复数的乘法与除法(1)
复数的乘法与除法运算
复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
复数的乘法与除法
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) 将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
16
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2
17
3 2
1 3 1 3 ( i )( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
2 2
(1 i) (2i) 4,
4 2
(1 i)
100
(2i)
50
2 .
50
15
1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
b 4 代入②
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
22
11
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)
复数代数形式的乘除运算
点(-1，-2)的距离
_______________.
x
探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法那么如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
5
2
1
i2
(
1
i
)
i2 2
2 2
（
2
）
( )
[
]
( )
i
1
1
i
(
1
i
)
(
1
i
)
2
1
1 (
3
2
i
)(
32
i
)4
i
（
3
）
3
2
i 3
2
i (
3
23
i
)
(
2
i
) 1
3
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
1.（2015 新课标高考）若 a 为实数且 (2 ai )(a 2i ) 4i ，
6.（2015 上海高考）若复数 z 满足 3 z z 1 i ，
其中 i 为虚数单位，则 z=
．
【解析】设 z a bi (a, b R ) ，则
1 1
3(a bi ) a bi 1 i 4a 1且2b 1 z i
复数的乘法与除法
复数的乘法与除法复数是由实数部分和虚数部分构成的数字，可用于解决实际问题，尤其在数学和物理领域中具有重要的应用。
复数的乘法与除法是复数运算中的两个基本操作，通过这两个操作可以实现复数之间的相乘和相除运算。
本文将详细介绍复数的乘法与除法，并探讨其性质和应用。
一、复数的乘法复数的乘法可以通过展开括号并应用虚数单位 i 的定义进行计算。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数，则它们的乘积为：z1 * z2 = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi^2= (ac - bd) + (ad+bc)i根据乘法的定义，在计算过程中需要注意虚数单位 i 的特性：i^2 =-1。
通过展开括号并整理得到的结果为一个新的复数，实部为原复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部为原复数实部和虚部的乘积之和。
二、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数且z2 ≠ 0，则它们的除法为：z1 / z2 = (a+bi) / (c+di)为了简化计算，可以将分子和分母同乘以共轭复数的分子，并利用共轭复数的特性进行化简。
共轭复数 z2 的定义为 c-di，则乘以共轭复数相当于分母中的虚部相互抵消。
经过整理得到的结果为：z1 / z2 = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(a*c + b*d) + (b*c - a*d)i] / (c^2 + d^2)类似于乘法，除法的计算结果也是一个新的复数，实部为原复数实部和虚部的乘积之和，虚部为正负交替相乘的结果。
三、复数乘法和除法的性质1. 乘法交换律：对于任意两个复数 z1 和 z2，满足 z1 * z2 = z2 * z1。
2. 乘法结合律：对于任意三个复数 z1、z2 和 z3，满足 (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)。
高中数学必修二课件：复数的乘、除运算
3．已知z(1＋2i)＝4＋3i，则|z|＝( D )
A. 2 C．2
B. 3 D. 5
解析 ∵z(1＋2i)＝4＋3i，
∴z＝41＋＋32ii，∴|z|＝|41＋＋32ii|＝||41＋ ＋32ii||＝
5＝ 5
5.故选D.
4.i－1i 3＝( D ) A．8 C．8i
B．－8 D．－8i
解析 由题意得i－1i 3＝(i＋i)3＝8i3＝－8i.选D.
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i（i1＋i）
＝8＋8－16－16i
＝－16i.
(2)原式＝i12·－12＋ 23i12＋12－1＋2i3i8 ＝－12＋ 23i34＋[（1＋12－i）22]34i123－3 23i ＝1－(2i)412－ 23i＝1－8＋8 3i ＝－7＋8 3i.
题型三 复数的乘方运算
例3 计算下列各题． (1)（11＋－ii）7＋（11－＋ii）7－（3－4i）4＋（32i ＋2i）3； (2)－ 23－12i12＋12－＋23ii8.
【解析】 (1)原式＝[(1＋i)2]3·
1＋i 1－i
＋[(1－i)2]3·
1－i 1＋i
－
8（3－4i）（1＋i）2（1＋i） （3－4i）i
＝
（－3＋4i5）（2＋i）＝－105＋5i＝－2＋i.
(3)已知a∈R，i为虚数单位，若a2－ ＋ii为实数，则a的值为( C )
A．2
B．0
C．－2
1 D.2
【解析】
方法一：由
a－i 2＋i
＝ （a－i）5（2－i） ＝
2a－1 5
－
2＋a 5
i是实数，得
－2＋5 a＝0，所以a＝－2.
