10313平面向量的概念与几何运算答案
第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算一、基础概念：1、向量的的概念）向量：既有大小又有方向的量叫向量。
要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代（1数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。
0，记作（2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合）。
000的方向是任意的；的区别。
与注意：1的向量叫做单位向量。
（3）单位向量：长度等于.a?b）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。
若向量相等，记作：4（任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。
（5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。
2、平行向量b//a。
任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平两个方向相同或相反的向量，记作：行向量也叫做共线向量。
0规定：与任意向量平行。
．向量的表示方法3B AB1（）始终点法（几何表示法）：如图向量；A a：小写字母加上箭头，如（2）单个字母表示法（代数表示法）从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之中，体现了数形结合的思想。
二、向量的加、减法运算、向量的加法1 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）向量加法的平行四边形法则；（1）则第一将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，）向量加法的三角形法则：（2 个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。
3（、向量加法的性质21aa?b??b（1）向量加法的交换律：；)?c(?(ab)?c?a?b；（2）向量加法的结合律：DC aa??a0?0? 3（）。
、向量的减法3（用加法的逆运算定义向量的减法是向量加法的逆运算AB。
向量的减法）ba与b?ax,?ab?x若叫做。
则的差，记作、求作差向量4ba与b?a，求作向量已知向量。
B;?b,OA?b,OB?a则AB?a O可以表示作法：在平面内取一点，作ab的终点的向量。
的终点指向向量为从向量三、实数与向量的乘积、实数与向量的积1OA??a?a。
它的模与方定义：实数的积是一个向量，记作与非零向量向规定如下：??.aa???（1）??????0.??a?0时,方向相反?0时,?a与a;方向相同(2)0?时,?a与a;??平行.?a与时特点:当?0,a实数与向量积的运算????a()()?a?结合律：；1）（???????.??a?()?)a??a??a,(a?b?b）2分配律：（、单位向量2 定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
a.a?aa;或?aa a设同方向的单位向量，则是非零向量00a、向量平行的充要条件32??.?b?aab平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数与非向量使得????b//a.?,,使b?a?推论：的充要条件是存在实数2211四、应用举例：AB ABCDEF相等的向量的中心为O，则与例1、如图，正六边形EDOD量相等的向是，量的负向是OD。
是。
的平行向量是OCFODAB,,OCED,FO量是的负答：与向相等的向量是CB,,EFDO,OA。
AB OD BC,,FE,AD,DADO,OA,AO,EF,CB等共有与平行的向量是9个。
反思：掌握概念是关键FABC?DF?CD?AB?。
例2、化简FADF??CD?AB?FA?(?BC)AB?DF?CD?BC解：.0?AFFA??DF)?FA?CD?(AC?)?DF?FA?(AD。
“首尾相接”反思：三角形法则，b,a为非零向量，试判断下列各命题的真假？例3、已知??0??a0?的充要条件；（1）是2aa3a3a?2?2与的模是2）的模的的方向相反，且倍。
（3)a b?(a?b)?(互为负向量；（3）与a22?a2aa；的（4）因为2的方向与倍，所以相同，且大小为a）假命题。
）假命题；（421）假命题；（）真命题；（3答：（反思：平时对问题的表述要准确ABCD）如图，在平行四边形（1 中，下列结论中错误的是（）4例、CDAC??ADABAB?DC B）（）（A0?ADCB?BDAD??AB A（C（）D）B解：依照图形分析得答案为（。
C）3?CD）如图所示，（2D是△ABC的边AB上的中点，则向量）（A11BA??BC?BABC? B. A.22D11BABABC??BC D. C. C22B1BABC?CD?CB?BD??解：），选取（A2ba,ab,b,a（3））是两个非零向量，。
分别是的单位向量，则下列命题正确的是（001?b(BA()若则a//b,)a?b若a//,则a?b0000ba?b(D)若a?a 则C()若a?1,a??1,则a?b?或00000）解：（C.的值a与?ab?1,且ab的夹角为60,求?b,a?b）C反思：方法的选择要优化，如第（2）小题D已知5例、（1解：应用余弦定理BA 2223?解得aa由a?b??b?2?abcos?603,?b2221b由a?b?a??2a?bba??解得cos60?1,?MNNCAN?3?ABa,AD?b,ABCD。
_______M）在（2，中，为BC 的组中点，则ba、表示）（用AD1111)?BA?(CB?解:MN?MC?CN?BC?CABC4224N1111.????AB?BC?ba CB4444M反思：数形结合是重要的解题方法CFAD,BE,ABC?为重心，且的中线，6例．如图，分别是G A表示aa?,试用m,mAD?,BC.CF,BE(4))(CA2AB1(),(),3。
EFGCDB41,BD,??a?a,D为BC中点解(1)BC21;am??AB?AD?BD?211;?aAC??m?(2)AC?AD?DC?m?a,CA??22131ma?(3)BE?BC?CE?BC?CA?242113m?BC?AB??a?CB(4)CF??BF?224反思：培养目的性思维是必要的te?d,OE?aOA?,OB?b,OC?c,OD为实数，如果例7、，设已知)?bb?d,e?t(a,3a?c2，t E,C,D 为何值时，那么三点在同一条直线上。
,ad?c?2b?3OC解:CD?OD??,(t?3)a?tba?t(a?b)?c?ta?tb?3?OCCE?OE???.使CD?CECD//CE,即存在常数,?????,tbt?3)a?tb??(t3)?即2b?3aa?(?????.?3)3a)b?(t(2???t?.三点共线恒成立,上式中的C一定存在即.,D,E,a易知当://b,O,AB三点在一直线时6???????,成立则,2?解得t??t3t?3?0?,a当不平行b时要使(2?t)b(?t33)?a成立5;取任何实数b时无论t,C,D,E三点均共线/?当a/6.,,DE三点共线,当不平行当ab时,t?时C5反思：灵活处理共线与平行的关系????OBOAB1,且?设OMOA?OB??求证,M,:A 1、8例（三点共线。
不平行，）已知5????.证明1???1,??????,代入OM??OBOA?将?1O????,OBOA???OMOBOA?(1?OB)???),OBOA?OM?OB??(?,BA即BM?.三点共线,B?A,M BAM反思：如果反过来研究，是否成立？??)?0?DC(BDABC?，若中（如图）（2）在A?ACAB?.AD?求证：??1,?AD?AB;DC?ACADBD?因为证明 ??),AB?AD(AC?BD?DC,所以AD?C??,AC?AB(?1??)AD BD?AC?AB.?AD???1A反思：此题结论与上题是一致的C,B,A O是平面上是平面上一点，、9（2003年江苏高考题）例BC11P足满三点，动点的不共P?AA?????P?,????0,OOP过通定的轨迹则一??ACAB C????DB ABC?）的（）垂心（C）重心（D （A）外心（B）内心????ACAB ACAB??????????AP??OP??OA,??0,??解：，????ACAB ACAB??????。
应选（B）反思：向量与平面几何中的结论是相互结合的不含边(的延长线围成的阴影区域内OM、线段OB及ABP,OM例10、如图∥AB,点在由射线xyOBxOA?OP?;,)界运动且,则的取值范围是61?x?y . 当时, 的取值范围是2,上取ON?AB:解依题意,在射线OM(0,1),?n,由平行四边形法则可令OP?mON?nOB且m?(0,??),nOB?OP?mAB则PBMnOB?(OB?OA)?m,mOB?n)??mOA?(,n?m?令x??m,y,0).??x?则(OP?xOA?yOB,得AO3111).,?(y??n当x??时,2222反思：转化思想在该题中得到了体现。
ba?a?b?a?b?数求函用证例11：明不等式：此结论，并应Ay2254xx?52?x??y?x12?的最大值。
