长沙市九年级上学期数学开学考试试卷
湖南省长沙市雅礼实验中学2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题
湖南省长沙市雅礼实验中学2022-2023学年九年级上学期开
学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
．．
．．
．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约
A．2
=+
9．一次函数y ax b
图象可能是（）
．．．．
二、填空题
15．如图，在ABC 中，D ，E 分别为4AB =，7BC =，则EF 的长为
16．如图所示，已知二次函数y =点C ，对称轴为直线1x =．直线点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①③()x ax b a b +≤+；请写出所有正确选项的序号
三、解答题17．计算：()
(
1
2022
1231-⎛⎫
-+⨯ ⎪⎝⎭
-
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
0,4-，求出此时△AFP面积的最大值；
(2)如图1，当点F的坐标为()
(3)如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出
所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．。
湖南省长沙市九年级上学期数学开学试卷
湖南省长沙市九年级上学期数学开学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（每题3分，共30分） (共10题；共30分)1. （3分）(2017·锦州) ﹣的绝对值是（）A .B . ﹣C .D .2. （3分） (2019八上·南安期中) 下列式子中，正确的是（）A .B .C .D .3. （3分） (2020八下·富平期末) 若分式的值为0.则（）A .B .C .D .4. （3分）(2014·崇左) 在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（）A . 众数B . 中位数C . 平均数D . 方差5. （3分）如图，平行四边形ABCD中，经过两对角线交点O的直线分别交BC于点E，交AD于点F. 若BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长等于（）.A . 14B . 15C . 16D . 无法确定6. （3分）方程mx2-3x=x2-mx+2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为（）A . ｍ≠０B . ｍ≠１C . ｍ≠－１D . ｍ≠±１7. （3分）某商品进价是200元，标价是300元，要使该商品利润为20％，则该商品销售应按（）A . 7折B . 8折C . 9折D . 6折8. （3分）(2017·临沭模拟) 位于第一象限的点E在反比例函数y= 的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO=EF，△EOF的面积等于2，则k=（）A . 4B . 2C . 1D . ﹣29. （3分）如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC与BD相交于点E，下列结论中错误的是（）A . ∠DAE=∠CBEB . △DEA≌△CEBC . CE=DAD . △EAB是等腰三角形10. （3分）已知点P（x，y）满足y=，则经过点P的反比例函数的图像经过（）A . 第一、二象限B . 第三、四象限C . 第一、三象限D . 第二、四象限二、选择题（每题4分，共24分） (共6题；共24分)11. （4分）(2018·天河模拟) 分解因式：x2＋3x＝________.12. （4分） (2015七下·农安期中) 一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°．则∠BFD的度数是________．13. （4分） (2016九上·越秀期末) 若函数，当时，函数值y随自变量x的增大而减少，则m的取值范围是________．14. （4分）(2017·河北模拟) 计算：﹣2﹣1+ ﹣|﹣2|=________．15. （4分） (2019八下·乌鲁木齐期中) 连结矩形四边中点所得四边形是________.16. （4分） (2020八上·柯桥开学考) 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝________.三、解答题（本题有7小题，共66分） (共7题；共64分)17. （6分） (2019八下·绍兴期中) 计算：（1）（2）．18. （8分） (2016八上·兰州期中) 正方形的边长为2，建立合适的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．19. （8.0分） (2018·夷陵模拟) 学生小明、小华为了解本校八年级学生每周上网的时间，各自进行了抽样调查．小明调查了八年级信息技术兴趣小组中40名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为2.5h；小华从全体320名八年级学生名单中随机抽取了40名学生，调查了他们每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为1.2h．小明与小华整理各自样本数据，如表所示．时间段（h/周）小明抽样人数小华抽样人数0～16221～210102～31663～482（每组可含最低值，不含最高值）请根据上述信息，回答下列问题：（1）你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？________．估计该校全体八年级学生平均每周上网时间为________h；（2）在具有代表性的样本中，中位数所在的时间段是________h/周；（3）专家建议每周上网2h以上（含2h）的同学应适当减少上网的时间，根据具有代表性的样本估计，该校全体八年级学生中有多少名学生应适当减少上网的时间？20. （10分）(2020·温州模拟) 已知：如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.求证：BF＝DE21. （10分） (2019九上·上街期末) 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小.22. （12分）(2019·盐城) 如图所示・二次函数的图像与一次函数的图像交于A、B两点，点B在点A的右側，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0.（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图像的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.23. （10分）(2019·花都模拟) 已知：正方形ABCD，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E、F分别在边BC、CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF；童威同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，所以△ADF≌△ABG．（2）如图2，点M、N分别在边AB、CD上，且BN＝DM．当点E、F分别在BM、DN上，连接EF，探究三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，当点E、F分别在对角线BD、边CD上．若FC＝2，则BE的长为________．参考答案一、选择题（每题3分，共30分） (共10题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、选择题（每题4分，共24分） (共6题；共24分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题（本题有7小题，共66分） (共7题；共64分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、第11 页共11 页。
2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级(上)开学数学试卷祥细答案与解析
2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1. 下列方程一定是一元二次方程的是( )−1=0 B.5x2−6y−3=0A.3x2+2xC.ax2+bx+c=0D.3x2−2x−1=02. 某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（）A.众数是80B.方差是25C.平均数是80D.中位数是753. 菱形的两条对角线的长分别为60cm和80cm，那么边长是（）A.60cmB.50cmC.40cmD.80cm4. 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(−1, 0)，点C的坐标是(2, 4)，则BD的长是( )A.6B.5C.3√3D.4√25. 如图，在▱ABCD中，AD＝12，AB＝8，AE平分∠BAD，交BC边于点E，则CE的长为（）A.8B.6C.4D.26. 如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25∘，则∠AED的度数为（）A.60∘B.65∘C.70∘D.75∘7. 二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b(a≠0)的图象大致是( )A. B.C. D.8. 若顺次连接对角线互相垂直的四边形ABCD四边的中点，得到的图形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形9. 若m是方程x2−2x−1＝0的根，则1+m−12m2的值为（）A.12B.1 C.32D.210. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A.255分B.84分C.84.5分D.86分11. 已知A(x1, y1)，B(x2, y2)是二次函数图象上y＝ax2−2ax+a−c(a≠0)的两点，若x1≠x2且y1＝y2，则当自变量x的值取x1+x2时，函数值为（）A.−cB.cC.−a+cD.a−c12. 已知二次函数y＝−x2+mx+m（m为常数），当−2≤x≤4时，y的最大值是15，则m的值是（）A.−19或315B.6或315或−10C.−19或6D.6或315或−19二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）已知函数关系式：y=√x−1，则自变量x的取值范围是________．已知x1，x2是方程x2+x−1＝0的两根，则x2x1+x1x2=________．将直线y＝2x+1平移后经过点(5, 1)，则平移后的直线解析式为________．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )A.x(x+1)=1056B.x(x−1)=1056C.x(x+1)=1056×2D.x(x−1)=1056×2如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(−12, 0)，对称轴为直线x=1，下列5个结论：①abc<0；②a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤m(am+b)．其中正确的结论为________．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）已知一个二次函数的图象经过点A(−1， 0)，B(3， 0)和C(0， −3)三点．(1)求此二次函数的解析式；(2)求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标．解一元二次方程：（1）x2+4x+1＝0（配方法）；（2）用公式法解方程：2x2+3x−1＝0．某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取10名学生的成绩如下表，请回答问题：（1）填空：10名学生的射击成绩的众数是________，中位数是________．（2）求这10名学生的平均成绩．