MATLAB二阶系典型振荡系统单位阶阶跃响应特性分析—王英杰
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应
自动控制原理实验二阶系统的阶跃响应一、实验目的通过实验观察和分析阶跃响应曲线，了解二阶系统的动态特性，掌握用MATLAB仿真二阶系统阶跃响应曲线的绘制方法，提高对二阶系统动态性能指标的计算与分析能力。
二、实验原理1.二阶系统的传递函数形式为：G(s)=K/[(s+a)(s+b)]其中，K为系统增益，a、b为系统的两个特征根。
特征根的实部决定了系统的稳定性，实部小于零时系统稳定。
2.阶跃响应的拉氏变换表达式为：Y(s)=G(s)/s3.阶跃响应的逆拉氏变换表达式为：y(t)=L^-1{Y(s)}其中，L^-1表示拉氏逆变换。
三、实验内容1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定，并记录实际的参数数值。
2.使用MATLAB绘制二阶系统的阶跃响应曲线，并与实际曲线进行对比分析。
四、实验步骤1.搭建二阶系统，调整增益和特征根，使系统稳定。
根据实验要求，选择适当的数字电路元件组合，如电容、电感、电阻等，在实际电路中搭建二阶系统。
2.连接模拟输入信号。
在搭建的二阶系统的输入端接入一个阶跃信号发生器。
3.连接模拟输出信号。
在搭建的二阶系统的输出端接入一个示波器，用于实时观察系统的输出信号。
4.调整增益和特征根。
通过适当调整二阶系统的增益和特征根，使系统达到稳定状态。
记录实际调整参数的数值。
5.使用MATLAB进行仿真绘制。
根据实际搭建的二阶系统参数，利用MATLAB软件进行仿真，绘制出二阶系统的阶跃响应曲线。
6.对比分析实际曲线与仿真曲线。
通过对比分析实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性。
五、实验结果与分析1.实际曲线的绘制结果。
根据实际参数的输入，记录实际曲线的绘制结果，并描述其特点。
2.仿真曲线的绘制结果。
利用MATLAB软件进行仿真，绘制出仿真曲线，并与实际曲线进行对比分析。
3.实际曲线与仿真曲线的对比分析。
通过对比实际曲线与仿真曲线的差异，分析二阶系统的动态特性，并讨论影响因素。
六、实验讨论与结论1.实验过程中遇到的问题。
二阶系统的阶跃响应实验报告
二阶系统的阶跃响应实验报告实验名称：二阶系统的阶跃响应实验报告实验目的：1. 了解二阶系统的阶跃响应特性，掌握二阶系统的调节方法。
2. 学习使用计算机实验仿真软件，分析控制系统的特性和设计计算机系统的参数。
3. 进一步了解数字控制的基本原理和实现方法。
实验原理：二阶系统指的是包含两个振动元件的控制系统，例如质量弹簧阻尼系统、旋转系统等。
通过向系统输入一个单位阶跃信号，可以使系统达到稳态。
在达到稳态后，可以观察到系统的响应特性，例如响应时间、超调量等。
二阶系统的阶跃响应有三种情况，分别为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。
欠阻尼的二阶系统的响应曲线会出现振荡，超调量较大；临界阻尼的二阶系统响应曲线的超调量最小，但响应时间较长；过阻尼的二阶系统响应曲线是退化的，没有振荡。
在实验中，我们使用计算机模拟二阶系统，并通过输入一个单位阶跃信号，观察系统的响应特性。
具体操作步骤如下：1. 在仿真软件中建立一个二阶系统，可以让仿真软件自动生成一个简单的二阶系统。
2. 将系统设置为单位阶跃信号输入，运行仿真，观察系统的响应特性。
3. 记录系统的超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
4. 在仿真软件中改变系统的参数，例如增加阻尼系数，观察系统的响应变化。
实验器材：1. 计算机2. 仿真软件实验步骤：1. 打开计算机，并运行仿真软件。
2. 在仿真软件中建立一个二阶系统，并设置其为单位阶跃信号输入。
3. 运行仿真，并记录系统的响应特性，包括超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
4. 在仿真软件中改变系统的参数，例如增加阻尼系数，观察系统的响应变化，并记录变化后的参数。
5. 分析实验结果，并总结出二阶系统的阶跃响应特性。
实验结果：在实验中，我们使用了仿真软件模拟了一个简单的二阶系统，并进行了阶跃响应实验。
通过实验，我们观察到了系统的响应特性，并记录了系统的超调量、响应时间以及稳态误差等参数。
我们对比了欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况下的响应特性，发现欠阻尼时会出现较大的超调量，临界阻尼时超调量最小，但响应时间较长，过阻尼时响应曲线是退化的，没有振荡。
《自动控制》一二阶典型环节阶跃响应实验分析报告
自动控制原理实验分析报告姓名：学号：班级：一、典型一阶系统的模拟实验：1.比例环节（P) 阶跃相应曲线。
传递函数：G(S)=-R2/R1=K说明：K为比例系数（1）R1=100KΩ，R2=100KΩ；特征参数实际值：K=-1.（2）（2）R1=100KΩ，R2=200KΩ；即K=-2.〖分析〗：经软件仿真，比例环节中的输出为常数比例增益K；比例环节的特性参数也为K，表征比例环节的输出量能够无失真、无滞后地按比例复现输入量。
