清华大学微积分题库
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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清华大学一元微积分
x→+∞
x→+∞
∃M > 0 ，使得 x ≥ M 之后 f (x) ≥ a / 2 ，从而 ∀K > M
∫ ∫ +∞ |
f
(x) | dx
≥
K
|
f
(x) | dx
≥
a
(K
−
M)
2
0
M
+∞
∫ 而 K > M 的任意性与 f (x)dx 绝对收敛矛盾。这说明只有 lim f (x) = 0 。 x→+∞ 0
+∞
∫ 证明：由已知 f ′(x)dx 绝对收敛，从而收敛，所以
0
A
+∞
∫ ∫ lim f (A) = f (0) + lim f '(x)dx = f (0) + f '(x)dx 存在。
A→+∞
A→+∞
0
0
如果 lim f (x) ≠ 0 ，不妨令 lim f (x) = a > 0 ，则由极限保序性
0
0 ⎝2⎠
2．计算上半心形线：
⎧x
⎨ ⎩ ) cosθ = a(1 + cosθ ) sinθ
，0
≤θ
≤
π
，绕
x
轴旋转一周所得到的旋转体的体积V
。
解： dx = −a[(1 + cosθ )sinθ + cosθ sinθ ]dθ
π
π
∫ ∫ 所以 V =| πy 2 (θ )dx(θ ) |= πa3 | (1 + cosθ )2 sin 2 θ (1 + 2 cosθ )d (cosθ ) |
清华大学微积分
v(t0)lt i0m x(t0tt)x(t0)
如果极限存在, 这个极限值就是质点的
瞬时速度.
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4
[例2] 曲线的切线斜率问题
设曲线 L,其方程y为 f(x)(axb) f(x)C[a,b]. x0(a, b),求曲线 L在点 M0(x0, y0)的切线 (其中 , y0 f(x0)).
[注1意 ]当 确x定 0时 ,点 微d分 f(x0)是
xxx0的线性 . 函数
[注意2] 当x很小时 ,微分df(x0)可作为 增量f (x0)的近似,值 其误差 f (x0)df(x0) 是x的高阶无穷. 小
2019/9/1 微分是增量的“线性主 部” 15
四、可导、可微与连续的关系
y
x2
si
n1 x
,
x0
0,
x0
x2 sin 1 0
则 y(0) lim
x
x0
x
limxsin 1 0
x0
x
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微分的几何意义
y
T
y f(x)
o
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N
P M0
x Q
y
dy
微分三角形
x 0 x0 x
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yx在x0不
可
导 20
y x
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o
x
尖点
21
[例 ] 研 究 f(x)x1 3 在 x0的 可 导
[解]
y
f(0x)f(0)
1
( x)3
1
x
x
x(x)3 2
y
1
lxi m 0xlxi m 0(x)3 2
清华大学2014至2015学年第一学期高等微积分B期末考试试题
清华大学2014至2015学年第一学期高等微积分B期末考试试题清华大学高等微积分B期末试题（2015年1月9日）及答案1．填空题（直接填在横线上）（4分/小题）1)．广义积分在时收敛，在其它情形发散。
2)．叙述一致连续的定义：若，则称函数在区间一致连续。
3） 0 。
4） 1 。
（注：）2．选择题（直接填在括号内）(3分/小题)1)．若级数绝对收敛，且，，则级数的敛散情况是[ A ]A. 绝对收敛；B. 条件收敛；C. 可能绝对收敛也可能条件收敛；D. 可能收敛也可能发散。
2)．若级数，的收敛半径分别为和，且，则的收敛半径为[ A ]A. ；B. ；C. ；D. .3)．下列陈述中，与“数列不收敛于”等价的是[ D ]A. ；B. ；C. ；D. .4)．设函数在区间可积，则函数在区间满足[ C ]A．有连续的导函数； B．可导，但导函数不一定连续；C．连续，但不一定处处可导； D．不一定连续。
3．判断题：指出下列陈述是否正确，并简述理由(若正确，给出简要证明；若错误，举出反例)（5分/小题）。
评分：结论3分，理由2分1)．若，则数列收敛。
错误。
例如所以但数列发散。
2)．若函数在区间可积，则函数在区间也可积。
正确。
因为在任何一个子区间上，函数的振幅都小于或等于函数在此子区间上的振幅。
3)．若正项级数收敛，则．错误。
例如级数收敛，但4)．函数项级数在区间上一致收敛。
正确。
因为，而正数项级数收敛。
4（12分）．评分：每问6分（答案4分，证明2分）。
