2020年2月普通高考数学(江苏卷)全真模拟卷(1)(解析版)

2020年2月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =I __________. 【答案】{1,2}【解析】Q 集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=I ．2．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()f x 在点(1, (1))f 处的切线在y 轴上的截距为________. 【答案】2-【解析】由2()ln f x x x =+，得1()2f x x x'=+，所以(1)3f '=，又(1)1f =，所以切点为(1,1)，所以切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-，令0x =，得2y =-，所以切线在y 轴上的截距为-2. 3．某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有______个网箱产量不低于50 kg ．【答案】82【解析】由频率分布直方图，可知不低于50kg 的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）×5＝0.82，所以网箱个数：0.082×100＝82.4．从123，，中选2个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________． 【答案】13【解析】列举法：12，21，13，31，23，32，一共6种可能，其中偶数2种，概率为135．函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________.【答案】()(),11,1-∞--U【解析】()2134lg x y x x -=--Q210340x x x ->⎧∴⎨--≠⎩解得1x <且1x ≠-即函数()2134lg x y x x -=--的定义域为()(),11,1-∞--U . 6．已知复数z 满足()()13z i i i ++=-，则z =________.【解析】因为()()13z i i i ++=-，所以()()()()31324131112i i ii z i i i i i i i ----=-=-=-=-++-，所以z ==7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，若32154,243S a a T =+=，则a 1的值为_________. 【答案】1.【解析】由已知，S 3＝123214a a a a a ++=+，则313a a =，所以23q =.又55123453243T a a a a a a ===，所以2313a a q ==，11a =.8．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为2C 的标准方程是 .【答案】2213y x -=【解析】由已知得2ca =，一条渐近线方程为0bx ay -=，根据焦点到渐近线距离d b ==，则b =C 的标准方程是2213y x -=. 9．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点．沿图中虚线折起，使B ，C ，D 三点重合，则围成的几何体的体积为_____.【答案】13【解析】以,,AE EF AF 为折痕，折叠这个正方形，使点,,B C D 重合于一点p ，得到一个四面体，如图所示．∵在折叠过程中，始终有AB BE ⊥，AD DF ⊥，即AP PE ⊥ ，AP PF ⊥，所以AP EFP ⊥平面．四面体的底面积为：12EFP S PE PF =⋅V ，高为2AP = ∵四面体A EFP -的体积：111112323A EFP V -=⨯⨯⨯⨯=.10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.【答案】27【解析】s =0,n =1,s =(0+1)×1=1，n =1+1=2，不满足条件n >3，执行循环体； s =(1+2)×2=6，n =1+2=3，不满足条件n >3，执行循环体； s =(6+3)×3=27，n =1+3=4，满足条件n >3，退出循环体， 则输出结果为：2711．在梯形ABCD 中，AB ∵CD ，2,1AB BC CD ===，M 是线段BC 上的动点，若3BD AM ⋅=-u u u r u u u u r，则BA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】[]1,10【解析】设,[0,1]BM tBC t =∈u u u u r u u u r,则()()()()1114t 23222t BD AM BC CD AB BM BC BA BA tBC BC BA BA tBC BC BA ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅-+=+⋅-+=--⋅+-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v 所以[]821881,1022t BC BA t t u u u v u u u v +⋅==--∈--12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =()()1π-=x f x 在区间[],3ππ-上所有的实数解之和为_____．【答案】4π【解析】由题意，方程()()1π-=x f x 在区间[],3ππ-上所有的零点，转化为函数()y f x =与1()h x x π=-的交点的横坐标，又由定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以函数()f x 的周期为2T π=，画出函数(),()f x h x 的图象，如图所示，则函数()f x 的图象关于点(,0)π对称，根据图象可得，函数(),()f x h x 的图象共有4个交点，它们关于点(,0)π对称，所以函数()()()1f x g x x π=-=在区间[],3ππ-所有的实数解之和为224πππ+=.13．设0,,0,22a ππβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且sin 1cos2cos 2sin2cos βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______． 【答案】1-【解析】2sin 1cos22cos 2sin222sin cos cos cos cos βααβααααα+==++22222122cos sin cos sin sin cos αααααα-==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1222421222cos sin tantan sincostanαααπαααα--⎛⎫===- ⎪⎝⎭++，故tan 42tan παβ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又0,,0,2424a ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈-∈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=42πα-，故22πβα=-，则3tan 2tan 144ππαβ⎛⎫⎛⎫++==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则. 14．已知函数()[](]2,0,1,1,3x x x f x e x -⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，若存在实数12x x ，满足1203x x ≤≤＜，且12()()f x f x =，则212x x ﹣的取值范围为_____． 【答案】2]1ln ∞-（-，． 【解析】记212m x x =-，∵当1021≤≤≤x x 时，11()f x x =，22()f x x =，所以12x x =，则2m x =-， 故其最大值在20x =时取得，为0，其最小值在21x =时取得，为1-；∵当3121≤≤<x x 时，121()x f x e -=，222()x f x e -=，所以1222x x e e --=，即12x x =，则2m x =-，故其最大值()11max m m <=-，其最小值()33min m m =-…； ∵当31021≤<≤≤x x 时，11()f x x =，222()x f x e -=，所以221x x e -=，所以212x lnx -=，即212x lnx =+，故1122m lnx x =+-， 设()22g x lnx x =+-，[0x ∈，1]，则1()2g x x '=-，令()0g x '=，得12x =， 当1(0,)2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(2x ∈，1)时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以当0x →时，()g x 的值无限趋于-∞； 所以当12x =时，()g x 取极大值也是最大值，即11()2112122max m g ln ln ==+-=->-，所以212x x -最大值为12ln -．