§4-4最大功率传输定理要点
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第四章(习题答案)
§4-3 戴维宁定理和诺顿定理
(一)戴维宁定理的证明
设流过端口以外的电路中的电流为 i,则据替代定 ,则据替代定 理,外电路可以用一个电流为 i的电流源 iS替代,如图(a)所 替代,如图(a) (a)所 示;则又据 叠加定理,得其相应的分电路 (b),(c): 示;则又据叠加定理 ,得其相应的分电路(b) (c): 叠加定理,得其相应的分电路 (b),
:在线性 线性电路中,任一支路的电流或电 叠加定理 :在 线性 电路中,任一支路的电流或电 压是电路中各个独立电源(激励) 单独作用 时在 压是电路中各个独立电源(激励)单独作用 单独作用时在 该支路中产生的电流或电压的 代数和. 该支路中产生的电流或电压的代数和 代数和.
§4-1 叠加定理
也就是说,只要电路存在唯一解,线性电路中 的任一结点电压,支路电压或支路电流均可表示为 以下形式: y = H 1uS1 + H 2 uS 2 + + H m uSm + K 1 iS1 + K 2 iS 2 + + K n iSn ——表示电路中独立 其中:uSk 表示电路中独立电压源的电压 独立电压源的电压
+ Req + u RL
uS1
NS
uS2
RL
口 含一 源 端
1
戴维宁定理
- -
uoc
维 宁 等 效 电 路
1' i1
RL
isc
1'
1'
u R Geq L
-
+
诺顿定理
诺 顿 等 效 电 路
1'
§4-3 戴维宁定理和诺顿定理
对外电路而言,"含源一端口NS"可以用一条含源支路 对外电路而言," 含源一端口N 可以用一条含源支路 等效替代 戴维宁等效电路和诺顿等效电路称为一端口的等效发电机 戴维宁等效电路和诺顿等效电路称为一端口的等效发电机
最新电子电气电力电路课程第四章《最大功率传输定理》高等学院
Req2 R2 0
Req R时，功率最大
pmax
uo2c ( 2Req
)2
Req
uo2c 4 Req
Pm
1 4
I sc2 Req
含源一端口外接可调电阻R， 当R等于多少时，它可以从电路 中获得最大功率？ 求此最大功率。
结点电压法求开路电压
10 3
Uoc
5 1
画出等效电路Ro， 有ui =6
⊥
R=Ro =6 Pm =3/8W
6
Uoc 3V
作业： 4－4、4－9、4-12（c、d）、4-17。
Ns
R
当满足R=Req（Req为一端口的输入电阻）的条件时， 电阻R将获得最大功率。
此时称电阻与一端口的输入电阻匹配。
练习：求电阻R为多少时可获最大功率？求此最大功率为多少？
解：移去R有：Uoc 6I 3I
I 3 1A 36 3
Uoc 3V
除去独立电源,有 u 6I 6(i I)
4-4 最大功率传输定理
Req
+
Uoc–
i
R
由 p i 2 R ( uoc )2 R
dp
Req R
0
dR
dp dR
uoc
(
Req
R (
)2 2R( Req Req R )4
R
)
0
即 ( Req R )2 2R( Req R ) 0
Req2 2RReq R2 2RReq 2R2 0
1
=4V
5 20
等效电阻
Req
Req=16+20//5 =20kΩ
最大功率传输定理
－
4A
I1
7 6
2 2
4 4
15 6
2.5A
返回 上页 下页
例3 已知:uab=0, 求电阻R
解 用替代：
uab 3I 3 0 I 1A
用结点法：
c
44
RR IRI++
aa
uC
1A
320＋V3V
22
2200VV － bb －－ 88 I1
a点
(1 2
1 4)ua
1 20 4
1
ua ub 8V I1 1A IR I1 1 2A
返回 上页 下页
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的
开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或
等效电阻Req）。
i a
+
Au -b
Req +
Uoc -
ia + u
b
返回 上页 下页
例
a
10 10 +
返回 上页 下页
例 RL=2 R1=1 R2=1 us=51V，求电流 i
21A R1
+
+21V– +
us
–
R2
– us'=34V
8A R1 + 8V –
13A R2
3A R1 + 3V –
5A R2
i i '=1A
+ RL 2V
2A
–
解 采用倒推法：设 i'=1A
则 i us 即 i us i' 51 1 1.5A
4A
I1
7 6
2 2
4 4