B ba,，则两对角线向量为：解：构造一平行四边形，它的两邻边的向量是xP`PO ba?a?b 两边之差小于第三边可得：利用三角形两边之和大于第三边，，和b?b?aa?b?a?成立。
等号当同向共线或反向共线时取等号。
225??4?52?xy?xx?12x22221)(0?2)??6)??(0?4)(?x?(xx,0)xB(2,1)P(,0)P(xA(6,4),A点的距离的差，上式可以理解为：点其中是轴上的点，与点BA?PBP?BP?AAy?P?x B知可在轴同侧。
由，与点分布2251)2)??(4?y?AB?(6?。
max40km/h20km/h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为例12 某人骑摩托车以时，感到风从东南方向吹来，求实际风向和风速的大小。
a?a；设实际风表示车向西行驶20km/h解：设的速度，在无风时，此人感受到的风速为a?2DB?a?DAb?ab?(b??)?a，实际。
如图，令速为，那么此人感受到的风速为，b ab??CA,?? CDDACA?时，该人感受到的风速为20km/h，，这就是当车的速度为7正南方向吹来的风速。
a2,?CB?b??CD?DBCB为的是当车速度，这就40km/h时，该人感受到的风速，0CBD??,45,CA?BDBA?AD,?CBD?为等腰由题意00,ACD45,??45CB?CD?,?CDA三角形，2b?2020?CD?CB2DA?2??b的方km/h（）, 向是东北方向。
我们掌握了基本概念，熟悉了常见的题型。
重要的是向量的几何表示的通过上述问题的分析，本质是用简单的两个向量来表示更复杂的其它向量。
8。
平面向量教材课后习题答案
平面向量教材课后习题答案平面向量教材课后习题答案随着数学教育的发展，教材的重要性不言而喻。
作为学生来说，教材中的习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
而对于平面向量这一概念来说，习题的解答更是锻炼思维和应用知识的重要手段。
本文将为大家提供一些平面向量教材课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、基本概念题1. 设向量A = (3, 4) ，B = (-2, 5)，求A + B的坐标表示。
答案：A + B = (3 + (-2), 4 + 5) = (1, 9)。
2. 已知向量A = (2, -1)，求A的模长。
答案：|A| = √(2^2 + (-1)^2) = √5。
二、向量运算题1. 设向量A = (3, 4)，B = (-2, 5)，求A - B的坐标表示。
答案：A - B = (3 - (-2), 4 - 5) = (5, -1)。
2. 已知向量A = (2, -1)，求向量A的负向量。
答案：-A = (-2, 1)。
三、向量共线与垂直题1. 设向量A = (1, 2)，B = (2, 4)，判断向量A与向量B是否共线。
答案：向量A与向量B共线，因为它们的坐标成比例关系。
2. 设向量A = (1, 2)，B = (-2, 1)，判断向量A与向量B是否垂直。
答案：向量A与向量B不垂直，因为它们的内积不为0。
A·B = 1*(-2) + 2*1 = 0。
四、向量投影题1. 已知向量A = (3, 4)，B = (1, 2)，求向量A在向量B上的投影长度。
答案：向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，其中θ为A与B的夹角。
由向量内积的性质可知，cosθ = (A·B) / (|A||B|)。
所以，投影长度为|A|cosθ =|A|(A·B) / (|A||B|) = (3*1 + 4*2) / √(3^2 + 4^2) = 11 / 5。
2. 已知向量A = (2, 3)，B = (1, -1)，求向量A在向量B上的投影向量。
平面向量知识点+例题+练习+答案.doc
平面向量知识点+例题+练习+答案..五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。
]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量[ 长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。
由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。
(与共线的单位向量是)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
高中数学-平面向量(含详细答案)
＝
－
２ ３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ ＝ Ｂ→Ｐ
２. 答案 Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ 分别是△ＡＢＣ 各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ ＝ Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ ＝
１ ２
｜ →ＡＣ ｜
３. 答案 Ｄ 根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ ＝ Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ꎬ但 ａꎬｂ 方向不确定ꎬ所以 ａꎬｂ 的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃꎬ所以 ｜ →ＡＢ ｜ ＝ ｜ Ｄ→Ｃ ｜ 且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若 ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则 ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量 ａꎬｂ 共线时ꎬ一定有 ｂ ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若 ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ꎬ则 ａ ＝ ｂ 或 ａ ＝ －ｂꎻ
③若 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃꎬ则 ＡＢＣＤ 为平
行四边形ꎻ ④ａ ＝ ｂ 的充要条件是 ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ 且 ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ ＝ μｂꎬ则 ａ 与 ｂ 共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③
十年高考理科数学真题 专题五 平面向量 十三 平面向量的概念与运算及答案【优质】
专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算2019年1.（2019全国Ⅱ理3）已知AB u u u r=(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC u u u r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A ．-3B ．-2C ．2D ．32.（2019全国Ⅲ理13）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．04．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016年山东）已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为A ．4B ．–4C ．94D ．–946．（2016年天津）已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅u u u r u u u r的值为A ．85-B ．81 C ．41 D ．8117．（2016年全国II ）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()+⊥a b b ，则m = A ．8-B ．6-C ．6D ．88．（2016年全国III ）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则ABC ∠= A ．30oB ．45oC ．60oD ．120o9．(2015重庆)若非零向量a ，b 满足=a ，且()(32)-⊥+ab a b ，则a 与b 的夹角为 A ．4π B ．2πC ．34πD ．π10．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b11．（2015安徽）ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ=u u u ra ，2ΑC =+u u u ra b ，则下列结论正确的是A ．