九年级数学下册教学课件26.3 实践与探索(第3-1课时二次函数与一元二次方程的关系)
倍 速 课 时 学 练
5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的 图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.
6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴 上的点A, 所得的抛物线与y轴交于点B,且线 段OA,OB满足关系OA-1 =OB,试说明平移 方法.
倍 速 课 时1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
例:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且 它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4x(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27
y=x2-4x+6化为y=a(x-h)2+k的 形式.
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3,如图直线l经过点A(4,0) 和B(0,4)两点,它与二次 函数y=ax2的图像在第一 象限内相交于P点,若 △AOP的面积为4.5,求 二次函数的解析式.
y B P O A
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x
4,将抛物线y=x2向下平移后,使 它的顶点C与它在x轴上的两个 交点A,B组成等边三角形ABC, 求此抛物线的解析式.
这时函数y=-x2+2,它与x轴的交点是
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1 2 15 已知函数 y x 7 x 2 2 ⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以 及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然 后画出函数图像的草图； (2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增 大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最 大值或最小值。
26.3实践与探索
第3课时
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 倍 速 课 时 学 练 开口方向 增减性
当x
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直 线x 2a
(-7,32)
y
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(-14,7.5) (-15,0)
0
.
(0,7.5) (1,0)
x
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结 论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ D ）A 1个 B 2 y 个 C 3个 D 4个
倍 速 课 时 学 练
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直 线x 2a
向下
最值
b b 时,y随着x的增大而增 时 ,y随着x的增大而减小. 当x 2a 2a b b 当 x 时 , y随着x的增大而减 当x 时 , y随着x的增大而增大. 2a 2a 2 2
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A P
B
x
二次函数与一元二次方程综合题
的交点坐标为(x1，O)、(x2，O)，且,
例:已知二次函数y=x2－mx－4．设该函数的图象与x轴
求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标．
1 1 1 x1 x2
倍 速 课 时 学 练
解:因为该函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为 (x1，0)、 (x2，O)，所以x1、x2是方程x2－mx－4=0的 两个实数根，所以x1+x2=m，x1· x 2= －4 ．
当x
b 4ac b 时, 最 小 值 为 2a 4a
当x
b 4ac b 时, 最 大 值 为 2a 4a
二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所
y=x2+2 x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
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交点.
当k≠2时，Δ=4(k-1)2-4(k-2)(k+1)=-4k+12,
当k≤3时，Δ≥0，此时抛物线与x轴有交点.
因此,k≤3时，y关于x的函数y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1
的图象与x轴总有交点.
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(2)关于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6,k=4-z.
由于原分式方程有增根，其增根必为z=3.这时k=1,
所以二次函数的解析式为y=x2－4x－4=(x－2)2－8，因 此坐标顶点为(2，－8)
已知y关于x的函数：y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1中满足
k≤3. (1)求证：此函数图象与x轴总有交点.
（2）当关于z的方程
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有增根时，
求上述函数图象与x轴的交点坐标.
【解析】(1)当k=2时，函数为y=-2x+3，图象与x轴有
-1 1
0
x
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1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1)求这条抛物线的解析式. (2)求出这个二次函数的最大值或最小值. (3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2), 且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小. 2,若函数y=4x2,的图像与平行x轴的直线 y=1.5交于两点,求这两点间的距离.
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点(有几个）
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c 根的判别式Δ=b2-4a
倍 速 课 时 学 练
有两个交点 有一个交点 没有交点
有两个相异的 实数根 有两个相等的 实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
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(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况 ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的 图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.
6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴 上的点A, 所得的抛物线与y轴交于点B,且线 段OA,OB满足关系OA-1 =OB,试说明平移 方法.
倍 速 课 时1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
例:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且 它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4x(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时 x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27
y=x2-4x+6化为y=a(x-h)2+k的 形式.
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3,如图直线l经过点A(4,0) 和B(0,4)两点,它与二次 函数y=ax2的图像在第一 象限内相交于P点,若 △AOP的面积为4.5,求 二次函数的解析式.
y B P O A
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x
4,将抛物线y=x2向下平移后,使 它的顶点C与它在x轴上的两个 交点A,B组成等边三角形ABC, 求此抛物线的解析式.
这时函数y=-x2+2,它与x轴的交点是
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1 2 15 已知函数 y x 7 x 2 2 ⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以 及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然 后画出函数图像的草图； (2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增 大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最 大值或最小值。
26.3实践与探索
第3课时
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 倍 速 课 时 学 练 开口方向 增减性
当x
y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直 线x 2a
(-7,32)
y
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(-14,7.5) (-15,0)
0
.
