复数的乘法与除法
复数的运算法则
复数的运算法则在数学中，复数是由实数和虚数组成的，并且以a + bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
复数的运算法则是用来描述复数之间的加法、减法、乘法和除法运算规则。
下面将详细介绍复数的运算法则。
一、复数的加法和减法法则复数的加法法则是将实部分和虚部分分别相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的和为：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
复数的减法法则是将第二个复数的实部和虚部各自取相反数再相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的差为：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
二、复数的乘法法则复数的乘法法则是根据分配律展开计算，并根据虚数单位的性质i^2 = -1 简化计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的乘积为：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
三、复数的除法法则复数的除法法则是通过将被除数和除数都乘以共轭复数，然后利用乘法法则进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数，并且z2 ≠ 0。
则两个复数的商为：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i。
综上所述，复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法法则。
这些法则可以帮助我们对复数进行精确计算，并在实际问题中应用。
了解和掌握这些运算法则对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。
复数的乘法与除法运算
复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
复数的乘法与除法
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) 将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
16
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2
17
3 2
1 3 1 3 ( i )( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
2 2
(1 i) (2i) 4,
4 2
(1 i)
100
(2i)
50
2 .
50
15
1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
b 4 代入②
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
22
11
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)
复数的四则运算公式
复数的四则运算公式复数是数学中的一个概念，它可以表示为实部与虚部的和。
在复数的四则运算中，包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算。
一、复数的加法复数的加法是指将两个复数相加的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的加法可以表示为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i即实部相加，虚部相加。
二、复数的减法复数的减法是指将两个复数相减的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的减法可以表示为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i即实部相减，虚部相减。
三、复数的乘法复数的乘法是指将两个复数相乘的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的乘法可以表示为：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i即实部相乘减虚部相乘，并将结果相加。
四、复数的除法复数的除法是指将两个复数相除的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的除法可以表示为：(a+bi) ÷ (c+di) = [(ac+bd)÷(c^2+d^2)] + [(bc-ad)÷(c^2+d^2)]i即将实部和虚部分别除以除数的实部和虚部的平方和。
通过以上介绍，我们了解了复数的四则运算公式。
在实际应用中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理等领域。
对于复数的运算要求掌握加减法的运算规则，以及乘法和除法的计算方法。
复数的四则运算在解决实际问题中起到了重要的作用，对于深入理解复数的概念和应用具有重要意义。
因此，掌握复数的四则运算公式对于数学学习和实际应用都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够对复数的四则运算有更深入的了解，并能够熟练运用于实际问题的解决中。
7.2.2 复数的乘除运算
=
所以 = −1 − ⅈ
2
1−ⅈ
=
2(1+ⅈ)
(1−ⅈ)(1+ⅈ)
= −1 + ⅈ
题
【解】
−ⅈ
的共轭复数是多少？
+ⅈ
1−ⅈ
1+2ⅈ
=
(1−ⅈ)(1−2ⅈ)
(1+2ⅈ)(1−2ⅈ)
=
−1−3ⅈ
5
1−ⅈ
−1+3ⅈ
所以
的共轭复数为
1+2ⅈ
5
误用判别式解复数范围内的一元二次方程
02 − 60 + 9 + − 0 = 0
由于虚数单位的
= 3，
02 − 60 + 9 = 0，
解得 0
∴
= 3,
− 0 = 0,
特殊性，故不能用判别
所以实数 的值是 3
元二次方程有无实数根
式判断复数范围内的一
题① ——复数的乘除运算
计算：(1) 1 + ⅈ (1 − ⅈ) + −1 + ⅈ ;
= 28 − 25ⅈ − 3
+ = +
= 25 − 25ⅈ
2
复数代数形式的乘方
1
复数的乘方
和实数一样，复数的乘方就是相同复数的乘积，比如： 3 表示3个 相乘
2
复数乘方的运算律
根据复数乘法的运算律，实数范围内的正整数指数幂的运算律在复
数范围内仍然成立，即对任意 , 1, 2 ∈ , , ∈ ∗ ，有：
1
若复数 = 1 + 2，其中 是虚数单位，求 + ·
复数的乘法和除法
复数的乘法和除法复数是数学中的一个重要概念，在实际应用中有广泛的运用。
本文将探讨复数的乘法和除法，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、复数的简介复数由实数和虚数部分组成，可表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示为一个坐标点在复平面上的位置。
二、复数的乘法复数的乘法是通过将两个复数的实部和虚部按照一定规则相乘得到的。
具体步骤如下：1. 将两个复数分别拆分为实数部分和虚数部分：a+bi和c+di；2. 将实数部分和虚数部分分别进行乘法计算，即(a*c-b*d)+(a*d+b*c)i；3. 合并结果，得到乘积的复数表达式。
三、复数的除法复数的除法是通过将除数取倒数，然后与被除数相乘得到的。
具体步骤如下：1. 将被除数和除数的实数和虚数部分分别拆分为a+bi和c+di；2. 计算除数的倒数：(c+di)的倒数为(c/(c²+d²)-d/(c²+d²))；3. 将被除数乘以除数的倒数，即(a+bi)*(c/(c²+d²)-d/(c²+d²))；4. 合并结果，得到除法的商的复数表达式。
四、复数乘法和除法的性质1. 乘法的结果是一个新的复数，而除法的结果也是一个新的复数；2. 复数的乘法满足交换律，即a*b=b*a；3. 复数的乘法满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)；4. 复数的乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
五、应用举例1. 实际生活中，复数的乘法可用于描述交流电路中的电流和电压的关系，进而求解电路参数；2. 复数的除法可用于计算交流电路中的阻抗，并进一步求解电路性能参数。
结论复数的乘法和除法是数学中的一个重要概念，可以广泛应用于实际问题的求解。
通过本文的介绍，读者可以更好地理解和应用复数的乘法和除法，从而在实际问题中更加灵活地运用这些知识。
复数的乘法与除法
复数的乘法与除法复数是由实数部分和虚数部分构成的数字，可用于解决实际问题，尤其在数学和物理领域中具有重要的应用。
复数的乘法与除法是复数运算中的两个基本操作，通过这两个操作可以实现复数之间的相乘和相除运算。
本文将详细介绍复数的乘法与除法，并探讨其性质和应用。