1=bB ．⊥a bC ．1⋅=a bD ．()4ΒC -⊥u u u ra b12．（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA ．B ． AD 21C ． BC 21D ．13．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．514．(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m =A ．B C ．0D ．15．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r 和1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为 A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 16．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e17．（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定18．（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ，则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．15219．（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ，则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．1020．（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ≥．则A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =21．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB u u u r同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 22．（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 方向上的投影为A B C ． D ． 23．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0⋅a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A 1BC 1D 224．（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥u u u r u u u u r ，121OB OB ==u u u r u u u u r ,12AP AB AB =+u u u r u u u r u u u u r．若12OP <u u u r ，则OA u u u r的取值范围是A ．⎛ ⎝⎦B ． ⎝⎦C ． ⎝D ．⎝ 25．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．426．（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于A ．2 B ．12C ．0D ．－1 27．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b28．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．229．（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．1230．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=u u u r a ，OB =u u u rb ，则△OAB 的面积等于A ．222|||()|-⋅a b a bB ．222|||()|+⋅a b a bC ．2221|||()2|-⋅a b a b D ．2221|||()2|+⋅a b a b 31．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“e ”如下：对任意的(,)m n =a ，(,)p q =b ，令mq np =-e a b ，下面说法错误的是 A ．若a 与b 共线，则0=e a b B ．=e e a b b aC ．对任意的R λ∈，有()()λλ=e e a b a bD ．2222()()||||+•=e a b a b a b 二、填空题32．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若(2)+∥c a b ，则λ= ．33．(2017新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b = ． 34．(2017浙江)已知向量a ,b 满足||1=a ,||2=b ,则||||++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 ．35．(2017山东)已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123-e e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是 ．36．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OAu u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o．若OC u u u r =m OA u u u r +n OBuuu r （m ，n ∈R ），则m n += ．37．(2016全国I)设向量(,1)m =a ，(1,2)=b ，且222||||||+=+a b a b ，则m = . 38．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．39．（2015湖北）已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．40．(2015新课标Ⅰ)设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ= ___． 41．（2015浙江）已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足12⋅=b e ，252⋅=b e ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)x y x y x y R -+-+=∈≥b e e b e e ，则0x =____，0y =_____，=b _____．42．（2014新课标Ⅰ）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则AB u u u r 与AC u u u r的夹角为 ． 43．(2014山东)在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uuu r ，当6A π=时，ABC V 的面积为 ．44．（2014安徽）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x u r u u r u u r u u r u u r和12345,,,,y y y y y u u r u u r u u r u u r u u r 均由2个a 和3个b 排列而成．记112233S x y x y x y =⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r4455x y x y +⋅+⋅u u r u u r u u r u u r，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）． ①S 有5个不同的值． ②若⊥a b 则min S 与||a 无关． ③若∥a b 则min S 与||b 无关． ④若||4||>b a ，则0min >S ．⑤若||2||=b a ，2min 8||S =a ，则a 与b 的夹角为4π． 45．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．46．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．47．（2014四川）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，m =+c a b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________．48．