（3）若9环（含9环）以上评为优秀射手，试估计全年级500名学生中有多少是优秀射手？如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)若四边形DEBF是菱形，则需增加的一个条件是________．试说明理由．(3)在(2)的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求该种植户每年投资的增长率；（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．（1）求AB的长；（2）求点C和点D的坐标；（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=12S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎，该公司每年的年产量为6万件，每年可在国内和国外两个市场全部销售，若在国内销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（万件）的函数关系式为y1={80(0≤x≤1)−x+81(1<x≤6)若在国外销售，平均每件产品的利润为71元．（1）求该公司每年的国内和国外销售的总利润w（万元）与国内销售量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围．（2）该公司每年的国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，并从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m≤10)元给希望工程，从国外销售的每件产品中捐出m元给希望工程，若这时国内国外销售的最大总利润为393万元，求m的值．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是________三角形；（2）若抛物线y＝−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y＝−x2+b′x(b′>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（4）若抛物线y＝−x2+4mx−8m+4与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年湖南省长沙市某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）1.【答案】D【考点】一元二次方程的定义【解析】利用与一元二次方程定义进行分析即可．【解答】解：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程；−1=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；A，含有分式，3x2+2xB，含有2个未知数，5x2−6y−3=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；C，当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不合题意；D，3x2−2x−1=0是一元二次方程，故此选项符合题意.故选D.2.【答案】D【考点】方差众数算术平均数中位数【解析】根据众数，方差、平均数，中位数的概念逐项分析即可．【解答】A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；B、方差是：1×[3×(80−80)2+(90−80)2+2×(80−75)2]＝25，正确，不符合6题意；C、平均数是(80+90+75+75+80+80)÷6＝80，正确，不符合题意；D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．3.【答案】B【考点】菱形的性质【解析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为√302+402=50(cm).故选B.4.【答案】B【考点】求坐标系中两点间的距离矩形的性质【解析】利用矩形的性质求得线段AC的长即可求得BD的长．【解答】解：∵点A的坐标是(−1, 0)，点C的坐标是(2, 4)，∴线段AC=√(4−0)2+(2+1)2=5，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝5.故选B.5.【答案】C【考点】平行四边形的性质【解析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝12，AD // BC，得出∠DAE＝∠BEA，证出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的长．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝12，AD // BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝8，∴CE＝BC−BE＝4．6.【答案】C【考点】正方形的性质【解析】先证明△ABE≅△ADE，得到∠ADE＝∠ABE＝90∘−25∘＝65∘，在△ADE中利用三角形内角和180∘可求∠AED度数．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90∘，DC＝DA，∠ADE＝∠CDE＝45∘．又DE＝DE，∴△ADE≅△CDE(SAS)．∴∠DAE＝∠DCE＝90∘−25∘＝65∘．∴∠AED＝180∘−45∘−65∘＝70∘．7.【答案】D【考点】二次函数的图象一次函数图象与系数的关系【解析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】<0，b<0，解：由二次函数图象，得出a<0，−b2aA、根据一次函数图象，得a>0，b>0，故A错误；B、根据一次函数图象，得a<0，b>0，故B错误；C、根据一次函数图象，得a>0，b<0，故C错误；D、根据一次函数图象，得a<0，b<0，故D正确.故选D.8.【答案】B【考点】平行四边形的判定矩形的判定正方形的判定菱形的判定中点四边形【解析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90∘，则这个四边形为矩形．【解答】如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF // AC，GH // AC，EH // BD，FG // BD（三角形的中位线平行于第三边），∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵AC⊥BD，EF // AC，EH // BD，∴∠EMO＝∠ENO＝90∘，∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN＝90∘，∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．9.【答案】A【考点】一元二次方程的解【解析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．【解答】∵m是方程x2−2x−1＝0的根，∴m2−2m−1＝0，∴m2−2m＝1，∴1+m−12m2＝1−12(m2−2m)＝1−12=12，10.【答案】D【考点】加权平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：∵85×2+80×3+90×52+3+5=86,∴ 小王的成绩为86分.故选D.11.【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系二次函数图象上点的坐标特征【解析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，则可判断A(x1, y1)和B(x2, y2)关于直线x＝1对称，所以x2−1＝1−x1，即x1+x2＝2，然后计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1，∵x1≠x2且y1＝y2，∴A(x1, y1)和B(x2, y2)关于直线x＝1对称，∴x2−1＝1−x1，∴x1+x2＝2，当x＝2时，y＝ax2−2ax+a−c＝4a−4a+a−c＝a−c．12.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的最值【解析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值，从而可以解答本题．【解答】∵二次函数y＝−x2+mx+m＝−(x−m2)2+m24+m，∴抛物线的对称轴为x=m2，∴当m2<−2时，即m<−4，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝−2时，−(−2)2−2m+m＝15，得m＝−19；当−2≤m2≤4时，即−4≤m≤8时，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x=m2时，m24+m＝15，得m1＝−10（舍去），m2＝6；当m2>4时，即m>8，∵当−2≤x≤4时，y的最大值是15，∴当x＝4时，−42+4m+m＝15，得m=315（舍去）；由上可得，m的值是−19或6；二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）【答案】x≥1【考点】函数自变量的取值范围【解析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】根据题意得，x−1≥0，解得x≥1．【答案】−3【考点】根与系数的关系【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝−1，x1x2＝−1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】根据题意得x1+x2＝−1，x1x2＝−1，所以x2x1+x1x2=x22+x12x1x2=(x1+x2)2−2x2x1x1x2=1+2−1=−3．【答案】y＝2x−9【考点】一次函数图象与几何变换【解析】直接利用一次函数平移的性质假设出解析式进而得出答案．【解答】设平移后的解析式为：y＝2x+b，∵将直线y＝2x+1平移后经过点(5, 1)，∴1＝10+b，解得：b＝−9，故平移后的直线解析式为：y＝2x−9．【答案】B【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x−1)张，即可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出(x−1)张.又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x(x−1)=1056．故选B.【答案】√262【考点】勾股定理【解析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】根据勾股定理，AB=√12+52=√26，BC=√22+22=2√2，AC=√32+33=3√2，∵AC2+BC2＝AB2＝26，∴△ABC是直角三角形，∵点D为AB的中点，∴CD=12AB=12×√26=√262．【答案】②⑤【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系【解析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c<0，故abc>0，故①错误，不符合题意；②将点(−12, 0)代入函数表达式得：a−2b+4c=0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，故2a+b=0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a−2b+4c=0，b=−2a，则c=−5a4，故2c−3b=7a2>0，故④错误，不符合题意；⑤当x=1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m(am+b)+c，故⑤正确，符合题意. 故答案为：②⑤.三、解答题（第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22题8分，第23、24题各9分，第25、26题各10分）【答案】解：(1)设二次函数解析式为y=a(x+1)(x−3)，∵抛物线过点C(0， −3)，∴−3=a(0+1)(0−3)，解得：a=1，∴y=(x+1)(x−3)，∴二次函数的解析式y=x2−2x−3.