一元一次方程复习提纲概要

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(完整)一元一次方程复习讲义

一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审（2）找（3）设（4)列 (5）解（6）验（7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。

如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。

3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。

3一元一次方程知识点总结

第三章一元一次方程复习提纲一. 方程：含有未知数的等式．二. 解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

三、方程的解: 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元一次方程有唯一的一个解。

四、一元一次方程：只含有一个未知数（元）, 未知数的次数都是１次的整式方程．一般形式：ax = b (a ≠0)（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）五、代数式：用运算符号 ( 指加、减、乘、除、乘方、开方 ) 把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式。

带有“< 、 (≤) 、> 、(≥) 、 =、≠”等符号的不是代数式。

六、等式的性质：性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子), 结果仍相等. 如果a=b, 那么a±c=b±c性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数,结果仍相等.如果 a=b, 那么ac ==bc ; 如果a=b (c≠０),那么a b c c =七、移项: 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。

移项应注意：移项要变号.八、解一元一次方程的一般步骤依据：（去分母去括号移项合并同类项系数化1.）(1) 去分母：【等式性质2:同乘以各分母的最小公倍数。

注意: 给分子加括号且整数不要漏乘】(2) 去括号：【按去括号法则和分配律：a(b+c) = ab+ac ；去括号法则：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同，括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变．注意：括号里每一项不要漏乘】。

(3) 移项：【等式性质1，把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边。

一元一次方程复习提纲

信孚教育一元一次方程复习提纲一、一元一次方程的定义1.方程中只含有个未知数，未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程。

如：3x+1=0,6x+5=7.注：一元一次方程的分母中不含有未知数,531=+x不是一元一次方程。

2.使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。

练习：1.如果12)2(1=-⋅+-a x a 是关于x 的一元一次方程，那么a 的值是多少？2.已知m x m =+-632是关于x 的一元一方程，试求代数式2013)3(-x 的值。

二、等式的性质等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果±=±=b c a b a 那么,。

等式的性质2：等式两边同乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果。

那么；如果那么c b c a c b a bc ac b a =≠===),0(, 练习1.如果b a b a 与那么3,535+=-之间的关系是。

2.已知73552=--x x ，利用等式的基本性质，求x x -2的值三、解一元二次方程解一元二次方程步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化一。

1.新定义一种运算“⊗”，规定32,=⊗-+=⊗x b a ab b a 若，那么x 的值为。

2.方程关于x 的方程1324+=+x m x 和方程1423+=+x m x 的解相同，（1）求m 的值；（2）根据所求的m 的值当2=-n m 时，试求n m +的值。

3.已知关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，求整数a 的值。

4.新定义一种运算“∞”规定)(b a b a b a --+=∞，若0)1()2(=-∞-x x ，求x 的值。

5.若代数式是同类项，与)1(2445332---n n a b b a 试求代数式20122)13(--n n 的值。

四、一元二次方程的应用常用数量关系：1.行程问题：路程=速度×时间顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度2.利润率问题:利润=售价－进价利润率＝100⨯进价利润％售价=利润率）（进价+⨯13.工程问题：工作总量=工作效率×工作时间4.浓度问题: ％溶液质量溶质质量浓度⨯= 溶质质量=溶液质量×浓度溶液质量=溶质质量÷浓度1、行程问题：例题1、（相遇问题）甲、乙两人从相距为180千米的A 、B 两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。

第六章、一元一次方程复习提纲

第六章、一元一次方程一、概念掌握1、掌握一元一次方程的概念（只含有一个未知数，式子为整式，且未知数的次数为1的等式）。

型如“732=+x ”、“7=x ”、“x x -=+712”、“x 273-=”、 “)2(27)1(3--=-x x ”、 3)2(272)1(3--=-x x 这样的等式被称为一元一次方程。

