海明码
海明码
海明码海明码是由R.HmIMI1ing在1950年首次提出的,它是一种可以纠正一位差错的编码。
可以借用简单奇偶校验码的生成原理来说明海明码的构造方法。
若k(=n-1)位信息位an-1an-2…a1加上一位偶校验位a0,构成一个n位的码字an-1an-2...a1a0,则在接收端校验时,可按关系式S=an-1+an-2+…+a1+a0来计算。
若求得S=0,则表示元错;若S=1,则有错。
上式可称为监督关系式,S称为校.正因子。
.在奇偶校验情况下,只有一个监督关系式和一个校正因子,其取值只有0或1两种情.况,分别代表元错和有错两种结果,还不能指出差错所在的位置。
不难设想,若增加冗余位,也即相应地增加了监督关系式和校正因子,就能区分更多的情况。
如果有两个校正因子.S1和S0,则S1S0取值就有00、01、10或11四种可能的组合,也即能区分四种不同的情况。
若其中一种取值用于表示无错(如00),则另外三种(01、10及11)便可以用来指出.不同情况的差错,从而可以进一步区分出是哪一位错。
设信息位为k位,增加r位冗余位,构成一个n=k+r位的码字。
若希望用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分元错和在码字中的n个不同位置的一位错,则要求满足以下关系式:2r>=n+1 或 2r>=k+r+1以k=4为例来说明,则要满足上述不等式,必须r>=3。
假设取r=3,则n=k+r=7,即在4位信息位a6a5a4a3后面加上3位冗余位a2a1a0,构成7位码字a6a5a4a3a2a1a0,其中a2、a1和a0分别由4位信息位中某几位半加得到,在校验时,a2、a1和a0就分别和这些位半.加构成三个不同的监督关系式。
在无错时,这三个关系式的值S2、S1和S0全为"0"。
若a2错,则S2=1,而S1=S0=0;若a1错,则S1=1,而S2=S0=0;若a0错,则s0=1,而S2=S1=0。
海明码计算过程
海明码计算过程嘿，朋友们！今天咱就来讲讲海明码计算过程。
这海明码啊，就像是一个神秘的魔法盒子，等你打开它，就会发现里面藏着好多奇妙的东西呢！咱先来说说啥是海明码。
简单来说，它就是一种能帮我们检测和纠正数据传输过程中错误的好帮手。
你想想看，数据就像一群小士兵，在传输的道路上可能会遇到各种“妖魔鬼怪”，比如干扰啦、出错啦。
这时候海明码就像一位英勇的将军，站出来保护这些小士兵，让它们能准确无误地到达目的地。
那怎么计算海明码呢？别急，听我慢慢道来。
首先，我们得确定要保护的数据有多少位，这就好比要知道有多少小士兵需要保护。
然后呢，根据这个数量来确定需要多少位的海明码。
这就像给小士兵们配备合适数量的将军。
接下来，就开始计算啦！这过程就好像是给小士兵们排兵布阵。
我们要把数据位和海明码位按照一定的规则放好，就像是让小士兵们站在各自的位置上。
然后，根据一些巧妙的算法，给每个海明码位赋予特定的任务。
比如说，某个海明码位要负责检查某些数据位的奇偶性。
这就好像它是个小侦探，专门盯着那几个小士兵，看它们有没有出问题。
如果数据传输过程中真的出了错，这个小侦探就能迅速发现，然后发出警报！再比如说，另一个海明码位要同时关注好几个数据位，就像是个更厉害的大侦探，能从更宏观的角度发现问题。
计算海明码的过程可不简单哦，就像解一道复杂的谜题。
但你可别被它吓住，只要一步一步来，就一定能搞明白。
你想想，要是没有海明码，那我们的数据在传输过程中出错了可咋办？那不就乱套了嘛！所以说，学会计算海明码可是很重要的呢。
而且啊，这海明码的应用可广泛了呢。
不管是在网络通信中，还是在各种电子设备里，都能看到它的身影。
它就像一个默默无闻的守护者，一直在背后为我们的数据安全保驾护航。
哎呀，说了这么多，你是不是对海明码计算过程有点感觉了呢？别犹豫，赶紧自己去试试吧！相信你一定能掌握这个神奇的技能，让数据传输变得更加可靠。
加油哦！。
计算机基础：海明码是什么？
计算机基础：海明码是什么？海明码：奇偶校验码的⼀种扩充。
只能检验和恢复⼀位。
例如：求1011 的海明码？答案：1010101其中：红⾊所在位数 1,2,4,8，... 为计算出的验证码，⿊⾊的信息为原信息码：1011。
计算⽅法：1.先计算需要⼏位海明码？1011 是四位 ,它有四种只错⼀位的情况，（0011,1111,1001,1010）再加上x位海明码的错⼀位情况。
再加上⼀种全部位都正确的情况。
所以海明码需要 x+4+1 中可能。
所以需要海明码x位可以表⽰出 x+4+1 中可能。
即： x+4+1 <=2**x (2**x 表⽰2的x⽅)，计算得到3，海明码最少是3，当然4,5,6位都可以，就像⽤101 校验和0101 00101 000101 00000000101 都能校验⼀样，只是⽐较浪费。