（2013新课标Ⅰ）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60o，(1)=+-c ta t b ，若0⋅=b c ，则t =_____．49．（2013新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD ⋅=u u u r u u u r ． 50．（2013山东）已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角120o ，且|AB u u u r |=3，|AC u u u r |=2，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r，则实数λ的值为_____．51．（2013浙江）设1e ，2e 为单位向量，非零向量12x y =+b e e ，,x y ∈R ，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于________．52．（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD = 1，60BAD ︒∠=，E 为CD 的中点．若·1AC BE =u u u r u u u r， 则AB 的长为 ．53．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则λμ= ．54．（2013北京）已知向量a ，b 夹角为o45，且||1=a ，|2|10-=a b ||=b．55．（2012湖北）已知向量a =（1，0），b =（1，1），则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____________。
平面向量的概念及线性运算(含答案)
1（1（32（1（2（31.2.．若菱形ABCD 的边长为2CD |＝________.a 与b 是两个不共线向量，且向量与－(b －3a )共线， (2)在△ABC 中，已知D 是AB CA ＋λCB ，则λ等于( 1 C ．－3．－23个B ．1个C ．2个D ．3个(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD 中，点4AB ＋2DA 1AB －3AD－a)1故C－b，则下列关系式中正确的是AD＝2BC．AD＝－解析：选B AD＝AB＝a＋2b＋(－4a－b)＋)＝－8a－2b＝2(－4a－2BC.ABCD的边长为2，则|AB－CB＋解析：|AB－CBABCD 是平行四边形．可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 不一定共线． ③若 边上一点，若)∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， AD ＝2DB ， CD ＝CA ＋CB ＋1ABCA CB 13CB CA )3CA 43CB 13CA 23CB 2μCB μ＝－1.∴λ－μ＝3. 答案：3．0个 B ．1个 ．2个D ．3＋＝AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD 成立．共 线 向 量2a ＋8b ＋3(a b ) ＝2a ＋8b ＋35(a ＋b )＝5AB .又∵它们有公共点B ，∴A ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，值，若不存在，请说明理由．4．(2012·海淀期末个三等分点(靠近AB ＋2DA －3AD3CB EF 2AB 3DA的内角A 等于( )的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋PBAC Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM |＝12|BC |＝2.大庆模拟)已知O 为四边形OC ， BA ＝CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．平行四边形 ．设向量e 1，e 2不共线，①A 号为n i ＋BC ＝OC －A ，B ，C 在同一条直线上，∥BC ，即AB ＝(2)求证：B ，E ，F G ， 所以AG ＝a ＋b ，AE ＝23AD 3AF ＝2AC ＝2b ，BE ＝AE AB BF＝AF －AB ＝2b －(2)证明：由(1)可知BE ＝3有公共点B ，三点共线．12．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知B，A，B，D三点共线．＝λe1－4λe2，12，－4(＝2b，∴y max＝⎩⎨⎧－μ μ<－2μ24＋1 －2≤μ≤2μ μ>2.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1) (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解析] 本题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积等知识点，考查考生的运算求解能力．(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.。
高一数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析
高一数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据单位向量的定义：把模为1的向量称为单位向量，依题可知，而这两个向量的方向并没有明确，所以这两个单位向量可能共线，也可能不共线，所以A、B、C错误，D正确.【考点】平面向量的基本概念.2.已知均为单位向量,它们的夹角为，那么（）A．B．C．D．4【答案】C【解析】因为且，所以，所以，因此，选C.【考点】1.平面向量的模；2．平面向量的数量积.3.给出下列命题：（1）两个具有公共终点的向量，一定是共线向量。
（2）两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小。
（3）a=0（为实数），则必为零。
（4），为实数，若a=b，则a与b共线。
其中错误的命题的个数为A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】对于（1）两个具有公共终点的向量，一定是共线向量，不一定，方向不确定。
错误（2）两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小。
成立。
（3）a=0（为实数），则必为零。
可能不是零，错误。
（4），为实数，若a=b，则a与b共线，当其中一个b为零向量时不成立，故错误，选C.【考点】向量的概念点评：主要是考查了共线向量以及向量的概念的运用，属于基础题。
4.以下说法错误的是（）A．零向量与任一非零向量平行B．零向量与单位向量的模不相等C．平行向量方向相同D．平行向量一定是共线向量【答案】C【解析】平行向量的方向相同或相反，所以，说法错误的是“平行向量方向相同”，选C。
【考点】本题主要考查向量的基础知识。
点评：简单题，确定说法错误的选项，应将各选项逐一考察。
5. P是所在平面内一点，，则P点一定在（）A．内部B．在直线AC上C．在直线AB上D．在直线BC上【答案】B【解析】∵，∴，∴点P在直线AC上，故选B【考点】本题考查了向量的运算及共线基本定理点评：熟练掌握向量的概念及向量的运算是求解此类问题的关键，属基础题6.下列命题正确的是A．若·=·，则=B．若，则·="0"C．若//，//，则//D．若与是单位向量，则·=1【答案】B【解析】解：因为选项A中不能约分，选项B中，两边平方可知成立，选项C中，当为零向量时不成立，选项D中，夹角不定，因此数量积结果不定，选B7.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的向量，令，给出下面四个判断：①若与共线，则；②若与垂直，则；③；④.其中正确的有（写出所有正确的序号）.【答案】①④【解析】①若,则,即,正确.②由①知错.③错.④,正确.8.下面给出四种说法，其中正确的个数是( )①对于实数m和向量a、b，恒有m(a-b)=ma-mb；②对于实数m、n和向量a，恒有(m-n)a=ma-na；③若ma=mb(m∈R)，则a=b；④若ma=na(a≠0)，则m=n.A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】解：因为①对于实数m和向量a、b，恒有m(a-b)=ma-mb；成立②对于实数m、n和向量a，恒有(m-n)a=ma-na；成立③若ma=mb(m∈R)，则a=b；不一定④若ma=na(a≠0)，则m=n.，成立9.下列命题：（1）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（2）对于任意非零向量若且与的方向相同，则；（3）非零向量与满足，则向量与方向相同或相反；（4）向量与是共线向量，则四点共线；（5）若，且，则正确的个数：（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】解：因为（1）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；不成立（2）对于任意非零向量若且与的方向相同，则；满足定义（3）非零向量与满足，则向量与方向相同或相反；成立（4）向量与是共线向量，则四点共线；可能构成能四边形，错误（5）若，且，则，当为零向量时，不成立。