1）已知级数，都收敛，能否断定级数收敛？若能，证明之；若不能，举出反例。
能。
因为级数，都收敛，所以级数收敛，且。
记级数的部分和数列为。
因为收敛，所以存在。
因为，所以存在且，所以存在，级数收敛。
2）已知级数收敛，能否断定级数，都收敛？若能，证明之；若不能，举出反例。
不能。
例如级数收敛，但，发散。
5（12分）．求级数的收敛域及其和函数。
解，所以收敛半径 (2)在端点上，收敛, (1)收敛， (1)所以收敛域为。
清华大学微积分期末试题
期末样题参考解答一、填空题（15空45分，答案直接填写在横线上）1．积分⎰⎰xdy xy f dx 03)(在极坐标下的累次积分为 。
答案：⎰⎰=θπθθθcos 30240)sin cos (rdr r f d2．设平面闭域}1|||| :),{(≤+=y x y x D ，则积分()=+⎰⎰Ddxdy yx x )sin(12。
答案：2==⎰⎰Ddxdy3．已知函数),(y x f 在{}10 ,10 :),(≤≤≤≤=y x y x D 上具有连续偏导数，且x x f cos 2)1,(=，⎰⎰=Ddxdy y x f 1),(，则⎰⎰=∂∂Ddxdy yy x f y),( 。
答案：11sin 2-4．计算积分值⎰⎰=-1)1ln(yydx xx dy。
答案：⎰⎰⎰-=--=-=101041)1ln()1()1ln(2dx x x dy x x dx x x5. 设}2:),,{(22≤≤+=Ωz y x z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x )( 。
答案：ππθπ4222302020====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z zrdr dz d zdxdydz z6. 设L 是xy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(--C B A 为顶点的三角形周边构成的曲线， 则第一型曲线积分=-⎰Lds y x )(22 。
答案：07. 设S 为上半球面222y x R z --=，则第一型曲面积分=++⎰⎰SdS z y x )( 。
答案：3222R dxdy zRzzdS R y x S π===⎰⎰⎰⎰≤+ 8. 设L 为xy 平面上的曲线10,2≤≤=x e y x ，起点为)1,0(，终点为),1(e ， 则第二型曲线积分=+⎰Lydy xdx 。
答案：2222),1()1,0(22),1()1,0(22e y x y x d e e =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰ 9．设32),,(z xy z y x f =，则在1===z y x 点=)],,(div[grad z y x f 。
清华微积分题库
x y z 如何？( B ) y z x
x y z 1 y z x Fy Fy Fz Fx F F ) ( z ) ( x ) 1 (B) 该式 ( Fx Fy Fz Fx Fy Fz
(C) 因为一个方程 F ( x, y , z ) 0 可以确定一个函数，不妨设 z 为函数，另两个变量 x, y 则为自变量，于是 给表达式为 0 。 (D) 仿(C)不妨设由 F ( x, y , z ) 0 确定 z 为 x, y 的函数,因 58．设
dy dt , t' 。 dx dx (B) Fx Fy ( f x f t t x ) Ft t x 0 。
(A) Fx Fy y ' Ft t ' 0 ,其中 y ' 60． lim
x y （ 0 x x xy y 2 y
(A) .设方程 z x y a , Fx 2 zz x 2 x, Fz 2 z , 代入 z x
2 2 (C) 求 z x y 平行于平面 2 x 2 y z 0 的切平面,因为曲面法向量 n (2 x,2 y,1) //( 2,2,1) ,
54．以下各点都是想说明 lim f ( x, y ) 不存在的，试问其理由是否正确？( B
x , y 0
)
xy ，理由是 y x 时函数无定义。 x y xy , y x (B) 对 f ( x, y ) x y , 理由是令 y x 2 或 x 2 x 将得到不同的极限值 0,1 。 0, y x y ,x 0 , 理由是令 y 1 x ，即知极限不存在。 (C) 对 f ( x, y ) x 0, x 0
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。
（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；
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(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。