注意型如“321=+x ”、 “31=+x x”、 “321=+”、“3=+x xy ”这样的等式不是一元一次方程。

2、能够识别一元一次方程（方程中是否含有未知数，分式等）。

3、能够区分方程和等式之间区别和联系：方程一定是等式，等式不一定是方程。

4、理解一元一次方程解的含义：使方程左右两边相等的未知数的值二、计算类型。

1、直接型：移项、合并同类项，系数化为1。

例题1、求方程x x 5942=-的解。

解：4295-=--x x （移项时要改变项的符号，“+”变“-”，“-”变“+”）4214-=-x （合并同类项，只对未知数的系数进行加减处理。

）34=x （系数化为1，有理数除法法则：同号得正，异号得负）变式练习1、求下列方程的解。

（1）、2332-=+x x （2）、213=-x2、去括号型：去括号，移项、合并同类项、系数化为1。

例题2、求方程1)1(234+-=+x x 的解。

解：12234+-=+x x （去括号、看符号、要变号、都变号，要扩倍、都扩倍。

）12324+--=-x x （移项时，先变号，再移动）42-=x （合并同类项，只对未知数的系数作处理）2-=x （系数化为1 ，有理数除法法则：同号得正，异号得负）变式练习2、求下列方程的解。

（1）、)3(22(2)1(3+=+-+x x x （2）、[])1(2)1(23x x x -=--3、去分母型：去分母（左右）、去括号、合并同类项，系数化为1。

例题3、求方程1615312=--+x x 的解。

解：6)15()12(2=--+x x （去分母、等式左右扩大相同倍数，整式也要扩倍）61524=+-+x x （去括号、看符号、要变号、都变号，要扩倍、都扩倍。

一元一次方程组知识要点

一元一次方程知识要点一、知识框架二、知识梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程;2、一元一次方程：在方程中,只含有一个未知数x 元,并且未知数的次数是1次,这样的方程叫一元一次方程;一元一次方程的标准形式：0=+b ax 其中x 是未知数,b a ,是已知数,且0≠a 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：1只含有一个未知数；2未知数的次数是1次；3整式方程;3、解方程与方程的解：求出使该方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解;判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边,看两边是否相等; 知识点二：一元一次方程的解法1、等式的基本性质等式的性质1：等式两边加或减同一个数或式子,结果仍相等;即：如果b a =,那么c b c a ±=±;c 为一个数或一个式子等式的性质2：等式两边乘同一个数,或除以一个不为0的数,结果仍相等; 即：如果b a =,那么bc ac =；如果b a =0≠c ,那么c b c a =; 要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变; 即：）其中0(≠÷÷==m mb m a bm am b a 特别注意：分数的基本性质主要是用于将方程中的小数系数特别是分母中的小数化为整数,如方程：6.12.045.03=+--x x ,将其化为：6.12401053010=+=-x x ;方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开;2、解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1;⑴去分母时：①不含有分母的项也要乘以最小公分母；②区别于利用分数的性质将方程简化,此时不含分母的项不用扩大和缩小；③分数线相当于括号,去掉分母要将分子用括号括起来;⑵去括号时：与整式中去括号法则相同,注意括号外面的符号;⑶移项时：①区别于去括号,不论正负移项都要变号；②没有移项时不要误以为有移项,如x =-5得到5=x ,是错误的;⑷合并同类项时：把方程化成()0≠=a b ax 的形式;⑸系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解ab x =; 要点诠释：理解方程b ax =在不同条件下解的各种情况,并进行简单应用：①0≠a 时,方程有唯一解a b x =； ②0,0==b a 时,方程有无数个解；③0,0≠=b a 时,方程无解;知识点三：列一元一次方程解应用题1、列方程解应用题的步骤：1审题：认真审题,理解题意,弄清题目中的数量关系,找出其中的等量关系; 2找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系;3设出未知数,列出方程：设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程;4解方程：解所列的方程,求出未知数的值;5检验,写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解是否符合实际,检验后写出答案;2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→检验→答;3、常见的一些等量关系1和、差、倍、分问题:①较大量=较小量+多余量②总量=倍数×倍量2等积变形问题：Sh V Sh V a V abh V 31,,,3====椎体柱体正方体长方体 3行程问题：时间速度路程追及问题相遇问题⨯=4工程问题：工作总量=工作效率×工作时间5利润率问题：()利润率进价售价商品进价商品利润商品利润率商品进价商品售价商品利润+⨯=⨯==1%100- 6数字问题：设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别是a,b,则这个两个数可表示为10a+b;7储蓄问题：利息=本金×利率×期数本金和=本金+利息=本金+本金×利率×期数×1-利息税率8按比例分配问题：甲:乙:丙=a:b:c9日历中问题：日历中每一行上相邻两数,右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的数,下边的数比上边的数大7;注意：日历中的数a 的取值范围是,且都是正整数知识点四：方程与整式、等式的区别1从概念来看：整式：单项式和多项式统称为整式;等式：用符号来表示相等关系的式子叫做等式;如m n n m +===+,653121等都叫做等式,而像n m b a 2117,31-+ 不含等号,所以他们不是等式,而是代数式; 方程：含有未知数的等式叫做方程;如4543,1135=--=+a x 等都是方程;理解方程的概念必须明确两点：是等式；含有未知数;两者缺一不可;2从是否含有符号来看：方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用运算符号连接起来,不含有等号;3从是否含有未知量来看：等式必含有“=”,但不一定含有未知量；方程既含有“=”,又必须含有未知数;但整式必不含有等号,不一定含有未知量,分为单项式和多项式;一元一次方程的应用解应用题的步骤1．审：分析好问题中的已知量和未知量,明确各数量之间的关系,从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的,有些是不明显的,需要结合生活实际来发现；2．设：设未知数,一般求什么,就设什么为x,若有几个未知数,应恰当地选择其中的一个,用字母x表示出来．有时直接设不容易设得话,可采用间接设；3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；4．列：根据这个相等关系列出方程；5．解：解所列出的方程,求出未知数的值；6．验：检验所求得的解是否符合题意；7．答：检验所求解是否符合题意,写出答案包括单位名称．。