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+. （1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.【解析】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得： ()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，∵2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒.又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∵()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. （2）由（1）知b c =，120A =︒，∵21sin1202b ︒=bc == 由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =. ∵ABC的周长为6.16．如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB BC CA ===1AD CD ==，11AAC C ABCD ⊥平面平面.（1）求证：1BD AA ⊥（2）若E 为线段BC 的中点，求证：111//A E DCC D 平面.【解析】（1）因为BA BC DA BD ==，，所以BD 是线段AC 的垂直平分线. 所以BD AC ⊥.又11AAC C ABCD ⊥平面平面，11=,AAC C ABCD AC BD ABCD ⋂⊂平面平面平面， 所以11BD AAC C 平面⊥.因为111AA AAC C ⊂平面，所以1BD AA ⊥.（2）因为1AB BC CA DA DC =====，所以60,30BAC BCA DCA ∠=∠=︒∠=︒，连结AE. 因为E 为BC 的中点，所以30EAC ∠=︒. 所以EAC DCA ∠=∠. 所以//AE DC .因为11DC DCC D ⊂平面，11AE DCC D ⊄平面，所以11//AE DCC D 平面.因为棱柱1111ABCD A B C D -，所以11//AA DD .因为111DD DCC D ⊂平面，111AA DCC D 平面⊄，所以11//AA AA E 平面，11AE AA E AA AE A ⊂⋂=平面，，所以111//AA E DCC D 平面平面.因为11111//A E AA E A E DCC D ⊂平面，所以平面.17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点坐标为())12,F F ，且椭圆E经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，,A B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积． 【解析】(1)因为椭圆焦点坐标为())12,F F，且过点1,2P ⎛- ⎝⎭，所以121242a PF PF =+=+=，所以2a =，从而1b ==， 故椭圆的方程为2214x y +=．(2)设点()()0000,02,01M x y x y <<<<，(),0C m ，()0,D n ，因为()2,0A -，且,,A D M 三点共线，所以0022y nx =+，解得0022y n x =+，所以00000222122y x y BD x x ++=+=++，同理得000221x y AC y ++=+，因此0000002222112221ABCDx y x y S AC BD x y ++++=⋅=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++，因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得：()0000000044882222ABCD x y x y S x y x y +++==+++．18．某小区内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=o，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,)3OAB παα∠=∈.（1）求AB 的长（用α表示）；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？ 【解析】（1）过点O 作OH 垂直于AB ，垂足为.H 在直角三角形OHA 中，20OA OAH α∠＝，＝， 所以20cos AH α＝，因此240cos .AB AH α＝＝ （2）由图可知，点P 处的观众离点O 最远 在三角形OAP 中，由余弦定理可知22222cos +3OP OA AP OA AP πα=+-⋅（）()2140040cos 22040cos cos 2＝αααα⎛⎫+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭()24006cos cos 1ααα=++()4003cos24216003πααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．因为0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当26πα=，即12πα=时，()max OP ＝＋1600，又()max OP ＝16003600< 所以60OP <所以观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米． 故对于任意α，上述设计方案均能符合要求． 19．已知函数()()212ln 22f x a x x x x =--+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．【解析】（1）()()()()211220f x a x x a x x x x '=--⎛⎫+=-- ⎪⎝>⎭∵0a ≤，0a x -<，(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减∵02a <<，()02f x x '=⇒=或x a =，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；(),2x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；()2,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减∵2a =，()()2120f x x x'=--<，()f x 在()0,∞+单调递减 ∵2a >，()02f x x '=⇒=或x a =，当()0,2x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增； (),x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减（2）由（1）得当0a =时，()2122f x x x =-+在定义域上只有一个零点 0a <，由（1）可得，要使()f x 有两个零点，则()()()20222ln220f f a >⇒=-+>∵10ln 21a <<-下证()f x 有两个零点取1ax e =，1111112202a aa a f e a e e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()120af e f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，故()f x 在()0,2有且只有一个零点()()442ln40f a =-<，满足()()240f f <，故()f x 在()2,+∞有且只有一个零点当02a <<时，由（1）可得()0,2x ∈，()()()()22112ln 221ln 022f x f a a a a a a a a a ≥=--+=+->，故()f x 在()0,2无零点， 又因为()f x 在()2,+∞单调递减，∵()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件当2a >时，()0,x a ∈，()()()222ln 220f x f a ≥=-+>故()f x 在()0,a 上无零点， 又因为()f x 在(),a +∞单调递减，∵()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件 ∵满足条件a 的取值范围10ln 21a <<-20. 已知正项数列}{n a 中，61=a ，点),(1+n n n a a A 在抛物线12+=x y 上．