2、惯性环节（T) 阶跃相应曲线及其分析。
传递函数：G(S)=-K/(TS+l) K=R2/R1 , T=R2C说明：特征参数为比例增益K和惯性时间常数T。
（1）、R2=R1=100KΩ , C=1µF；特征参数实际值：K=-1，T=0.1。
（2）、R2=R1=100KΩ , C=0.1µF；特征参数实际值：K=-1，T=0.01。
〖分析〗：惯性环节的阶跃相应是非周期的指数函数，当t=T时，输出量为0.632K，当t=3～4T时，输出量才接近稳态值。
比例增益K表征环节输出的放大能力，惯性时间常数T表征环节惯性的大小，T越大表示惯性越大，延迟的时间越长，反之亦然。
传递函数：G(S)= -l/TS ，T=RC说明：特征参数为积分时间常数T。
（1）、R=100KΩ , C=1µF；特征参数实际值：T=0.1。
（2）R=100KΩ , C=0.1µF；特征参数实际值：T=0.01。
〖分析〗：只要有一个恒定输入量作用于积分环节，其输出量就与时间成正比地无限增加，当t=T时，输出量等于输入信号的幅值大小。
积分时间常数T表征环节积累速率的快慢，T越大表示积分能力越强，反之亦然。
4、比例积分环节（PI) 阶跃相应曲线及其分析。
传递函数：G(S)=K( l+l/TS) K=-R2/R1, T=R2C说明：特征参数为比例增益K和积分时间常数T。
（1）、R2=R1=100KΩ , C=1µF；特征参数实际值：K=-1，T=0.1。
matlab演示二阶响应
9 ①列出系统的闭环传递函数 G ( S ) = 2 S +S +9
得到阻尼比ξ = 1 / 6 ，无阻尼固有频率 ω n = 3。
② 绘制二阶系统的阶跃响应曲线。
num=[9]; den=[1 1 9]; t=0:0.1:12; y=step(num,den,t); plot(t,y) title('二阶系统的阶跃响应') xlabel('Time(sec)') ylabel('Amplitude')
绘制二阶系统的脉冲响应图形
num=[9]; den=[1 1 9]; t=0:0.1:12; y=impulse(num,den,t); plot(t,y) title(‘二阶系统的脉冲响应') xlabel('Time(sec)') ylabel('Amplitude')
参考前面，分析开环传递函数为 的单位反馈系统在K、T分别为（20，0.2）、 （15，0.1）、（2.5，1）时的单位脉冲响 应： （结论: 一阶系统时间常数T越小，一阶系统 的单位阶跃响应输出达到稳定的时间越短）
3、二阶系统的阶跃响应 分析下图所示系统，求系统的阶跃响应和超 调量、峰值时间和调节时间等性能指标。
或
t td tr tp ts
例1：已知系统的开环传递函数为
G(S ) =
求系统在单位负反馈下的单位阶跃响应。
（开环传递函数描述 ） num=[20]; den=[1 8 36 40 0]; （求闭环传递函数） [numc,denc]=cloop(num,den); （S 3 + 36 S 2 + 40 S
T 0.2 0.2 T1 = = = 1 + K 1 + 20 21
二阶系统的阶跃响应与线性系统的稳定性和稳态误差分析与自动控制系统的校正
二阶系统的阶跃响应一：实验目的1． 学习二阶系统阶跃响应曲线的实验测试方法2． 研究二阶系统的两个重要的参数对阶跃瞬态响应指标的影响二：实验设备带有自动控制仿真软件matlab 软件的计算机三：实验原理典型二阶系统的结构图如图所示。
不难求得其闭环传递函数为2222)()()(n n n B s s R s Y s G ωζωω++==其特征根方程为222n n s ωζω++=0方程的特征根:222nn s ωζω++=0))(()1)(1(2121=--=++s s s s T s T s式中,ζ称为阻尼比;n ω称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。
当ζ为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。
四：实验内容研究特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响标准二阶系统的闭环传递函数为：2222)()(nn n s s s R s C ωζωω++=二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
我们研究ζ对二阶系统性能的影响，设定无阻尼自然振荡频率)/(1s rad n =ω，考虑3种不同的ζ值：ζ=0.2,0.4,1，利用MATLAB 对每一种ζ求取单位阶跃响应曲线，分析参数ζ对系统的影响。