专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案
专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算答案部分1. A 【解析】通解如图所示，3— 1 —=—AB — AC ・故选A. 4 4优解 EB = AB-AE = AB--Ab = AB--x-(AB + AC)2 2 2= 1A B-- AC ・故选A ・ 4 42. C 【解析】・・・|“一鋼=国+引，・•.(“—站)2=(3“+疔，.•./一&八方+ 9沪=9a 2+6a b+b 2,又 1“1=1 方 1=1, :.ab = O,.・.“丄〃；反之也成立，故选C.3. B 【解析】” •(加一〃)=加‘一“=2-(—1) = 3 ,故选B.4. A 【解析】因为〃人畀为非零向呈:，所以/w • n =1 m II n I cos < mji >< 0的充要条件是cos <m,n > <0.因为2<0,则由m=An 可知加，〃的方向相反，<m.n >=180 ♦ 所以COSVMMX O,所以“存在负数/U 使得= An 99可推出“ mn<Q 9f:而 • /I <0 nJ 推出cos <rnjt ><0 ,但不一立推岀〃人〃的方向相反，从而不一左推得"存在负数几，使得m = An ",所以“存在负数2,使得加=加”是“加・〃<0” 的充分而不必要条件.5. B 【解析】由〃丄(tni +n)可得”・(〃”+死)=0,即/加・n + ir = 0,所豁—沪__ ⑷2 w n lw|-|,,lcos<w '/,> Imlxl/ilxi 3"煤*7故选B.' • — ' • — I • I ■ • [ — —B 【解析】设BA = a, BC = h, :. DE = -AC = -(b^a) 2 213 5 3 ^D +DF = --a + -(b-^--a + -b t --------- 5 ——3 -25 3 1 /. AF ・BC = — a ・b + i 故选 B.6. 3 3亦=二旋=_(—) 2 44 4 8 4 87. D【解析】由向量的坐标运算得a+方=（4,加-2）,• ：（a + b）丄b , :. （“ + 方）• b = 12 — 2（〃】一2） = 0 ,解得/n = 8,故选D・1 V3 1— X ---- 1 ------ X— /TA【解析】由题意得cosZABC= — = 一2一2— =L,8.IBAIIBCI 1x1 2所以ZABC = 30 ,故选A.9. A【解析】由题意(0-5・(3心+ 2/；) = 3/-％-2/；'=0,即3|和湘―卩卜°,所以3x(半沪爭如2",10. B【解析】对于A选项,设向量—b的夹角为⑹cos&W|“ll〃l,•••A选项正确；对于B选项，•••当向量—方反向时，1“一〃1$11“1一"11, 选项错误：对于C选项，由向虽:的平方等于向量模的平方可知，C选项正确：对于D选项, 根据向量的运算法则，可推导岀(a+b) (a-b) = a2-b2,故D选项正确，综上选B.11.D【解析】如图由题意，BC = AC -AB = (2a + b)-2a =b ,故I 厶1= 2 ,故A 错误：12a 1= 21 “ 1= 2 • 所以1“1=1,又AB AC = 2a -(2a + b) = 4 \ a \2 +2ab = 2x2cos60 = 2 , 所以ab = -\,故B,C错误；设B,C中点为D,则AB + AC = 2AD, 且刁万丄就，所以(4刁+可丄阮，故选D.12.A【解析】EB + FC =—(BA + BC)--(CA + CB) = -(AB + AC) = AD ・2 2 213.A【解析】由(a+b)2 = 10 ①，(“ 一〃)‘=6 ②，①一②得ab = \.14.B【解析】由题意得—= cos-= lx3 + ^ ,两边平方化简得6>/3/H =18,2 6 2x\j9 + m2解得m =艮经检验符合题意.15.B【解析】设S =西•开+兀2 •『2 +“ • >3 +兀4 • >‘4，若S的表达式中有o个a b ,则S = 2〉+2产，记为5，若S的表达式中有2个a-b^S = 2h2 +2h2 +2a-b, 记为S?,若S 的表达式中有4个力巧，则S=4db,记为S3,又\b\=2\a\, 所以§ 一耳=力‘ +方‘ 一4方坊=2(方一厉？ > o,S] —S Q =ci~ + b~—2i/ • h = (c/—by > 0,52-S3=(«-^)2>0, .\S3<S2<S1,故S”n=S3=4方易，设方，厶的夹角为&，则S niin=45-J = 8l«l2 cos6> = 4l«卩，即cos& = ],又&已[0,刃，所以& = £.16.B【解析】对于A, C, D,都有勺〃冬，所以只有B成立.17.B【解析】由于\b + ta \2=b2 + 2a4ft+a2r,令八)=b2 +2a^bt+a2t2,而/是任意实数，所以可得/(f)的最小值为滋专—⑵历)2 4<i2b2一滋专cos20 4b2 sin20 t—百=——即\b\2 sin2<9 = l,则知若8确定,则"I唯一确定.18.C【解析】丁加一3b = (2«-玄-6),(加—3b)丄c,所以(加一3〃)・c=2(2k—3) — 6 = 0。
2019版高考数学文一轮复习教师用书：第四章 第一节 平
第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则＝＋b的差三角形法则向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( )(3)若向量AB ―→与向量CD ―→是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2.如图，设P ，Q 两点把线段AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A ．AP ―→＝13AB ―→B ．AQ ―→＝23AB ―→C ．BP ―→＝－23AB ―→D ．AQ ―→＝BP ―→解析：选D 由数乘向量的定义可以得到A 、B 、C 都是正确的，只有D 错误． 3．设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a|＋b|b|＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：选C “a |a|＋b|b|＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，故答案为C.4．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→. 5．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB ―→－CB ―→＋CD ―→|＝________. 解析：|AB ―→－CB ―→＋c |＝|AB ―→＋BC ―→＋CD ―→|＝|AD ―→|＝2. 答案：26．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 平面向量的有关概念 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]00与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 2．给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形， 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①②[怎样快解·准解]有关平面向量概念的6个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件． 考点二 向量的线性运算 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→等于( )A ．OM ―→B ．2OM ―→C ．3OM ―→D ．4OM ―→解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→.2．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( )A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→，选A.3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[怎样快解·准解]1．用已知向量表示未知向量的方法构造三角形，关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用已知向量表示未知向量的4步骤 (1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果．3．