(0,7.5) (1,0)
x
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结 论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ D ）A 1个 B 2 y 个 C 3个 D 4个
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向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直 线x 2a
向下
最值
b b 时,y随着x的增大而增 时 ,y随着x的增大而减小. 当x 2a 2a b b 当 x 时 , y随着x的增大而减 当x 时 , y随着x的增大而增大. 2a 2a 2 2
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A P
B
x
二次函数与一元二次方程综合题
的交点坐标为(x1，O)、(x2，O)，且,
例:已知二次函数y=x2－mx－4．设该函数的图象与x轴
求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标．
1 1 1 x1 x2
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解:因为该函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为 (x1，0)、 (x2，O)，所以x1、x2是方程x2－mx－4=0的 两个实数根，所以x1+x2=m，x1· x 2= －4 ．
当x
b 4ac b 时, 最 小 值 为 2a 4a
当x
b 4ac b 时, 最 大 值 为 2a 4a
二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所
y=x2+2 x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
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交点.
当k≠2时，Δ=4(k-1)2-4(k-2)(k+1)=-4k+12,
当k≤3时，Δ≥0，此时抛物线与x轴有交点.
因此,k≤3时，y关于x的函数y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1
的图象与x轴总有交点.
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(2)关于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6,k=4-z.
由于原分式方程有增根，其增根必为z=3.这时k=1,
所以二次函数的解析式为y=x2－4x－4=(x－2)2－8，因 此坐标顶点为(2，－8)
已知y关于x的函数：y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1中满足
k≤3. (1)求证：此函数图象与x轴总有交点.
（2）当关于z的方程
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有增根时，
求上述函数图象与x轴的交点坐标.
【解析】(1)当k=2时，函数为y=-2x+3，图象与x轴有
-1 1
0
x
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1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1)求这条抛物线的解析式. (2)求出这个二次函数的最大值或最小值. (3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2), 且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小. 2,若函数y=4x2,的图像与平行x轴的直线 y=1.5交于两点,求这两点间的距离.
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点(有几个）
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c 根的判别式Δ=b2-4a
倍 速 课 时 学 练
有两个交点 有一个交点 没有交点
有两个相异的 实数根 有两个相等的 实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
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(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况 ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
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26.3第3课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系
2 2
2
2
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
探究问题二
例2
用图象法求一元二次方程的解(或近似解)
用两种方法求方程 2x2－3x－2＝0 的解．
2
解：(解法一 )画函数 y＝2x － 3x－ 2 的图象，如图 26－ 3－32 所示． 由图象可知 2x －3x－2＝ 0 的解是 1 x1＝－ ， x2＝2. 2
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
(2)一次函数 y＝－x＋ 2 的图象如图 26－3 －6 所示，则方
2 程－x ＋2＝0 的解为 x＝________ ，不等式－x＋2<0 的解集为 x＞2 ． ________
图26－3－6
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
2
x＜1或x＞2 x＝1或x＝2 1＜x＜2
0 (2)关于 x 的二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c 中，当 y＝________ 一元二次方 时，得到关于 x 的方程 ax ＋bx＋ c＝0，这是一个 ________
2
程．
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
◆链接知识—— [新知梳理 ]知识点 2．利用图象求方程 (组)的解 (1)已知二次函数 y＝x2－2x－3 的图象如图 26－ 3－ 8 所示，那
2 2
图26－3－4
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
[归纳总结 ] 关于 x 的一元二次不等式 ax ＋ bx＋ c＞ 0 或 ax ＋ bx＋ c ＜0 与关于 x 的二次函数 y＝ ax ＋bx＋c 存在内在联系，抛物线在 x 轴上 方的点的横坐标的集合即是不等式 ax2＋bx＋c＞ 0 的解集， 抛物线在 x 轴 下方的点的横坐标的集合即是不等式 ax ＋ bx＋ c＜0 的解集．
2
2
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
探究问题二
例2
用图象法求一元二次方程的解(或近似解)
用两种方法求方程 2x2－3x－2＝0 的解．
2
解：(解法一 )画函数 y＝2x － 3x－ 2 的图象，如图 26－ 3－32 所示． 由图象可知 2x －3x－2＝ 0 的解是 1 x1＝－ ， x2＝2. 2
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
(2)一次函数 y＝－x＋ 2 的图象如图 26－3 －6 所示，则方
2 程－x ＋2＝0 的解为 x＝________ ，不等式－x＋2<0 的解集为 x＞2 ． ________
图26－3－6
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
2
x＜1或x＞2 x＝1或x＝2 1＜x＜2
0 (2)关于 x 的二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c 中，当 y＝________ 一元二次方 时，得到关于 x 的方程 ax ＋bx＋ c＝0，这是一个 ________
2
程．
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
◆链接知识—— [新知梳理 ]知识点 2．利用图象求方程 (组)的解 (1)已知二次函数 y＝x2－2x－3 的图象如图 26－ 3－ 8 所示，那
2 2
图26－3－4
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
[归纳总结 ] 关于 x 的一元二次不等式 ax ＋ bx＋ c＞ 0 或 ax ＋ bx＋ c ＜0 与关于 x 的二次函数 y＝ ax ＋bx＋c 存在内在联系，抛物线在 x 轴上 方的点的横坐标的集合即是不等式 ax2＋bx＋c＞ 0 的解集， 抛物线在 x 轴 下方的点的横坐标的集合即是不等式 ax ＋ bx＋ c＜0 的解集．
九年级数学下册26.3实践与探索课件1(新版)华东师大版
由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定
价能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价
30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经 验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高 1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在 半个月内获得最大利润?
