高斯光束的基本性质及特征参数 (2)
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高斯光束的基本性质及特征参数r讲解
1/ e
2
2 ( z ) lim z 0 z
高斯光束的发散度由束腰半径ω 0决定。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化的球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
z
2
z 0 1 f
f2 R( z ) z z
高斯光束的共焦参数
2 0 f Z0
与传播轴线相 交于Z点的高斯光束 等相位面的曲率半 径
高斯光束的基本特征： (1)基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分 布按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外 平滑地下降，如图1-6所示。由中心振幅值下降到 1/e点所对应的宽度，定义为光斑半径。
Avalanche photodiode
R(z)随Z变化规律为：
2 2 f f R z z 1 2 z z z
结论： a)当Z=0时，R(z)→∞，表明束腰所在处的等 相位面为平面。 b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表明离束腰无 限远处的等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处； c)当z=±f时，│R(z)│=2f，达到极小值 。
决定了基模高斯光束的空间相移特性。 其 中 ， kz 描 述 了 高 斯 光 束 的 几 何 相 移 ； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移的附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 示与横向坐标 r 有关的相移，它表明高斯光束的等 相位面是以R(z)为半径的球面。
高斯光束的基本性质及特征参数
基模高斯光束
高斯光束在自由空间的传播规律
第三章--高斯光束及其特性
qM
AqM B 1 CqM D qM
D Ai 2B
1 (D A)2 4 B
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
1 D A 1 (D A)2 4
i
qM 2B
B
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
R(z) 2B (D A)
(z) (
)1 2
B12
1
D
2
A
2
2
0 (z)
z
R(z
)
1
1
2(z) R(z)
R(z) 2
2
(
z
)
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数：
➢ 用q参数表征高斯光束
u00
(
x
,
y
,
z
)
c00
0 (z
)
exp[
x2
2(
y2 z)
]exp{
i[k
(
z
x2 y2 ) arctg 2R(z)
1 11
q2 q1 F
q2
Aq1 Cq1
B D
复曲率半径q
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸： 入射高斯光束的光腰在l处， 出射高斯光束的光腰在l ’处
q q0
if
02
q
q0
if
02
等和式实两部端对的应虚相部等
f l
(l
F2 f F )2
l(l F ) f (l F )2 f
z f
]}
u00 ( x,
y, z) c00
0 exp{ik (z)
x2
10第二章 5高斯光束的基本性质及特征参数
例1 某高斯光束波长为?=3.14? m,腰斑半径为
w0=1mm, 求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R
解
f
?
??
2 0
?
?
3.14 3.14
? 10 ?6 ? 10 ?6
?
1m
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
w0
1?
0.52 12
? 1.12mm
R(z) ? z ? f 2 ? 0.5 ? 12 ? 2.5m
?
i[
k
(
z
?
r2 )? 2R( z)
arctg
z ]} f
重新整理 r
?
00 ( x,
y,
z)
?
?
c ( z)
exp{
? ik
r2 2
[
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
]}
exp[
?
i
(
kz
?
arctg
z )] f
引入一个新的参数 q(z)， 定义为
1 q(z)
?