向量线性运算的2个常用结论(1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)；(2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.考点三 共线向量定理的应用 (重点保分型考点——师生共研)设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．解：(1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ， ∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→，∴AB ―→，BD ―→共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1， 又∵λ>0，∴k ＝1.[解题师说]1．共线向量定理的3个应用(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP ―→＝(1－t )OA ―→＋t OB ―→(O 为平面内任一点，t ∈R)．(5)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.[冲关演练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．(2018·贵州适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB ―→＝e 1＋m e 2，AC ―→＝n e 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1解析：选A 因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB ―→＝λAC ―→，所以有e 1＋m e 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎪⎨⎪⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2．已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与向量OA ―→平行的向量为( ) A ．AB ―→＋AC ―→ B ．AB ―→＋BC ―→＋CD ―→ C ．AB ―→＋AF ―→＋CD ―→D ．AB ―→＋CD ―→＋DE ―→解析：选B AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝AD ―→＝2AO ―→＝－2OA ―→.3．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.4．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确，故①③④正确．5．(2018·广东东莞二模)如图所示，已知AC ―→＝3BC ―→，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，则下列等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b解析：选A 因为AC ―→＝3BC ―→，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，所以OC ―→＝OA ―→＋AC ―→＝OA ―→＋32AB―→＝OA ―→＋32(OB ―→－OA ―→)＝32OB ―→－12OA ―→＝32b －12a ，故选A.6．设平行四边形ABCD 的对角线交于点P ，则下列命题中正确的个数是( )①AC ―→＝AB ―→＋AD ―→；②AP ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)；③DB ―→＝AB ―→－AD ―→；④PD ―→＝PB ―→. A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由向量加法的平行四边形法则，知①AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，②AP ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)都是正确的，由向量减法的三角形法则，知③DB ―→＝AB ―→－AD ―→是正确的，因为PD ―→，PB ―→的大小相同，方向相反，所以④PD ―→＝PB ―→是错误的．7．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以可设λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：128．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b9．(2018·河南三市联考)在锐角△ABC 中，CM ―→＝3MB ―→，AM ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，则x y ＝________.解析：由题设可得CA ―→＋AM ―→＝3(AB ―→－AM ―→)， 即4AM ―→＝3AB ―→＋AC ―→， 亦即AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→，则x ＝34，y ＝14，故x y ＝3.答案：310．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→，因此x＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0.答案：0B 级——中档题目练通抓牢1．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点M 是腰BC 的中点，若AM ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ，μ的值分别为( )A.34，12B.12，34 C ．1，34D.12，12解析：选A 因为AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋12AB ―→)＝34AB ―→＋12AD ―→，所以λ＝34，μ＝12.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．(2018·长春质检)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.4．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的__________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q . 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算法则知a 与b 同向共线， 即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要5．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ＝________.解析：法一：由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→ ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0. 又因为AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 即AT ―→＝54λAM ―→＋54μAN ―→，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.答案：456.在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 表示AD ―→，AG ―→.解：AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)＝12a ＋12b .AG ―→＝AB ―→＋BG ―→＝AB ―→＋23BE ―→＝AB ―→＋13(BA ―→＋BC ―→)＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→) ＝13AB ―→＋13AC ―→ ＝13a ＋13b . 7．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2，∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.C 级——重难题目自主选做1.