五：仿真程序和结果图1、二阶系统阶跃响应曲线 程序for j=1:1:3kais=[0.2,0.4,1];w=[1/0.47,1/1,1/1.47];subplot(3,1,j)hold onfor i=1:3num=w(j)^2;den=[1,2*kais(i)*w(j),w(j)^2]step(num,den);grid onendhold offend结果图2、变换ζ和ω的值：nfor j=1:1:3kais=[0.2,0.4,1];w=[1/0.47,1/1,1/1.47];subplot(3,1,j)hold onfor i=1:3num=w(i)^2;den=[1,2*kais(j)*w(i),w(i)^2]step(num,den);grid onendhold offend3、增加一组ζ值：for j=1:1:3kais=[0,0.2,0.4,1];w=[1/0.47,1/1,1/1.47];subplot(3,1,j)hold onfor i=1:4num=w(j)^2;den=[1,2*kais(i)*w(j),w(j)^2]step(num,den);grid onendhold offend结果图：分析：六：结论与收获结论：（1）当0=ζ时，输出响应为等幅振荡。
2. 实验二二阶系统阶跃响应
实验二二阶系统阶跃响应一、实验目的1. 研究二阶系统的特征参数，阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn对系统动态性能的影响，定量分析ζ和ωn与最大超调量σp和调节时间ts之间的关系。
2. 进一步学习实验系统的使用。
3. 学会根据系统的阶跃响应曲线确定传递函数。
4. 学习用MATLAB仿真软件对实验内容中的电路进行仿真。
二、实验原理典型二阶闭环系统的单位阶跃响应分为四种情况：1）欠阻尼二阶系统如图1所示，由稳态和瞬态两部分组成：稳态部分等于1，瞬态部分是振荡衰减的过程，振荡角频率为阻尼振荡角频率，其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率ωn决定。
（1）性能指标：: 单位阶跃响应C(t)进人±5%(有时也取±2%)误差带，并且不再超出该误差带的调节时间tS最小时间。
超调量σ% ；单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。
单位阶跃响应C(t)超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。
峰值时间tP ：结构参数ξ：直接影响单位阶跃响应性能。
（2）平稳性：阻尼比ξ越小，平稳性越差长，ξ过大时，系统响应迟钝，（3）快速性：ξ过小时因振荡强烈，衰减缓慢，调节时间tS也长，快速性差。
ξ＝0.7调节时间最短，快速性最好。
ξ＝0.7时超调量σ%<5％,调节时间tS平稳性也好，故称ξ＝0.7为最佳阻尼比。
2）临界阻尼二阶系统（即ξ＝1）系统有两个相同的负实根，临界阻尼二阶系统单位阶跃响应是无超调的，无振荡单调上升的，不存在稳态误差。
3）无阻尼二阶系统（ξ＝0时） 此时系统有两个纯虚根。
4）过阻尼二阶系统（ξ>1）时此时系统有两个不相等的负实根，过阻尼二阶系统的单位阶跃响应无振荡无超调无稳态误差，上升速度由小加大有一拐点。
三、 实验内容1. 搭建模拟电路典型二阶系统的闭环传递函数为：其中，ζ 和ωn 对系统的动态品质有决定的影响。
搭建典型二阶系统的模拟电路，并测量其阶跃响应：二阶系统模拟电路图其结构图为：系统闭环传递函数为：式中, T=RC ，K=R2/R1。
实验2二阶系统的阶跃响应及稳定性分析实验
实验2二阶系统的阶跃响应及稳定性分析实验一、 实验目的1、观察并掌握典型二阶系统的单位阶跃响应特性。
了解结构参数变化对系统性能的影响。
2、学习利用课程中所用知识设计典型二阶系统。
二、 实验设备硬件设备：微机一台，示波器一台，TDN-86/88—TDN-AC/ACS 实验系统一套。
软件设备：Windows 2000操作平台，TDN-AC/ACS 系统集成操作软件。
三、 实验原理典型二阶系统① 典型二阶系统的方框图及传递函数图2-1是典型二阶系统原理方框图，其中T 0=1S ，T 1=0.1S ，K 1分别为10、5、2.5、1。
图 2-1开环传函：G （S ）=)1TS (S K+=)1S 1.0(S K 1+其中K=K 1/T O =K 1闭环传函：W （S ）=nn n S S ωξωω++222其中ω=11T T K ,=ξ110K T T 21表2-1列出有关二阶系统在三种情况（欠阻尼、临界阻尼、过阻尼）下具体参数的表达式，以便计算理论值。
推导过程请参照有关原理书。
表2-1四、实验内容及步骤1、准备：将“信号源单元”（U1SG）的ST插针和+5V插针用“短路块”短接，使运算放大器反馈网络上的场效应管3DJ6夹断。
2、选择适当大小的元器件，自行设计一典型二阶系统。
典型二阶系统瞬态性能指标的测试①按照自己设计的电路图连线,求其传递函数表达式。
②用示波器观察系统阶跃响应C(t)，测量并记录超调量Mp ，峰值时间tp和调节时间ts，记录表2-2中。
③改变系统开环增益，观察相应的阶跃响应C(t)，测量并记录性能指标Mp 、tp和ts，及系统的稳定性，并将测量值和计算值（实验前必须按公式计算出）进行比较。
参数取值及响应曲线，详见表2-2。
表2-2五、实验报告1、实验设备、型号、编号。
2、试验目的。
3、实验原理线路图及数据。
4、设计内容及线路图。
