概率论与数理统计第4讲
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
《概率论与数理统计》高教版PPT
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
30 July 2013
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第一章 随机事件与概率
第35页
注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章 随机事件与概率
第30页
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
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第一章 随机事件与概率
第31页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
事件运算的图示
AB
AB
AB
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第一章 随机事件与概率
第16页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
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第一章 随机事件与概率
六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15
概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
《概率论与数理统计》第4-7 章自测题讲评
《概率论与数理统计》第4－7章自测题讲评第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤10 其他 , 求数学期望EX 。
【讲评】考点：连续型随机变量数学期望的定义为EX= ∫-∞+∞xf(x)dx 。
[解]：EX= ∫-∞+∞xf(x)dx = 5∫01x 5dx = 5[x 56]01= 562.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。
【讲评】考点：正态分布N(μ, σ2)的数字特征，EX=μ，DX=σ2。
和的方差公式：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)。
[解]：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X, Y)= 3+5+2×0.4 = 8.83. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0 ，若X ，Y 相互独立，求： E(XY)【讲评】考点：均匀分布与指数分布的数学期望，X~U[a,b] ⇒ EX=a+b 2 。
X~exp(λ) ⇒ EX=1λ 。
若X 与Y 相互独立，则 E(XY)=EXEY 。
本题：注意：X~U[1,3], Y~Exp(3) ⇒ EX=1+32 =1, EY=1/3，因为X, Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)=1×(1/3) =1/34. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。
DX=1λ , E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ【讲评】考点：普阿松分布X~P(λ)的数字特征：EX=λ, DX=λ 。
及DX = E(X-EX)2 = EX 2 – (EX)2 , EX 2 =DX+(EX)2本题：X~P(λ) ⇒ EX=λ, DX=λ, EX 2=λ+λ2 .所以E(X)D(X) =1，E(X 2)=λ2＋λ＝E(X)[E(X)+1]，E(X) = λ，但是 DX=1λ , E (X - λ)2 = 0, 这两个是错误等式。
第6章 第4讲 正定二次型 课件(共26张PPT)- 《概率论与数理统计(慕课版)》同步教学(人民邮
之差为2r – m为符号差.
3
01
正定二次型的定义
惯性定理
任意二次型 X T AX 都可通过非退化线性变换化为规范形
z12 z22
z 2p z 2p 1
z 2p q，
其中 p 为正惯性指数，q 为负惯性指数，p + q为二次型的秩
且 p 、q 由二次型唯一确定，即规范情势唯一的.
霍尔维茨定理
例5
方程3x 2 5 y 2 5z 2 4 xy 4 xz 10 yz 1表示何种二次曲面.
2
2
2
f
x
,
y
,
z
解 因为
3x 5 y 5z 4 xy 4 xz 10 yz
是一个二次型，
3 2 -2
其矩阵A= 2 5 -5 ，由 A - E 0 得
因为 3 2 3 0，
所以A不是正定矩阵，从而二次型不是正定二次型.
10
01
正定二次型的定义
例3
已知A为n阶正定矩阵，E为n阶单位矩阵，证明 | A E | 1.
解
设A的特征值为 1 , 2 ,
, n， 由A为正定矩阵知
1 0, 2 0,
A + E 的特征值为 1 1, 2 1,
4
01
正定二次型的定义
定义6.3
对应矩阵A 称为正定矩阵.