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
? 参数q将? (z)和R(z)统一在一个表达式中，知
R ? R(z) ? z[1? ( f )2 ] ? f ( z ? f ) ? z ? f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
? (z) ? ?0
1? ( z)2 f
? (z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
2.6 高斯光束基本性质及特征参数详解
a、光腰半径
x方向：m2 2m 102 02 y方向：n2 2n 102 02
b、z处光斑半径
x方向： m2z 2m 1z2 z2 y方向： n2z 2n 1z2 z2
(5) 远场发散角
x方向： m
lim
z
2m z
z
y方向：
n
lim
z
2n z
z
2m 1 2 0
2n 1 2 0
1
2
z
R
z 1
R z w2 z
2
1
00 x,
y, z
c
wz
exp
ik
r2 2
1
Rz
i w2 z
e
i
kztg
1
z f
1
qz
1
Rz
i
2 z
1/q(z) —高斯光束的复曲率半径
知道q(z)可以求R (z)和 z
1
Rz
Re q1z
1
2 z
Im
q
1
z
特例：
自由空间为例
r2 Ar1 B1 近轴光 ,
2 Cr1 D1 r2 R22 r1 R11
R2
r2
2
AR1 B CR1 D
—ABCD公式
二、高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式 1、高斯光束与普通球面波参数与传输规律的对应
描述 传播
普通球面波 曲率半径
R2
AR 1 CR 1
B D
高斯光束
2.9 高斯光束基本性质和特征参数
在高斯近似下，稳定腔和共焦腔都输出高斯光束，对方形镜和 圆形镜腔，分别是厄米—高斯(高阶或基模)和拉盖尔—高斯(高 阶或基模)光束。
【精品】课件---04-高斯光束
r2
w2 z
exp
i
kz
arctan( z w02
)
exp[i
r2 ] 2R(z)
2.基模高斯光束的相移和等相位面分布
基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
x,
y,
z
k
z
r2 2R(z)
arctan
z w02
它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点(0,0)处的相位滞后
R(z) 符号意义为：如果R>0，则球面轴线上的半径方向为z正方向； 如果R<0，则为z负方向。
3
u0
x,
y, z
w0
wz
exp
r2
w2 z
exp i
kz
z arctan( w02
) exp[i
r2 ]
2R(z)
式中：
wz w0
1
z w02
2
w0
1
z z0
2
与轴线交于z点 的等相位面上 的光斑半径
11
二、高阶高斯光束
一）在直角坐标系下的场分布(方形孔径)
高阶高斯光束场的形式：由厄米多项式与高斯函数乘积描述
umn
x,
y,
z
Cmn
w0
wz
Hm
2x
w(
z)
Hn
2y
w(z)
exp
r2
w2
z
exp
i
kz
(1
m
n)
arctan
z w02
exp
i
r2 2R(z)
w0
2
1
z zR
4. 远场发散角
第六章高斯光束详解
波谷
波阵面是垂直于z轴的平面，平面上各点的振幅 相等，相位相同。
振幅A0与x，y无关，即垂直于光束传播方向的 横截面上的光强是均匀的。
1.2 均匀同心光束
波峰
E( x, y, z) A1 eikr r
K 2
r x2 y2 z2
特点：
k
k
波谷
波阵面是与点光源为球心的球面，球面上各点 的相位相同。
高斯光束的透镜变换要点示意
A
A’
（a）
C ω
ω ˊ Cˊ
-R
Rˊ
高斯光束透镜变换
（b）
4.2 求解实际问题的三个步骤：
入射高斯光束:
腰到透镜的距离z
束腰半径ω 0， 透镜的焦距f′
出射高斯光束:
束腰位置z′ 束腰半径ω0′
① 根据束腰位置z和束腰半径ω 0，求出入射高
斯激光束在透镜上的光束截面半径ω 和波面半 径R；
2
z ' 100.00mm
入射光束的束腰位于 透镜前焦点
出射光束的束腰位 于透镜的后焦点
4.3 透镜变换和几何光学成像规则的对照
0
1
z 02
2
1
2
R
z
1
02 z
2
1 1 R' R
'
1 f'
0
=
2
1+
2 R
2
z
R
1
R' 2
2
消去中间变量
1
z F
2
0
z 2
1
02
高斯激光束的传播过程中
光束半径ω 与z之间不符
合线性关系.
ω
波阵面是垂直于z轴的平面，平面上各点的振幅 相等，相位相同。
振幅A0与x，y无关，即垂直于光束传播方向的 横截面上的光强是均匀的。
1.2 均匀同心光束
波峰
E( x, y, z) A1 eikr r
K 2
r x2 y2 z2
特点：
k
k
波谷
波阵面是与点光源为球心的球面，球面上各点 的相位相同。
高斯光束的透镜变换要点示意
A
A’
（a）
C ω
ω ˊ Cˊ
-R
Rˊ
高斯光束透镜变换
（b）
4.2 求解实际问题的三个步骤：
入射高斯光束:
腰到透镜的距离z
束腰半径ω 0， 透镜的焦距f′
出射高斯光束:
束腰位置z′ 束腰半径ω0′
① 根据束腰位置z和束腰半径ω 0，求出入射高
斯激光束在透镜上的光束截面半径ω 和波面半 径R；
2
z ' 100.00mm
入射光束的束腰位于 透镜前焦点
出射光束的束腰位 于透镜的后焦点
4.3 透镜变换和几何光学成像规则的对照
0
1
z 02
2
1
2
R
z
1
02 z
2
1 1 R' R
'
1 f'
0
=
2
1+
2 R
2
z
R
1
R' 2
2
消去中间变量
1
z F
2
0
z 2
1
02
高斯激光束的传播过程中
光束半径ω 与z之间不符
合线性关系.
