暑假空课(三)平面向量的几何运算(试题版)
第一节
韦倩
平面向量的几何运算
规定：零向量与任一向量________． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法
求两个向量________的运 算
____________法则
(1)加法交换律： a＋b＝______； (2)加法结合律： (a＋b)＋c＝_______
__________法则 a－ b＝ ________ ____________法则 实数λ与向量 a 的积是一个 ______，这种运算叫向量 的数乘，记作________ (1)|λa|＝________ (2)当λ>0 时，λa 与 a 的方 向________；当λ<0 时， λa 与 a 的方向________； 当λ＝0 时，λa＝________ (1)对向量加法的分配 律： λ(a＋b)＝__________； (2)对实数加法的分配 律： (λ1＋λ2)a＝__________
减法
减去一个向量相当于加上 这个向量的________
数乘
3.向量的共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一的实数λ，使________． 三点共线的条件：A，B，C 三点共线的充要条件是对不在直线 AB 上的任意一点 O， → → → → → 存在实数 t 使得 OC ＝ tOA ＋ (1 － t) OB，或 OC ＝ λOA ＋ ＝1. 二、典型例题 【例 1】 如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 Cb 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线； ②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点； ③向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 其中正确结论的序号是________． → → → 8、设 G 为△ABC 的重心，且 sin A·GA＋sin B·GB＋sin C·GC＝0，则 B 的大小为 9、在 ABC 中，若 AB AC AB AC ，AB 2, AC 1, E , F 为 BC 边的三等分点， 则 AE AF = ________ 10、如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，点 P 是△CDE 内(包括边界) 的一个动点，设 AP AF AB , R ，则 的取值 范围是
【例 2】
已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
→ → AB AC → → OP＝OA＋λ( ＋ )， λ∈[0， ＋∞)， 则 P 点的轨迹一定通过△ABC → → |AB|sin ∠ABC |AC|sin ∠ACB 的( ) A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
三、基础夯实 → → 1、设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC＝3CD，则( → 1→ 4→ A.AD＝－ AB＋ AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD＝ AB＋ AC 3 3 )
→ 1→ 4 → B.AD＝ AB－ AC 3 3 → 4→ 1 → D.AD＝ AB－ AC 3 3
→ → → → → → 2、已知△ABC 和点 M 满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数 m 使得AB＋AC＝m AM成立， 则 m ＝( A ．2 ) B．3 C．4 D．5
数学（理）暑假空课（三） 第六章 平面向量
刘攀 一、知识梳理 1．向量的有关概念及表示 名称 向量 定义 在平面中，既有________又有________ 的量 向量 a 的________，也就是表示向量 a 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 相等向量 相反向量 → 的有向线段AB的________(或称模) 长度为______的向量 长度等于______个单位的向量 方向________或相反的非零向量(或称 共线向量) ________相等且方向________的向量 ________相等，方向________的向量 ___或______ 用______表示 用 e 表示，|e|＝ ________ a∥b a＝b 向量 a 的相反向量是________ 表示 → → 用 a，b，c，…或AB， BC，…表示
E，使得
→ DE＝CD.若动点 P 从点 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点，其中AP＝ → → λAB＋μAE.下列叙述正确的是( )
A．满足λ＋μ＝2 的点 P 必为 BC 的中点 B．满足λ＋μ＝1 的点 P 有且只有一个 C．λ＋μ的最大值为 3 D．λ＋μ的最小值不存在
→ 3→ → → → 5、在△ABC 中，点 D 满足BD＝ BC，当 E 点在线段 AD 上移动时，若AE＝λAB＋μAC， 4 则 t＝(λ－1)2＋μ2 的最小值是( A. 3 10 10 B. 82 4 ) C. 9 10 41 D. 8
→ → 6、已知△ABC 的面积为 2，在△ABC 所在的平面内有两点 P，Q，满足PA＋PC＝0， → → QA＝2BQ，则△APQ 的面积为( A. 1 2 B. 2 3 ) C．1 D．2
→ 1→ → 1→ → → 13、如图所示，在△ABO 中，OC＝ OA，OD＝ OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OA＝a，OB 4 2 → ＝b.试用 a 和 b 表示向量OM.