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会 少结5个橙子.
2.(09中考)某超市经销一种销售成本为每 件40元的商品．据市场调查分析，如果按每 件50元销售，一周能售出500件；若销售单价 每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价 为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ， 顶点坐标是 (-4 ，-1) 。当x=-4 时，函数有最 大 值 -1 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶 点坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值，
是1 。
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
华东师大版九年级下册数学课件26.3实践与探索 (共19张PPT)
3、函数y=ax2+bx+c图像与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的解的近似值。
y x2 6x 9
y x2 2x 2
做一做 1.
求一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的近似值（精确到0.1） 分析，一元二次方程 x2 2x 1 0 的根就是：抛物线 y x2 2x 1
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解得：x1 -3 x2 2
所以,函数y x2 x 6的图象与 x 轴的交
点坐标为（-3，0）和（2，0）.
观察二次函数 y x2 6x 9的图象和二次 函数 y x2 2x 2 的图象,分别说出一元二次
方程 x2 6x 9 0 和 x2 2x 2 0的根的情况.
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个是-3,另一个在2与3之 间,分别约为3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解;
解：设二次函数 y x2 2x 1
作出函数图象 y x2 2x 1 的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
y x2 6x 9
y x2 2x 2
做一做 1.
求一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的近似值（精确到0.1） 分析，一元二次方程 x2 2x 1 0 的根就是：抛物线 y x2 2x 1
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解得：x1 -3 x2 2
所以,函数y x2 x 6的图象与 x 轴的交
点坐标为（-3，0）和（2，0）.
观察二次函数 y x2 6x 9的图象和二次 函数 y x2 2x 2 的图象,分别说出一元二次
方程 x2 6x 9 0 和 x2 2x 2 0的根的情况.
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个是-3,另一个在2与3之 间,分别约为3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解;
解：设二次函数 y x2 2x 1
作出函数图象 y x2 2x 1 的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
华师版九年级下册数学精品课件 第26章二次函数 第3课时 利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解
y C
关于 x 的一元一次不等式 ax + b≤kx + c 的解集 为__x_≤__2____.
1
O
A
B 12 x
y
y
1
2
3.已知二次函数 y = x2 + 5x - 6，该函数图象与 y 轴的
交点坐标为_(0_，__-_6_)_，与 x 轴的交点坐标为
_(_-_6_，__0_)_，__(1_，__0_)___；根据图象可知当_x_＜__-_6_或___x_＞__1标； 由图象可知，它们有两
2
y=3
x
个交点，其横坐标一个在 -4
-4-3 O 1 2
与 -3 之间，另一个在 1 与 2
-2
之间，分别约为 -3.2 和 1.2.
④ 由此可知，一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为
x1≈3.2，x2≈1.2.
方法三：
的解集为__x_≤__2____.
y
1O A B 12 x
2. 已知一次函数 y1 = ax + b 的图象经过 A(2，0)，
B (0，-1) 两点，y2 = kx + c 的图象经过 A(2，0)，C(0，2)
两点，则关于 x、y 的二元一次方程组
y ax b
y
kx
c
x 2
的解为___y___0_；
思考：点 A 的坐标有几种表示方式？ A
B yh
A (x1，ax2 + bx+ c) 或 (x1，h)
x1 O x2 x
问题2 如图，二次函数 y = ax2 的图象与一次函数 y bx c
的图象交于两点，观察以下图象，你能得到哪些信息？
201X年秋九年级数学下册 第26章 二次函数 26.3 实践与探索(第3课时)课件(新版)华东师大
即－－612－2×－c1＝26，解得 c＝－5.