(4455)．过点)0,21(且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为21arcsin -=x x y 。
(4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 221x C C y +=。
(4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且C x y x y x y x y ≠--)()()()(1312，则该微分方程的通解为)())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。
(3081)．设xex y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为xe C x C x y -+++=2123。
(4725)．设出微分方程x e xex y y y x x2cos 32++=-'-''-的一个特解形式)2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。
(4476)．微分方程xe y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x++=。
(4474)．微分方程xey y 24=-''的通解为 x xe x C eC y 222141⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-。
(4477)．函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。
(4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。
(6808)．设曲线积分⎰--Lxydy x f ydx ex f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A))(21x x e e --。
(B) )(21x x e e --。
(C) 1)(21-+-x x e e 。
(D) )(211x x e e -+-。
答B注：根据题意，y e x f y x f x cos ])([cos )(-='-，解得x xCe e x f -+=21)(。
由0)0(=f ，得21-=C ，所以)(21)(x x e e x f --=，即选项(B)正确。
6907．若函数x y 2cos =是微分方程0)(=+'y x p y 的一个特解，则该方程满足初始条件2)0(=y 的特解为[ ](A) 22cos +=x y 。
(B) 12cos +=x y 。
(C) x y cos 2=。
(D) x y 2cos 2=。
答D注：根据解的结构，通解为x C y 2cos =，由2)0(=y 得2=C 。
故选项(D)正确。
其他选项经验证不满足方程或定解条件。
6126．设函数)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，则该方程的通解为[ ](A)2211y C y C y +=。
(B) 21Cy y y +=。
(C) )(211y y C y y ++=。
(D) )(12y y C y -= 。
答D注：因为)(),(21x y x y 是微分方程0)(=+'y x p y 的两个不同特解，所以12y y -是该方程的一个非零特解。
根据解的结构，其通解为)(12y y C y -=，即选项(D)正确。
另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。
当02≡y 时，选项(B)不对。
当12y y -=时，选项(C)不对。
6579．已知函数)(x y y =在任意点x 处的增量π=∆++∆=∆)0(),(12y x o xxy y ，则)1(y 等于[ ](A)π2。
(B)π。
(C)4πe 。
(D) 4ππe 。
答D注：根据微分定义及微分与导数的关系得21xy y +='，解得C x y +=arctan ln ，由π=)0(y ，得πln =C ，所以41arctan )1(πππe e y ==。
因此选项(D)正确。
6215．设函数)(x f y =是微分方程042=+'-''y y y 的一个解。
若0)(,0)(00='>x f x f ，则函数)(x f 在点0x [ ](A) 取到极大值。
(B) 取到极小值。
(C) 某个邻域内单调增加。
(D) 某个邻域内单调减少。
答A注：因为0)(0='x f ，0)(4)(00<-=''x f x f ，所以选项(A)正确。
6316. 设21,y y 是二阶常系数线性齐次方程0=+'+''qy y p y 的两个特解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是[ ] （A ） 2211y C y C +一定是微分方程的通解。
（B ）2211y C y C +不可能是微分方程的通解。