复数的乘除法运算
D.3
解： z 1 i,
原式 (1 1 i )(1 i ) ( 2 i )(1 i )
2 2i i i 2 2 i 1 3i
例2
求证：
2
2
证明：设 a bi, 则 a bi, 于是
2
2
1.复数的乘法 两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只 是在遇到 i 时，要把 i 换 成 -1 ，并把最后的结果写成
2 2
a bi (a, b R) 的形式。
易知，复数运算满足交换律、结合律、 分配律。
1 2 2 1
（1 2） 3 1 2 3） （
(1 i) 1 i 1 i 解：z2 z1 1 i (1 i)(1 i) 2i i 2
2
1 i 8 思考( ). 1 i
2 2 2.设z 1 i (i是虚数单位），则 z z A. 1 i B. 1 i C .1 i D.1 i
关键分母实数化 作业：P62 A组5,8
i
4n
1 ,
i
4n 1
i ,
4n 2
1
, i
4n 3
i
练习：P61 第3题
2.复数的除法
满足 (c di)( x yi) (a bi) 的复数
x yi( x, y R) 叫复数 a bi 除以复数
c di 的商.
a bi 记作：(a bi) (c di) 或 (c di 0). c di 1 注： 叫做复数z的倒数 z
2 2 2 解：原式 (1 i ) 2i 1 i 1 i 2(1 i ) 2(1 i ) 2i 2i (1 i )(1 i ) 2
复数点乘公式
复数点乘公式
复数的乘除法运算公式：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i；（a+bi）/（c+di）=（ac+bd）/（c2+d2）+（（bc-ad）/（c2+d2)）i。
形如z=a+bi 的数被称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z为实数。
复数点乘公式：将两个复数相乘，类似于两个多项式的乘法，并展开为:ac+adi+bci+bdi^2。
因为i^2=-1，结果是(ACBD)+(bc+ad)i。
两个复数的乘积仍然是复数。
复数的加法满足交换律和结合律，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ（弧度制）推导而得。
复数的乘法既不是数量积又不是向量积,但是和两者有密切的联系.用指数形式表示复数。
设复数a=|a|e^(iα),b=|b|^(iβ),a_=|a|e^(-iα)；
则a_b=|a||b|e^(i(β-α)),令θ=β-α；
则a_b=|a||b|e^(iθ)=|a||b|(cosθ+isinθ)=a.b+i(a*b)。
复数代数形式的乘除运算
课本P112： A组4、5、6；B组1。
下节复习结合
3.2.2
X
阅读课本P109页至P111页，回答问题：
【说明】
1.复数的乘法 (1)乘法法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似 的，但要注意结果中的 i2换成－1，并且把实部与虚部分
别合并．
(2)运算律：复数乘法仍满足乘法交换律、结合律 和分配律． 注意：乘法公式：正整数指数幂的运算律在复数 集C中仍成立．
?
2 2 2 2 A = 2 a c + 2 b d ； B = a + b + c + d 。 易 BA 。
练 2
(2008· 山东高考)设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋
z z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于( A．i B．－i
D
) C．± 1 D．± i
例3 求1＋i＋i2＋…＋i2011的值． 拓 展 ： G P 求 和 公 式 。 答： 0.
例1.计算: （） 1 1 2i 3 4i 2 i ;
2 3 4i 3 4i ; 2 31 i ; 4 1 2i 3的复数相乘可按从左到右
的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一
2．复数的除法 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷ (c＋di)写 a＋bi 成 的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 c＋di c－di，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化，这 与根式除法的分母“有理化”很类似．注意最后结果一 般写成实部与虚部分开的形式．
3．共轭复数的性质 (1)实数的共轭复数仍是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R. (2)z· z ＝|z|2＝| z |2.
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问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？
复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.
追问 如何证明呢？
证明：设z1 a bi，z2 =c di，那么 z1z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (ad bc)i z2z1 (c di)(a bi) (ca db) (cb da)i (ac bd ) (ad bc)i 所以 z1z2 = z2 z1
设 z1 a bi, z2 c di (a,b, c, d R) ，定义 z1z2 (ac bd ) (ad bc)i
追问 两个复数的乘法运算类似于我们学过的哪种运算？
z1z2 (a bi)(c di) ac adi bci bdi2 (ac bd ) (ad bc)i
例8 在复数范围内解方程: （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
分析：当=b2 4ac 0时，
x b b2 4ac 2a
实数根
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
该方程的根 与系数有什 么关系？
分析：当
0
时，( x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
(x b )2 ( 4ac b2 i)2
2a
2a
x1
x2
b a
x1x2
c a
x b 4ac b2 i
2a
2a
共轭虚根
课堂练习
课堂练习
课堂练习
课堂小结
1.复数的乘法法则及其运算律 2.复数的除法法则 3.在复数范围内解实系数一元二次方程
复数的除法法则：
a bi c di a bi
c di
a bic di c dic di
(ac
b)i
ac bd bc ad i c2 d 2 c2 d 2
典型例题
例6 计算:(1 2i) (3 4i).