2013中考《一元一次方程》复习提纲

《一元一次方程》复习提纲一．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是：二．等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去或，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以或都除以，所得的结果仍是等式. 三．解一元一次方程的基本步骤：例1 解下列方程：213x+－516x-=1；（中考重点）【解答】去分母，得2（2x+1）－（5x－1）=6，去括号，得4x+2－5x+1=6，移项，得－x=3，两边同乘以－1，得x=－3．例2（（2011山东滨州，20，7分）依据下列解方程0.30.5210.23x x+-=的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。

解：原方程可变形为352123x x+-= ( )去分母，得3（3x+5）=2(2x－1). ( )去括号，得9x+15=4x－2. ( ) ( ), 得9x－4x=－15－ 2. ( )合并，得5x=－17. (合并同类项)( ),得x=175-. ( )【答案】解：原方程可变形为352123x x+-= (分式的基本性质)去分母，得3（3x+5）=2(2x－1). （等式性质2）去括号，得9x+15=4x－2. （去括号法则或乘法分配律）(移项), 得9x－4x=－15－2. (等式性质1)合并，得5x=－17. (合并同类项)（系数化为1）,得x=175-. （等式性质2）【点评】（1）①去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数，•不要漏乘没有分母的项；②去分母后，分数线起到括号的作用，尤其是分式前是负号的项．（2）技巧性解法的发现需要认真观察问题的结构特征，需要突破习惯性思维的束缚．例3．（2012•重庆）已知关于x的方程2x+a﹣9=0的解是x=2，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，解得a=5．故选D．例4（2004，黄冈市）关于x的一元一次方程（k2－1）x k－1+（k－1）x－8=0的解为_____．【分析】由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况，•①当k－1=1，即k=2时，原方程3x+x－8=0，解之得x=2②当k2－1=0且k－1≠0时，也就是当k=－1时，原方程化为－2x－8=0，解之得x=－4，所以原方程的解为x=2或x=－4，•故答案为x=2或x=－4．【解答】x=2或x=－4．【点评】运用一元一次方程的概念特征解题，•可以从两个方向把握：其一是应用概念的本质属性作出正确的判断；其二是在这一概念下，据概念具备的本质特征得出相应的结论（如本例中的k－1=1和k－1=0且k－1≠0），在解题过程中不断探索，实现解题目的．四，一元一次方程应用题1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．2.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc例：（2012山西）图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是cm3．解：长方体的高为xcm，然后表示出其宽为30﹣4x，根据题意得：30﹣4x=2x解得：x =5故长方体的宽为10，长为20cm则长方体的体积为5×10×20=1000cm 3．故答案为1000．3．数字问题一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ．十位数可表示为10b+a ，百位数可表示为100c+10b+a ．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．例：有一个3位数，其中各位的数字之和是16，十位的数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数打594，求原数..解：设原数的个位为x ，百位是（16÷2-x ），十位是16÷2100（8-x ）+10×8+x=100x+10×8+(8-x)-594800-100x+80+x=100x+80+8-x-594-99x+880=99x+88-594198x=1386x=7（16÷2-x ）=1答：原数是187.4．市场经济问题（中考重点）（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．例：（2011山西，10，2分）“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（）A ． ()130%80%2080x +⨯=B ． 30%80%2080x ⋅⋅=C ． 208030%80%x ⨯⨯=D ． 30%208080%x ⋅=⨯分析：成本价提高30%后标价为()130%x +，打8折后的售价为()130%80%x +⨯．根据题意，列方程得()130%80%2080x +⨯=，故选A ．5．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．例：（2011浙江省舟山，2１，8分）目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／小时，比去时少用了半小时回到舟山．（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：（元）的计算方法为：5++=b ax y ，其中a （元／千米）为高速公路里程费，x （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），b （元）为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费a ．解：（1）设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s 千米，由题意得104 4.5s s -=．解得 s =360．答：舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为360千米．(2)将x =360－48－36=276，b =100+80=180，y =295.4，代入y =ax +b +5，得295.4=276a +180+5，解得a=0.4，答：轿车的高速公路里程费是0.4元/千米．6．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1例：（2010湖南长沙，23，9分）某工程队承包了某段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米.（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？（2）为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？解：（1）设乙班组平均每天掘进x 米，则甲班组平均每天掘进（x +0.6）米，根据题意，得嘉兴舟山东海5x+5（x+0.6）=45.解此方程，得x=4.2.则x+0.6=4.8.答：，乙班组平均每天掘进4.2米.（2）改进施工技术后，甲班组平均每天掘进：4.8+0.2=5（米）；乙班组平均每天掘进：4.2+0.3=4.5（米）.改进施工技术后，剩余的工程所用时间为：（1755－45）÷（5+4.5）=180（天）.按原来速度，剩余的工程所用时间为：（1755－45）÷（4.8+4.2）=342（天）.少用天数为：342－180=162（天）.答：能够比原来少用162天完成任务.7．储蓄问题利润＝每个期数内的利息本金×100% 利息＝本金×利率×期数例：（2011江苏无锡，28，10分）(本题满分10分)十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案(简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：税级现行征税方法草案征税方法月应纳税额x 税率速算扣除数月应纳税额x 税率速算扣除数1 x≤ 5005% 0 x≤ 1 5005% 02 500<x≤2 00010% 25 1 500<x≤4 50010% ▲3 2 000<x≤5 00015% 1254 500<x≤9 00020% ▲4 5 000<x≤20 00020% 375 9 000<x≤35 00025% 9755 20 000<x≤40 00025% 1375 35 000<x≤55 00030% 2 725注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额。