→ → 3、a，b 是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则 A，B，C 三点共线 的充要条件为( ) A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1 C．λ1·λ2＋1＝0 D．λ1·λ2－1＝0
→ 4、如图所示，A，B 分别是射线 OM，ON 上的两点(不与 O 点重合)，给出下列向量：①OA → 1→ 1→ 3→ 1→ 3→ 1→ 3→ 1→ ＋2OB；② OA＋ OB；③ OA＋ OB；④ OA＋ OB；⑤ OA－ OB.若这些向量均以 O 为 2 3 4 3 4 5 4 5 起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤ )
→ → → 12、 (1)设两个非零向量 e1，e2 不共线，如果AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2， 求证：A，B，D 三点共线． → → → (2)设 e1，e2 是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的值．
uuu r uuu r
uuu r uuu r
uuu r uuu r
→ → → 1→ → 11、(1)在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若AD＝2DB，CD＝ CA＋λCB，求λ的值 3 → → (2)在△ABC 中， 点 D 在线段 BC 的延长线上， 且BC＝3CD， 点 O 在线段 CD 上(与点 C， → → → D 不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，求 x 的取值范围
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.在平面直角坐标中，的三个顶点A、B、C，下列命题正确的个数是（）（1）平面内点G满足，则G是的重心；（2）平面内点M满足，点M是的内心；（3）平面内点P满足，则点P在边BC的垂线上；A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对（2），M为的外心，故（2）错.对（3），，所以点P在的平分线上，故（3）错.易得（1）正确，故选B.【考点】三角形与向量.2.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示3. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.4.在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为．【答案】6【解析】根据题意可得：，则，化简得：，解得：．【考点】向量的运算5.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【答案】C【解析】∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）•（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C6.在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设＝x，＝y (xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．【答案】【解析】因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以＝＝ ( ＋)．又＝，＝，所以＝＋.因为M、E、N三点共线，所以＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)7.已知=（2,0），，的夹角为60°，则．【答案】【解析】.【考点】向量的基本运算.8.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.9.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在方格纸上作出，如下图，则容易看出，故选D.【考点】1.向量的加法运算.10.在中，已知是边上的一点，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，即，解得，，故选A.【考点】平面向量的线性表示11.设点为三角形ABC的外心，则．【答案】【解析】出边AB，AC的垂线，利用向量的运算将用表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．解：过O作OS⊥AB，OT⊥AC 垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，则=【考点】向量的运算法则点评：本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义．12.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在上的射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA + AB + AC =" 0" 且| OA |="|" AB |，对于 OA + AB + AC =" 0" ⇔ OB =" CA" ，所以可以得到图形为：因为 CA =" OB" ，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于| OA |="|" AB |，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60°的菱形，所以向量 CA 在 CB 方向上的投影为：| CA |cos＜ CA ， CB ＞=2×cos30°= 故选：A13.设向量，若a//b，则实数t的值是_______.【答案】 9【解析】考查平面向量的坐标运算及共线性质。
高一数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高一数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.如图，是△的边的中点，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】平面向量的运算.2.在ABCD中，错误的式子是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据平行四边形法则知，错误的为.在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如，在向量的减法运算中，两向量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如，对于选项，利用平行四边形法则结合图像可得.【考点】平面向量的加减.3.已知为平行四边形，若向量，，则向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的减法4.（本小题满分12分）已知向量，，设与的夹角为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用向量数量积公式求，在代入公式求解。