数列}{n b 中，点),(n n b n B 在经过点)1,0(，以)2,1(=为方向向量的直线l 上． （∵）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（∵）若⎩⎨⎧=为偶数），（为奇数），（n b n a n f n n )(，问是否存在*∈N k ，使得)(4)27(k f k f =+成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（∵）对任意的正整数n ，不等式02)11()11)(11(211≤+--++++nnnn a n a b b b a K 成立，求正数a 的取值范围．【解析】（∵）将点),(1+n n n a a A 代入抛物线12+=x y 得：11+=+n n a a∴)1(11≥=-+n a an n ∴数列}{n a 是等差数列．1(1)6(1)1n a a n d n =+-=+-⨯，即5na n =+Θ)2,1(=m 为直线l 的方向向量∴直线l 的斜率2=k ，直线l 的方程为12+=x yΘ),(n n b n B 在直线l 上．∴12+=n b n（∵）由题5()21n n f n n n +⎧=⎨+⎩，（为奇数），（为偶数）∵当k 是偶数时，27+k 是奇数，)(4)27(k f k f =+即)12(4527+=++k k 4=⇒k ，∵当k 是奇数时，27+k 是偶数，)(4)27(k f k f =+即)5(41)27(2+=++k k 235=⇒k （舍去）故存在唯一的4=k 符合条件．（∵）由题12111(1)(1)(1)n a b b b ≤+++K 111(1)(1)(1)a +++≤K设111(1)(1)(1)()f n +++=K则1111(1)(1)(1)(1)(1)f n +++++=K ∴5232)()1(++=+n n n f n f )11(1++n b 151641616432524222++++=+++=n n n n n n n >1∴)()1(n f n f >+，即数列)}({n f 是递增数列． ∴==)1()(minf xf∴0a <≤数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知x ，y ∈R ，矩阵21x y ⎡⎤=⎢⎥⎦⎣A 的两个特征向量110⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α． （1）求矩阵A 的逆矩阵1-A ；（2）若12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，求10A β．【解析】（1）设矩阵A 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，则2001A ⎡⎤∴=⎢⎥⎦⎣，则110201A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎦⎣． （2）因12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β12102201⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αα，所以10A β1010102122(2)2A λλ=+=+11αααα1010102422012⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，圆C的参数方程为：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线l ：cos tsin x t y ϕϕ=⎧⎨=⎩（t 为参数）被圆C截得的弦长为l 的倾斜角.【解析】（1）圆C：12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数α得：()(2214x y -+-=，即2220x y x +--=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.∵22cos sin 0ρρθθ--=，4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）∵直线l ：cos sin x t y t ϕϕ=⎧⎨=⎩的极坐标方程为θϕ=，当θϕ=时4cos 3πρϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即：cos 3πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵36ππϕ-=或36ππϕ-=-. ∵2ϕπ=或6π=ϕ， ∵直线l 的倾斜角为6π或2π. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知()|2|f x x =-.（1）解不等式()1(2)f x f x +>；（2）若()1f m ≤，(2)2f n ≤，求21m n --的最大值，并求此时实数,m n 的取值. 【解析】（1）原不等式等价于|x ﹣2|+1＞2|x ﹣1|， 故或或，解得﹣1＜x ＜，故不等式的解集是（﹣1，）；（2）由题意得：f （m ）=|m ﹣2|≤1，f （2n ）=|2n ﹣2|≤2， ∵|n ﹣1|≤1，∵|m ﹣2n ﹣1|=|（m ﹣2）﹣2（n ﹣1）﹣1|≤|m ﹣2|+2|n ﹣1|+1≤4， 当且仅当时，|m ﹣2n ﹣1|取最大值4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭L ，x ∈R .（1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.【解析】（1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==；（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!kk n n n n k kn n k n k k n k ---===---，当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑；当2n ≥时，0021()()C ()()33nnkk n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333nn kn k k k n k knnk k n k --===-∑∑ 1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑11212()3333n n n n -=-+=，当1n =时，也符合.所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n .23．某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N 人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这个k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验，这时k 个人的检验次数为1k +次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p . （∵）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若0.1p =，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（∵）设ξ为k 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数. ∵当5k =，0.1p =时，求ξ的分布列；∵是运用统计概率的相关知识，求当k 和p 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数. 【解析】（∵）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件A ：3人中恰有1人检测结果为阳性，则其概率()1230.10.90.243P A C =⋅⋅=（∵）∵当5K =，0.1P =时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为50.9，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为510.9-，则每人所检验的次数为65次，故ξ的分布列为∵分组时，每人检验次数的期望如下()11k P P k ξ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1111k P P k ξ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭∵()()()111111111k k k E P P P k k k ξ⎛⎫⎡⎤=⋅-++--=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需()1111kPk--+< 即 1P ->所以当1P ->时，用分组的办法能减少检验次数.。