一元一次方程知识点总结教学提纲

一元一次方程知识点总结一、等式与方程1．等式：（1）定义：含有等号的式子叫做等式．（2）性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变．若a b=那么a c b c+=+②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．若a b=那么有ac bc=或a c b c÷=÷（0c≠）③对称性：若a b=，则b a=．④传递性：若a b=，b c=则a c=．（3）拓展：①等式两边取相反数，结果仍相等．如果a b=，那么a b-=-②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．如果0a b=≠，那么11 a b =③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，运用了等式的性质①；去分母，运用了等式的性质②．④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义．2．方程：（1）定义：含有未知数的等式叫做方程．（2）说明：①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可．②未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以．未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程．一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！③“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似．指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数．未知数次数最高是几就叫几次方程．④方程有整式方程和分式方程．整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．二、一元一次方程1．一元一次方程的概念：（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．（2）一般形式：0ax b+=（a，b为常数，x为未知数，且0a≠）．（3）注意：①该方程为整式方程．②该方程有且只含有一个未知数．③该方程中未知数的最高次数是1．④化简后未知数的系数不为0．如：212x x-=，它不是一元一次方程．⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次．如13xx+=，它不是一元一次方程．2．一元一次方程的解法：（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“?x=”的形式．（2）解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程．（3）移项：①定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项．②说明：Ⅰ移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变．Ⅱ移项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①．Ⅲ移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：①去分母——等式的性质②②去括号——分配律③移项——等式的性质①④合并——合并同类项法则⑤系数化为1——等式的性质②⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）（5）一般方法：①去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数．②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律．③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号．（一般都是把未知数移到一起）④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为ax b=（0a≠）的形式．⑤系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数．⑥检验，用代入法，在草稿纸上算．（6）注意：（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算．（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质②不同．分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变．3．一元一次方程的应用：（1）解决实际应用题的策略：①审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考．找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤．②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量．③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程．（2）分析问题方法：①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系（3）设未知量方法：一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程．①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量．（4）找等量关系的方法：“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种．数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系．①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系．②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．（比如体积公式，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等．这些常见的基本数量关系，就是等量关系）③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系．④借助线段图确定等量关系。

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一元一次方程复习提纲
一、一元一次方程的定义
1.方程中只含有个未知数，未知数的次
数都是，这样的方程叫做一元一次方程。

如：3x+1=0,6x+5=7.
注：一元一次方程的分母中不含有未知
数,531=+x
不是一元一次方程。

2.使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫
做方程的解。

练习：1.如果12)2(1=-⋅+-a x a 是关于x 的一元一
次方程，那么a 的值是多少？
2.已知m x m =+-632是关于x 的一元一方程，试求
代数式2013)3(-x 的值。

二、等式的性质
等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个
数（或式子），结果仍相等。

如果±=±=b c a b a 那么,。

等式的性质2：等式两边同乘同一个数，或除以
同一个不为0的数，结果仍相等。

如果。

那么；如果那么c b c a c b a bc ac b a =≠===),0(, 练习
1.如果b a b a 与那么3,535+=-之间的关系
是。

2.已知73552=--x x ，利用等式的基本性质，求
x x -2的值
三、解一元二次方程
解一元二次方程步骤：去括号、移项、合并同
类项、系数化一。

1.新定义一种运算“⊗”，规定
3
2,=⊗-+=⊗x b a ab b a 若，那么x 的值为。

2.方程关于x 的方程1324+=+x m x 和方程
1423+=+x m x 的解相同，（1）求m 的值；（2）根据所
求的m 的值当2=-n m 时，试求n m +的值。

3.已知关于x 的方程143+=+x ax 的解为正整数，
求整数a 的值。

4.新定义一种运算“∞”规定)(b a b a b a --+=∞，
若0)1()2(=-∞-x x ，求x 的值。

5.若代数式是同类项，与)1(2445332---n n a b b a 试求代数
式20122)13(--n n 的值。

四、一元二次方程的应用
常用数量关系：
1.行程问题：路程=速度×时间
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
2.利润率问题:利润=售价－进价
利润率＝100⨯进价
利润％售价=利润率）（进价+⨯1
3.工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
4.浓度问题: ％溶液质量
溶质质量浓度⨯= 溶质质量=溶液质量×浓度
溶液质量=溶质质量÷浓度
1、行程问题：
例题1、（相遇问题）甲、乙两人从相距为180千米的A 、
B 两地同时出发，甲骑自行车，乙开汽车，沿同一条路
线相向匀速行驶。

已知甲的速度为15千米/小时，乙的
速度为45千米/小时。

（1）经过多少时间两人相遇？
（2）相遇后经过多少时间乙到达A 地？
变式：甲、乙两人从A ，B 两地同时出发，甲骑自行车，
乙开汽车，沿同一条路线相向匀速行驶。