15 6
2.5A
返回 上页 下页
例3 已知:uab=0, 求电阻R
解 用替代：
uab 3I 3 0 I 1A
用结点法：
c
44
RR IRI++
aa
uC
1A
320＋V3V
22
2200VV － bb －－ 88 I1
a点
(1 2
1 4)ua
1 20 4
1
ua ub 8V I1 1A IR I1 1 2A
返回 上页 下页
1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，
总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置
换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的
开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或
等效电阻Req）。
i a
+
Au -b
Req +
Uoc -
ia + u
b
返回 上页 下页
例
a
10 10 +
返回 上页 下页
例 RL=2 R1=1 R2=1 us=51V，求电流 i
21A R1
+
+21V– +
us
–
R2
– us'=34V
8A R1 + 8V –
13A R2
3A R1 + 3V –
5A R2
i i '=1A
+ RL 2V
2A
–
解 采用倒推法：设 i'=1A
则 i us 即 i us i' 51 1 1.5A
最大功率传输定理适用范围
最大功率传输定理适用范围
最大功率传输定理主要适用于一端口网络的功率给定，负载电阻可调的情况。
当负载的电阻值等于电压源内部电阻的值时，允许提供最大功率。
此外，电力系统通常不采用功率匹配条件，但是在测量、电子与信息工程中，常常着眼于从微弱信号中获得最大功率，而不看重效率的高低。
值得注意的是，在使用最大功率传输定理时，需要注意以下三点：
1.最大功率传输定理用于一端口网络的功率给定，负载电阻可调
的情况。
2.一端口网络等效电阻消耗的功率一般不等于端口网络内部消耗
的功率，因此当负载获取最大功率时，电路的传输效率并不一定等于50%。
3.计算最大功率问题结合应用戴维宁（也叫戴维南）定理或诺顿
定理最方便。
此外，对于单口网络N中的独立源而言，其效率可能更低。
具体来说，最大功率传输定理主要应用于一端口网络的功率给定和负载电阻可调的情况，同时要求电压源内部电阻的阻值等于负载电阻的阻值，以保证能够提供最大功率。
然而，实际应用中还需要考虑效率、系统设计和工程约束等因素。
如需获取更多关于最大功率传输定理适用范围的信息，建议咨询相关学者或查阅专业书籍。
最大功率传输定理
PLmax PUs 900 2520 100 % 35.71%
第4章 电路定理与应用
小结：
பைடு நூலகம்
最大功率传输定理是戴维宁（诺顿）定理的具体
应用，若一个线性有源二端网络为负载提供最大功率，
其条件是负载电阻应与线性有源二端网络内部独立源
置零后的等效电阻相等，此时为最大功率匹配状态，
且最大功率为： 作业：
率为：
PL max
VO2C 4R
62 44
2.25(W)
第4章 电路定理与应用
+−
+−
+−
4Ω R
(a)
+
6V
− i
2Ω
+ 6V
4i
2i
4Ω
2i' 4Ω
4i'
+
− i'
2Ω
R vOC
2Ω
2Ω
(b)
−
4Ω
+
iS
i''
VOC
2Ω − 2i'R'
Req
2Ω (d)+
4Ω iS
第4章 电路定理与应用
最大功率为：
PL m ax
VOC2 4Req
第4章 电路定理与应用
此时的电路状态称最大功率匹配状态，或称为电
路达到最大功率传输。
如果有源网络用诺顿定理等效，同样可得到此时
的最大功率传输条件仍为Geq = GL，且此时的最大功 率为：
P L m ax
IS2C 4Geq
1 4
Req
I
2 SC
最大功率匹配的条件是在二端网络一定，即VOC 与Req不变的情况下推导出来。
第4章 电路定理与应用
小结：
பைடு நூலகம்
最大功率传输定理是戴维宁（诺顿）定理的具体
应用，若一个线性有源二端网络为负载提供最大功率，
其条件是负载电阻应与线性有源二端网络内部独立源
置零后的等效电阻相等，此时为最大功率匹配状态，
且最大功率为： 作业：
率为：
PL max
VO2C 4R
62 44
2.25(W)
第4章 电路定理与应用
+−
+−
+−
4Ω R
(a)
+
6V
− i
2Ω
+ 6V
4i
2i
4Ω
2i' 4Ω
4i'
+
− i'
2Ω
R vOC
2Ω
2Ω
(b)
−
4Ω
+
iS
i''
VOC
2Ω − 2i'R'