（Ⅱ）先求和的坐标，因为，所以，再利用数量积公式求。
试题解析：（Ⅰ），所以，因此（Ⅱ）由得解得：【考点】向量的数量积公式，和两向量垂直则两向量数量积为05. +-等于( )A．2B．3C．D．【答案】A【解析】【考点】向量加减法点评：向量加减法常借助于三角形法则求解，向量加法：将向量首尾相接，由最初的起点指向最末的中点，向量减法：将起点放到一起，连接终点，方向指向被减向量6.化简下列式子：其结果为零向量的个数是（）①；②；③；④A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】对于①成立，对于②,对于③=,对于成立，故答案为D.【考点】向量的加减法点评：主要是考查了向量的加减法法则运用，属于基础题。
7.已知两个非零向量试判断三点的位置关系.【答案】三点共线.【解析】根据已知条件可知，，那么可知,则说明向量,有一个公共点，故可知三点共线。
【考点】证明三点共线点评：解决的关键是根据向量的共线来郑敏，属于基础题。
8.在中，有命题①；②；③若，则为等腰三角形；④若，则为锐角上述命题正确的是（）A①② B①④ C②③ D②③④【答案】D【解析】对于在中，有命题对于①；根据减法运算可知，结论为,错误。
(完整版)平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1．AC DB CD BA 等于________．2．若向量a＝（ 3，2）， b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．平面上有三个点A（ 1，3），B（ 2，2），C（ 7，x），若∠ ABC ＝90°，则 x 的值为 ________．4.向量 a、b 知足 |a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________．5．已知向量 a＝（ 1， 2）， b＝（ 3， 1），那么向量 2a－1b 的坐标是 _________．26．已知 A（－ 1， 2），B（ 2， 4）， C（4，－ 3）， D （ x，1），若AB与CD共线，则 | BD |的值等于 ________．7．将点 A（ 2， 4）按向量 a＝（－ 5，－ 2）平移后，所获得的对应点A′的坐标是 ______．8.已知 a=(1, －2), b =(1,x), 若 a⊥b,则 x 等于 ______9.已知向量 a, b 的夹角为120，且 |a|=2,| b |=5,则（ 2a- b）· a=______10.设 a=(2, － 3), b =(x,2x), 且 3a· b =4, 则 x 等于 _____11.已知 AB( 6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥DA，则x+2y的值为_ ____12.已知向量a+3 b, a-4 b 分别与 7a-5 b,7a-2 b 垂直，且 |a|≠ 0,| b |≠ 0，则 a 与 b 的夹角为 ____uuur uuur uuur13．在△ ABC中， O 为中线 AM 上的一个动点，若AM=2 ，则OA OB OC 的最小值是.14．将圆x2y 2 2 按向量v=（2，1）平移后，与直线 x y0 相切，则λ的值为.二．解答题。
15．设平面三点A（ 1， 0）， B（ 0，1）， C（ 2， 5）．（1）试求向量 2 AB＋AC的模；（2）试求向量AB 与 AC 的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a=( sin,cos)（R ）,b=(3,3 )（1）当为什么值时，向量a、b 不可以作为平面向量的一组基底1（2）求 |a －b|的取值范围17．已知向量 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb(t ∈R)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a 、 b 共线同向时，求证b 与 a+tb 垂直18. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，试求 OD OA OC 时,OD 的坐标 .19.将函数 y= － x 2 进行平移， 使获得的图形与函数 y=x 2－ x － 2 的图象的两个交点对于原点 对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数分析式 .20.已知平面向量 a( 3, 1), b (1, 3).若存在不一样时为零的实数k 和 t,使2 2x a (t 23)b, y ka t b, 且 x y.（ 1）试求函数关系式 k=f （ t ）（ 2）求使 f （ t ）>0 的 t 的取值范围 .21 11. 02.（－ 3，－ 4）3.74.90°5.（ 2 ， 3 2 ）．6.73 ． 7.（－ 3， 2）．8.－ 29.12110. 311.012. 90 ° 13.214.1或 515. （ 1）∵AB ＝（ 0－ 1， 1－0）＝（－ 1， 1）， AC ＝（ 2－ 1， 5－ 0）＝（ 1，5）．∴ 2 AB ＋ AC ＝ 2（－ 1， 1）＋（ 1， 5）＝（－ 1， 7）．∴ |2AB ＋ AC |＝ ( 1)2 72 ＝ 50．（2）∵ | AB |＝( 1)212＝ 2 ．|AC |＝ 12 52 ＝ 26 ，AB ·AC ＝（－ 1）× 1＋ 1×5＝ 4．AB AC4 2 13∴ cos ＝ | AB | | AC | ＝ 226＝ 13 ．（3）设所求向量为m ＝（ x ， y ），则 x 2＋ y 2＝ 1． ①又 BC ＝（ 2－ 0， 5－ 1）＝（ 2，4），由 BC ⊥ m ，得 2 x ＋ 4 y ＝ 0．②x 2 5x －2555y5 ． y5 ．2 55 2 555 55）或（－ 55）即由①、②，得 5 或 ∴ （ ，－，为所求．16．【解】（1）要使向量 a 、 b 不可以作为平面向量的一组基底，则向量 a 、 b 共线3sin3 cos30 tan∴3k(k Z ) k(kZ ) 故6，即当6基底时，向量 a 、b 不可以作为平面向量的一组（2） | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin3cos )而 2 33 sin3cos2 3∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1317．