出发后经3 小
时两人相遇。

已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇
后经 1小时乙到达A 地。

问甲、乙行驶的速度分别是多
少？
例题2、（追及问题）市实验中学学生步行到郊外旅行。

(1)班学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班学生
组成后队，速度为6千米/时。

前队出发1小时后，后队
才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。

（1）后队追上前队需要多长时间？
（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？（3）两队何时相距3千米？
（4）两队何时相距8千米？
变式1：甲，乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶。

甲用多少时间登山？这座山有多高？
变式2：甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人均匀速前进。

已知两人上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。

求A,B两地之间的距离。

例题3、（环型跑道问题）一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。

（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？变式：几分钟后两人二次相遇？
（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？又经过几分钟两人二次相遇？
例题4、（顺、逆水问题）一轮船往返A，B两港之间，逆水航行需3时，顺水航行需2时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中的速度是多少？
变式：一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时。

顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。

例题5、（错车问题）在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过，A列车车速为20米/秒，B列车车速为24米/秒，若A列车全长180米，B列车全长160米，两列车错车的时间是多长时间？
变式1：一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20秒的时间。

隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，根据以上数据，你能求出火车的长度？
2、利润问题
(1)一件衣服的进价为x元,售价为60元,利润是______元,利润率是_______.
变式：一件衣服的进价为x元,若要利润率是20%,应把售价定为________.
(2)一件衣服的进价为x元,售价为80元,若按原价的8折出售,利润是______元,利润率是__________.
变式1：一件衣服的进价为60元,若按原价的8折出售获利20元,则原价是______元,利润率是__________.
变式2：一台电视售价为1100元,利润率为10%,则这台电视的进价为_____元.
变式3：一件商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润为15.2%，这种商品每件标价是多少？
变式4：一件夹克衫先按成本提高50%标价,再以八折(标价的80%)出售,结果获利28元,这件夹克衫的成本是多少元?
变式5：一件商品按成本价提高20%标价,然后打九折出售,售价为270元.这种商品的成本价是多少?
变式6：某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，买这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
3、工程问题：
（1）甲每天生产某种零件80个，3天能生产个零件。

（2）甲每天生产某种零件80个，乙每天生产某种零件x个。

他们5天一共生产个零件。

（3）甲每天生产某种零件80个，乙每天生产这种零件x个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产个零件。

（4）一项工程甲独做需6天完成，甲独做一天可完成这项工程；若乙独做比甲快2天完成，则乙独做一天可完成这项工程的。

变式1：一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。

甲乙合做,需几小时完成这件工作?
变式2：一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。

若甲先单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做,还需几小时完成?
变式3：一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,丙单独做15小时完成,若先由甲、丙合做5小时,然后由甲、乙合做,问还需几天完成?
变式4：整理一批数据，有一人做需要80小时完成。

现在计划先由一些人做2小时，在增加5人做8小时，完成这项工作的3/4，怎样安排参与整理数据的具体人数？
变式2：在一列火车经过一座桥梁，列车车速为20米/秒，全长180米，若桥梁长为3260米，那么列车通过桥梁需要多长时间？
4.浓度问题
例题：有含盐8％的盐水40㎏，要使盐水含盐量为20％，
（1）如果加盐，需要加多少千克盐？
（2）如果蒸发掉水分，需要蒸发多少千克的水？
变式1.要配置浓度为10％的盐水100千克，需要20％的盐水与5%的盐水各多少千克？
变式2.有两种合金，第一种含铜90%，第二种含铜80%，先要熔炼一种含铜82.5%的合金240千克。

两种合金各应多少千克？
5、分配问题：
例题1、把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.问这个班有多少学生？
变式1：某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
变式2：某校组织师生春游,如果只租用45座客车,刚好坐满;如果只租用60座客车,可少租一辆,且余30个座位.请问参加春游的师生共有多少人?
6、匹配问题：
例题2、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。

为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
变式1：某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？变式2：用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身
10个或制盒底30个。

一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。

现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白铁皮？。