10第二章 5高斯光束的基本性质及特征参数
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高斯光束的基本性质及特征参数r讲解
1/ e
2
2 ( z ) lim z 0 z
高斯光束的发散度由束腰半径ω 0决定。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化的球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
z
2
z 0 1 f
f2 R( z ) z z
高斯光束的共焦参数
2 0 f Z0
与传播轴线相 交于Z点的高斯光束 等相位面的曲率半 径
高斯光束的基本特征： (1)基模高斯光束在横截面内的光电场振幅分 布按照高斯函数的规律从中心（即传播轴线）向外 平滑地下降，如图1-6所示。由中心振幅值下降到 1/e点所对应的宽度，定义为光斑半径。
Avalanche photodiode
R(z)随Z变化规律为：
2 2 f f R z z 1 2 z z z
结论： a)当Z=0时，R(z)→∞，表明束腰所在处的等 相位面为平面。 b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表明离束腰无 限远处的等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处； c)当z=±f时，│R(z)│=2f，达到极小值 。
决定了基模高斯光束的空间相移特性。 其 中 ， kz 描 述 了 高 斯 光 束 的 几 何 相 移 ； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移的附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 示与横向坐标 r 有关的相移，它表明高斯光束的等 相位面是以R(z)为半径的球面。
高斯光束的基本性质及特征参数
基模高斯光束
高斯光束在自由空间的传播规律
2-5高斯光束
q参数
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的(1)q参数 (2)光斑半径w与等相位面曲率半径R 2 w 0 3.14 10 6 解 (1) w f f 1m
0
z=0.5m
3.14 10 6 q=0.5+i(m)
(2)
1 R 0 R FR R 1 R F R R 1 1 F F
或
Ru
1 1 1 u v F 1 1 1 R v R R F
R FR FR
R
R
o u
F
v
o
z
1 1 1 FR R R F FR
二、高斯光束q参数的变换规律—ABCD公式
2 m ( z ) (2m 1) 2 ( z ) 2 n ( z ) (2n 1) 2 ( z )
在x方向和y方向 的远场发散角
m lim
2 m ( z ) 2 2m 1 2m 1 0 z z 0
2 n ( z ) 2 n lim 2n 1 2n 1 0 z z 0 由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以 多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
2 lim
2 ( z ) z z
( z) 0
z 2 1 ( 2 ) 0
2 2
2 2 L 0
高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！
2 2 2 2 L q f(w0)
O
q f(w0) Z
O
l F l
研究对象
普通球面波
高斯球面波
特点
曲率中心固定的 曲率中心变化的
高斯光束的基本性质及特征参数r
0
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近， 能够看作是一种非均匀旳球面波，其等相位面是曲 率中心不断变化旳球面，振幅和强度在模截面内保 持高斯分布。
photomultiplier
photodiode
Avalanche photodiode
高斯光束旳基本性质及特征参数
基模高斯光束 高斯光束在自由空间旳传播规律
高斯光束旳参数特征
4、高斯光束
由激光器产生旳激光束既不是上面讨论旳均匀平 面光波，也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等 相位面在变化旳高斯球面光波，即高斯光束。
以基模TEM00高斯光束为例，体现式为：
E0
ωγ2 2zeik
z
γ2
2 z z2
02 f 2 1
如图1-7所示。
在Z=0处，ω（z）=ω0到达极小值，称为束 腰半径。
(2)基模高斯光束场旳相位因子
00 r, z
k z
2R
2
z
arctan
z f
决定了基模高斯光束旳空间相移特征。