ω
Chap4高斯光束
⎛ λz ⎞ ⎛z⎞ ⎜ ⎟ 1+ ⎜ = ω 1 + 0 ⎜f⎟ ⎜ πω 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 0⎠ Lλ = 2π fλ
2 2
—任意位置光斑尺寸 —基模光腰半径 —等相面曲率半径
L πω f = = 0 = zR 2 λ
2
ω0 =
π
f2 R = R(z ) = z + z
共焦参数 瑞利长度
实际应用中常称2zR为高斯光束的准直距离 对一般稳定腔，需作下列转换：
4.1 高斯光束的基本性质和特征参数
(2)横向场分布及光斑花样
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ − ω 2 (z ) ⎟H n ⎜ ⎟e Hm⎜ x y ⎜ ω (z ) ⎟ ⎜ ω (z ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r2
—厄米—高斯函数
花样：沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。 (3)相移特征
r2 z φ r , z = kz + k − m + n + 1 arctg 2R f
L( R1 − L)( R2 − L)( R1 + R2 − L) g1 g 2 (1 − g1 g 2 ) L2 f = = 2 ( R1 + R2 − 2 L) (g1 + g 2 − 2 g1 g 2 )2
2
4.1 高斯光束的基本性质和特征参数
4.1.2 基模高斯光束的基本性质
1、振幅分布及光斑半径
及 R ( z ) 表征
2
⎡ ⎛ f ⎞2 ⎤ R = R( z ) = z ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ z ⎠ ⎦ ⎣ ⎝
⎡ ⎛ π ω (z ) ⎞ ω0 = ω ( z )⎢1 + ⎜ ⎜ λ R(z ) ⎟ ⎟ ⎢ ⎠ ⎣ ⎝
2 2
—任意位置光斑尺寸 —基模光腰半径 —等相面曲率半径
L πω f = = 0 = zR 2 λ
2
ω0 =
π
f2 R = R(z ) = z + z
共焦参数 瑞利长度
实际应用中常称2zR为高斯光束的准直距离 对一般稳定腔，需作下列转换：
4.1 高斯光束的基本性质和特征参数
(2)横向场分布及光斑花样
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ − ω 2 (z ) ⎟H n ⎜ ⎟e Hm⎜ x y ⎜ ω (z ) ⎟ ⎜ ω (z ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
r2
—厄米—高斯函数
花样：沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。 (3)相移特征
r2 z φ r , z = kz + k − m + n + 1 arctg 2R f
L( R1 − L)( R2 − L)( R1 + R2 − L) g1 g 2 (1 − g1 g 2 ) L2 f = = 2 ( R1 + R2 − 2 L) (g1 + g 2 − 2 g1 g 2 )2
2
4.1 高斯光束的基本性质和特征参数
4.1.2 基模高斯光束的基本性质
1、振幅分布及光斑半径
及 R ( z ) 表征
2
⎡ ⎛ f ⎞2 ⎤ R = R( z ) = z ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ z ⎠ ⎦ ⎣ ⎝
⎡ ⎛ π ω (z ) ⎞ ω0 = ω ( z )⎢1 + ⎜ ⎜ λ R(z ) ⎟ ⎟ ⎢ ⎠ ⎣ ⎝
高斯光束的基本性质及特征参数r
0
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
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q2 q1 F
• q参数的变换规律可统一表示为
q2
Aq1 B Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由
光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。
• 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
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• 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
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三、基模高斯光束的特征参数
用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决
• 附加相移为 • 光斑半径
mn
(m 2n 1)arctg
z f
mn(z) m 2n 1(z)
• 发散角
mn m 2n 10
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§2.6 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律 • 用q参数分析高斯光束的传输问题
定高斯光束腰斑的大小0和位置z
高斯光束的q参数
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00 (x, y, z)
c (z)
exp[
r2 2(z
)
]
exp{
i[k
(
z
r 2 ) arctg 2R(z)
z f
]}
重新整理
00
(
x,
y,
z
)
c (z)
exp{
ik
r2 2
[1 R(z)
R(z)
z
f2 z
2 f z
z f z f z f
• The wavefront is flat or planar right at the waist, corresponding to an infinite radius of curvature or R(0)=. As the beam propagate toward, however, the wavefront gradually becomes curved, and the radius of curvature R(z) drops rather rapidly down to finite values.