Req
2Ω (d)+
4Ω iS
第4章 电路定理与应用
最大功率为：
PL m ax
VOC2 4Req
第4章 电路定理与应用
此时的电路状态称最大功率匹配状态，或称为电
路达到最大功率传输。
如果有源网络用诺顿定理等效，同样可得到此时
的最大功率传输条件仍为Geq = GL，且此时的最大功 率为：
P L m ax
IS2C 4Geq
1 4
Req
I
2 SC
最大功率匹配的条件是在二端网络一定，即VOC 与Req不变的情况下推导出来。
§4-4 最大功率传输定理
计算可变二端电阻负载从线性电阻电路获得最大功率的步 骤是：
1．计算连接二端电阻的含源线性电阻单口网络的戴维宁等
效电路。 2．利用最大功率传输定理，确定获得最大功率的负载电阻 值RL=Ro>0. 3．计算负载电阻RL=Ro>0时获得的最大功率值。
例4－15 电路如图4-22(a)所示。 试求：(l) RL为何值时获得最大功率；
(2) RL获得的最大功率；
(3) 10V电压源的功率传输效率。
图4－22
图4－22
解：(l)断开负载RL，求得单口网络 N1的戴维宁等效电路参 数为：
如图4－22(b)所示，由此可知当RL=Ro=1时可获得最 大功率。
(2)由式(4－14)求得RL获得的最大功率
(3)先计算10V电压源发出的功率。当RL=1时
满足最大功率匹配条件(RL=Ro>0)时，Ro吸收功率与RL 吸收功率相等，对电压源uoc 而言，功率传输效率为
=50%。对单口网络 N中的独立源而言，效率可能更低。
电力系统要求尽可能提高效率，以便更充分地利用能源，
不能采用功率匹配条件。但是在测量、电子与信息工程中，
常常着眼于从微弱信号中获得最大功率，而不看重效率的 高低。
§4－4 最大功率传输定理
本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。在测量、电子 和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如何从 电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为图(a)所示
的电路模型来分析
网络 N 表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网
络，它可用戴维宁等效电路来代替，如图(b)所示。电阻RL 表示获得能量的负载。此处要讨论的问题是电阻RL为何值 时，可以从单口网络获得最大功率。
整理得到
Chapter4电路定理
a
c
a
R1 Rab R2 i3i3 R3
R5
+ ++
uS1 uab uS2
R4RRcd6
– ––
b
b
d
例2 求图示电路的等效发电机。
解：
iSc
40 20
40 40
60 20
3
1A
Req 20 // 40 // 20
1
1 1
1
8
20 40 20
20Ω
40Ω
20Ω 3A
＋
25V
20
U
－
－
用结点电压法
o
1'
uao
1 5
1 20
1 4
25 5
3
U 4
uao
16
U 2
由 I uao U
4
U 32 8I
＋ 8 I ＋1
4A
32V
－
U
－
1'
I ＋1
8 U
－
1'
i
ia
a +
Req
+
uoc=Reqisc
Nu
+
-b
uoc
-
u isc -
3.定理的应用
（1）开路电压uoc和短路电流iSc的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。诺顿等效 电路中电流源电流等于将外电路短路时的短路电流iSc，电流源 方向与所求短路电流的方向有关。计算uoc、 iSc的方法视电路 形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。
最大功率传输定理证明
最大功率传输定理证明
最大功率传输定理概述
最大功率传输定理是关于使含源线性阻抗单口网络向可变电阻负载传输最大功率的条件。
定理满足时，称为最大功率匹配，此时负载电阻（分量）RL获得的最大功率为：Pmax=Uoc /4R0。
最大功率传输定理是关于负载与电源相匹配时，负载能获得最大功率的定理。
最大功率传输定理证明
因一个复杂的含源一端口网络可以用一个戴维南等效电路（或诺顿等效电路）来替代。
下图可看成任何一个复杂的含源一端口网络向负载RL 供电的电路。
设Uoc和Req 为定值，若RL的值可变，则RL等于何值时，它得到的功率最大，最大功率为多大？下面就这些问题进行讨论。
从图中可知，负载RL消耗的功率pL为：
对于给定的Uoc和Req ，负载功率pL大小由负载RL决定。