（C ）2211y C y C +是微分方程的解。
（D ）2211y C y C +不是微分方程的解。
答C注：根据叠加原理，选项（C ）正确，选项（D ）错误。
当21,y y 线性相关时，选项（A ）错误, 当21,y y 线性无关时，选项（B ）错误。
1897. 微分方程1+=-''xe y y 的一个特解应具有形式[ ](A)b ae x +。
(B)b axe x+。
(C) bx ae x +。
(D) bx axe x+。
答B注：相应齐次方程的特征根为1,1-，所以x e y y =-''的一个特解形式为xaxe ，1=-''y y 的一个特解形式为b 。
根据叠加原理，原方程的一个特解形式为b axe x +，即选项(B)正确。
其他选项经检验不满足方程。
1890. 具有特解xx x e y xe y e y 3,2,321===--的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ](A)0=+'-''-'''y y y y 。
(B) 0=-'-''+'''y y y y 。
(C) 06116=-'+''-'''y y y y 。
(D) 022=+'-''-'''y y y y 。
答B注：根据题意，1,1-是特征方程的两个根，且1-是重根，所以特征方程为01)1)(1(232=--+=+-λλλλλ。
故所求微分方程为0=-'-''+'''y y y y ，即选项(B)正确。
7819. 设x y e y x==21,是三阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''+'''cy y b y a y 的两个特解，则c b a ,,的值为[ ](A)0,1,1=-==c b a 。
(B)0,1,1===c b a 。
(C)0,0,1==-=c b a 。
(D)0,0,1===c b a 。
答C注：根据题意，0,1是特征方程的两个根，且0是重根，所以特征方程为0)1(232=-=-λλλλ。
故原微分方程应为0=''-'''y y ，所以0,0,1==-=c b a 即选项(C)正确。
2670. 设二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''y y b y 的每一个解)(x y 都在区间),0(+∞上有界，则实数b 的取值范围是[ ](A)0≥b 。
(B)0≤b 。
(C)4≤b 。
(D)4≥b 。
答A注：因为当2±≠b 时，xb b xb b e C eC x y 24224122)(----+-+=，所以，当042>-b时，要想使)(x y 在区间),0(+∞上有界，只需要04,0422≥--≥-+b b b b ，即2>b 。
当042<-b 时，要想使)(x y 在区间),0(+∞上有界，只需要42-+b b 与42--b b 的实部大于等于零，即20<≤b 。
当2=b 时，x x xe C e C x y --+=21)(在区间),0(+∞上有界。
当2-=b 时，x x xe C e C x y 21)(+=)0(2221≠+C C 在区间),0(+∞上无界。
综上所述，当且仅当0≥b 时，方程0=+'+''y y b y 的每一个解)(x y 都在区间),0(+∞上有界，即选项(A)正确。
3296．求微分方程01122=+'++x y y y x 的通解。
解：方程两端同乘以dx yx1122++，得xdx xydy y11022+++=，此方程是一个变量分离方程，其通解为)2(1122>=+++C C x y 。
5678．求微分方程dy dx x y xx+=1sin 的通解。
解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程dy dx xy +=10， 得其通解为x C y lnln =，即xC y =。
令xx C y )(=，代入原方程，得 x xxx C x x C x C x sin )()()(22=+-'， 解得C x x C +-=cos )(。
所以原方程的通解为)cos (1C x xy +-=。
注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得y x x e dx c e xx c x dx x dx =⎰⎰+⎰=-+-(sin )(cos )111。
2312．求解微分方程xdyydx y e dy y -=2。
解：将y 看成自变量，x 看成是的y 函数，则原方程是关于未知函数x x y =()的一阶线性微分方程y ye yxdy dx -=-， 此方程通解为y dy y y dy y ye Cy dy e ye C e x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-⎰=⎰-11，其中C 是任意常数。
`2367．求微分方程22y xy y x =+'满足初始条件1)1(=y 的特解。