一、复数的乘法复数的乘法可以通过展开括号并应用虚数单位 i 的定义进行计算。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数，则它们的乘积为：z1 * z2 = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi^2= (ac - bd) + (ad+bc)i根据乘法的定义，在计算过程中需要注意虚数单位 i 的特性：i^2 =-1。
通过展开括号并整理得到的结果为一个新的复数，实部为原复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部为原复数实部和虚部的乘积之和。
二、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数且z2 ≠ 0，则它们的除法为：z1 / z2 = (a+bi) / (c+di)为了简化计算，可以将分子和分母同乘以共轭复数的分子，并利用共轭复数的特性进行化简。
共轭复数 z2 的定义为 c-di，则乘以共轭复数相当于分母中的虚部相互抵消。
经过整理得到的结果为：z1 / z2 = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(a*c + b*d) + (b*c - a*d)i] / (c^2 + d^2)类似于乘法，除法的计算结果也是一个新的复数，实部为原复数实部和虚部的乘积之和，虚部为正负交替相乘的结果。
三、复数乘法和除法的性质1. 乘法交换律：对于任意两个复数 z1 和 z2，满足 z1 * z2 = z2 * z1。
2. 乘法结合律：对于任意三个复数 z1、z2 和 z3，满足 (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)。
复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算复数是由实数和虚数组成的数，可以用复数平面上的点表示。
复数的三角式是指将复数表示为一个模长和一个幅角的形式。
复数的乘法和除法可以用三角形式来表示，即用模长和幅角来进行运算。
假设我们有一个复数z = a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
1.复数的三角式在复数平面上，可以将复数z表示为一个与实轴的夹角θ（幅角）和点到原点的距离r（模长）的形式。
模长r可以通过使用勾股定理来计算：r=√(a^2+b^2)。
这个距离表示复数z到原点的距离。
幅角θ可以通过tanθ = b/a 来计算。
这个角度表示实轴与复数z 的连线之间的夹角。
将复数z表示为三角形式：z = r(cosθ + isinθ)。
其中cosθ表示x轴方向上的分量，sinθ表示y轴方向上的分量。
2.复数的乘法复数乘法的规则是，将两个复数的模长相乘，幅角相加。
设有两个复数z1 = r1(cosθ1 + isinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + isinθ2)。
乘法运算的结果为：z1 * z2 = (r1 * r2) * (cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))角相加。
例如，计算(1+i)*(2+i)：首先将两个复数转换为三角形式：z1 = √(1^2 + 1^2) * (cos 45° + isin 45°) = √2 * (cos 45° + isin 45°)z2 = √(2^2 + 1^2) * (cos 63.4° + isin 63.4°) = √5 * (cos 63.4° + isin 63.4°)然后进行乘法运算：z1 * z2 = (√2 * √5) * (cos (45° + 63.4°) + isin (45° + 63.4°))= √10 * (cos 108.4° + isin 108.4°)所以，(1 + i) * (2 + i) = √10 * (cos 108.4° + isin108.4°)。
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复数的乘法与除法
教学目标
（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；
（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；
（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；
（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．
三、教学建议
1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积：
也就是说．复数的乘法与多项式乘
法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．
2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有：
，，；
对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。
如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3．讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：
，
由此
，
于是
得出商以后，还应当着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的．分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
4．这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。
从这道例题的运算结果，我们应该看出，也是-1的一个立方根。
因此，我们应该修正过去关于“-1的立方根是-1”的认识，想到-1至少还有一个虚数根。
然后再回顾例2的解题过程，发现其中所有的“-”号都可以改成“±”。
这样就能找出-1的另一个虚数根。
所以-1在复数集C内至少有三个根：-1，，。
以上对于一道例
题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。
它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。
5．教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。
在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
教学目标
1．掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；
2．理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；
3．知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质．
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质．
难点是复数乘法运算律的理解．
教学过程设计
1．引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致．那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？
教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课．
2．提出复数的代数形式的运算法则：．
指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式．
3．引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律．
4．讲解例1、例2
例1求．
此例的解答可由学生自己完成．然后，组织讨论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质：．
教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明：
．
例2 计算．
教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算．比如说第一组按进行计算；第二组按进行计算．讨论其计算结果一致说明了什么问题？5．引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂．
6．讲解例3
例3 设，求证：（1）；（2）
讲此例时，应向学生指出：（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；（2）复数的混合运算也是乘方，乘
除，最后加减，有括号应先处括号里面的．
此后引导学生思考：（1）课本中关于（2）小题的注解；（2）如果，则与还成立吗？
7．课堂练习
课本练习第1、2、3题．
8．归纳总结
（1）学生填空：
；＝＝．设，则＝，＝，＝，＝．
设（或），则，．
（2）对复数乘法、乘方的有关运算进行小结．
9．作业
课本习题第1、3题．。