23＋16＋43＝136. 10．在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t (单位：s)所走过的路程s ＝4t 2(单位：m)，若介质阻力F 与物体的运动速度v 成正比，且当v ＝10m /s 时，F ＝5 N ，求物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功． 解 ∵物体经过时间t 所走过的路程s ＝4t 2， ∴速度v (t )＝s ′＝8t .设F ＝k v (t )，由“当v ＝10m/s 时，F ＝5N ”知k ＝12，∴F ＝4t .d W ＝F d s ＝4t ·d(4t 2)＝32t 2d t .∵s ∈[1,4]，∴t ∈[12，1]，∴物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功 W ＝ʃ11232t 2d t ＝32t 33|112＝283(J)．B 组 专项力量提升 (时间：15分钟)11．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13.故选B. 12．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.13．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8答案 A解析 S ＝ʃm 20(m －x )d x ＝(mx －23x 32)|m 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.14．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s 至第2s 间的1s 内经过的路程是________m. 答案 6.5解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21 ＝32×4＋4－(32＋2)＝10－72＝132(m)． 15．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________． 答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ， 由二次函数的性质可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.。
高考数学5年高考3年模拟B精品课件浙江专用：3.1 导数的概念及运算
10.(2017北京文,20,13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间
0,
2
上的最大值和最小值.
解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值. (1)因为f(x)=excos x-x,所以f '(x)=ex(cos x-sin x)-1, f '(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h'(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.
③当a>1时,ln a>0, 所以当x∈(-∞,0)时,ex-eln a<0,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈(0,ln a)时,ex-eln a<0,h'(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(ln a,+∞)时,ex-eln a>0,h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1; 当x=ln a时h(x)取到极小值, 极小值是h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2]. 综上所述: 当a≤0时,h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a -1; 当0<a<1时,函数h(x)在(-∞,ln a)和(0,+∞)上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,函数h(x)有极大值, 也有极小值, 极大值是h(ln a)=-a[(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2], 极小值是h(0)=-2a-1;
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专题三导数及其应用
【真题探秘】
3.1导数的概念及运算
探考情悟真题
【考情探究】
考点内容解读5年考情预测热
度
考题示例考向关联考点
导数的概念及运算①了解导数概念的实际背景.
②理解导数的几何意义.
③能根据导数定义求函数y=C(C
为常数),y=x,y=1
x
,y=x2,y=x3,y=√x
的导数.
④能利用基本初等函数的导数公
式和导数的四则运算法则求简单
函数的导数
2019课标Ⅰ,13,5分
导数的几何
意义
★★
★
2019课标Ⅲ,6,5分
导数的几何
意义
一次函数
2018课标Ⅰ,5,5分
导数的几何
意义
函数的奇偶性
2018课标Ⅱ,13,5分
导数的几何
意义
对数函数
2016课标Ⅱ,16,5分
导数的几何
意义
对数函数和一次函
数
分析解读本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.
1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、倾斜角、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.
2.从近五年的考查情况来看,本节一直是高考的热点,主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而是在考查导数的应用时与单调性、极值或最值综合考查,导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值,常以选择题、填空题的形式出现,有时也出现在解答题的第一问,难度中等.
破考点练考向
【考点集训】
考点导数的概念及运算
1.(2020届安徽A10联盟摸底,8)设函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=3xf'(2)-2ln x,则曲线y=f(x)在点(4,f(4))处切线的倾斜角为()
A.π
6B.π
4
C.3π
4
D.5π
6
答案B
2.(2020届安徽合肥八校高三第一次联考,5)曲线y=(x3+x2)e x在x=1处的切线方程为()
A.y=7ex-5e
B.y=7ex+9e
C.y=3ex+5e
D.y=3ex-5e
答案A
3.(2019安徽宣城八校联考期末,6)若曲线y=aln x+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是[π
3,π
2
),则a=()
A.1
24B.3
8
C.3
4
D.3
2
答案B
4.(2020届河南八市重点高中联盟9月“领军考试”,5)已知f'(x)为函数f(x)=ax-bln x的导函数,且满足f'(1)=0, f'(-1)=2,则f'(2)=()
A.1
B.-4
3C.1
2
D.4
3
答案C
5.(2018安徽黄山一模,14)已知f(x)=1
3
x3+3xf'(0),则f'(1)=.
答案1
炼技法提能力
【方法集训】
方法利用导数求曲线的切线方程
1.(2019广东佛山教学质量检测(一),7)若曲线y=e x在x=0处的切线也是曲线y=ln x+b的切线,则b=()
A.-1
B.1
C.2
D.e
答案C
2.(2019湖北黄冈模拟,4)已知直线y=1
m
是曲线y=xe x的一条切线,则实数m的值为()
A.-1
e B.-e C.1
e
D.e
答案B
3.(2019湖南湘潭模拟,5)经过(2,0)且与曲线y=1
x
相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为()
A.2
B.1
2
C.1
D.3
答案A
4.(2020届江西抚州临川第一中学等第一次联考,6)若函数f(x)=ax-ln x的图象上存在与直线x+2y-4=0垂直的切线,则实数a的取值范围是()
A.(-2,+∞)
B.(1
2,+∞) C.(-1
2
,+∞) D.(2,+∞)
答案D
【五年高考】
A组统一命题·课标卷题组
1.(2019课标Ⅲ,6,5分)已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()
A.a=e,b=-1
B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1
D.a=e-1,b=-1
答案D
2.(2018课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()
A.y=-2x
B.y=-x
C.y=2x
D.y=x
答案D
3.(2019课标Ⅰ,13,5分)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.
答案y=3x
4.(2018课标Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.
答案-3
5.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程
是.
答案y=-2x-1
6.(2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.
答案1-ln2
B组自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()
A.y=sin x
B.y=ln x
C.y=e x
D.y=x3
答案A
2.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数的底数),则点A的坐标是.
答案(e,1)
C组教师专用题组
1.(2018课标Ⅱ,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.
答案y=2x
2.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.
答案8
3.(2015陕西,15,5分)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1
x
(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标
为 . 答案 (1,1)
4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xe a-x +bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b 的值; (2)求f(x)的单调区间.
解析 (1)因为f(x)=xe a-x +bx,所以f '(x)=(1-x)e a-x +b.
依题设,知{f(2)=2e +2,f '(2)=e -1,即{2e a -2+2b =2e +2,
-e a -2+b =e -1.解得a=2,b=e.
(2)由(1)知f(x)=xe 2-x +ex.
由f '(x)=e 2-x (1-x+e x-1)及e 2-x >0知, f '(x)与1-x+e x-1同号. 令g(x)=1-x+e x-1,则g'(x)=-1+e x-1.
所以,当x ∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值, 从而g(x)>0,x ∈(-∞,+∞).
综上可知, f '(x)>0,x ∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共55分)
1.(2020届湖南衡阳八中月考,5)已知直线y=-x+m 是曲线y=x 2-3ln x 的一条切线,则m 的值为( ) A.0
B.2
C.1
D.3
答案 B
2.(2019河北唐山二模,8)已知函数f(x)={x 2+2x,x ≤0,
-x 2+ax,x >0为奇函数,则曲线f(x)在x=2处的切线斜率等于( )
A.6
B.-2
C.-6
D.-8
答案 B。