(2)由y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1， −4)．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数的性质(1)根据A 与B 的坐标设出抛物线的解析式，把C 坐标代入确定出即可；(2)把解析式化成顶点式即可求得．【解答】解：(1)设二次函数解析式为y =a(x +1)(x −3)，∵ 抛物线过点C(0， −3)，∴ −3=a(0+1)(0−3)，解得：a =1，∴ y =(x +1)(x −3)，∴ 二次函数的解析式y =x 2−2x −3；(2)由y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，∴ 对称轴是直线x =1，顶点坐标是(1， −4)．【答案】∵ x 2+4x +1＝0，∴ x 2+4x +4＝3，∴ (x +2)2＝3，∴ x +2＝±√3，∴ x 1＝−2+√3，x 2＝−2−√3；∵ a ＝2，b ＝3，c ＝−1，∴ △＝32−4×2×(−1)＝17>0，则x =−3±√174． ∴ x 1=−3+√174，x 2=−3−√174．【考点】解一元二次方程-配方法解一元二次方程-公式法【解析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】∵ x 2+4x +1＝0，∴ x 2+4x +4＝3，∴ (x +2)2＝3，∴ x +2＝±√3，∴ x 1＝−2+√3，x 2＝−2−√3；∵ a ＝2，b ＝3，c ＝−1，∴ △＝32−4×2×(−1)＝17>0，则x =−3±√174． ∴ x 1=−3+√174，x 2=−3−√174．7环,7环这10名学生的平均成绩为7.5环全年级500名学生中有100名是优秀射手【考点】众数中位数加权平均数用样本估计总体【解析】（1）根据众数、中位数的意义将10名学生的射击成绩排序后找出第5、6位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数．（2）根据平均数的计算方法进行计算即可，（3）样本估计总体，用样本中优秀人数的所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．【解答】射击成绩出现次数最多的是7环，共出现5次，因此众数是7环，射击成绩从小到大排列后处在第5、6位的数都是7环，因此中位数是7环，故答案为：7环，7环．6+7×5+8×2+9×210=7.5环，答：这10名学生的平均成绩为7.5环．500×210=100人，答：全年级500名学生中有100名是优秀射手．【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ DF//BE,∴ ∠OFD=∠BEO，∠FDO=∠EBO.∵ 点O是对角线BD的中点，∴ OB=OD.在△DOF和△BOE中，{∠OFD=∠OEB,∠FDO=∠EBO, OD=OB,∴ △DOF≅△BOE(AAS)，∴ OE=OF，∴ 四边形DEBF是平行四边形.DE=BE或EF⊥BD(3)解：∵ AB=8，AD=6，∴ BD=√AD2+AB2=10.∵ 由(2)知四边形DEBF是菱形，∴ OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2，∴x2=(8−x)2+62，解得x=254，即BE=254，∴ OE=√BE2−OB2=154，∴ EF=2OE=152.【考点】全等三角形的性质与判定矩形的性质菱形的判定菱形的性质平行四边形的判定勾股定理【解析】(1)根据已知条件及矩形ABCD的性质，判定△DOF≅△BOE，从而证明OE=OF，再由OB=OD即可得到四边形DEBF是平行四边形；(2)由(1)可知四边形DEBF是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到答案；(3)首先根据已知条件和勾股定理求得BD=10，再根据(2)的条件可知OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得到方程，解方程求出BE，进一步根据勾股定理及菱形的性质即可得到EF的长. 【解答】(1)证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ DF//BE,∴ ∠OFD=∠BEO，∠FDO=∠EBO.∵ 点O是对角线BD的中点，∴ OB=OD.在△DOF和△BOE中，{∠OFD=∠OEB,∠FDO=∠EBO, OD=OB,∴ △DOF≅△BOE(AAS)，∴ OE=OF，∴ 四边形DEBF是平行四边形.(2)解：DE=BE或EF⊥BD.理由：由(1)知四边形DEBF是平行四边形. ∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴ 当EF⊥BD时，四边形DEBF是菱形；∵邻边相等的平行四边形也是菱形，∴当DE=BE时，四边形DEBF是菱形. 故答案为：DE=BE或EF⊥BD.(3)解：∵ AB=8，AD=6，∴ BD=√AD2+AB2=10.∵ 由(2)知四边形DEBF是菱形，∴ OB=OD=5，BD⊥EF，OE=OF，设BE=x，则DE=x，AE=8−x，在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2，∴x2=(8−x)2+62，解得x=254，即BE=254，∴ OE=√BE2−OB2=154，∴ EF=2OE=152.【答案】设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元，根题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2＝95，解得：x＝−3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；2019年该种植户投资额为：20(1+50%)3＝67.5（万元）．【考点】一元二次方程的应用【解析】（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x．根据题意2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元．根据题意得方程求解；（2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．【解答】设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为20(1+x)万元，2018年种植投资为20(1+x)2万元，根题意得：20+20(1+x)+20(1+x)2＝95，解得：x＝−3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．∴该种植户每年投资的增长率为50%；2019年该种植户投资额为：20(1+50%)3＝67.5（万元）．【答案】令x＝0得：y＝4，∴B(0, 4)．∴OB＝4令y＝0得：0=−43x+4，解得：x＝3，∴A(3, 0)．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5．∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C(8, 0)．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即(x+4)2＝x2+82，解得：x＝6，∴D(0, −6)．存在，理由如下：∵S△PAB=12S△OCD，∴S△PAB=12×12×6×8＝12．∵点P在y轴上，S△PAB＝12，∴12BP⋅OA＝12，即12×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为(0, 12)或(0, −4)．【考点】一次函数图象与几何变换【解析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB 的长，（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D(0, −6)．（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P 的坐标．【解答】令x＝0得：y＝4，∴B(0, 4)．∴OB＝4令y＝0得：0=−43x+4，解得：x＝3，∴A(3, 0)．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB=√OA2+OB2=5．∵AC＝AB＝5，∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，∴C(8, 0)．设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即(x+4)2＝x2+82，解得：x＝6，∴D(0, −6)．存在，理由如下：∵S△PAB=12S△OCD，∴S△PAB=12×12×6×8＝12．∵点P在y轴上，S△PAB＝12，∴12BP⋅OA＝12，即12×3BP＝12，解得：BP＝8，∴P点的坐标为(0, 12)或(0, −4)．【答案】w＝y1⋅x+71(6−x)={80x+426−71x(0≤x≤1)−x2+81x+426−71x(1<x≤6)={9x+426(0≤x≤1)−x2+10x+426(1<x≤6)∴w={9x+426(0≤x≤1)−x2+10x+426(1<x≤6)由（1）知，当x＝1时，9x+426的最大值为435；当1<x≤6时，−x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，451>435∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．∵该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件∴该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1则总利润w＝(80−2m)x+(71−m)(6−x)＝(9−m)x+426−6m显然当10≥m≥9时，w的值小于393，当5≤m<9时，9−m>0，当x＝1时，令w＝(9−m)×1+426−6m＝393解得m＝6，当x＝0时，令w＝426−6m＝393，解得m＝5.5∵从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m≤10)元给希望工程∴x＝0不符合题意．∴m＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．【考点】二次函数的应用【解析】（1）由利润等于每件的利润乘以件数，代入分段函数解析式，化简可得解；（2）结合（1）分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可；（3）该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件则该公司每年在国内销售的件数x的范围为：0≤x≤1则总利润w＝(80−2m)x+(71−m)(6−x)＝(9−m)x+426−6m按照x值的范围代入，结合最大利润为393万元，可分析求得．【解答】w＝y1⋅x+71(6−x)={80x+426−71x(0≤x≤1)−x2+81x+426−71x(1<x≤6)={9x+426(0≤x≤1)−x2+10x+426(1<x≤6)∴w={9x+426(0≤x≤1)−x2+10x+426(1<x≤6)由（1）知，当x＝1时，9x+426的最大值为435；当1<x≤6时，−x2+10x+426的最大值为x＝5时的值，即451，451>435∴当该公司每年的国内销售量为5万件国外销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是451万元．∵ 该公司计划在国外销售不低于5万件，而该公司每年的年产量为6万件 ∴ 该公司每年在国内销售的件数x 的范围为：0≤x ≤1则总利润w ＝(80−2m)x +(71−m)(6−x)＝(9−m)x +426−6m 显然当10≥m ≥9时，w 的值小于393，当5≤m <9时，9−m >0，当x ＝1时，令w ＝(9−m)×1+426−6m ＝393 解得m ＝6，当x ＝0时，令w ＝426−6m ＝393，解得m ＝5.5∵ 从国内销售的每件产品中捐出2m(5≤m ≤10)元给希望工程∴ x ＝0不符合题意．∴ m ＝6时国内国外销售的最大总利润为393万元．【答案】等腰当抛物线y ＝−x 2+bx(b >0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点( b 2, b 24)，满足b 2=b 24(b >0)．