【解】（1）由 ( a tb) 2| b |2 t 22a bt| a |2t2a b| a |cos(是a与b的夹角）当2 | b |2| b |时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值| a |t（2）当 a、 b共线同向时，则0，此时| b |∴ b (a tb) b a tb2b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0∴b⊥ (a+tb)18．解：设OC(x, y),OC OB OCOB 0 2 y x0①又BC // OA,BC(x1, y2)3( y 2)( x 1) 0即：3y x7②x14,联立①、②得y710分OC(14,7),于是 OD OC OA(11,6) .19．解法一：设平移公式为x x hy y k 代入 y x2，获得y k( x h) 2 .即 y x22hx h 2k ，把它与 y x 2x2联立，y x 22hx h 2k得yx 2x 2设图形的交点为（x1， y1），（ x2， y2），由已知它们对于原点对称，x1x2即有：y1y2 由方程组消去y得：2x2(12h) x 2 h 2k 0.4x 1 x 21 2h且x 1x 20得h1 . 由22又将（x 1, y1 ），( x 2, y 2 )分别代入①②两式并相加，得： y 1 y 2x 12 x 22 2hx 1 x 2 h 2 k 2.0 (x 2x 1 )( x 2x 1 ) (x 1x 2 ) 1 k 2k9.a ( 1 , 9)4. 解得42 4 .xx12y y9x2得： yx 2平移公式为：4 代入 yx2 .解法二：由题意和平移后的图形与y x 2x2交点对于原点对称，可知该图形上全部点都能够找到对于原点的对称点在另一图形上，所以只需找到特点点即可.y x2x2的极点为(1, 9)1 , 924 ，它对于原点的对称点为 （ 2 4 ），即是新图形的极点 .因为新图形由 yx 2h1 0 1, k 99平移获得， 所以平移向量为22 44 以下同解法一 .20．解：（ 1）xy, x y 0.即[( at 2 3)b]( k a tb)0.a b0, a 221,4k t(t23) 0,即k1t(t 23).4,b1t (t 24（ 2）由 f(t)>0, 得3) 0,即t (t3)(t3)0,则3t 0或t3.45。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示2.下列关于向量的命题，正确的是（）A．零向量是长度为零，且没有方向的向量B．若=﹣2（a≠0），则是的相反向量C．若=﹣2，则||=2||D．在同一平面上，单位向量有且仅有一个【答案】C【解析】A中，零向量的长度为零，方向是任意的，∴命题错误；B中，相反向量是模长相等，方向相反的向量，∴命题错误；C中，当=﹣2时，||=2||，∴命题正确；D中，单位向量是模长为1的向量，在同一平面上，单位向量有无数个，∴命题错误；故选：C．3.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【答案】C【解析】∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）•（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C4.向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ、μ∈R)，则＝________．【答案】4【解析】以向量a、b的交点为原点作直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb＝λ(－1，1)＋μ(6，2)则＝4.5.已知和点满足．若存在实数使得成立，则=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】试题分析:，因此k=3．故选B．.【考点】向量的加法及其几何意义.6.已知，，则向量与的夹角为 .【答案】【解析】∵，，∴，即，∴，∴.【考点】1.向量的运算；2.向量的夹角.7.在中，已知，则||的值为（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】由可知为以,设AB中点为D，可知,由，,可得,故选B.【考点】1.向量的加减运算；2.向量的数量积；3.向量的模8.已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足＝2，则·＝．【答案】【解析】,于是.【考点】平面向量基本运算.9.中，为角平分线，为的中点，交于，若，且，，用、表示，，【答案】，，【解析】根据角平分线的性质可知,从而可得，再利用,，再确定时，可以利用,,从而表示出解：由角平分线定理得,，解得，10.设的斜边中点，若,则的值是A．1B．2C．-1D．-2【答案】D【解析】解：因为设的斜边中点，若,则,选D11.如图在平行四边形中，已知，，，E为的中点，则A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为在平行四边形中，已知，，，E为的中点，则12.若O是∆ABC所在平面上任一点,且满足:,则动点P的轨迹必经过∆ABC的A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【解析】，AD是BC边中线，故动点P的轨迹必经过∆ABC的重心。
平面向量的运算 练习(含答案)
6.2平面向量的运算练习一、单选题1．化简OP PS QS +-的结果等于（ ）． A ．QPB ．OQC ．SPD ．SQ2．如图，M 在四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，且13MN OM =，设OA a =，OB b =，OC c =，则下列向量与AN 相等的向量是（ ）A ．1133a b c -++B ．1133a b c ++C ．1166a b c -++D ．1166a b c ++3．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AD BC =，则下面互为相反向量的是（ ）A ．AC 与CBB ．OB 与ODC ．AB 与DCD ．AO 与OC4．已知平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AC 与BE 相交于点F ，若EF xAB y AD =+，则（ ）A ．11,36x y ==-B ．11,24x y ==-C ．11,33x y ==-D ．11,23x y ==-5．()()32a b a b a +---=（ ） A ．5aB ．5bC ．5a -D ．5b -6．