高中数学 复数的乘法与除法
复数的运算法则
复数的运算法则在数学中，复数是由实数和虚数组成的，并且以a + bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
复数的运算法则是用来描述复数之间的加法、减法、乘法和除法运算规则。
下面将详细介绍复数的运算法则。
一、复数的加法和减法法则复数的加法法则是将实部分和虚部分分别相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的和为：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
复数的减法法则是将第二个复数的实部和虚部各自取相反数再相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的差为：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
二、复数的乘法法则复数的乘法法则是根据分配律展开计算，并根据虚数单位的性质i^2 = -1 简化计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的乘积为：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
三、复数的除法法则复数的除法法则是通过将被除数和除数都乘以共轭复数，然后利用乘法法则进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数，并且z2 ≠ 0。
则两个复数的商为：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i。
综上所述，复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法法则。
这些法则可以帮助我们对复数进行精确计算，并在实际问题中应用。
了解和掌握这些运算法则对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。
复数的乘法与除法
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) 将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
16
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2
17
3 2
1 3 1 3 ( i )( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
2 2
(1 i) (2i) 4,
4 2
(1 i)
100
(2i)
50
2 .
50
15
1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
b 4 代入②
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
22
11
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)
7-2-2复数的乘、除运算(教学课件)-高中数学人教A版(2019) 必修第二册
2
因为( i) =(- i) =-2,
所以 x+2= i 或 x+2=- i,
即 x=-2+ i 或 x=-2- i,
2
所以方程 x +4x+6=0 的根为 x=-2± i.
即时训练6-1:(1)在复数范围内解一元二次方程 x2-2x+5=0;
2
解:(1)Δ=(-2) -4×1×5=-16<0,
，
2
2a
4a
2
b
x
2a
b2 4ac
2a
i．
所以原方程的根为 x b
2a
b2 4ac
2a
i．
总结
在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
1.求根公式法
－b± b2－4ac
①当 Δ≥0 时，x＝
.
2a
－b± －（b2－4ac）i
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
多项式乘以
多项式
思考2：复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，
d∈R，则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，
z1·z2等于什么？
1.复数的乘法法则：
z1·z2=
( + )( + ) = + + + 2
(4)
1 3i.
2
i
i
i
探究角度3
复数的积与商的模
即时训练 3-1:(1)已知 i 为虚数单位,则复数
的模等于(
-
高中数学中的复数运算知识点总结
高中数学中的复数运算知识点总结在高中数学学习中，复数运算是一个重要的知识点。
复数是由实数和虚数构成的数，其运算包括四则运算、乘方运算等。
下面将对高中数学中的复数运算进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位。
实部和虚部都是实数，虚部的系数b前面必须加上虚数单位i。
二、复数加法和减法1. 加法复数a+bi和c+di相加，实部和虚部分别相加即可，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法复数a+bi和c+di相减，实部和虚部分别相减即可，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
三、复数乘法和除法1. 乘法复数a+bi和c+di相乘，按照分配律展开式进行计算，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
2. 除法复数a+bi除以c+di，先将被除数和除数的虚部有理化，然后根据乘法的倒数性质进行计算。
先将除数的虚部变号，得到复数的共轭复数，然后将除数乘以其共轭复数，再将结果化简为标准形式即可。
四、复数的乘方和开方1. 乘方复数的乘方可以使用二项式定理进行展开，然后根据i的幂次去化简。
2. 开方复数的开方可以先将复数化为三角形式或指数形式，然后利用根式的性质进行计算。
五、复数的模和辐角1. 模复数a+bi的模用|a+bi|表示，|a+bi|=√(a²+b²)。
2. 辐角复数a+bi的辐角用θ表示，可以通过a和b的值以及复数所在象限求得，tanθ=b/a。
六、复数的共轭与倒数1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数记作a-bi，共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。
2. 复数的倒数复数a+bi的倒数记作1/(a+bi)，倒数的实部和虚部由实部和虚部的比例求得。
综上所述，高中数学中的复数运算涉及到复数的加法、减法、乘法、除法，以及乘方、开方等运算。
同时，复数的模、辐角、共轭与倒数也是重要的概念。
高中数学必修二课件：复数的乘、除运算
3．已知z(1＋2i)＝4＋3i，则|z|＝( D )
A. 2 C．2
B. 3 D. 5
解析 ∵z(1＋2i)＝4＋3i，
∴z＝41＋＋32ii，∴|z|＝|41＋＋32ii|＝||41＋ ＋32ii||＝
5＝ 5
5.故选D.
4.i－1i 3＝( D ) A．8 C．8i
B．－8 D．－8i
解析 由题意得i－1i 3＝(i＋i)3＝8i3＝－8i.选D.
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i（i1＋i）
＝8＋8－16－16i
＝－16i.