则b ＝2．存在．如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形． 当OA ＝OB 时，平行四边形ABCD 是矩形，又∵ AO ＝AB ，∴ △OAB 为等边三角形．∴ ∠AOB ＝60∘，作AE ⊥OB ，垂足为E ，∴ AE ＝OEtan∠AOB =√3OE ．∴ b ′24=√3×b ′2(b >0)．∴ b′＝2 √3．∴ A( √3, 3)，B(2√3, 0)．∴ C(−√3, −3)，D(−2√3, 0)．设过点O 、C 、D 的抛物线为y ＝mx 2+nx ，则{12m −2√3n =03m −√3n =−3， 解得 {m =1n =2√3， 故所求抛物线的表达式为y ＝x 2+2√3x ．由−x 2+4mx −8m +4＝3，x =4m±√16m 2−4(8m−1)2=2m ±√4m 2−8m +1，当x 为整数时，须 4m 2−8m +1为完全平方数，设 4m 2−8m +1＝n 2 （n 是整数）整理得：(2m −2)2−n 2＝3，即 (2m −2+n)(2m −2−n)＝3两个整数的积为3，∴ {2m −2+n =12m −2−n =3 或{2m −2+n =32m −2−n =1 或{2m −2+n =−12m −2−n =−3或{2m −2+n =−32m −2−n =−1解得：{m =2n =−1 或{m =2n =1 或{m =0n =1 或{m =0n =−1， 综上，得：m ＝2或m ＝0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，当m＝2时，抛物线方程为y＝−x2+8x−12＝−(x−4)2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m＝0时，抛物线方程为y＝−x2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；∴抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0．【考点】二次函数综合题【解析】（1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b>0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA＝OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．（4）联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定m的整数值．【解答】如图；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA＝AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．故答案为：等腰．当抛物线y＝−x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点( b2, b24)，满足b2=b24(b>0)．则b＝2．存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB＝60∘，作AE⊥OB，垂足为E，∴ AE ＝OEtan∠AOB =√3OE ．∴ b ′24=√3×b ′2(b >0)．∴ b′＝2 √3．∴ A( √3, 3)，B(2√3, 0)．∴ C(−√3, −3)，D(−2√3, 0)．设过点O 、C 、D 的抛物线为y ＝mx 2+nx ，则{12m −2√3n =03m −√3n =−3， 解得 {m =1n =2√3， 故所求抛物线的表达式为y ＝x 2+2√3x ．由−x 2+4mx −8m +4＝3，x =4m±√16m 2−4(8m−1)2=2m ±√4m 2−8m +1，当x 为整数时，须 4m 2−8m +1为完全平方数，设 4m 2−8m +1＝n 2 （n 是整数）整理得：(2m −2)2−n 2＝3，即 (2m −2+n)(2m −2−n)＝3两个整数的积为3，∴ {2m −2+n =12m −2−n =3 或{2m −2+n =32m −2−n =1 或{2m −2+n =−12m −2−n =−3或{2m −2+n =−32m −2−n =−1解得：{m =2n =−1 或{m =2n =1 或{m =0n =1 或{m =0n =−1， 综上，得：m ＝2或m ＝0；根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长， 当m ＝2时，抛物线方程为y ＝−x 2+8x −12＝−(x −4)2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；当m ＝0时，抛物线方程为y ＝−x 2+4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长； ∴ 抛物线与直线y ＝3交点的横坐标均为整数时m ＝2或m ＝0．。
长沙名校九年级入学考试数学试卷
九年级入学考试数学试卷一、单项选择题（共12分）1.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（）A．1B．√22C．√3D．√332.如图，在三角形ABC中D，E分别是AB和AC上的点，且DE平行BC，AE 比EC=5/2,D E=10，则BC的长为（）。
A．16B．14C．12D．113.一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝34.已知反比例函数y=kx(k≠0)，当x<0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx−k的图象经过（）。
A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限D．第二，三，四象限5.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈二、填空题（共24分）(x<0)图象上的点，过点A6.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。
|与（tanB−√3）2互为相反数，则∠C的度数7.已知△ABC，若有|sinA−12是。
8.将抛物线y＝﹣x2向右平移一个单位，所得函数解析式为。
9.把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。
10．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d的取值范围是。
三、解答题（共20分）11.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD ＝21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动（到A点不停），动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B 运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）。
湖南省长沙市湘郡未来实验学校2022-2023学年九年级上学期入学考试数学试题
湖南省长沙市湘郡未来实验学校2022-2023学年九年级上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．关于x 的方程2440kx x -+=有实数根，k 的取值范围是（）A ．1k <且0k ≠B ．1k <C ．1k ≤且0k ≠D ．1k ≤3．某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x ，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（）．A ．()22981268-=x B ．()22981268+=x C ．()29812268-=x D ．()22981268-=x 4．下列说法不正确．．．的是（）A ．点(1,2)A -在第二象限B ．点(2,3)P --到y 轴的距离为2C ．若点(1,2)A a a --在x 轴上，则1a =D ．点(3,2)A -关于原点的对称点A '的坐标是(3,2)-5．将二次函数2(1)2y x =+-的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（）A ．2(1)5y x =--B ．2(1)1y x =-+C ．2(3)1y x =++D ．2(3)5y x =+-6．如果二次函数2y ax c =+的图象如图所示，那么一次函数y ax c =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，点E 从点A 出发沿AB 向点B 运动，移动到点B 停止，延长EO 交CD 于点F ，则四边形AECF 形状的变化依次为（）A ．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B ．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C ．平行四边形→正方形→菱形→矩形D ．平行四边形→菱形→正方形→矩形8．如图， ABC 中，∠B =35°，∠BAC =70°，将 ABC 绕点A 旋转逆时针旋转α度（0180α<<）后得到 ADE ，点E 恰好落在BC 上，则α=（）A ．30°B ．35°C ．40°D ．不能确定9．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若ACB ∠＝36°，则∠OAB ＝（）A ．18°B ．54°C ．36°D ．72°二、填空题三、解答题19．已知y 与2x +成正比例，且当1x =时，y =-6．(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)若点()P n 4，在这个函数的图像上，求n 的值．20．解一元二次方程：(1)22410x x --=；(2)()()1310x x x -+-=．21．学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了20名学生的调查结果（满分为100分，分数用x 表示，共分成四组：A ：x ＜85，B ：85≤x ＜90，C ：90≤x ＜95，D ：95≤x ≤100）进行整理、描述和分析，当分数不低于85分说明心理健康，下面给出部分信息．八年级随机抽取了20名学生的分数是：72，80，81，82，86，88，90，90，91，92，92，92，93，93，95，95，96，96，97，99．九年级随机抽取了20名学生的分数中，A 、B 两组数据个数相等，B 、C 两组的数据是：86，88，88，89，91，91，91，92，92，93．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AB=2，BC=4，求AE的长．23．某商家购进了A，B两种类型的冬奥吉祥物纪念品，已知型纪念品的价钱一样，2套A(1)求A，B两种类型纪念品的进价；(1)求证：AE DE⊥；(1)求抛物线的解析式，且直接写出点A 、点B 的坐标；(2)若点G 是抛物线的对称轴上一动点，且使AG CG +最小，则G 点坐标为：(3)在直线x t =（第一象限部分）上找一点P ，使得以点P 、点B 、点F 为顶点的三角形与OBC △全等，请你直接写出点P 的坐标；(4)点M 是射线AC 上一点，点N 为平面上一点，是否存在这样的点M ，使得以点点A 、点M 、点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．26．在y 关于x 的函数中，对于实数a ，b ，当a x b ≤≤且3b a =+时，函数max y ，最小值min y ，设max min h y y =-，则称h 为y 的“极差函数”(此函数为数)；特别的，当max min h y y =-为一个常数(与a 无关)时，称y 有“极差常函数(1)判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“⨯”．2(y x =①______)；22(y x =-+②______)；2(y x =③______)．(2)y 关于x 的一次函数y px q =+，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有。
2025届湖南省长沙市名校九年级数学第一学期开学复习检测模拟试题【含答案】