实二次型 f ( x1 , x2 ,
恒有 f (c1 , c2 ,
, xn ) X T AX，若对任意 (c1 , c2 ,
, cn ) 0，则称 f ( x1 , x2 ,
, cn )T 0，
概率论与数理统计教案(48课时)(最新整理)
( x, y )G
，注意二重积分运算知识点的复习。
d) 二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。
五．思考题和习题
思考题：1. 由随机变量 X ,Y 的边缘分布能否决定它们的联合分布？
2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？ 3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？ 4．如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。 习题：
第四章 随机变量的数字特征 一．教学目标及基本要求
(1)理解数学期望和方差的定义并且掌握它们的计算公式；
(2)掌握数学期望和方差的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用
期望或方差的性质计算某些随机变量函数的期望和方差。
(3)熟记 0-1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期
第四节 二维随机变量的函数的分布
已知(X,Y)的分布率 pij 或密度函数 (x, y) ，求 Z f ( X ,Y ) 的分布律或密度
函数Z (z) 。特别如函数形式： Z X Y , Z max( X ,Y ), Z min( X ,Y ) 。
2 学时
三．本章教学内容的重点和难点
a) 二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；
5．列举正态分布的应用。
习题：
第三章 多维随机变量及其分布
一．教学目标及基本要求
(1)了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续 型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。
(2)会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。 (3)掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。 (4)会求两个独立随机变量的简单函数(如函数 X+Y, max(X, Y), min(X, Y))的分布。
概率论与数理统计4-2 方差
X
,
为X的 标准化 变量
E ( X ), D( X )。 X 1 * ) E( X ) 0 解 E( X ) E( X 2 * * 2 * 2 E[( ) ] D( X ) E([ X ] ) [ E( X )] 1 1 2 D( X ) 1 E[( X ) ] 2
推论
若 X i (i 1, 2,...n)相互独立，则有： D( X 1 X 2 ... X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) ... D( X n ) 进一步有：D( Ci X i ) [C D( X i )]
i 1 i 1 2 i n n
4. D(X)=0
P{X= C}=1 , 这里C=E(X)
下面我们的举例说明方差性质应用 .
例7 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解
X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i 0 如第i次试验失败
则X
1 fZ ( z) e 3 2
( z 5)2 18
.
四、切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 , 则对于任意正数 ，有不等式
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
P{| X E ( X ) | } 2 2 或 P{| X E ( X ) | } 1 2 由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计第4讲
14
Ω
经常有一些概率论的较难的题, 直接计算某 事件的概率困难, 因此考虑先求此事件的逆 事件的概率 例 掷3次硬币, 求至少一次正面朝上的概率. 解: 假设A={至少一次正面}, 则 A={全是反面}, 只包含一个基本事件. 基本事件总数为23=8, 因此 1 P( A) = 8 1 7 则 ( A) =1− P( A) =1− = P 8 8
因 ⊃ B且 ⊃ C因 必 A ⊃ BC 此 有 A A 因 P( A− BC) = P( A) − P(BC) = 此 = P( A) −[1− P(BC)] = 0.9 − (1− 0.8) = 0.7 因 , 应 选 (C). 此 填 项
23
(1992年研究生入学考试题)
1 已 P( A) = P(B) = P(C) = 知 4 1 P( AB) = 0, P( AC) = P(B ) = C 6 则 件 , B, C全 发 的 率 ___ 事 A 不 生 概 为
24
(1990年研究生入学考试题) 设随机事件 , B及和事件 + B的概率分别 A A
是0.4,0.3和 .6.则积事件 B的 0 A 概率 ( AB) = ___ P 由已知得:
0.6 = P( A+ B) = P( A) + P(B) − P( AB) = 0.4 + 0.3− P( AB) 得 P( AB) = 0.1 故P( AB) = P( A− B) = P( A) − P( AB) = 0.4 − 0.1 = 0.3 其 P( AB) = P( A− B) = P( A) − P( AB) 中 是 用 子须 熟 常 式 , 记 .
2 4 1 3 3 C4 4×3× 2 4 P( A ) = 3 = = 3 C7 7×6×5 35
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
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数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
25
56
81
500
700
1200
记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件 为A, "取出的产品为次品"这一事件为B.
P(B | A) 25 25/1200 P( AB) . 500 500 /1200 P( A)
6
事实上, 容易验证, 对一般的古典概型, 只 要P(A)>0, 总有
解法 1 缩减样本空间 A 中的样本点数,
即第一次取得红球的取法为 P31P41, 第二
次取得白球占其中P31P21种, 所以
P(B | A) P31P21 1
P31P41 2
17
也可以直接用古典概型的办法进行考虑, 因为第一次取走了一个红球, 袋中只剩下 4个球, 其中有两/4, 所以
12
解 记Ai为事件"第i次取到的是黑球" (i=1,2) (1) 在已知A1发生, 即第一次取到的是黑 球的条件下, 第二次取球就在剩下的2个 黑球, 7个白球共9个球中任取一个, 根据 古典概率计算, 取到黑球的概率为2/9, 即 有
P(A2|A1)=2/9
13
(2) 在已知A2发生, 即第二次取到的是黑 球条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但 第一次取球发生在第二次取球之前, 故问 题的结构不象(1)那么直观. 我们可按定 义计算P(A1|A2).