(2)原式＝i12·－12＋ 23i12＋12－1＋2i3i8 ＝－12＋ 23i34＋[（1＋12－i）22]34i123－3 23i ＝1－(2i)412－ 23i＝1－8＋8 3i ＝－7＋8 3i.
题型三 复数的乘方运算
例3 计算下列各题． (1)（11＋－ii）7＋（11－＋ii）7－（3－4i）4＋（32i ＋2i）3； (2)－ 23－12i12＋12－＋23ii8.
【解析】 (1)原式＝[(1＋i)2]3·
1＋i 1－i
＋[(1－i)2]3·
1－i 1＋i
－
8（3－4i）（1＋i）2（1＋i） （3－4i）i
＝
（－3＋4i5）（2＋i）＝－105＋5i＝－2＋i.
(3)已知a∈R，i为虚数单位，若a2－ ＋ii为实数，则a的值为( C )
A．2
B．0
C．－2
1 D.2
【解析】
方法一：由
a－i 2＋i
＝ （a－i）5（2－i） ＝
2a－1 5
－
2＋a 5
i是实数，得
－2＋5 a＝0，所以a＝－2.
人教B版高中数学选修2-2322复数的乘法和除法素材
复数的乘法和除法教材整理1 复数的乘法法则及运算律1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2．复数乘法的运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 (1)交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1.(2)结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)．(3)乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.1.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.教材整理2 共轭复数阅读教材P 59“例3”以下至“探究”以上内容，完成下列问题．如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.2.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.教材整理3 复数的除法法则阅读教材P 59“探究”以下至P 60“例4”以上内容，完成下列问题．设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0且c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝________.探究1：复数代数形式的乘除法运算(1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3【精彩点拨】 (1)利用复数的乘法运算法则进行计算． (2)利用复数的除法运算法则进行计算．(3)题中既有加、减、乘、除运算，又有括号，同实数的运算顺序一致，先算括号里的， 再算乘除，最后算加减．【自主解答】 (1)(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.(2)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C.(3)i －2i －11＋i i －1＋i ＝－1－i －2i ＋2i －1－1－i ＋i ＝1－3i－2＋i ＝1－3i－2－i －2＋i －2－i＝－2－3＋6－1i 5＝－5＋5i5＝－1＋i.归纳总结：1．复数的乘法可以把i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．2．利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i ，⎝⎛⎭⎫－12±32i 3＝1，1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，i 的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．探究2：共轭复数及其应用已知复数z 的共轭复数是z ，且z －z ＝－4i ，z ·z ＝13，试求z z .【精彩点拨】 设z ＝x ＋y i x ，y ∈R→由条件到方程组求x ，y 的值→计算z z 的值【自主解答】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y i －x －y i ＝－4i ，x ＋y ix －y i ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2y i ＝－4i ，x 2＋y 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.因此z ＝3－2i 或z ＝－3－2i. 于是zz＝3－2i 3＋2i ＝3－2i 23＋2i 3－2i＝5－12i 13＝513－1213i ，或zz＝－3－2i －3＋2i ＝－3－2i 2－3＋2i －3－2i＝5＋12i 13＝513＋1213i.归纳总结：1．已知关于z 和z 的方程，而复数z 的代数形式未知，求z .解此类题的常规思路为：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．2．关于共轭复数的常用结论(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．探究3：i n 的值的周期性及其应用探究1 i 4n ，i 4n ＋1，i 4n ＋2，i 4n ＋3(n ∈N )的结果分别是什么？ 【提示】 1，i ，－1，－i.探究2 i n (n ∈N )有几种不同的结果？ 【提示】 四种：1，i ，－1，－i.探究3 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3(n ∈N )结果是多少？【提示】 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝i(1＋i －1＋i)＝0.(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016；(2)若复数z ＝1＋i1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．【精彩点拨】 将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解．【自主解答】 (1)原式＝i 1＋23i1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝i ＋1.(2)1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－z 2 0171－z ，而z ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016＝1－i 2 0171－i ＝1－i1－i＝1. 归纳总结：1．要熟记i n 的取值的周期性，即i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N )，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值． 2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．。
复数总结知识点高考数学
复数总结知识点高考数学一、复数的概念复数是指形如a+bi的数，其中a和b分别是实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=-1。