所以计算出了海明码的位数为3。
（其实也就是往原编码内填充1,2,4,8,16，这些地⽅，填完为⽌。
）2. 开始计算。
1011 中间插⼊三位验证码位数7654321信息101x1x x在第7位：7=2**2+2**1+2**0=4+2+16 对应位置为0，不算在内。
5=2**2 +2**0 = 4 +13=2**1+2**0 =2+1这样得到(2**0) 出现三次，所以在最低位为1 ，（出现偶数次就是0，奇数次就是1,)(原计算⽅法是⽤异或计算 1 xor 1 =0 , 1xor 0 =1 , 0 xor 0=0 ,这⾥结果都⼀样）(2**1)出现两次，所以第⼆位是0，(2**2)出现两次，所以第三位是0，所以就得到位数7654321信息10101013.验证和举例我们传输这个得到的海明码，和⼀个错误的海明码：正确的验证 1010101 ：1.得到海明码（1,2,4 位，如果更长的话就是8,16,32。
位）001。
2.信息码为剩下的 1011，同步骤⼆：计算得到001，3.和上⾯的到的海明码001 异或（001 xor 001 ) =000,正确错误的验证 1110101 ：1.得到海明码 001。
海明码
1.海明码的概念海明码是一种可以纠正一位差错的编码。
它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。
它必需满足以下关系式：2^r>=n+1 或2^r>=k+r+1海明码的编码效率为：R=k/(k+r)式中k为信息位位数r为增加冗余位位数[font class="Apple-style-span" style="font-weight: bold;"id="bks_cu2htj1g"]2.[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"][font]海明码的原理[/font]在数据中间加入几个校验码，将玛距均匀拉大，将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。
海明不等式：校验码个数为K，2的K次幂个信息，1个信息用来指出“没有错误”，其余2K-1个指出错误发生在那一位，但也可能是校验位错误，故有N<=2的K次-1-K能被校验。
海明码的编码规则：1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，2.海明玛的每一位（Hi)是由多个/1个校验值进行校验的，被校验玛的位置玛是所有校验这位的校验位位置玛之和。
一个例题：4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2，对应的位置为：d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1校验位的取值，就是他所能校验的数据位的异或b1为b3,b5,b7的异或，b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7 [/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal; " id="bks_4dxtg15k"]海明玛传送到接受方后，将上三式的右边（b1,b2,b4)的逻辑表达式分别异或上左边的值就得到了校验方程，如果上题采用偶校验G1=b1 b3 b5 b7的异或G2=b2 b3 b6 b7的异或G3=b4 b5 b6 b7的异或若G1G2G3为001是第四位错若为011是第六位错[/font][font class="Apple-style-span" style="font-family: ����; font-size: 12px; line-height: normal;"] [/font]3.海明码的生成与接收特注：以下的+均代表异或方法一：1)海明码的生成。
海明码最通俗易懂的讲解
M1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 M10
甲 P1
P2
P3
P4
③ 确定数据的位置 这个很简单，除了校验码的位置其余的就是数据的位置，填充进去就可以了，于是可以
把数据信息先填进去，见“乙”行，下面就是最关键的部分，求出校验位的值啦！！！
M1 甲 P1
乙
M2 M3
P2
D1
1
M4 M5 M6 M7
P3
D2
D3
D4
0
1
1
M 8 M 9 M10
P4
D5
D6
0
1
④ 求出校位的值 这个公式不是难，99%左右的考生都能看懂海明码的求解过程，但是真正能够过目不忘