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
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三、用q参数分析高斯光束的传输问题
• 已知：入射高斯光束腰斑半径为0 ，束腰与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F。
• 求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束 参数C和RC。
• 思路1：
• 在z=0处 q(0)=i02/
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一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L
• 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式)
1 1 1 R2 R1 F • 球面波的传播规律可以统一写成
思路2？
步步为营/一步到位
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特例：高斯光束腰斑的变换规律
• 若将C点取在像方束腰处，则有RC、 Re[1/qC]=0，可以求出像方束腰到透镜的 距离l和像方腰斑的大小0 。
l
F
(l
(l F
)2
F )F 2
(
2 0
)2
02
(F
F
2
2 0
,0
f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
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R R(z) z[1 ( f )2 ] f ( z f ) z f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
(z) 0
1 ( z )2 f
i
]}exp[ i(kz arctg
2 (z)
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
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• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
式求出该位置处(z)和R(z)的数值
m
lim
z
2m (z)
z
2m 1 2 0
2m 10
n
lim
z
2n (z)
z
2
2n 1
0
2n 10
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• 拉盖尔-高斯光束(柱对称稳定腔、圆形孔径共焦
腔)
• 柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布
由下列函数描述，沿半径r方向有n个节线圆，
• 在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l
• 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F
• 在C处 qC=qB+lC
qC C、RC
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l(F l) f 2
F2 f
qc lc F (F l)2 f 2 i (F l)2 f 2
q(z) through a complicated sequence of lenslike
elements. The beam radius R(z) and spot size (z)
at any plane z can be recovered through the use
of the following expression
R2
AR1 B CR1 D
• 结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由 其曲率半径R来描述，传播规律由变换矩阵确定。
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二、高斯光束q参数的变换规律—ABCD公式
• 研究对象：高斯球面波—非均匀的、曲率中心不断改变的球 面波
• q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z，q2=q1+L • 通过薄透镜的变换 1 1 1
• 相位因子等相位面的曲率半径R(z) • 因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（x,y）有关的相位移
动，表明高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不 同而不同；当z=f时，R(z) =2f；当z =0时， R(z)； z 时， R(z) 。
此时，可用几何光学处理傍轴光线的方法来处
理高斯光束
特殊情况：当l F l F 与几何光学迥然不同
还可方便地求出透镜焦平面上的光斑大小：
沿辐角方向有m根节线
Lmn
(2
r2
2
)e
r2 2
cosm sin m
The higher-order Laguerre-gaussian mode patterns are characterized by azimuthal and radial symmetry.
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§2.5 高斯光束的基本性质及特征参数
• 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
00 (x, y, z)
c (z)
exp[
r
2
2
(
z
)
]
exp{
i[k
(
z
r 2 ) arctg 2R
z ]} f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
f
2 0
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
far-field beam angle
0
2(z)
lim z z
2
0
2
f
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Wavefront radius of curvature R(z)
(Higher-order Gaussian modes)
• 厄米特-高斯光束 (方形孔径的共焦腔或稳定球面腔)
• 其横向场分布由高斯函数和厄米特多项式
(Hermite polynomial)的乘积决定，沿x方向有m
条节线，沿y方向有n条节线
er22 H m
2
x Hn
l)2 (
2 0
)2
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2
当满足
2 0
(l F )2
l F F 2 lF lF lF
物高斯光束束腰离透镜足够
远
1 1 1 l l F
腰斑放大率 k 0 F l
0 l F l
几何光学之物和像
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• 附加相移
mn
(m n 1)arctg
z f
• x方向和y方向的光腰尺寸 m2 (2m 1)02
n2
(2n
1)
2 0
• 在z处的光斑尺寸 m2 (z) (2m 1) 2 (z)
• q参数的变换规律可统一表示为
q2
Aq1 B Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由
光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。
• 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
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• 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
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三、基模高斯光束的特征参数
用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决
• 附加相移为 • 光斑半径
mn
(m 2n 1)arctg
z f
mn(z) m 2n 1(z)
• 发散角
mn m 2n 10
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§2.6 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律 • 用q参数分析高斯光束的传输问题
定高斯光束腰斑的大小0和位置z
高斯光束的q参数
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00 (x, y, z)
c (z)
exp[
r2 2(z
)
]
exp{
i[k
(
z
r 2 ) arctg 2R(z)
z f
]}
重新整理
00
(
x,
y,
z
)
c (z)
exp{
ik
r2 2
[1 R(z)
R(z)
z
f2 z
2 f z
z f z f z f
• The wavefront is flat or planar right at the waist, corresponding to an infinite radius of curvature or R(0)=. As the beam propagate toward, however, the wavefront gradually becomes curved, and the radius of curvature R(z) drops rather rapidly down to finite values.