其中，kz描述了高斯光束旳几何相移； arctan(z/f)描述了高斯光束在空间行进距离z处， 相对于几何相移旳附加相移；因子kr2/(2R(z))则表 达与横向坐标r有关旳相移，它表白高斯光束旳等 相位面是以R(z)为半径旳球面。
R(z)随Z变化规律为：
Rz
z 1
f2 z2
z
f2 z
结论：
a)当Z=0时，R(z)→∞，表白束腰所在处旳等 相位面为平面。
b) 当Z→±∞时，│R(z)│≈z→∞表白离束腰无 限远处旳等相位面亦为平面，且曲率中心就在束腰 处；
c)当z=±f时，│R(z)│=2f，到达极小值 。
第二章 高斯光束
– 在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：
(x,
y)
0(T 0)
n T
D 4K
(x2
y2)
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。
21
2.1光线的传播
• 3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
–
程函(eikonal)方程：
x
2
y
2
x y
0 0
d 2r dz 2
k k
2 0
r
0
23
2.1光线的传播
–
（1）k2>0
微分方程的解为 r(z) c1cos
k k
2 0
z
c
2
sin
k k
2 0
z
若考虑光线入射初始条件
为
r0
r
0
'
，则可以求出
c1
r 0; c2
k，因此微分方程的解可以写成：
r
z
r
0
cos
– 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超 前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达
焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位
变换器。
AB AO BO
f 2 x2 y2 f f 1 x2 y2 f
k k
2 0
z
k k
0 2
r
'
0
sin
k k
2 0
z
r ' z
k k
2 0
r
2-5高斯光束
Aq1 B q2 Cq1 D
曲率半径R
复曲率半径q
例1 某高斯光束焦参数为f=1m,将焦距F=1m 的凸透镜置於其腰右方l=2m处,求经透镜变换 后的像光束的焦参数f及其腰距透镜的距离l 解 q=2+i
q f(w0)
O
q f(w0) Z
O
l F l
研究对象
普通球面波
高斯球面波
特点
曲率中心固定的 曲率中心变化的
q2=q1+L
1 1 1 q2 q1 F
在自由空间的传 R2=R1+L 输规律 通过薄透镜的变 1 1 1 R2 R1 F 换 总的变换规律 AR1 B
R2 CR1 D
高斯光束q参数的传输规律
1、传播L距离
q q L
1 T 0 L 1
证
传播L距离的光学变换矩阵
1 q L q qL 0 q 1
2、通过透镜
q、q:透镜处物、像高斯光束q参数 l、l :物、像高斯光束腰到透镜距离 f、f :物像高斯光束焦参数
1 T 1 F 0 1
• 研究对象：高斯球面波—非均匀的、曲率中心不断改变的 球面波 • q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z，q2=q1+L 1 1 1 • 通过薄透镜的变换
q2
q1
F
• q参数的变换规律可统一表示为
Aq1 B q2 Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由 光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。 • 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
第二章高斯光束
§2-2 高斯光束的特性
一、在束腰处（即Z=0处） 1．波阵面半径R（z） W 2 2 W 2 2 1 0 0 lin R( z ) lin z 1 lin z z 0 z 0 z 0 z z 即 R （ z ） =R0=∝，（ z=0 处， R0→∝） 在 z=0 处，波阵面
r2 r2 A0 A0 E ( x, y,0) exp 2 exp ik (0 0) i 0 exp 2 W0 W0 W0 W0
图2-4
A0 推导：令r=0，则E（0，0，0）= W0
W02 1 A0 1 A0 E (0,0,0) 令r=W0，则E（x0，y0，0）= exp 2 W0 W0 e W0 e
2 A0 r 2r 2 A0 P kE k exp 2 k 2 exp 2 W ( z) W ( z ) W ( z) W ( z ) 2 2 2
在通孔半径为ρ的光强P（ρ）
2r 2 A02 p( ) k 2 exp 2 2r.dr W ( z) o W ( z )
2．位相相等的面（即等相面）为：半经相等的球面
3．光矢量沿传播方向的光强与传播距离r成反比。