的相信就是极少数了，很多考生在论坛抱怨躺在床上眼睛一闭，一睁，就忘记了一半。眼睛
再一闭，一睁，基本上就等于没有看了。与其这样，倒不如考前几天突击一下。其实完全没
e1 M1 M 3 M 5 M 7 M 9 = 0 1 1 1 0 = 1 e2 M2 M 3 M 6 M 7 M10 =0 1 1 1 1 = 0 e3 M4 M 5 M 6 M 7 =0 1 1 1 = 1 e4 M8 M 9 M10 = 1 0 1 = 0 按照 e4、e3、e2、e1的排序方式得到的二进制序列为：0101，恰好对应十进制 5，是不
M1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 M 9 M10
甲 P1
P2
D1
P3
D2
D3
D4
P4
D5
D6
乙0
0
1
海明码详解
海明码详解①海明校验的基本思想将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位，做奇偶测试，就能提供多位检错信息，以指出最大可能是哪位出错，从而将其纠正。
实质上，海明校验是一种多重校验。
②海明校验的特点它不仅具有检测错误的能力，同时还具有给出错误所在准确位置的能力。
一．校验位的位数校验位的位数与有效信息的长度有关设:N--为校验码的位数 K--是有效信息位 r--校验位（分成r组作奇偶校验，能产生r位检错信息）海明码应满足 N=K＋r≤2r－1 若r=3 则N=K＋r≤7 所以K≤4二．分组原则`在海明码中，位号数（1、2、3、……、n）为2的权值的那些位，即：1(20)、2(21)、 4(22)、8(23)、…2r-1位，作为奇偶校验位并记作: P1、P2、P3 、P4、…Pr，余下各位则为有效信息位。
例如： N=11 K=7 r=4 相应海明码可示意为位号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11P占位P1 P2 × P3 × × × P4 × × ×其中×均为有效信息，海明码中的每一位分别被P1P2P3P4… Pr 中的一至若干位所校验，其规律是：第i位由校验位位号之和等于i的那些校验位所校验如：海明码的位号为3，它被P1P2（位号分别为1,2）所校验海明码的位号为5，它被P1P3（位号分别为 1,4）所校验归并起来: 形成了4个小组，每个小组一个校验位，校验位的取值，仍采用奇偶校验方式确定。
如表2·6 、表2·7所示：三．编码、查错、纠错原理以4位有效信息(b1、b2、b3、b4)和3位校验位(P1、P2、P3)为例: K=4 r=3 海明序号 1 2 3 4 5 6 7海明码 P1 P2 b1 P3 b2 b3 b4根据表2-8可以看到（1）每个小组只有一位校验位，第一组是P1、第二组是P2、第三组是P3。
海明码原理
对于各种信息位算出的冗余位如表： 对于各种信息位算出的冗余位如表：
a6a5a4a3
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
a2ala0
000 011 101 110 110 101 011 000
a6a5a4a3
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
• a2 、 a1和a0分别由 位信息位中某几位半加得到。 分别由4位信息位中某几位半加得到 位信息位中某几位半加得到。
• 校验时， a2 、 a1和a0 就分别和这些位半加构成 校验时， 三个不同的监督关系式。 三个不同的监督关系式。 规定： 规定： • 无错时，这三个关系式的值S2、S1和S0全为“0”。 全为“ 。 无错时，这三个关系式的值 • 若a2错，则S2＝1，而S1 ＝S0＝0； ， ； • 若a1错，则S1＝1，而S2＝ S0＝0； ， ； • 若a0错，则S0＝1，而S2＝ S1＝0。 ， 。
• 可以增加冗余位，就相应地增加监督关系式和校 可以增加冗余位， 正因子，就能区分更多的情况。 正因子，就能区分更多的情况。 • 例如，若有两个（2位）校正因子，则其取值就有 例如，若有两个（ 位 校正因子， 4种可能：00、01、10或11，就能区分 种不同情 种可能： 、 、 或 ，就能区分4种不同情 种可能 况。 • 若其中一种表示无错，另外三种不但可以用来指 若其中一种表示无错， 出有错，还可用来区分错误的情况， 出有错，还可用来区分错误的情况，如指出是哪 一位错等。 一位错等。
• 由表可见， a2、a4、a5或a6的一位错都应使 2＝1，由此得 由表可见， 的一位错都应使S ， 到监督关系式： 到监督关系式： • S2 ＝a2＋a4十a5十a6 • 同理还有： 同理还有： • • S1 ＝a1＋a3十a5十a6 S0 ＝a0＋a3十a4十a6