如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线于K ，其中，AE ―→＝25AB ―→，AF ―→＝12AD ―→，AK ―→＝λAC ―→，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23解析：选A 因为AE ―→＝25AB ―→，AF ―→＝12AD ―→，则AB ―→＝52AE ―→，AD ―→＝2AF ―→，由向量加法的平行四边形法则可知AC ―→＝AB ―→＋AD ―→，所以AK ―→＝λAC ―→＝λ(AB ―→＋AD ―→)＝λ⎝⎛⎭⎫52 AE ―→＋2AF ―→ ＝52λAE ―→＋2λAF ―→，由E ，F ，K 三点共线可得52λ＋2λ＝1，所以λ＝29.2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλ DE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→ B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2.(2018·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC ―→等于( )A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→C ．2OA ―→－OB ―→D ．－OA ―→＋2OB ―→解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→－OA ―→，CB ―→＝OB ―→－OC ―→，所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→)＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→＝0，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.3.(2018·江西八校联考)在△ABC 中，P ，Q 分别是边AB ，BC 上的点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则PQ ―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A PQ ―→＝PB ―→＋BQ ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b ，故选A. 4．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④NQ ―→＋QP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a ＋(2λ－1)b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.6.(2018·南宁模拟)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn＝________.解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn ＝－2.答案：－27．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的____________________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”)．解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，即p ⇒q .若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算法则知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故q ⇒/ p . 所以p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要8．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→＋z AS ―→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：依题意得BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝12(AS ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－AB ―→＋12AC ―→＋12AS ―→，因此x＋y ＋z ＝－1＋12＋12＝0.答案：09.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA ―→＋BP ―→＋CP ―→＝0，AP ―→＝λPD ―→，求实数λ的值．解：如图所示，由AP ―→＝λPD ―→且PA ―→＋BP ―→＋CP ―→＝0，得P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP ―→＝－2PD ―→，所以λ＝－2.10．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得k ＝12.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·长春质检)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCDS △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S△ABC，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.2.(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC ―→＝3EC ―→，F 为AE 的中点，则BF ―→＝( )A.23AB ―→－13AD ―→B.13AB ―→－23AD ―→C ．－23AB ―→＋13AD ―→D ．－13AB ―→＋23AD ―→解析：选C BF ―→＝BA ―→＋AF ―→＝BA ―→＋12AE ―→＝－AB ―→＋12(AD ―→＋12AB ―→＋CE ―→)＝－AB ―→＋12⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→＋13 CB ―→ ＝－AB ―→＋12AD ―→＋14AB ―→＋16(CD ―→＋DA ―→＋AB ―→)＝－23AB ―→＋13AD ―→.3.在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则λ＋μ＝________.解析：法一：由AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 得AB ―→＝λ·12(AD ―→＋AC ―→)＋μ·12(AC ―→＋AB ―→)，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ―→＋λ2AD ―→＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12AB ―→＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ―→＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ―→＝0. 又因为AB ―→，AD ―→不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.法二：连接MN 并延长交AB 的延长线于T ， 由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT ―→＝AB ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 即AT ―→＝54λAM ―→＋54μAN ―→，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1.∴λ＋μ＝45.答案：454．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 5．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ―→＝m OA ―→，OQ ―→＝n OB ―→，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则OG ―→＝13(a ＋b )，PQ ―→＝OQ ―→－OP ―→＝n b －m a ，PG ―→＝OG ―→－OP ―→＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b . 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ ―→＝λPG ―→，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 则⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.6．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1， 则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→ ＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析