作为 特例：当z>>x,y，即相距点光源很远的很小球面内，r≈Z 则 E ( x, y , z )
A0 exp[ ikz ] ，与平面波矢量 E( x, y, z) A0 exp[ikz]， z
dW ( z ) 2 z 2 4 2 2 W Z 即 0 dz W0
1 2
5-高斯光束
其中：
ϕ = {− tan−1[z / f ] + kρ 2 + kz} 2R(z)
= — ζ (z)
相位项
高斯光束的特征参数和性质
z 定义：可以完全确定高斯光束形状与位置的物理量
z 参数：f ，ω(z)， R(z)， q(z)
f参数
Fresnel长度/衍射长度/共焦参数
f
=
πω 2 0
λ
d = 2f z
θ0
= lim z→∞
2ω ( z ) z
=
λ 2
πω0
=
2
λ πf
θ0
Gaussian光束 XII — 相位
z 相位项由3部分构成
平面波相位 Guoy相移
波前的球面 弯曲
z 在轴上 (ρ=0)，相位仍然有Guoy相移
从- π/2到+ π/2变化 z 在z = LF Guoy相移为π/4
W / W (0)
1 =0 R(0)
1 (= 1 ) ≡ 1 − i λ q q (0 ) R (0 ) πω 2 (0 )
0
q
=
kω 2
i
0
=
πω 2
i
0
=
i⋅
f
0
2
λ
z 高斯光束重要标量参数LF：Fresnel长度/衍射长度/共 焦参数，
f = kω 2 (0 ) / 2 = πω 2 (0 ) / λ
Gaussian光束 IV
一个沿 Z 轴传播横向按复幅度ΨG 变化的平面波
z 复振幅按高斯分布
Ψ（G ρ ,
z,ω）=
AGe −iP ( z )
exp[−
ikρ 2 ]
高斯光束基本性质及特征参数
上海大学电子信息科学与技术
TEM11
TEM12
TEM22
TEM34
• 相位分布－与方形镜共焦腔相同，等相位面为镜面
• 单程相移
mn kLm 2n 12 kL mn
上海大学电子信息科学与技术
• 谐振频率
mnq
c 2L
q
1 2
m
2n
1
圆形镜共焦腔模在频率上是高度简并的
同一横模的相邻纵模的频率间隔
z0 0 Rz0 共焦腔中心，波面为垂直腔轴的平面
z0 Rz0 无穷远处，等相位面为平面
z0 z0 R(z0) 相等，共焦腔光束的波面在中心两侧对称分布
z0 f L 2 Rz0 2 f L 波面与共焦腔镜面重合
上海大学电子信息科学与技术
可证明：共焦腔反射镜面是共焦腔中曲率半径最大的等相位面。
z z
圆形镜
将式（2-8-4）中的f ,z1 ,z2 代入上式，并由谐振条件
2r, z 2mn0, z2 mn0, z1 q 2
mnq
c
2L
q
1
m
n
1 arccos
g1
g
2
方形镜
mnq
c
2L
q
1
m
2n 1arccos
g1
g
2
圆形镜
衍射损耗
上海大学电子信息科学与技术
共焦腔菲涅耳数
N
• 只有精确解才能正确描述共焦腔模的损耗特性。每一横 模的损耗由腔的菲涅耳数决定，不同横模的损耗各不相 同。
• 共焦腔的特点：衍射损耗低； 模简并；基模光斑尺寸 沿腔轴以双曲线规律变化; 等相位面近似为球面，在反射 镜处，等相位面与镜面重合。
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例1 某高斯光束波长为?=3.14? m,腰斑半径为
w0=1mm, 求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R
解
f
?
??
2 0
?
?
3.14 3.14
? 10 ?6 ? 10 ?6
?
1m
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
w0
1?
0.52 12
? 1.12mm
R(z) ? z ? f 2 ? 0.5 ? 12 ? 2.5m
?
i[
k
(
z
?
r2 )? 2R( z)
arctg
z ]} f
重新整理 r
?
00 ( x,
y,
z)
?
?
c ( z)
exp{
? ik
r2 2
[
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
]}
exp[
?
i
(
kz
?
arctg
z )] f
引入一个新的参数 q(z)， 定义为
1 q(z)
?
1 R( z)
?
i
??
?
2
(
z)
? 参数q将? (z)和R(z)统一在一个表达式中，知
R ? R(z) ? z[1? ( f )2 ] ? f ( z ? f ) ? z ? f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
? (z) ? ?0
1? ( z)2 f
? (z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面上的光斑半径
当z=f时， ? (z)= 2? 0，即f表示光斑半径增加到
(2)
? (z) ? ? 0
1?
z2 f2
?