当RL= 0时，电流IL为最大，但因RL= 0 所以pL= 0；而当RL→∞时，因IL= 0所以pL仍为零，这样，只有当负载RL为某值时，必能获得最大功率，即pL = pLmax。
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2.5 i i1 i2 2.5 A 3.75A 2
10V电压源发出37.5W功率，电阻RL 吸收功率6.25W，其功率传输效率为
6.25 η 16 .7% 37 .5
例4－18 求图4-29(a)所示单口网络向外传输的最大功率。
图4－29
解：为求uoc，按图(b)所示网孔电流的参考方向，列出网 孔方程：
(4－14)或(4－15)求得最大功率。
pmax
2 uoc 62 W 4.5W 4 Ro 4 2
或 pmax
is2c 32 W 4.5W o 4 0.5
思考与练习
4－ 4－ l 当负载 RL固定不变，问单口网络的输出电阻 Ro为 何值，RL可获得最大功率? 4－4－2 试求图示单口网络输出最大功率的条件。
(10)i1 (3)i2 12V (3)i1 (8)i2 12V (3)i1
整理得到
图4－29
10i1 3i2 12 A 8i2 12 A
解得：
i 2 1 .5A u oc (4)i 2 6V
为求isc,按图(c)所示网孔电流参考方向，列出网孔方程
§4－8 最大功率传递原理
本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。在测量、电子 和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如何从 电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为图(a)所示
的电路模型来分析
网络 N 表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网
络，它可用戴维宁等效电路来代替，如图(b)所示。电阻RL 表示获得能量的负载。此处要讨论的问题是电阻RL为何值 时，可以从单口网络获得最大功率。
2 u oc 4 Ro
p max
(4 14)
满足最大功率匹配条件(RL=Ro>0)时，Ro吸收功率与RL 吸收功率相等，对电压源uoc 而言，功率传输效率为
=50%。对单口网络 N中的独立源而言，效率可能更低。
电力系统要求尽可能提高效率，以便更充分的利用能源，
不能采用功率匹配条件。但是在测量、电子与信息工程中，
由此式求得p为极大值或极小值的条件是
R L Ro (4 13)
由于
d2 p
2 dRL RL Ro
2 u oc 3 8 Ro Ro 0
0
由此可知，当Ro>0,且RL=Ro时，负载电阻RL从单口网 络获得最大功率。
最大功率传输定理：含源线性电阻单口网络(Ro>0)向
可变电阻负载RL传输最大功率的条件是：负载电阻RL与单 口网络的输出电阻Ro相等。满足RL=Ro条件时，称为最大 功率匹配，此时负载电阻RL获得的最大功率为
写出负载RL吸收功率的表达式
p RL i 2
2 RL u oc
( Ro R L ) 2
欲求p的最大值，应满足dp/dRL=0，即
2 2 2 uoc 2 RLuoc ( Ro RL )uoc dp 0 2 3 3 dRL ( Ro RL ) ( Ro RL ) ( Ro RL )
(10)i1 (3)isc 12V (3)i1 (4)isc 12V (3)i1
整理得到
10i1 3i sc 12A 4i sc 12A
解得isc=3A
为求Ro，用式(4－10)求得
u oc 6 Ro 2 i sc 3
得到单口网络的戴维宁等效电路，如图(d)所示。由式
大功率。
22 Ro 1 22
如图4－28(b)所示，由此可知当RL=Ro=1时可获得最
(2)由式(4－14)求得RL获得的最大功率
2 uoc 25 pmax W 6.25W 4Ro 4 1
(3)先计算10V电压源发出的功率。当RL=1时
iL uoc 5 A 2.5A Ro RL 2 uL RLiL 2.5V p 10V 3.75A 37.5W
常常着眼于从微弱信号中获得最大功率，而不看重效率的 高低。
例4－17 电路如图4-28(a)所示。 试求：(l) RL为何值时获得最大功率；
(2) RL获得的最大功率；
(3) 10V电压源的功率传输效率。
图4－28
图4－28
解：(l)断开负载RL，求得单口网络 N1的戴维宁等效电路参 数为：
2 uoc 10 V 5V 22
当单口网络的输出电阻为负值时，不能套用最大功率
传输定理。