2025届湖南省长沙市名校九年级数学第一学期开学复习检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在中，点、分别是、的中点，如果，那么的长为（）．A ．4B ．5C ．6D ．72、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB =10BC =，,E F 分别在边,BC AD 上，BE DF =.将ABE ∆，CDF ∆分别沿着,AE CF 翻折后得到AGE ∆、CHF ∆.若AG 分别平分EAD ∠，则GH 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．73、（4分）下列事件中必然事件有（）①当x 是非负实数时，≥0；②打开数学课本时刚好翻到第12页；③13个人中至少有2人的生日是同一个月；④在一个只装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、（4分）在平面直角坐标系中，点M （﹣2，1）在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、（4分）如图所示，由已知条件推出结论错误的是（）A ．由∠1＝∠5，可以推出AB ∥CD B ．由AD ∥BC ，可以推出∠4＝∠8C ．由∠2＝∠6，可以推出AD ∥BC D ．由AD ∥BC ，可以推出∠3＝∠76、（4分）下列根式是最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．7、（4分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A ．1，1B ．4，5，6C ．6，8，11D ．5，12，158、（4分）若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则常数c 的值是()A ．6B ．9C ．24D ．36二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若分式11x x -+的值为零，则x 的值为_____．10、（4分）如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF ；④S 正方形ABCD =2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．11、（4分）如图，四边形OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y 1＝1k x 和y 2＝2k x 的一支上，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为M 和N ，则有以下的结论：①12k AM CN k =②阴影部分面积是12（k 1﹣k 2）③当∠AOC ＝90°时，|k 1|＝|k 2|；④若四边形OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称．其中正确的结论是_____．12、（4分）若关于x 的分式方程32ax x --＝32x -+2有正整数解，则符合条件的非负整数a 的值为_____．13、（4分）如图，在宽为10m ，长为30m 的矩形地块上修建两条同样宽为1m 的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据计算，耕地的面积为m 1．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）化简：（1）22241---÷+a a a a a ；（2）22221(1)121a a a a a a +-÷++--+．15、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝﹣x 的图象与反比例函数y ＝k x （x ＜0）的图象相交于点A （﹣4，m ）．（1）求反比例函数y ＝k x 的解析式；（2）若点P 在x 轴上，AP ＝5，直接写出点P 的坐标．16、（8分）在Rt ABC 中，90ACB ∠︒＝，30A ＝∠︒，点D 是AB 的中点，DE BC ⊥，垂足为E ，连接CD ．（1）如图1，DE 与BC 的数量关系是__________.（2）如图2，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE BF BP 、、三者之间的数量关系，并证明你的结论；17、（10分）计算（1）﹣（2）（）2﹣．18、（10分）（1）分解因式：3322816a b a b ab -+-；（2）化简：22142a a a -+-+.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，以顶点C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交CB ，CA 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线CP 交AB 于点D ，若3AD =，12BC =，则DBC S △的值是__________．20、（4分）已知一次函数y kx b =+经过(1,2)-，且与y 轴交点的纵坐标为4，则它的解析式为______.21、（4分）分式||55x x -+的值为1．则x 的值为_____．22、（4分）点A （1，3）_____（填“在”、或“不在”）直线y ＝﹣x +2上．23、（4分）如图在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，4AB =，BCD ∆为等边三角形，点E 为BCD ∆围成的区域(包括各边)内的一点，过点E 作//EM AB ，交直线AC 于点M ，作//EN AC ，交直线AB 于点N ，则平行线EM 与AB 间距离的最大值为_________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）小聪从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后，又走到文具店去买笔，然后走回家，如图是小聪离家的距离y （单位：km ）与时间x （单位：min ）的图象。
湖南省长沙市华益中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题
湖南省 长沙市华益中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题一、单选题1．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg 左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）A ．5310-⨯B ．4310-⨯C ．40.310-⨯D ．50.310-⨯ 2．学校食堂有10元、12元、15元三种价位的午餐供学生选择（每人购一份），某天午餐销售情况如图所示，则当天学生购买午餐的平均费用是（ ）A ．10.8元B ．11.8元C ．12.6元D ．13.6元 3．四边形ABCD 中，A C ∠=∠，B D ∠=∠，则下列结论不一定正确的是（ ） A ．A B ∠=∠B ．AD BC ∥ C ．AB CD = D ．对角线互相平分4．一次函数()23y k x =-+，函数值y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k < C ．2k > D ．2k < 5．关于x 的一元二次方程240x x k +-=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．4- B ．4 C ．0 D ．166．新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本为12.8 万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x ，则根据题意所列方程正确的是（ ） A ．()213112.8x -=B ．()213112.8x -=C ．()212.8113x -=D ．()213112.8x +=7．如图，在ABC V 中，30B ∠=︒，分别以点B ，C 为圆心，以大于12BC 长为半径画弧，交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则ADC ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒8．如图，DE 为ABC V 的中位线，ABC ∠的角平分线交DE 于点F ，若210EF BC ==，，则AB 的长为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．99．下列图象中，当0ab >时，函数2y ax =与y ax b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题10．已知二次函数212y x bx =-+与212y x bx =-的图像均过点()4,0A 和坐标原点O ，这两个函数在04x ≤≤时形成的封闭图像如图所示，P 为线段OA 的中点，过点P 且与x 轴不重合的直线与封闭图像交于B ，C 两点．给出下列结论：①2b =；②PB PC =；③以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形可以为正方形；④若点B 的横坐标为1，点Q 在y 轴上（Q ，B ，C 三点不共线），则BCQ △周长的最小值为5其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、填空题11．分式方程322x x=-的解为． 12．如图，正方形ABCD 的面积为4，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则四边形EFGH 的面积为．13．已知方程220x x k -+=的一个根为2-，则方程的另一个根为．14．自由落体的公式为s=12gt 2（g 为重力加速度，g=9.8m/s 2）．若物体下落的高度s 为78.4m ，则下落的时间t 是s ．15．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,60,10,O ADC AC E ∠=︒=是AD 的中点，则OE 的长是．16．如图，一次函数y kx b =-与一次函数y mx n =-+的图象相交于点()2,3A ，则关于,x y 的方程组kx y b mx y n -=⎧⎨+=⎩的解为．四、解答题17．计算：12022012(1)( 3.14)2π-+-+- 18．解下列方程：(1)2210x x --=；(2)()()3121x x x -=-19．已知直线124y x =-与x 轴交于点M ，直线25y x =-与x 轴交于点N ；(1)点M 的坐标为____________；(2)两直线交点A 坐标为____________；点N 的坐标为____________；(3)AMN V 的面积为____________．20．科学是当今社会发展的核心动力．为了响应国家对科普科幻的创作和发展的号召，某校组织了大科幻作品征集活动，并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计数绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题：(1)表中m 的值为______，所抽取班级征集到的作品数量的众数为______件，中位数为______件；(2)请计算所抽取班级征集到的作品数量的平均数；(3)若该校共有90个班级，请你估计该校征集到的作品总数量．21．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，OAB △是等边三角形．(1)证明：平行四边形ABCD 是矩形；(2)若4AB =，求AD 的长．22．关于x 的一元二次方程222(1)20x m x m -+++=．(1)若方程总有两个实数根，求m 的取值范围；(2)在（1）的条件下，若两个实数根1x ，2x 满足1212x x x x +=，求m 的值．23．“健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球．若购买3个篮球和1个排球共需360元；若购买5个篮球和3个排球共需680元．(1)求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？(2)该学校计划购进篮球和排球共100个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用．24．定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，[概念理解]（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．A ．平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的四边形[性质探讨]；（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：如图1，已知：四边形ABCD 是和谐四边形，和谐对角线AC 与对角线BD 交于点,O ABC V 与ADC △的面积相等．求证：BO DO =．[探究应用]；（3）①如图2，已知四边形ABCD 是和谐四边形，和谐对角线AC 与对角线BD 交于点,2E AC CE BC -=．求证：2BCE DAC ∠=∠；②如图3，已知直线122y x =+与抛物线27142y x x =--+交于A B 、两点，点C 在y 轴负半轴上，满足,CB CA CB CA =⊥，点D 在第一象限且位于抛物线上，若四边形ACBD 是和谐四边形，求点D 的横坐标．25．已知点()()()1122,,,M m m A x y B x y -、、都在二次函数2y x =的图象上，其中120,m x m x <<<．(1)求m 的值；(2)若直线AB 经过点()1,3-，且AMB V 的面积为3，求直线AB 的解析式；(3)当12x x x ≤≤时，记二次函数2y x =的最大值为P ，最小值为Q ，若213x x -=，求P Q -的取值．。