已知向量a ，b 不共线，若2AB a b =+，37BC a b =-+，45CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线7．已知向量a 、b 满足2a =，5b =，且a 与b 夹角的余弦值为15，则()()23a b a b +⋅-=（ ） A ．30-B ．28-C ．12D ．728．如图，在ABC 中，12AN NC =，P 是BN 上的一点，若1139AP m AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（ ）A ．19B ．29C ．23D ．13二、多选题9．如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是A ．AB AD AC += B ．AC CD DO OA ++= C ．++=AB AC CD ADD ．0AC BA DA ++=10．如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF DB -等于（ ）A ．FDB ．EC C ．BED ．DF11．在ABC 中，12,33AE AB AD AC ==，记,BC a CA b ==，则下列结论中正确的是（ ） A ．()13AE a b =-- B ．AD b =-C ．()13DE b a =- D ．AB a b =+12．设a ，b ，c 是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b a b +=-，则a b ⊥ B ．若a b =，则()()a b a b +⊥- C ．若a c b c ⋅=⋅，则a b -不与c 垂直D ．()()b c a a c b ⋅-⋅不与c 垂直三、填空题13．在ABC 中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点，则AE DB -=___________. 14．下列四个等式：①a ＋b ＝b ＋a ；①－(－a )＝a ；①AB ＋BC ＋CA ＝0；①a ＋(－a )＝0. 其中正确的是______(填序号)．15．已知a ，b 是不共线的向量，OA a b λμ=+，32OB a b =-，23OC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ，μ满足__________．16．已知m 、n 是夹角为120°的两个单位向量，向量()1a tm t n =+-，若n a ⊥，则实数t =______．四、解答题17．如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG EA CB ++； (2)EG CG DA EB +++.18．化简：(1)BA BC-；(2)AB BC AD+-；(3)AB DA BD BC CA++--．19．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个三等分点(靠近点B)，设AB=a→，AO=b→.（1）用向量a→与b→表示向量OC;（2）若35OE OA=，判断C，D，E是否共线，并说明理由.20．已知2,3,,a b a b ==的夹角为60︒，53,3c a b d a kb =+=+，当实数k 为何值时， (1)→→d//c(2)c d ⊥21．已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，22b =． (1)求a b ⋅，()(2)a b a b +⋅-； (2)求a b +；(3)a 与a b +的夹角的余弦值．22．已知向量,,a b c 满足：2a =，()R c a tb t =-∈，,3a b π=．(1)若1a b ⋅=，求b 在a 方向上的投影向量； (2)求||c 的最小值．答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D 9．AD 10．BCD 11．AC 12．AB 13．AF 14．①①①① 15．513λμ+=. 16．2317．（1）DG EA CB GC BE CB GB BE GE +++++===； （2）0EG CG DA EB EG GD DA AE ED DE ==+=++++++. 18．(1)BA BC CA -=.(2)AB BC AD AC AD DC +-=-=.(3)AB DA BD BC CA AB BD AD AC CB AD AD AB AB ++--=+-++=-+=. 19．解(1)①AB =a →，AO =b →，点A 是BC 的中点，∴AC =-a →.①OC OA AC =+=-a →-b →. (2)假设存在实数λ，使CE =λCD .①CE CO OE =+=a →+b →+35(-b →)=a →+25b →，11(33CD CB BD CB BO CB BA AO =+=+=++)=2a →+13(-a →+b →)=53a →+13b →，①a →+25b →=λ5133a b →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，①5131235λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，此方程组无解， ①不存在实数λ，满足CE =λCD . ①C ，D ，E 三点不共线. 20．（1）若→→d//c ，得c d λ=，即53(3)a b a kb λ+=+，即35,3,k λλ=⎧⎨=⎩解得53λ=，95k =．（2）若c d ⊥，则0c d ⋅=，即53)(3)0(a b a kb +⋅+=，得()22159530k k ++⋅+=a a b b ， ()115495233902k k ⨯++⨯⨯⨯+⋅=，解得2914k =-． 21．（1）已知向量a 与b 的夹角3π4θ=，且3a =，22b =，则3πcos364a b a b ⎛⋅=⋅⋅=⨯=- ⎝⎭， 所以()22()(2)296281a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=---⨯=-；（2）()(222292a b a b a ab b +=+=+⋅+=+⨯-（3）a 与a b +的夹角的余弦值为()296cos ,535a a baa ba ab a a ba a b⋅++⋅-+====⨯⋅+⋅+ 22．（1）由数量积的定义可知：cos ,a bb a b a⋅=，所以b 在a 方向上的投影向量为： 11||cos ,||||||224a ab a a b a b a a a a ⋅<>=⋅=⋅=； （2）()()2222c a tb a tb a ta b tb =-=-=-⋅+又2a =，,3a b π=，所以()224c t bt b =-+令R x t b =∈所以22c x =-=所以当1x t b ==时，c 取到最小值为。
平面几何中的向量方法练习题