海明码——精选推荐
海明码海明码（Hamming Code）是在电信领域的一种线性检测码，以发明者理查德·卫斯里·海明的名字命名。
海明码在传输的消息流中插入验证码，当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，以侦测并更正单一比特错误。
由于海明编码简单，它们被广泛应用于内存（RAM）电路。
1940年，海明于贝尔实验室（Bell Labs）工作，运用贝尔V型（Bell Model V）电脑，一个周期时间为几秒钟的机电继电器计算机。
输入终端是依靠打孔卡（Punched Card），这不免会产生读取错误。
在平日，特殊代码将发现错误并闪灯（flash lights），使得操作者能够纠正这个错误。
在周末和下班期间，在没有操作者的情况下，机器只会简单地转移到下一个工作。
海明在周末工作，他对于不可靠的读卡机发生错误后，总是必须重新开始项目变得愈来愈沮丧。
在接下来的几年中，他为了解决错误检测的问题，着手开发功能强大的检测算法。
直到1950年，他发表了著名的海明码。
与其他的错误校验码类似，海明码也利用了奇偶校验位的概念，通过在数据位后面增加一些比特，可以验证数据的有效性。
利用一个以上的校验位，海明码不仅可以验证数据是否有效，还能在数据出错的情况下指明错误位置。
在接受端通过纠错译码自动纠正传输中的差错来实现码纠错功能，称为前向纠错FEC。
在数据链路中存在大量噪音时，FEC可以增加数据吞吐量。
通过在传输码列中加入冗余位(也称纠错位)可以实现前向纠错，但这种方法比简单重传协议的成本要高。
海明码利用奇偶块机制降低了前向纠错的成本。
如果一条信息中包含更多用于纠错的位，且通过妥善安排这些纠错位使得不同的出错位产生不同的错误结果，那么我们就可以找出出错位了。
在一个7位的信息中，单个位出错有7种可能，因此3个错误控制位就足以确定是否出错及哪一位出错了。
海明码SECDED（single error correction, double error detection）版本另外加入一个检测比特，可以侦测两个或以下同时发生的比特错误，并能够更正单一比特的错误。
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r 1 = I 0 + I 2 + I 3 + I 5 + I6 = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0
r2 = I1 + I2 + I3 = 0 +0 +1 = 1 r3 = I4 + I5 + I6 = 0 + 0 + 0 = 0
• 海明码为0011001000： r0 r1 I0 r2 I1 I2 I3 r3 I4 I5 I6
2.1 海明码
• 海明码是一种可以纠正一比特错误的编码。
• 基本设计思想：
–编码：在k比特信息上附加r比特的校验位，构成n=k+r 比特的码字，其中每个校验比特和某几个特定的信息比 特构成偶校验的关系。 –检验：接收端检验r个偶校验关系，即将每个校验比特 和与它关联的信息比特相加（异或），相加结果称为校 正因子。若r个校正因子全为0，认为没有错误；否则， 校正因子指出发生错误的比特位。
如何检测与纠正错误？
• 码字（codeword）：由m比特的数据（消息）加上r比特的 冗余（校验位）构成。 • 有效编码集：由2m个（符合编码规则的）有效码字组成。 • 检错：当收到的码字为无效码字时，称检测出错误。 • 海明距离（Hamming Distance）：两个码字的对应位上取 值不同的位数。 • 纠错：将收到的无效码字纠正到距其最近的有效码字。 • 检错码与纠错码的能力都是有限的。
校验比特的位数
• 为利用 r 个校正因子区分无差错和码字中n 个不同位置的一比特错（共n+1种情况）， 校验比特的位数 r 应满足： 2r ≥ n + 1 = k + r + 1 • 比如：7-4海明码，11-7海明码。
信息比特与校验比特的位置
• 信息比特与校验比特的位置：2k 位置上是校验比特 rk，其 余位置是信息比特 Ii，以11-7海明码为例： r0 r1 I0 r2 I1 I2 I3 r3 I 4 I5 I6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
海明码
编码
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 1 0 0 1 1 1 0 1
1,2,4,8是校验位! 其余位是信息位.
最终的 海明码 采用偶 检验哦!