2025届湖南省长沙市名校九上数学开学经典模拟试题【含答案】
2025届湖南省长沙市名校九上数学开学经典模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）某科普小组有5名成员，身高（单位：cm ）分别为：160，165，170，163，172，把身高160cm 的成员替换成一位165cm 的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A ．平均数变小，方差变小B ．平均数变大，方差变大C ．平均数变大，方差不变D ．平均数变大，方差变小2、（4分）如图，矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，若30ACB ∠=︒，6AB =，则AC 等于()A ．8B ．10C ．12D ．183、（4分）下列二次根式中属于最简二次根式的是()A B C D ．4、（4分）如图所示，直角三角形ABO 的周长为100，在其内部有个小直角三角形周长之和为（）A ．90B ．100C ．110D ．1205、（4分）11k +-有意义，则一次函数11y k x k =-++（）（）的图象可能是A ．B ．C ．D ．6、（4分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知120AOD ︒∠=，2AB =，则AC 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．87、（4分）如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（）A ．24B ．18C ．12D ．98、（4分）荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（）A ．本次抽样调查的样本容量是5000B ．扇形图中的m 为10%C ．样本中选择公共交通出行的有2500人D ．若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC =AB 在x 轴上，点C 在y 轴正半轴上，点A 的坐标为()2,0.则直角边BC 所在直线的解析式为__________．10、（4分）如图，直线y =mx 与双曲线y =x k 交于A 、B 两点，D 为x 轴上一点，连接BD 交y 轴与点C ，若C （0，-2）恰好为BD 中点，且△ABD 的面积为6，则B 点坐标为__________.11、（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE=________．12、（4分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝1．分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 1．则S 1﹣S 2+S 3+S 1等于_____．13、（4分）在平面直角坐标系中，点()43P ,-到坐标原点O 的距离是______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D,（1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．15、（8分）如图，⊿ABC 是直角三角形，且90ABC ∠=,四边形BCDE 是平行四边形,E 为AC 的中点，BD 平分ABC ∠,点F 在AB 上，且BF BC =.求证：DF AE=16、（8分）如图，点A （1，0），点B 在y 轴正半轴上，直线AB 与直线l ：y =362x -相交于点C ，直线l 与x 轴交于点D ，AB .（1）求点D 坐标；（2）求直线AB 的函数解析式；（3）求△ADC 的面积.17、（10分）某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，这两种商品的进价、售价如表所示：进价（元/件）售价（元/件）甲种商品1520乙种商品2535设购进甲种商品x （179x ≤≤，且x 为整数）件，售完此两种商品总利润为y 元．（1）该商场计划最多投入1500元用于购进这两种商品共80件，求至少购进甲种商品多少件？（2）求y 与x 的函数关系式；（3）若售完这些商品，商场可获得的最大利润是__________元．18、（10分）已知在边长为4的菱形ABCD 中，∠EBF =∠A =60°，（1）如图①，当点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，①判断△EBF 的形状，并说明理由；②若四边形ABFD 的面积为DE 的长；（2）如图②，当点E 、F 分别在线段AD 、DC 的延长线上，BE 与DC 交于点O ，设△BOF 的面积为S 1，△EOD 的面积为S 2，则S 1-S 2的值是否为定值，如果是，请求出定值：如果不是，请说明理由．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，直线1y x =+与y 轴交于点1A ，依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、……正方形n n n n 1A B C C -，使得点12A A 、、…，n A 在直线1x +上，点12n C ,C ,,C 在x 轴上，则点2019B 的坐标是________20、（4分）当x ＝2018时，22111x x x x ----的值为____．21、（4分）平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=6，BC=8，若△AOB 是等腰三角形，则平行四边形ABCD 的面积等于_______________________.22、（4分）若实数a 、b 满足a ＋b ＝5，a 2b ＋ab 2＝－10，则ab 的值是_______．23、（4分）某学校八年级3班有50名同学，30名男生的平均身高为170,20cm 名女生的平均身高160cm ，则全班学生的平均身高是__________cm ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点C 在第一象限，BC 与x 轴平行．已知BC =2，△ABC 的面积为1．（1）求点C 的坐标．（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，△ABC 旋转到△A 1B 1C 的位置，求经过点B 1的反比例函数关系式．25、（10分）八年级（3）班同学为了解2020年某小区家庭1月份天然气使用情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理：月均用气量x （3m ）频数（户）频率0＜x ≤1040.0810＜x ≤20a 0.1220＜x ≤30160.3230＜x ≤4012b 40＜x ≤50100.2050＜x ≤6020.04（1）求出a，b的值，并把频数分布直方图补充完整；（2）求月均用气量不超过303m的家庭数占被调查家庭总数的百分比；（3）若该小区有600户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用气量超过403m的家庭大约有多少户？26、（12分）计算：（1）（3.14﹣π）0+（﹣12）﹣2﹣2×2﹣1（2）（2a2+ab﹣2b2）（﹣12 ab）参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D 【解析】根据平均数、中位数的意义、方差的意义，可得答案．【详解】解：原数据的平均数为15×（160+165+175+163+172）=166（cm ），方差为15×[（160-166）2+（165-166）2+（170-166）2+（163-166）2+（172-166）2]=19.6（cm 2），新数据的平均数为15×（165+165+170+163+172）=167（cm ），方差为15×[2×（165-167）2+（170-167）2+（163-167）2+（172-167）2]=11.6（cm 2），所以平均数变大，方差变小，故选D ．本题考查了方差，利用平均数、中位数和方差的定义是解题关键2、C 【解析】先根据矩形的性质得出90ABC ∠=︒，再利用直角三角形的性质即可得．【详解】四边形ABCD 是矩形90ABC ∴∠=︒在Rt ABC 中，30ACB ∠=︒，6AB =则212AC AB ==故选：C ．本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题关键．3、D【解析】解：A =A 错误；B ，不是最简二次根式，故B 错误；C ，根号内含有分母，不是最简二次根式，故C 错误；D 是最简二次根式，故D 正确．故选D ．4、B 【解析】过小直角三角形的直角定点作AO ，BO 的平行线，则四边形DEFG 和四边形EFOH 是矩形．∴DE=GF ，DG=EF=OH ，∴小直角三角形的与AO 平行的边的和等于AO ，与BO 平行的边的和等于BO ．∴小直角三角形的周长等于直角△ABC 的周长．∴这n 个小直角三角形的周长为1．故选B ．5、A 【解析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到k-1＞0，解k ＞1，则1-k ＜0，然后根据一次函数与系数的关系可判断一次函数的位置，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得k-1＞0，解k ＞1，因为k-1＞0，1+k>0，所以一次函数图象在一、二、三象限．故选：A ．本题考查一次函数与系数的关系：对于y=kx+b ，当b ＞0时，（0，b ）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b ）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．当k ＞0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；k ＞0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；k ＜0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．6、B【解析】根据矩形性质推出AO=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出AO，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∴AO=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=OB=AB=2，∴AC=2AO=4，故选B．本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AO的长和得出AC=2AO．7、A【解析】【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【详解】∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24，故选A．