6．4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法一、 单项选择题1. 在Rt △ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 外的一点，点P 满足OP →＝OA→＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|等于( ) A. 2 B. 1 C. 12 D. 42. 设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC→|，则|AM →|等于( ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 13. 在△ABC 中，已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，0)，则角A 的大小为( ) A. π6 B. π3 C. π2 D. π44. 已知四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 的形状是( )A. 平行四边形B. 空间四边形C. 等腰梯形D. 矩形5. (2023濮阳高一期末)已知O ，G ，P 为△ABC 所在平面内的点，且|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，GA →＋GB →＋GC →＝0，(P A →＋PB →)·AB →＝(PB →＋PC →)·BC →＝(PC →＋P A →)·CA→＝0，则点O ，G ，P 分别为△ABC 的( ) A. 垂心，重心，外心 B. 垂心，重心，内心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，垂心，重心6. 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为( )A. 1B. 32 C. 14 D. 12二、 多项选择题7. (2023浙江大学附属中学高一期中)已知O 是△ABC 所在平面内一点，则下列结论中正确的是( )A. 若(AB→＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形 B. 若OA→＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的外心 C. 若AB→·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形 D. 若OA→·BC →＝0，OB →·AC →＝0，则OC →·AB →＝0 8. 已知a ，b 是平面上夹角为π3的两个单位向量，c 在该平面上，且(a －c )·(b －c )＝0，则下列结论中正确的有( )A. |a ＋b|＝1B. |a －b|＝1C. a ＋b 与c 不可能垂直D. |c |<3 三、 填空题9. 已知矩形ABCD 的边长满足BC ＝3AB ，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则cos ∠DP A 的值为________．10. 已知在△ABC 中，|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则△ABC 的形状是________________．11. (2023滁州高一联考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，AC 与BD 的交点为M ，N 为边AB 上任意一点(包含端点)，则MB→·DN →的最大值为________．12. (2023深圳高一期中)青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图1是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图2中正六边形的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则MA→·MB →的取值范围是________．四、 解答题13. (2023贵阳民族中学高一阶段练习)如图，矩形ABCD 的顶点A 与坐标原点重合，点B ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，AB ＝4，AD ＝2，E 为AB 上一点．(1) 若DE ⊥AC ，求AE 的长；(2) 若E 为AB 的中点，AC 与DE 的交点为M ，求cos ∠CME 的值．14. (2023上海进才中学高一期末)如图，已知在△ABC 中，M 是BC 边上靠近点B 的四等分点，点N 在AB 边上，且AN →＝NB →，设AM 与CN 相交于点P ，记AB→＝m ，AC →＝n . (1) 用m ，n 表示向量AM→；(2) 若|n |＝2|m |，设m ，n 的夹角为θ，若cos θ＝14，求证：CN→⊥AB →.【答案解析】6．4 平面向量的应用 6．4.1 平面几何中的向量方法1. B 解析：因为OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，所以OP →－OA →＝12(AB →＋AC →)，即AP →＝12(AB →＋AC →)，所以AP 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，所以|AP →|＝1.2. C 解析：因为|BC →|2＝16，所以|BC →|＝4.因为|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2，所以AB →·AC →＝0，所以AB →⊥AC →.又因为M 是BC 的中点，所以|AM →|＝12|BC →|＝2.3. D 解析：由题意，得AB →＝(3，1)，AC →＝(2，－1)，AB →·AC →＝6－1＝5.又|AB →|＝10，|AC →|＝5，所以cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝55×10＝22，所以A ＝π4.4. A 解析：因为AO →＋OB →＝DO →＋OC →，所以AB →＝DC →，所以AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．5. A 解析：由|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2，得|OA →|2－|OB →|2＝|CA →|2－|BC →|2，即(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝(CA →＋BC →)·(CA →－BC →)，则(OA →＋OB →)·BA →＝BA →·(CA →＋CB →)，得(OA →＋OB →－CA →－CB →)·BA →＝0，所以2OC →·BA →＝0，则OC →⊥AB →，同理可得OA →⊥BC →，OB →⊥AC →，即O 是△ABC 三边上高的交点，则点O 为△ABC 的垂心．