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15
3．[2018·南京]已知二次函数 y＝2(x－1)(x－m－3)(m 为常数)． (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； (2)当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？
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16
得 x1＝－m1，x2＝5，
由x1－x2＝6，得－m1 －5＝6，
解得 m＝1 或 m＝－111.
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8
当堂测评
1．下面的表格是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中自变量 x 与函数值 y 的对应值， 则方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个解 x 的范围是( C )
x
6.17 6.18 6.19 6.20
0)． (1)求证：无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若抛物线 y＝mx2＋1－5mx－5 与 x 轴交于 A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1－x2
＝6，求 m 的值．
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7
2
2
解：(1)证明：由题意，得 Δ＝1－5m －4m×－5＝5m＋1 ≥0，
∴无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根． (2)解方程 mx2＋1－5mx－5＝0，
第26章 二次函数
3. 实践与探索 第3课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似值
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
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1
学习指南
★教学目标★ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
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2
★情景问题引入★
多媒体演示：出示二次函数 y＝x2－2x－3 的图象，如图所示，根据图象回 答：
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3．[2018·南京]已知二次函数 y＝2(x－1)(x－m－3)(m 为常数)． (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； (2)当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？
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得 x1＝－m1，x2＝5，
由x1－x2＝6，得－m1 －5＝6，
解得 m＝1 或 m＝－111.
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当堂测评
1．下面的表格是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中自变量 x 与函数值 y 的对应值， 则方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个解 x 的范围是( C )
x
6.17 6.18 6.19 6.20
0)． (1)求证：无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若抛物线 y＝mx2＋1－5mx－5 与 x 轴交于 A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1－x2
＝6，求 m 的值．
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解：(1)证明：由题意，得 Δ＝1－5m －4m×－5＝5m＋1 ≥0，
∴无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根． (2)解方程 mx2＋1－5mx－5＝0，
第26章 二次函数
3. 实践与探索 第3课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似值
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学习指南
★教学目标★ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
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★情景问题引入★
多媒体演示：出示二次函数 y＝x2－2x－3 的图象，如图所示，根据图象回 答：
九年级数学下册26.3实践与探索第3课时新版华东师大版
知识管理
利用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解 步 骤：(1)画出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象； (2)确定一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的取值范围， 即确定抛物线 y＝ax2 ＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标的大致范围； (3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索，即在(2)确定的范围内，从大到 小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的 y 值； (4)确定一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根，在(3)中最接近 0 的 y 值所 对应的 x 值即为一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似解．
归类探究
类型之一 利用函数图象求一元二次方程的近似解 (1)请在坐标系中画出二次函数 y＝x2－2x 的大致图象； (2)根据方程的根与函数图象的关系， 将方程 x2－2x＝1 的根在图上近似地表 示出来(描点)； (3)观察图象，直接写出方程 x2－2x＝1 的根(精确到 0.1)．
解：(1)如答图，y＝x2－2x＝(x－1)2－1， 作出顶点，作出与 x 轴的交点，图象光滑． (2)正确作出点 M、N. (3)方程的根为 x1＝－0.4，x2＝2.4.
解：(1)证明：当 y＝0 时，2x－1x－m－3＝0，解得 x1＝1，x2＝m＋3. 当 m＋3＝1，即 m＝－2 时，方程有两个相等的实数根；当 m＋3≠1，即 m ≠－2 时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点． (2)当 x＝0 时，y＝2m＋6，即该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标是 2m＋6. 当 2m＋6>0，即 m>－3 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方．
2
华东师大版九年级下册数学26.3实践与探索(第3-1课时二次函数与一元二次方程的关系)
当k≤3时，Δ≥0，此时抛物线与x轴有交点.
因此,k≤3时，y关于x的函数y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1
的图象与x轴总有交点.
(2)关于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6,k=4-z.
由于原分式方程有增根，其增根必为z=3.这时k=1,
这时函数y=-x2+2,它与x轴的交点是
1 2 15 已知函数 y x 7 x 2 2 ⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以 及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然 后画出函数图像的草图； (2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增 大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最 大值或最小值。
倍速课时学练
例:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且 它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4x(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有x2-2x-8=0 解方程得:x1=4,x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27
26.3实践与探索
第3课时
倍速课时学练
倍速课时学练
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况 ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2024春九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索2二次函数与一元二次方程一元二次不等
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系 知1－讲
1. 二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的 关系 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a ≠ 0)的图象可 知：如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a ≠ 0)与x轴有公共点， 公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是 0，因 此x＝x0是方程 ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)的一个根 .