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.8、D【解析】【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．【详解】A、本次抽样调查的样本容量是200040%=5000，正确；B 、扇形图中的m 为10%，正确；C 、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，正确；D 、若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，错误，故选D ．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体等知识是解题的关键，另外注意学会分析图表．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、y=12x+1【解析】根据题意可得△AOC 与△COB 相似，根据对应边成比例即可得到BO 的长，利用待定系数法故可求解．【详解】∵A （2，0）∴AO=2，在Rt △AOC 中，4=，∴C （0，1）∵90ACB ∠=︒∴90ACO BCO ∠+∠=︒，又90ACO CAO ∠+∠=︒∴BCO CAO ∠=∠，又90AOC COB ∠=∠=︒∴△AOC ∽△COB ∴AO CO CO BO =,即244BO =∴BO=8∴B （-8，0）设直线BC 的解析式为y=kx+b把B （-8，0），C （0，1）代入得084k bb=-+⎧⎨=⎩解得124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴边BC 所在直线的解析式为y=12x+1故答案为：y=12x+1．此题主要考查相似三角形的性质与判定及一次函数解析式的求解，解题的关键是熟知待定系数法的应用．10、（32，-4）【解析】设点B 坐标为(a ，b)，由点C （0，-2）是BD 中点可得b=-4，D （-a ，0），根据反比例函数的对称性质可得A （-a ，4），根据A 、D 两点坐标可得AD ⊥x 轴，根据△ABD 的面积公式列方程可求出a 值，即可得点B 坐标.【详解】设点B 坐标为(a ，b)，∵点C （0，-2）是BD 中点，点D 在x 轴上，∴b=-4，D （-a ，0），∵直线y=mx 与双曲线y=x k 交于A 、B 两点，∴A （-a ，4），∴AD ⊥x 轴，AD=4，∵△ABD 的面积为6，∴S △ABD =12AD×2a=6∴a=32，∴点B 坐标为（32，-4）本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象是以原点为对称中心的双曲线，根据反比例函数的对称性表示出A 点坐标是解题关键.11、125.【解析】直接利用菱形的性质得出BO=3，CO=4，AC ⊥BD ，进而利用勾股定理以及直角三角形面积求法得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=12BD=3，OA=OC=12AC=4，在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4，∴，∵OE ⊥BC ，∴12OE•BC=12OB•OC ，∴OE=3412=55 ．12、2【解析】过F 作AM 的垂线交AM 于D ，通过证明S 2＝S Rt △ABC ；S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ；S 1＝S Rt △ABC ，进而即可求解．【详解】解：过F 作AM 的垂线交AM 于D ，可证明Rt △ADF ≌Rt △ABC ，Rt △DFK ≌Rt △CAT ，所以S 2＝S Rt △ABC ．由Rt △DFK ≌Rt △CAT 可进一步证得：Rt △FPT ≌Rt △EMK ，∴S 3＝S△FPT ，又可证得Rt △AQF ≌Rt △ACB ，∴S 1+S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ．易证Rt △ABC ≌Rt △EBN ，∴S 1＝S Rt △ABC ，∴S 1﹣S 2+S 3+S 1＝（S 1+S 3）﹣S 2+S 1＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ABC +S Rt △ABC ＝2﹣2+2＝2，故答案是：2．本题考查正方形的性质及三角形全等的判定与性质，根据已知条件证得S 2＝S Rt △ABC ，S 3＝S Rt △AQF ＝S Rt △ABC ，S 1＝S Rt △ABC 是解决问题的关键．13、5【解析】根据勾股定理解答即可．【详解】点P 到原点O 5．故答案为：5此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出距离．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）证明见解析（2）-1【解析】（1）先由旋转的性质得AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，利用AB=AC 可得AE=AF ，得出△ACF ≌△ABE ，从而得出BE=CF ；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE ，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以BE=BD=BE ﹣DE 求解．【详解】（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，在△ACF 和△ABE 中，AC ABCAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF ≌△ABE ∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE 为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，∴∠AEB=∠ABE ，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE 为等腰直角三角形，∴，∴BD=BE ﹣1-．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．15、证明见解析.【解析】分析：延长DE 交AB 于点G ，连接AD ．构建全等三角形△AED ≌△DFB （SAS ），则由该全等三角形的对应边相等证得结论.详解：证明：延长DE 交AB 于点G ，连接AD ．∵四边形BCDE 是平行四边形，∴ED ∥BC ，ED=BC ．∵点E 是AC 的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG ，DG ⊥AB ．∴AD=BD ，∴∠BAD=∠ABD ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC ，∴BF=DE ．∴在△AED 与△DFB 中，AD BD ADE DBF ED FB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AED ≌△DFB （SAS ），∴AE=DF ，即DF=AE.点睛：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．16、（1）点D 坐标为（4，0）；（2）s=﹣1x +1；（1）92【解析】【分析】(1)设y=0,可求D 的坐标；（2）由勾股定理求出OB ，再用待定系数法求函数解析式；（1）根据三角形面积公式：S △ABC =1AD CM 2⨯，可得.【详解】解;（1）当y=0时，3x 602-=，得x=4，∴点D 坐标为（4，0）．（2）在△AOB 中，∠AOB=90°∴3=，∴B 坐标为（0，1），∴直线AB 经过（1，0），（0，1），设直线AB 解析式s=kt+b ，∴03k b b +=⎧⎨=⎩解得33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为s=﹣1x+1．（1）如图,由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩得23x y =⎧⎨=-⎩∴点C 坐标为（2，-1）作CM ⊥x 轴，垂足为M ，则点M 坐标为（2，0）∴CM=0-（-1）=1AD=4-1=1．∴S △ABC =119AD CM 33222⨯=⨯⨯=.【点睛】本题考核知识点：一次函数.解题关键点：熟记一次函数的性质.17、（1）50件；（2）5800y x =-+；（3）795【解析】（1）根据表格中的数据和题意列不等式，根据179x ≤≤且x 为整数即可求出x 的取值范围得到答案；（2）根据题意和表格中的数据即可得到函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质即可求出答案.【详解】（1）由题意得15x+25（80-x ）1500≤，解得x 50≥，∵179x ≤≤，且x 为整数，∴5079x ≤≤，且x 为整数，∴至少购进甲种商品50件；（2）由题意得(2015)(3525)(80)5800y x x x =-+--=-+，∴y 与x 的函数关系式是5800y x =-+；（3）∵5800y x =-+，179x ≤≤，且x 为整数，∴当x=1时，y 有最大值，此时y 最大值=795，故答案为：795.此题考查一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，一次函数的性质求函数的最大值，正确理解题意列不等式或函数解决问题是解题的关键.18、（1）①△EBF 是等边三角形，见解析；②DE =1；（2）S 1-S 2的值是定值，S 1-S 2=．【解析】（1）①△EBF 是等边三角形．连接BD ，证明△ABE ≌△DBF （ASA ）即可解决问题．②如图1中，作BH ⊥AD 于H ．求出△ABE 的面积，利用三角形的面积公式求出AE 即可解决问题．（2）如图2中，结论：S 1-S 2的值是定值．想办法证明：S 1-S 2=S △BCD 即可．【详解】解：（1）①△EBF 是等边三角形．理由如下：如图1中，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB ，∵∠ADB=60°，∴△ADB 是等边三角形，△BDC 是等边三角形，∴AB=BD ，∠ABD=∠A=∠BDC=60°，∵∠ABD=∠EBF=60°，∴∠ABE=∠DBF ，在△ABE 和△DBF 中，A BDF AB BD ABE DBF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△DBF （ASA ），∴BE=BF ，∵∠EBF=60°，∴△EBF 是等边三角形．②如图1中，作BH ⊥AD 于H ．在Rt △ABH 中，，∴S △ABD =12，∵S 四边形ABFD ∴S △BDF =S ，∴12AE ⋅∴AE=3，∴DE=AD=AE=1．（2）如图2中，结论：S 1-S 2的值是定值．理由：∵△BDC ，△EBF 都是等边三角形，∴BD=BC ，∠DBC=∠EBF=60°，BE=BF ，∴∠DBE=∠CBF ，∴△DBE ≌△CBF （SAS ），∴S △BDE =S △BCF ，∴S 1-S 2=S △BDE +S △BOC -S △DOE =S △DOE +S △BOD +S △BOC -S △DOE =S △BCD =4×42故S 1-S 2的值是定值．本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（22019-1，22018）【解析】先求出直线y=x+1与y 轴的交点坐标即可得出A 1的坐标，故可得出OA 1的长，根据四边形A 1B 1C 1O 是正方形即可得出B 1的坐标，再把B 1的横坐标代入直线y=x+1即可得出A 1的坐标，同理可得出B 2，B 3的坐标，可以得到规律：B n （2n -1，2n-1），据此即可求解点B 2019的坐标．【详解】解：∵令x=0，则y=1，∴A 1（0，1），∴OA 1=1．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1=1，∴B 1（1，1）．∵当x=1时，y=1+1=2，∴B 2（3，2）；同理可得，B 3（7，4）；∴B 1的纵坐标是：1=20，B 1的横坐标是：1=21-1，∴B 2的纵坐标是：2=21，B 2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则B n（2n-1，2n-1），∴点B2019的坐标是（22019-1，22018）．