由GA →＋GB →＋GC →＝0，得GA →＋GB →＝－GC →，设AB 的中点M ，则GA →＋GB →＝2GM →＝－GC →，即G ，M ，C 三点共线，所以点G 在△ABC 的中线CM 上，同理可得点G 在△ABC 的其余两边的中线上，即G 是△ABC 三边中线的交点，故点G 为△ABC 的重心．由(P A →＋PB →)·AB →＝0，得2PM →·AB →＝0，即PM →⊥AB →，又M 是AB 的中点，所以点P 在AB 的垂直平分线上，同理点P 在BC ，AC 的垂直平分线上，即P 是△ABC 三边垂直平分线的交点，故点P 是△ABC 的外心．6. D 解析：由题意，得AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝(AB →＋AD →)·(AD →－12AB →)＝|AD →|2＋12|AB →||AD →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋14|AB →|－12|AB →|2＝1，解得|AB →|＝12，即AB ＝12. 7. AD 解析：由(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，得|AB →|2＝|AC →|2，即|AB →|＝|AC →|，故A 正确；取BC 的中点D ，连接OD ，由OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝2OD →＝－OA →，所以O 为△ABC 的重心，故B 错误；由AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos (π－B )<0，得cos (π－B )<0，所以π－B 为钝角，B 为锐角，角A 与角C 不一定为钝角，△ABC 不一定为钝角三角形，故C 错误；由OA →·BC →＝0，OB →·AC →＝0，得OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，所以点O 为△ABC 的垂心，所以OC →·AB →＝0，故D 正确．故选AD.8. BCD 解析：因为a ，b 是平面上夹角为π3的两个单位向量，所以设AB →＝a ，AC →＝b ，建立如图所示的平面直角坐标系，AP →＝c ，则a －c ＝PB →，b －c ＝PC →，由(a －c )·(b －c )＝0，得PB →·PC →＝0，所以点P 在以BC 为直径的圆上．易得|a ＋b |＝3，故A 错误；|a －b |＝|BC →|＝1，故B 正确；a ＋b 与c 的夹角为锐角，所以a ＋b 与c 不可能垂直，故C 正确；|AP →|的最大值为12＋32<3，故D 正确．故选BCD.9. －513 解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设BC ＝3AB ＝3，则点A (0，0)，B (1，0)，C (1，3)，D (0，3)，则AP →＝12(AB →＋AC →)＝12(1，0)＋12(1，3)＝⎝⎛⎭⎫1，32，则点P ⎝⎛⎭⎫1，32，所以PD →＝⎝⎛⎭⎫－1，32，P A →＝⎝⎛⎭⎫－1，－32，所以|PD →|＝(－1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝132，|P A →|＝132，P A →·PD →＝－1×(－1)＋32×⎝⎛⎭⎫－32＝－54，所以cos ∠DP A ＝P A →·PD →|PD →||P A →|＝－54134＝－513.10. 等边三角形 解析：因为AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝8，所以cos A ＝12，所以A ＝60°.又因为|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等边三角形．11. 10 解析：令AN →＝λAB →，λ∈[0，1]，则DN →＝DA →＋AN →＝λAB →－AD →，MB →＝12DB →＝12(AB→－AD →)，所以MB →·DN →＝12(AB →－AD →)·(λAB →－AD →)＝12[λ|AB →|2－(1＋λ)AB →·AD →＋|AD →|2]＝8λ＋2，所以当λ＝1时，MB →·DN →取最大值，最大值为10.12. [2，3] 解析：连接AB ，OM ，则MA →·MB →＝(MO →＋OA →)·(MO →＋OB →)＝MO →2＋MO →·OA →＋MO →·OB →＋OA →·OB →＝|MO →|2＋MO →·(OA →＋OB →)－1＝|MO →|2－1.根据图形可知，当点M 位于正六边形各边的中点时，|MO →|有最小值为3，此时|MO →|2－1＝2；当点M 位于正六边形的顶点时，|MO →|有最大值为2，此时|MO →|2－1＝3，故2≤MA →·MB →≤3，即MA →·MB →的取值范围是[2，3].13. (1) 由题意，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，2)，C (4，2)， 设E (x ，0)(0≤x ≤4)，则DE →＝(x ，－2)，AC →＝(4，2). 因为DE ⊥AC ，所以DE →·AC →＝4x －4＝0，即x ＝1， 故AE 的长为1. (2) 若E 为AB 的中点， 则E (2，0)，DE →＝(2，－2)，所以cos ∠CME ＝cos 〈AC →，DE →〉＝AC →·DE →|AC →|·|DE →|＝422×25＝1010.14. (1) 由题意，得BM →＝14BC →＝14(n －m )，所以AM →＝AB →＋BM →＝m ＋14(n －m )＝34m ＋14n .(2) 由题意，得CN →＝CA →＋AN →＝－AC →＋12AB →＝12m －n .因为|n |＝2|m |，cos θ＝14，所以m ·n ＝|m |·|n |·cos θ＝12|m |2，所以CN →·AB →＝⎝⎛⎭⎫12m －n ·m ＝12m 2－n ·m ＝12|m |2－12|m |2＝0，所以CN →⊥AB →.。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.已知平面向量，，且∥，则．【答案】【解析】∵∥，∴，∴，∴，∴.【考点】向量平行的充要条件、向量的模.2.在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为．【答案】6【解析】根据题意可得：，则，化简得：，解得：．【考点】向量的运算3.如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．【答案】【解析】由B、H、C三点共线，可令＝x＋(1－x) ，又M是AH的中点，所以＝＝x＋ (1－x) .