?
(
f
?
z2 )
?
f
R(z) ? z ? f 2 z
z ? f 2 ? 0.5 z
f ? z2 ? 1 f
z2 ? f 2 ? 0.5 ① z
f 2 ? z2 ? 1 ②
f
z2 ? f 2 ? 0.5 z
f 2 ? z2 ? 1 f
f2?4f2 ?1 f
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
式求出该位置处? (z)和R(z)的数值
1 ? Re[ 1 ]
R( z)
q(z)
?
1 2 (z)
?
?
? ?
Im[ 1 ]
q(z)
1 q0
?
1 q(0)
?
1 R(0)
?
i
??
?
2 (0)
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值，得出
q0
?
i
?? ?
2 0
?
if
q0 is purely imaginary
腰斑的 2 倍处的位置
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子? 光斑半径? (z)
基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯 函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半
径为? (z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角?0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
far-field beam angle
?0
?
lim
z??
2? (z)
z
?
?
2
?? 0
?
2
? ?f
? 相位因子? 等相位面的曲率半径 R(z)
? 因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（ x,y）有关的相位移 动，表明高斯光束的等相位面是以 R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随 z不 同而不同 ；当z=?f时，?R(z)?=2f；当z =0时， R(z)?? ； z ?? 时， R(z)?? 。
腰位置为在该处左方 1m处
(2) 1 ? 1 ? 1? i ? 1 ? i 1
q 1? i 2 2 2
1?1 R2
R ? 2m
? ?1 ?? 2 2
? ? 2? ? 2 ? 3.14 ? 10?6 ? 1.414mm
?
3.14
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
? 普通球面波的传播规律 ? 高斯光束q参数的变换规律 ? 用q参数分析高斯光束的传输问题
f ? 0 (舍去)
①
②/①: z ? 2
②
f
5f 2 ? f
5f2? f ?0
f ? 0.2m
z? 2f
f (5 f ? 1) ? 0
0.22 ? z2 ? 1 0.2
z2 ? 0.2 ? 0.22 ? 0.16
?0 ?
?f ? ?
3.14 ? 10?6 ? 0.2 ? 0.447 mm 3.14
?? R(z) ? z ? f 2 ? ??2 f
z ??z
z ?? f z? f z ?? f
? 曲率中心的位置 = z? R(z)
当 z ? f时, z ? R(z) ? f ，说明球心在共焦腔腔外
当 z ? f时, z ? R(z) ? f ，说明球心在共焦腔腔内
? 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
z
0.5
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位
面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参
数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为?=3.14? m)
解 (1)
1 q
?
1 R
?
i
? ??
2
?
1 0.5
?
i
3.14? 10?6 3.14? (10?3)2
?
2? i
q ? 1 ? 2 ? i ? 2 ? i ? 0.4 ? 0.2i(m) 2?i 4?1 5
一、普通球面波的传播规律
? 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 ? 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L
§2.9 高斯光束的基本性质及特征参数
? 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
p[ [ ?
00
( x,
y,
z)?Leabharlann ?c ( z)ex
?
?
r
2
2
(z)
]
exp{
?
i
k(z
?
r2 )? 2R
arctg
z ]}
f
其中，c为常数，r 2=x2+y2，k=2? /? ，
f
?
?? ?
2 0
,?
0
?
f? ?
? 0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
腰位置在该处左方 0.4m
z ? 0.4m
例3 高斯光束波长为?=3.14? m,某处的q参数
为q=1+i(m), 求(1)此光束腰斑半径w0及腰位置 (2)该处光斑半径w与等相位面曲率半径R
解 (1) z=1m f=1m
?0 ?
?f ? ?
3.14 ? 10 ? 6 ? 1 ? 1mm 3.14
三、基模高斯光束的特征参数（三种方法）
用参数? 0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数? (z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的? (z)和R(z)，可决
定高斯光束腰斑的大小? 0和位置z
高斯光束的q参数
?
00 ( x,
y, z)
?
?
c exp[ ? ( z)
?
r
2
2
(
z)
]
exp{