可以看出，实数可以看作是复数中虚数部分为0的特殊情况。
二、复数的加减在复数形式下，两个复数相加或相减，只需要按照实部和虚部分别相加或相减即可。
例如：(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法复数的乘法需要用到虚数单位i的乘法规则i^2=-1。
将两个复数相乘，按照分开实数和虚数部分相乘，然后利用i^2=-1简化计算。
例如：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法复数的除法，通常需要将除数和被除数都用复数的共轭表示式分子/分母，然后利用复数的乘法进行计算，最后将结果化简为标准形式。
例如：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c^2+d^2) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i五、复数的模复数的模指的是复数到原点的距离，用|z|表示。
对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)，即z的模等于它的实部a与虚部b的平方和的平方根。
复数模的性质：1) |z1z2| = |z1||z2|2) |z1/z2| = |z1|/|z2|六、复数的幂复数的幂运算可以直接套用实数的幂运算，但需要注意虚数单位i的幂次满足周期性规律。
具体计算时，先将底数化为极坐标形式，然后根据幂运算的规律进行计算。
例如：(a+bi)^n = (r(cosθ+isinθ))^n = r^n(cosnθ+isinnθ)七、复数的共轭复数的共轭是将实数部分不变，而虚数部分取负号得到的复数。
例如：复数a+bi的共轭为a-bi总结：复数是高考数学中的基础知识点，掌握复数的加减乘除、模和幂等运算规则对于解题至关重要。
数学中的复数计算方法
数学中的复数计算方法复数，指具有实部和虚部的数字，常见于数学、物理和工程领域。
在计算机科学的各个分支中，复数也被广泛应用，比如在信号处理、图像处理等方面都有着广泛的应用。
因此，对于复数的计算方法是非常重要的。
本文将会介绍复数的计算方法，并提供各个方法的实例来说明其用途。
一、复数的表示方法复数通常表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
例如，3+2i就是一个复数，其中a=3，b=2。
另一种表示方法是极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是其幅角。
通常情况下，r和θ可以通过实部和虚部来计算，如下所示：r=sqrt(a²+b²)，θ=tan⁻¹(b/a)例如，对于复数3+2i，其模为r=sqrt(3²+2²)=sqrt(13)，而幅角为θ=tan⁻¹(2/3)。
二、复数的加法和减法对于2个复数a+bi和c+di，它们的加法和减法分别如下：加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i例如，对于复数3+2i和2+5i，它们的加法和减法分别如下：加法：(3+2i)+(2+5i)=(3+2)+(2+5)i=5+7i减法：(3+2i)-(2+5i)=(3-2)+(2-5)i=1-3i三、复数的乘法和除法对于2个复数a+bi和c+di，它们的乘法和除法分别如下：乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i例如，对于复数3+2i和2+5i，它们的乘法和除法分别如下：乘法：(3+2i)(2+5i)=(3×2-2×5)+(3×5+2×2)i=-8+19i除法：(3+2i)/(2+5i)=((3×2+2×5)/(2²+5²))+((-2×2+3×5)/(2²+5²))i=(16/29)-(4/29)i四、共轭复数对于一个复数a+bi，它的共轭复数表示为a-bi。
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20 15i
例2：计算（1）(a bi)(a bi)
a2 abi abi b2i2
a2 b2
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的 两个的两个复数叫作互为共轭复数.
复数z=a+bi的共轭复数记作 z, 记z a bi
复数的四则运算
2.2复数的乘法与除法
知识回顾
设 Z1 a bi ，Z2 c di (a,b,c, d R) 是任意两 个复数，我们定义复数的加法、减法如下：
(a bi) (c di) (a c) (b d)i
两个复数的和（或差）仍然是一个复数。它 的实部是原来两个复数的实部的和（或差）， 它的虚部是原来两个复数的虚部的和（或差）。
1.复数的乘法法则：
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
（ac bd ) (bc ad )i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
运算过程中把 i 2换成－1，然后实、虚部分别合并.
(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
1 2i 55
先写成分式形式
然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘 以分母的共轭复数)
化简成代数形式就得结果.
三、课堂练习
1.计算 ⑴ (7 i) (3 4i)
1-i
⑵ (1 i )2 1 i
-1
⑶11 3 2i 3 2i
4i 13
2.下列命题中正确的是
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ), z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例1.计算
（1） (－2－i)(3－2i)
解 (－2－i)(3－2i)
23 4i 3i 2i2
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
z z 2a z z 2bi
z z a2 b2
思考：在复数集C内，你能将 x2 y 2分解因式吗？
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
3.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都
6 i 2
8 i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
自学课本P78例3、例4
（2）(a bi)2 (a bi)2 (a2 b2) 2abi
a2 2abi b2i2 a2 2abi b2
a2 b2 2abi
（3）(1 2i)(3 4i)(2 i) (3 4i 6i 8)(2 i)
ad d2
i
(c di 0).
分母实数化
例3.计算 (1 2i) (3 4i)
解: (1 2i) (3 4i) 1 2i (1 2i)(3 4i) 3 4i (3 4i)(3 4i)
3
8 6i 32 42
4i
5 10i 25
乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母
实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad
)i
ac bd c2 d 2
bc c2
(1)如果Z1
Z
2是实数，则Z1、Z
互为共轭复数
2
(2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。
(3)两个纯虚数的差还是纯虚数
(4)两个虚数的差还是虚数。
(2)
课堂小结 1．复数的乘法与除法运算法则 ； 2．共