又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝x＋ (1－x)＝.4.向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ、μ∈R)，则＝________．【答案】4【解析】以向量a、b的交点为原点作直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb＝λ(－1，1)＋μ(6，2)则＝4.5.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为是的中点,,所以，==，＝,故选C.【考点】1、向量的加法，减法几何运算；2、向量共线.6.已知三个内角A，B，C所对的边，若且的面积，则三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．有一个为的等腰三角形【答案】C．【解析】由知中的平分线垂直边BC，所以，再由，故是等腰直角三角形，故选C．【考点】1．向量垂直的充要条件；2．三角形形状的判断；3．求三角形面积公式．7.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.8.在所在的平面上有一点，满足, 若的面积为, 则的面积为【答案】4【解析】因为，所以的面积等于的面积，所以面积等于4.【考点】1.向量的线性运算；2.三角形面积的求法.9.（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，则λ=．【答案】2【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴+=，又O为AC的中点，∴=2，∴+=2，∵+=λ，∴λ=2．故答案为：210.给出下列命题中:①向量满足，则与的夹角为；②是的夹角为锐角的充要条件；③将函数的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式为，其中正确的命题有_______。
高一数学平面向量的几何运算试题答案及解析
高一数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.已知为平行四边形，若向量，，则向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的减法2.（1）化简（2）如图，平行四边形中，分别是的中点，为与的交点，若=，=，试以，为基底表示、、．【答案】（1）；（2），，．【解析】（1）根据向量加法的三角形法则，可得到；在中，可得，在中，可得，在中，由条件可得为其重心，因此．（1） 3分；（2） 6分9分是的重心， 12分．【考点】1．向量加法的三角形法则；2．向量的减法运算．3.化简得（）A．B．C．D．【答案】【解析】【考点】向量的三角形法则.4.如图BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且,若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则的值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】因为,同理可得所以,根提题意知,所以.【考点】三角形法则的应用.5.已知平行四边形，是的中点，若，则向量= （用向量表示）．【答案】【解析】在三角形中,将所求向量表示成已知向量的和与差,利用平几性质将共线向量等价转化是解题关键.【考点】向量三角形法则,6.在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点,若，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，与相似，且相似比为，所以,由向量加减法的平行四边形法则可知，，解得，，由向量加法的三角形法则可知，,故D正确。
【考点】平面向量的加减法7.已知向量，若，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，解得，即，所以，，所以【考点】向量共线数量积公式，向量加减法坐标公式8.化简下列式子：其结果为零向量的个数是（）①；②；③；④A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】对于①成立，对于②,对于③=,对于成立，故答案为D.【考点】向量的加减法点评：主要是考查了向量的加减法法则运用，属于基础题。
9.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示( )A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】本题充分体现向量的大小和方向两个元素，根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理做向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行km，故选A．【考点】向量的加法几何意义点评：本题考查向量的几何意义，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．10.如图.点M是的重心,则为（）A．B．4C．4D．4【答案】D【解析】点M是的重心，所以有点是中点，【考点】向量的加减法点评：向量的加减法运算遵循平行四边形法则，三角形法则，加法：将两向量首尾相接由起点指向中点；减法：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量11.D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵D、F分别是三边BC、AB中点，∴，∴，故选A【考点】本题考查了向量的运算点评：熟练掌握向量的概念及运算是求解此类问题的关键，属基础题12.设不共线，则下列四组向量中不能作为基底的是（）A．与B．与C．与D．和【答案】B【解析】∵=-2（），∴（）∥（），故与不能作为基底，故选B【考点】本题考查了基底的概念点评：熟练掌握基底的概念及共线向量的判定是求解此类问题的关键，属基础题13.下列计算正确的有（）个①②③A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据向量的运算法则可知：式子①，正确；②，正确，式子③，∴正确的由2个，故选C【考点】本题考查了向量的运算法则点评：熟练掌握数乘向量的概念及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题14.已知||=3,||=4,向量+与－的位置关系为（）A．平行B．垂直C．夹角为D．不平行也不垂直【答案】B【解析】因为||=3,||=4,所以（+）·（－）==0，即向量+与－的位置关系为垂直，选B。