故答案为：（22019-1，22018）．本题考查一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题关键．20、1．【解析】先通分，再化简，最后代值即可得出结论．【详解】∵x＝2018，∴22111x xx x----＝22111 x xx x -+--＝2211 x x x-+-＝2 (1)1 xx--＝x﹣1＝2018﹣1＝1，故答案为：1．此题主要考查了分式的加减，找出最简公分母是解本题的关键．21、1或【解析】分三种情形分别讨论求解即可解决问题；【详解】情形1：如图当OA=OB 时，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC=2OA ，BD=2OB ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的面积=1．情形2：当AB=AO=OC=6时，作AH ⊥BC 于H ．设HC=x ．∵AH 2=AB 2-BH 2=AC 2-CH 2，∴62-（x-8）2=122-x 2，∴x=434，∴AH=4，∴四边形ABCD 的面积=8×4．情形3：当AB=OB 时，四边形ABCD 的面积与情形2相同．综上所述，四边形ABCD 的面积为1或．故答案为1或2．本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.22、－1【解析】先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．【详解】解：a+b=5时，原式=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-1．故答案为：-1.本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．23、166【解析】只要运用求平均数公式：12n x n x x x ++⋯+=即可求得全班学生的平均身高．【详解】全班学生的平均身高是：()301702016016650x cm ⨯+⨯==．故答案为：1．本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）C （2，1）；（2）经过点B 1的反比例函数为y =6x ．【解析】（1）过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，BC 与x 轴平行可知CD ⊥BC ，ABC 1S BC CD 12∆=⋅=即可求出CD 的长，进而得出C 点坐标；（2）由图形旋转的性质得出CB 1的长，进而可得出B 1的坐标，设经过点B 1（2，3）的反比例函数为k y x =，把B 1的坐标代入即可得出k 的值，从而得出反比例函数的解析式．【详解】解：（1）作CD ⊥x 轴于D ．∵BC 与x 轴平行，∴S △ABC =12BC•CD ，∵BC=2，S △ABC =1，∴CD=1，∴C （2，1）；（2）∵由旋转的性质可知CB 1=CB=2，∴B 1（2，3）．设经过点B 1（2，3）的反比例函数为k y x =，∴3=2k ，解得k=6，∴经过点B 1的反比例函数为y=6x ．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到图形旋转的性质及三角形的面积公式、用待定系数法求反比例函数的解析式，涉及面较广，难度适中．25、（1）6，0.24，图见解析；（2）52%；（3）1．【解析】（1）先求出随机调查的家庭总户数，再根据“频数=频率⨯总数”可求出a 的值，根据“频率=频数÷总数”可求出b 的值，然后补全频数分布直方图即可；（2）根据总户数和频数分布表中“月均用气量不超过330m 的家庭数”即可得；（3）先求出“小区月均用气量超过340m 的家庭”的占比，再乘以600即可得．【详解】（1）随机调查的家庭总户数为40.0850÷=（户）则0.12506a =⨯=12500.24b =÷=补全频率分布直方图如下所示：（2）月均用气量不超过330m 的家庭数为461626++=（户）则26100%52%50⨯=答：月均用气量不超过303m 的家庭数占被调查家庭总数的百分比为52%；（3）小区月均用气量超过340m 的家庭占比为(0.200.04)100%24%+⨯=则60024%144⨯=（户）答：该小区月均用气量超过403m 的家庭大约有1户．本题考查了频数分布表和频数分布直方图，掌握理解频数分布表和频数分布直方图是解题关键．26、(1)2；（2）−a 1b−12a 2b 2+ab 1．【解析】（1）根据0次幂和负整数指数幂，即可解答．（2）根据单项式乘以多项式，即可解答．【详解】（1）（1.12﹣π）0+（﹣12）﹣2﹣2×2﹣1=1+2-2×12=1+2-1=2．（2）（2a 2+ab-2b 2）（-12ab ）=−a1b−12a2b2+ab1．本题考查了单项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记单项式乘以多项式的法则．。
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长沙市九年级上学期数学开学考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2019·芜湖模拟) 一元二次方程kx2+4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）
A . k＞4
B . k≥4
C . k≤4
D . k≤4且k≠0
2. （2分） (2019七上·道里期末) 已知下列方程：① ；② ；③ ；④ ；其中是一元二次方程的有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
3. （2分）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A . k＞-1
B . k＞-1且k≠0
C . k＜1
D . k＜1且k≠0
4. （2分）下列说法正确的是（）
A . 圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B . 在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C . 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D . 将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
5. （2分） (2019九上·潮南期末) 一个等腰三角形的底边长是5，腰长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长是（）
A . 12
B . 13
C . 14
D . 12或14
6. （2分）用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（）
A . （x﹣2）2=3
B . 2（x﹣2）2=3
C . 2（x﹣1）2=1
D . =
7. （2分）(2017·安顺) 若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）
A . 0
B . ﹣1
C . 2
D . ﹣3
8. （2分）已知x+2+=10，则x等于（）
A . 4
B . ±2
C . 2
D . ±4
9. （2分）已知一元二次方程x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（）
A . 该方程有两个相等的实数根
B . 该方程有两个不相等的实数根
C . 该方程无实数根
D . 该方程根的情况不确定
10. （2分） (2016九上·端州期末) 一元二次方程总有实数根，则m应满足的条件是：（）
A . m＞1
B . m=1
C . m＜1
D . m≤1
二、填空题 (共8题；共8分)
11. （1分） (2016九上·柘城期中) 如果（m﹣1）x2+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的取值范围为________．
12. （1分） (2017八上·扶沟期末) 已知a+b=8，a2b2=4，则﹣ab=________．
13. （1分） (2019八下·衢州期末) 如果关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为________.
14. （1分）如果△APC的三边长a、b、c满足关系式，则△APC的周长
是________．
15. （1分） (2018九上·阜宁期末) 已知这五个数据，其中、是方程的两个根，则这五个数据的极差是________．
16. （1分）(2019·陇南模拟) a、b、k都为常数，且 +|b﹣1|＝0，关于x的一元二次方程kx2+ax+b ＝0有两个相等的实数根，k的值为________．
17. （1分）(2018·福建模拟) 已知关于x的方程mx2+2x﹣1=0有两个实数根，则m的取值范围是________．
18. （1分）方程3（x﹣5）2=2（x﹣5）的根是________
三、解一元二次方程 (共1题；共20分)
19. （20分） (2018九上·遵义月考) 解下列方程
（1） 25x2﹣36＝0
（2） x2﹣4x﹣5＝0
（3） x2﹣4＝5x+10
（4） 2x2﹣2 x+1＝0
四、解方程解应用题 (共5题；共45分)
20. （5分）如图所示，某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m．求裁剪后剩下的阴影部分的面积．
21. （5分）某市2012年国民经济和社会发展统计公报显示，2012年该市新开工的住房有商品房、廉租房、经济适用房和公共租赁房四种类型．老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求经济适用房的套数，并补全图1；
（2）假如申请购买经济适用房的对象中共有950人符合购买条件，老王是其中之一．由于购买人数超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生．如果对2012年新开工的经济适用房进行电脑摇号，那么老王被摇中的概率是多少？
（3）如果计划2014年新开工廉租房建设的套数要达到720套，那么2013～2014这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率是多少？
22. （15分）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程
的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3） k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
23. （10分）(2020·江州模拟) 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.
（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%.某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2） 3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a%出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了，求a的值.
24. （10分）某农作物的生长率与温度（）有如下关系：如图，当10≤ ≤25时可近似用函数刻画；
当25≤ ≤37时可近似用函数刻画．
（1）求的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数 (天)与生长率满足函数关系，部分数据如下：生长率0.20.250.30.35
提前上市的天数（天）051015
求：①求关于的函数表达式；
②请用含的代数式表示
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。
（注：农作物上市售出后大鹏暂停使用）
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共8题；共8分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解一元二次方程 (共1题；共20分)
19-1、
19-2、
19-3、
19-4、
四、解方程解应用题 (共5题；共45分) 20-1、
21-1、22-1、
22-2、
22-3、23-1、
23-2、24-1、
24-2、。