解：原式= 1 2i
3 4i = (1 2i)(3 4i)
问题2 复数集中规定的乘法运算满足什么运算律呢？
复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律.
对任意复数 z1, z2 , z3, 有 z1z2 z2 z1 (z1z2 )z3 z1(z2 z3 ) z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3
典型例题
例1 计算：(2 i)(3 4i).
解：原式 = 6 3i 8i 4i2 6 3i 8i 4 (1) 10 5i
①按照多项式的乘法展开
②把 i2换成-1
③把实部与虚部分别合并
典型例题
例2 计算下列各式的值. （1）(3 2i)(3 2i); （2）(1 i)2.
典型例题
例2 计算下列各式的值.
（1）(3 2i)(3 2i);
解： i19 i443 (i4 )4 i3 i i28 i47 (i4 )7 1 i37 i491 (i4 )9 i i i90 i4222 (i4 )22 i2 1
i, n 4k 1
in
1, n 4k 2 i, n 4k 3
1, n 4k
(k N)
问题4 我们已经建立了复数集里的加、减、乘运算，那么，复 数的除法该如何定义呢？
平方差公式
解法1：原式 = 32 2i 3 3 2i (2i)2 9 6i 6i 4 (1) 13
解法2：原式 = 32 (2i)2 9 4 13
典型例题
例2 计算下列各式的值.
（2）(1 i)2.
完全平方公式
解法1：原式 = (1 i)(1 i)
解法2：原式 = 12 2i i2
1 1 ？ z a bi
1 z
|
z z |2
追问2 如何把 1 中的分母由虚数变成实数? a bi
分母实数化：
分子分母同 时乘以分母 的共轭复数
1 a bi a bi a bi a b i a bi (a bi)(a bi) a2 (bi)2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
zm zn zmn (zm )n zmn (z1 z2 )n z1n z2n
典型例题
例4 计算：(5i)2,i3,i4 .
解：(5i)2 52 i2 25 (1) 25 i3 i2 i1 (1) i i i4 i2 i2 (1) (1) 1
典型例题
变式1 计算：i19 , i28, i37 , i90. 并总结 in (n N) 的取值规律.
追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？
复数的除法法则：
a bi c di (a bi) 1
c di
(a
bi)
c c2
di d2
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
ac bd bc ad i c2 d 2 c2 d 2
追问3 有了倒数的概念，两个复数除法的运算法则可以如何规定？
复数的乘法与除法
问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何 定义复数的乘法法则呢？
设 z1 a bi, z2 c di (a,b, c, d R) ，那么 z1z2 (a bi)(c di) ？
问题1 我们已经学习了复数的加法和减法法则，你认为该如何 定义复数的乘法法则呢？
12 i 11 i i2
= 1 2i 1
1i i 1
2i
2i
典型例题
两个共轭复数的乘积等于这个复数 （或共轭复数）的模的平方.
问题3 我们知道，实数的乘方是相同实数的乘积，规定复数 的乘方也是相同复数的乘积.那么，复数的乘方满足什么运算 律呢？
对复数 z, z1, z2和自然数 m, n ，有
(3 4i)(3 4i)
①将除式写为分式 ②分母实数化
= 5+10i 25
1 2i 55
③分子、分母分别进行乘法运算
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （1）x2 2 0;
（2）x2 2x 3 0; （3）ax2 bx c 0(a 0且a,b, c R)
典型例题
例8 在复数范围内解方程: （1）x2 2 0;
复数的倒数：
对于复数z a bi ，如果存在复数 z '，使 z z ' 1， 则 z '叫做 z 的倒数，记作 1 .
z
1 1 ？ z a bi
1
追问1 我们需要把
中的分母由虚数变成实数，以前所学
a bi
的知识，有没有类似的变形？
无理数的分母有理化：
1
1 2
1 2 1 2
1 2 (1 2)(1 2) 1
解： x2 2 x2 ( 2i)2 x1 2i, x2 2i
典型例题
例8 在复数范围内解方程:
（2）x2 2x 3 0;
解： (x 1)2 2 (x 1)2 ( 2i)2
配方法
x 1 2i 或 x 1 2i
x1 1 2i , x2 1 2i
两个根有什 么关系？
典型例题