B AB A
S
15
②计算条件概率有两种方法: (a) 在样本空间S中, 先求事件P(AB)和 P(A), 再按定义计算P(B|A). (b) 在缩减的样本空间A中求事件B的概 率, 就得到P(B|A).
16
例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次 取得红球时, 求第二次取得白球的概率. 解 设A表示"第一次取得红球", B表示"第 二次取得白球", 求P(B|A).
P(B | A) P( AB) P( A)
由这些共性得到启发, 我们在一般的概 率模型中引入条件概率的数学定义.
9
二, 条件概率的定义 定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)>0, 则称
P(B | A) P( AB)
(4.1)
P( A)
为在事件A发生的条件下, 事件B的条件 概率. 相应地, 把P(B)称为无条件概率. 一 般地, P(B|A)P(B).
P(B | A) P(AB) . P( A)
7
在几何概型中(以
平面区域情形为
例), 在平面上的有 界区域S内等可能
A AB B
投点. 若已知A发生,
则B发生的概率为 S
P(B | A) ( AB) ( AB) / (S) ( A) ( A) / (S)
P( AB)
P( A) 8
可见, 在古典概型和几何概型这两类"等 可能"概率模型中总有
10
因条件概率是概率, 故条件概率具有性质: 设 A 是一事件, 且 P(A)>0, 则 (1) 对任一事件 B, 0P(B|A)1;
(2) P(S|A)=1;
(3) 设 A1,,An 互不相容, 则
P(A1An|A)=P(A1|A)++P(An|A).
(4) P(B | A) 1 P(B | A), P( | A) 0
P(B | A) 2 1 42
18
解法 2 在 5 个球中不放回连取两球的取法
有 P52种, 其中, 第一次取得红球的取法有
P31P41种, 第一次取得红球第二次取得白球
的取法有P31P21种, 所以
P( A)
P31P41 P52
3, 5
由定义得
P( AB)
P31P21 P52
3. 10
P(B | A) P( AB) 3/10 1 . P( A) 3/ 5 2
§1.4 条件概率
1
一, 条件概率的概念 先由一个简单的例子引入条件概率的概 念 引例 一批同型号产品由甲,乙两厂生产, 产品结构如下表:
数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1119
次品
25
56
81
合计
500
700
1200
2
数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
20
例3 一袋中装10个球, 其中3个黑球, 7个 白球, 先后两次从中随意各取一球(不放 回), 求两次取到的均为黑球的概率. 分析 这一概率, 我们曾用古典概型方法 计算过, 这里我们使用乘法公式来计算. 在本例中, 问题本身提供了两步完成一个 试验的结构, 这恰恰与乘法公式的形式相 应, 合理地利用问题本身的结构来使用乘 法公式往往是使问题得到简化的关键.
(5) P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)P(B1B2|A)
此外, 前面所证概率的性质都适用于条件
概率.
11
例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7 个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放 回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次 取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次 取出的也是黑球的概率.
19
三, 乘法公式 由条件概率的定义立即得到:
P(AB)=P(A)P(B|A) (P(A)>0) (4.2) 注意到AB=BA, 及A,B的对称性可得到:
P(AB)=P(B)P(A|B) (P(B)>0) (4.3) (4.2)和(4.3)式都称为乘法公式. 利用它们 可计算两个事件同时发生的概率.
25
56
81
500
700
1200
从这批产品中随意地取一件, 则这件产品 为次品的概率为
81 6.75% 1200
3
数量 厂别
等级
甲厂
乙厂
合计
合格品 次品 合计
475
644
1119
25
56
81
500
700
1200
在已知取出的产品是甲厂生产的条件下, 它是次品的概率为
25 5% 500
4
记"取出的产品是甲厂生产的"这一事件 为A, "取出的产品为次品"这一事件为B. 在事件A发生的条件下, 求事件B发生的 概率, 这就是条件概率, 记作P(B|A). 在本例中, 我们注意到:
由P( A1A2 )
P32 P120
1 15 , P( A2 )
3 ,可得 10
P( A1
|
A2 )
P( A1A2 ) P( A2 )
2 9
14
注: ①用维恩图表达(4.1)式, 若事件A已发 生, 则为使B也发生, 试验结果必须是即 在A中又在B中的样本点, 即此点必属于 AB. 因已知A已发生, 故A成为计算条件概 率P(B|A)新的样本空间.