高三数学平面向量的概念及几何运算试题答案及解析1.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量当且仅当“”或“”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若；②若，则；③若，则对于任意；④对于任意向量.其中真命题的序号为__________.【答案】①②③【解析】①因为由定义,,所以故①为真命题；②设由得：，或由得，或，以下分四种情况讨论：第一：若,则，所以第二：若,则，所以第三：若,则，所以第四：若,则，所以，且所以所以②是真命题③设，则由得：“”或“”所以或“且”所以是真命题．④设，显然满足，但＝，所以，所以命题是假命题．综上答案应填①②③．【考点】1、新定义；2、不等式的性质；3、向量的概念与运算.2.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=．【答案】2【解析】由平行四边行的性质知，AC与BD互相平分，又+==2所以λ=23.在四边形中，，，则四边形的面积为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】由，可知四边形为平行四边形，且，因为，所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形为菱形,其边长为，且对角线对于边长的倍，即,则,即,所以三角形的面积为，所以四边形的面积为，选A 4.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A．B．C．D．【答案】A【解析】=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=.故选A.5.直线的一个法向量可以是【答案】【解析】已知直线的一般式方程为，因此其一个法向量为．【考点】直线的法向量．6.已知向量＝(cos α，sin α)，将向量绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量 (0°＜θ＜90°)，则下列说法不正确的为( )A．|＋|＝|－|B．||＋||＞|－|C．(＋)⊥(－)D．、在＋方向上的投影相等【答案】A【解析】由题意可知以，所在线段为一组邻边，＋，－所在线段为对角线可构成边长为1的菱形，所以B，C， D正确，A错误．7.在梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝λ|DC|，设＝a，＝b，则＝()A．λa＋b B．a＋λbC．a＋b D．a＋b【答案】C【解析】＝＋＝b＋＝b＋a.故选C.8.已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是() A．a=b B．|a|=|b|C．a⊥b D．a∥b【答案】B【解析】由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.9.已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a·b=0,若向量c与a-b共线,则|a+c|的最小值为()A．1B．C．D．2【解析】由于c与a-b共线,且a-b≠0所以设c=λ(a-b)(λ∈R),于是a+c=a+λ(a-b)=(λ+1)a-λb,所以|a+c|===,因此当λ=-时,|a+c|取最小值.10.设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则()A．|a|<|b|,且θ是钝角B．|a|<|b|,且θ是锐角C．|a|>|b|,且θ是钝角D．|a|>|b|,且θ是锐角【答案】D【解析】f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b,若函数f(x)在(0,+∞)上有最大值,则可知函数为二次函数,且图象的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即所以a,b的夹角为锐角,且|a|>|b|.【误区警示】解答本题时容易因看不懂题意,不能将函数问题转化为向量问题而导致错解或无法解题.11.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，则a与b的夹角为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为(a＋b)⊥，所以(a＋b)·＝a2－b2－a·b＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，所以4－－a·b＝0.所以a·b＝1.又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角的取值范围是[0，π]，所以a与b的夹角为.12.设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．13.已知O，A，M，B为平面上不同的四点，且＝λ＋(1－λ) ，λ∈(1,2)，则()．A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点共线【解析】根据题意知＝λ＋－λ＝λ(－)＋，则－＝λ(－)，即＝λ.由λ∈(1,2)可以判断出点M在线段AB的延长线上，即点B在线段AM上．14.如图，在底角为的等腰梯形中，已知，分别为，的中点.设，.(1)试用，表示，；(2)若，试求的值.【答案】(1)，；（2）.【解析】(1) 利用平面向量的加法和减法的运算法则进行计算，用已知量表示未知量，注意向量的方向的变化；（2）要求，就要找到向量，的模及其数量积，先求出向量的模，再根据向量的性质进行计算.试题解析：(1)因为，，，分别为，的中点，所以； 3分. 6分（2），, ，所以, 8分那么. 12分【考点】1、平面向量的模及数量积；2、平面向量的加减混合运算.15.如图，为直线外一点，若，，，，，，，中任意相邻两点的距离相等，设，，用，表示，其结果为 .【答案】【解析】设的中点为A，则A也是，…的中点，由向量的中点公式可得，同理可得，故.【考点】平面向量的加法法则，中点公式.16.在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则·的最大值为_____________【答案】【解析】由题意，·="(" + )( + )∵＝x，＝y，∴·="("+ )( + )="(" + )( +y)=∵x＞0，y＞0，且x+y=1∴xy≤, ∴=当且仅当x=y=时，取等号∴当x=y=时，·的最大值为.【考点】向量的运算，不等式的性质.17.已知向量，，若与共线.则等于（）A．B．C．D．4【答案】A【解析】因为与共线，所以【考点】本小题主要考查向量的共线的坐标运算.点评：向量的共线与垂直是两种重要的位置关系，它们的坐标运算要熟练掌握.18.若为所在平面内一点，且满足，，则ABC的形状为A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】,点M在底边BC的中垂线上，又,所以点M在底边BC的中线上，因而底边BC的中线与垂直平分线重合，所以ABC的形状为等腰三角形.19.已知单位向量满足，则夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为单位向量满足，则夹角为，选C20.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意向量a b令a⊙b，则下列说法错误的是A．对任意的a⊙b a⊙(b)B．a⊙b b⊙aC．a⊙b a b a bD．若a与b共线，则a⊙b【答案】B【解析】若a与b共线，则有a⊙b=mq-np=0,故D正确因为b⊙a="pn-mq," a⊙b=mq-np=0,故选项B不正确，选B21.已知，若，则【答案】【解析】略22.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，_____【答案】（-3,-5）【解析】略23.已知点A（1，2）、B（3，4），则向量坐标为＿＿＿＿ .【答案】（2，2）【解析】略24.设平面向量，若，则实数的值为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B25.若向量则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查平面向量的基本定理，向量的坐标运算和向量相等的概念.设则，根据向量相等概念得：解得故选B26.若向量,满足，，，则与的夹角是。
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(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为