知3－练
解：当x＝1时，对应的函数值y<0，即a＋b＋c<0，故①正 确；当x＝－1时，对应的函数值y>0，即a－b＋c>0，故② 正确；观察图象知抛物线过原点，∴ c＝0，∴ abc＝0， 故③错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴ b2－4ac>0，即 b2>4ac, 故④错误；∵抛物线的对称轴是直线 x＝－1，
x1＋2 x2，若ax32＋bx3＋c>0，则取x4＝x3＋2 x2；若ax32＋bx3
＋c<0， 则取x4＝x1＋2 x3. 这样不停地取下去，直到达到所要求的精确度为止 .
知2－讲
2. 利用二次函数y＝ax2的图象与直线y＝－bx－c的公共点 求方程ax2＋bx＋c＝0 的解 (1)将方程ax2＋bx＋c＝0 化为ax2＝－bx－c的形式； (2)在平面直角坐标系中画出抛物线 y＝ax2和直线 y＝－bx－c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标； (3)公共点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0的解 .
实数根
0(a ≠ 0)的根的 －b± b2－4ac
情况
2a
x1＝x2＝－2ba
没有实数 根
续表
a>0 二次函数 y＝
ax2＋bx＋c (a ≠ 0)的图象
2实践与探索课件华东师大版九年级数学下册
且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-20x2+100x+6000，
当 x 100 5 时,y 20(5)2 100 5 6000 6125.
2 (20) 2
2
2
即定价57.5元时，最大利润是6125元.
学习目标
自主学习
合作探究
2 (10)
即定价65元时，最大利润是6250元.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
探究二 利用二次函数解决商品利润问题
问题探究2：降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 降价销售
20
20-x
300
300+20x
6000
问题提出：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反 应：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：销售利润问题中常用的数量关系： （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
第26章 二次函数 26.3 实践与探索
第1课时
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.会建立二次函数模型,解决与之相关的运动物体中的实际问题. 2.会运用二次函数模型解决销售中最大利润等问题,体会运用数学 模型选择最优化方案. 3.体会数学建模的思想,感受数学的实际应用价值.
学习目标
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-20x2+100x+6000，
当 x 100 5 时,y 20(5)2 100 5 6000 6125.
2 (20) 2
2
2
即定价57.5元时，最大利润是6125元.
学习目标
自主学习
合作探究
2 (10)
即定价65元时，最大利润是6250元.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
探究二 利用二次函数解决商品利润问题
问题探究2：降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 降价销售
20
20-x
300
300+20x
6000
问题提出：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反 应：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：销售利润问题中常用的数量关系： （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
第26章 二次函数 26.3 实践与探索
第1课时
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
1.会建立二次函数模型,解决与之相关的运动物体中的实际问题. 2.会运用二次函数模型解决销售中最大利润等问题,体会运用数学 模型选择最优化方案. 3.体会数学建模的思想,感受数学的实际应用价值.
学习目标
2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教学课件26.3实践与探索(第2课时商品销售问题)
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利
润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
∵−1 < 0，对称轴为直线 = 10，
16
∴当 = 10时，y值最大，最大值为25.
即： = − + + .
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格下降，则销量上升，因此只要考虑单件利润即可，故20 −
≥ 0，且 ≥ 0，因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 20.
知识讲解
（3）涨价多少元时利润最大，是多少？
= −202 + 100 + 6 000，
当 =
− 时，二次函数
（大）值 =
−
.
= + + 有最小
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润.
注意：此时可以利用配方法或公式法求；或者画
出函数的简图，利用简图和性质求出.
知识讲解
例
解：
某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖
出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期
润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
∵−1 < 0，对称轴为直线 = 10，
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∴当 = 10时，y值最大，最大值为25.
即： = − + + .
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格下降，则销量上升，因此只要考虑单件利润即可，故20 −
≥ 0，且 ≥ 0，因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 20.
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（3）涨价多少元时利润最大，是多少？
= −202 + 100 + 6 000，
当 =
− 时，二次函数
（大）值 =
−
.
= + + 有最小
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
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商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润.
注意：此时可以利用配方法或公式法求；或者画
出函数的简图，利用简图和性质求出.
知识讲解
例
解：
某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖
出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期