码字
0
为什么此 处是1? (1) 0
(8) 1
(9)(10)(11) 0 1 0 奇数个1
(3)(5)(7)(9)(11) 之和的形式，则该信息比 特应参与这些校验比特的生成，如：
3 = 20 +21，则 I0 应参与 r0 和 r1 的生成。
编码与检验的方法
• 海明码的构造：
3 = 20 +21 5 = 22 +20 6 = 22 +21 7 = 22 +21 + 20 9 = 23 +20 10 = 23 +21 11 = 23 +21 + 20 发送端计算校验位： r0 = I0 + I1 + I3 + I 4 + I6 r1 = I0 + I2 + I3 + I 5 + I6 r2 = I1 + I2 + I3 r3 = I4 + I5 + I6 接收端计算校正因子： S0 = r 0 + I 0 + I 1 + I 3 + I 4 + I 6 S1 = r 1 + I 0 + I 2 + I 3 + I 5 + I 6 S2 = r 2 + I 1 + I 2 + I 3 S3 = r 3 + I 4 + I 5 + I 6
0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0
检验举例
• 收到码字00111010000：
r0 r1 I0 r2 I1 I 2 I3 r3 I4 I5 I6 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0
S0 = r0 + I0 + I1 + I3 + I4 + I6 = 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 = 1 S1 = r1 + I0 + I2 + I3 + I5 + I6 = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0 S2 = r2 + I1 + I2 + I3 = 1 + 1 + 0 +1 = 1 S3 = r3 + I4 + I5 + I6 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 错误位置：S = 0101 = 5
海明码
由上图可看出,海明码的信息余量很大,因而编号效率低. 例:根据海明编码方法,对ASCII字符Z(二进制编码是1011010), 形成11位码字,要求简单地写出编码过程.并说明在传输过程中, 有一位错的情况下,如何能够检查出是哪一位是错的? 解: m=7,n =11,r =4 编号: 1=1,2=2,3=1+2,4=4,5=1+4,6=2+4,7=1+2+4,8=8,9=1+8, 被检测位： 10=2+8,11=1+2+8 数据位 于是有: (1) (3)+(5)+(7)+(9)+(11) 检测位 (2) (3)+(6)+(7)+(10)+(11) (4) (5)+(6)+(7) (8) (9)+(10)+(11)
海明码
(2)海明码算法
①将码字数内的位从最左边开始按顺序依次编号,第1位 是1号,第2位是2号, ……第n位是n号.编号为2的幂的 位(1号位,2号位,4号位,8号位等)是校验位,其余的位 填入m 位数据(2 r ≧n+1). ②每个校验位的取值应使得包括自己在内的一些位的集 合符合规定的奇偶性.(主要用于奇偶性校验)
2 检错和纠错
• 传输出错的类型
–单个错：由随机的信道热噪声引起，一次只影响1位。 –突发错：由瞬间的脉冲噪声引起，一次影响许多位。 用突发长度表示突发错影响的最大数据位数。
• 差错编码的类型
–检错码：只能检测到数据传输发生了错误，但无法自 行纠正，通常与反馈重传结合起来进行差错恢复。 –纠错码：不权能够检测出数据传输发生了错误，而且 能够自行纠正错误。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
校验位
海明码
③为了知道编号为K的数据位对哪些检测 位有影响,将编号K 改写成2的幂的和 (如:11=1+2+8, 29=1+4+8+16),1个位只 由扩展式中所示编号的位检测(编号为 11的位,只能由1,2,8 检测位检测) ④由于在每个校验位的形成表达式中,除 自身编号外,其余都是信息位的编号,因 此只要信息位是确定的,校验位也可以 唯一地确定.
• 比特5有错，正确码字应为00110010000。
海明码
1. 海明码
(1)海明距离及意义 两个码字中不同的位数的个数称为海明距离,简称 H距离
1 0 0 0 1 0 0 1 H=3 10110001
求H距离的方法主要有:异或运算 海明距离的意义是:假如两个码字具有海明距离d ,
则需要d 个位差错才能将其中一个码字转换成另 一个.
编码集的检错与纠错能力
• 编码集的海明距离：编码集中任意两个有效码字的海明距 离的最小值。 • 检错能力：为检测出 d比特错误，编码集的海明距离至少 应为d+1；奇偶校验是能够检测出1比特错误的检错码。 • 纠错能力：为纠正 d 比特错误，编码集的海明距离至少应 为2d+1；海明码是能够纠正1比特错误的纠错码。
• 海明码的检验：
若S = S3S2S1S0 = 0000，无错；否则，错误比特的位置由 ( S3S2S1S0 ) 指示。
编码举例
• 信息比特为1001000: r0 r1 I0 r2 I1 I2 I3 r3 I4 I5 I6 1 0 0 1 0 0 0
r0 = I0 + I1 + I3 + I 4 + I6 = 1 + 0 + 1 + 0 + 0 = 0