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
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三、用q参数分析高斯光束的传输问题
• 已知：入射高斯光束腰斑半径为0 ，束腰与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F。
• 求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束 参数C和RC。
• 思路1：
• 在z=0处 q(0)=i02/
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一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L
• 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式)
1 1 1 R2 R1 F • 球面波的传播规律可以统一写成
思路2？
步步为营/一步到位
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特例：高斯光束腰斑的变换规律
• 若将C点取在像方束腰处，则有RC、 Re[1/qC]=0，可以求出像方束腰到透镜的 距离l和像方腰斑的大小0 。
l
F
(l
(l F
)2
F )F 2
(
2 0
)2
02
(F
F
2
2 0
,0
f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
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R R(z) z[1 ( f )2 ] f ( z f ) z f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
(z) 0
1 ( z )2 f
i
]}exp[ i(kz arctg
2 (z)
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
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• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
式求出该位置处(z)和R(z)的数值
m
lim
z
2m (z)
z
2m 1 2 0
2m 10
n
lim
z
2n (z)
z
2
2n 1
0
2n 10
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• 拉盖尔-高斯光束(柱对称稳定腔、圆形孔径共焦
腔)
• 柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布
由下列函数描述，沿半径r方向有n个节线圆，
• 在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l
• 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F
• 在C处 qC=qB+lC
qC C、RC
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l(F l) f 2
F2 f
qc lc F (F l)2 f 2 i (F l)2 f 2
q(z) through a complicated sequence of lenslike
elements. The beam radius R(z) and spot size (z)
at any plane z can be recovered through the use
of the following expression
R2
AR1 B CR1 D
• 结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由 其曲率半径R来描述，传播规律由变换矩阵确定。
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二、高斯光束q参数的变换规律—ABCD公式
• 研究对象：高斯球面波—非均匀的、曲率中心不断改变的球 面波
• q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z，q2=q1+L • 通过薄透镜的变换 1 1 1
• 相位因子等相位面的曲率半径R(z) • 因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（x,y）有关的相位移
动，表明高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不 同而不同；当z=f时，R(z) =2f；当z =0时， R(z)； z 时， R(z) 。
此时，可用几何光学处理傍轴光线的方法来处
理高斯光束
特殊情况：当l F l F 与几何光学迥然不同
还可方便地求出透镜焦平面上的光斑大小：
沿辐角方向有m根节线
Lmn
(2
r2
2
)e
r2 2
cosm sin m
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§2.5 高斯光束的基本性质及特征参数
• 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
00 (x, y, z)
c (z)
exp[
r
2
2
(
z
)
]
exp{
i[k
(
z
r 2 ) arctg 2R
z ]} f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
f
2 0
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
far-field beam angle
0
2(z)
lim z z
2
0
2
f
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Wavefront radius of curvature R(z)
(Higher-order Gaussian modes)
• 厄米特-高斯光束 (方形孔径的共焦腔或稳定球面腔)
• 其横向场分布由高斯函数和厄米特多项式
(Hermite polynomial)的乘积决定，沿x方向有m
条节线，沿y方向有n条节线
er22 H m
2
x Hn
l)2 (
2 0
)2
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2
当满足
2 0
(l F )2
l F F 2 lF lF lF
物高斯光束束腰离透镜足够
远
1 1 1 l l F
腰斑放大率 k 0 F l
0 l F l
几何光学之物和像
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• 附加相移
mn
(m n 1)arctg
z f
• x方向和y方向的光腰尺寸 m2 (2m 1)02
n2
(2n
1)
2 0
• 在z处的光斑尺寸 m2 (z) (2m 1) 2 (z)