5、纪录不同系统下的响应曲线，振荡次数μ，超调量σP%，峰值时间t p及调节时间t s（△=0.05）。
MATLAB下二阶系统的单位阶跃响应
MATLAB下二阶系统的单位阶跃响应二阶系统在不同参数下对单位阶跃信号的响应一、二阶系统所谓二阶系统就是其输入信号、输出信号的关系可用二阶微分方程来表征的系统。
比如常见的RLC 电路（图a ）、单自由度振动系统等。
图a 图b二阶系统传递函数的标准形式为222()2n n n H s s s ωξωω=++二、二阶系统的Bode 图（n ω=1）MATLAB 程序为>> clear>> num=[1];>> den=[1 0.2 1];>> bode(num,den);grid onhold onden=[1 0.4 1];bode(num,den);>> den=[1 0.6 1];>> bode(num,den);>> den=[1 0.8 1];>> bode(num,den);>> den=[1 1.4 1];>> bode(num,den);>> den=[1 2 1];>> bode(num,den);>> legend('0.1','0.2','0.3','0.4','0.7','1.0') 运行结果为三、二阶系统对单位阶跃信号的响应（=1）n MATLAB程序为>> clear>> num=[1];>> den=[1 0 1];>> t=0:0.01:25;>> step(num,den,t)>> grid on>> hold on>> den=[1 0.2 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 0.4 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 0.6 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 0.8 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 1.0 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 1.2 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 1.4 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 1.6 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 1.8 1];>> step(num,den,t)>> den=[1 2.0 1];>> step(num,den,t)>>legend('0','0.1','0.2','0.3','0.4','0.5','0.6','0.7','0.8' ,'0.9','1.0',-1)执行结果为由上面2图可得结论：1、 =0（无阻尼）时，系统处于等幅振荡，超调量最大，为100%，并且系统发生不衰减的振荡，永远达不到稳态。
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附录：
图 5 求极点
wn=6;
k=0.2; num=wn.^2; den=[1 2*k*wn wn.^2]; step(num,den) title('step response') hold off %sys1=tf([36],[1 6 36]); %sys2=zpk(sys1)
num=[0 0 36];den=[1 6 36] %´«µÝº¯Êý·Ö×Ó·Öĸ¶àÏîʽÐÐÏòÁ¿
出阻尼从 0.1 到 1 变化，步长为 0.1 的响应曲线，然后再加上阻尼为 2 和 3 两
种情况的响应曲线。利用 Step()函数画出系统的响应曲线，如图 3 所示。
由图可以分析得出，当系统为欠阻尼系统时，系统的单位阶跃响应是一个衰
减振荡的过程，振荡频率是阻尼振荡频率������������，其幅值按照对数衰减率衰减。当 系统为临界阻尼状态时，系统的响应曲线是一个稳态误差为零的既无超调也无振
������1，2 = −ξ������������ 当������ > 1时，系统为过阻尼状态，系统的两特征根为两个不相等的负实数根。
������1，2 = −������������������ ± ������������√������2 − 1
3. 作出������������一定时，������变化（欠阻尼，临界阻尼，过阻尼）的二阶阶跃响应曲线。
MATLAB 二阶系统 单位阶跃响应举例分析
姓名：王英杰 学校：沈阳航空航天大学
如下图所示的弹簧阻尼二阶线性系统，其中阻尼器的阻尼为 C，弹簧的刚 度为 K，物块的质量是 M，F 表示为作用在物块右端的力，为系统的输入 r(t),X 表示为物块在 X 方向的运动，作为系统的响应 C(t)。在 F 的单位阶跃作用下，物 块 M 会沿着 X 方向振荡，系统的固有频率为������������，阻尼比为������。弹簧阻尼二阶线性 系统如图 1 所示。
W(s)
=
������ (������ ) ������(������)
=
������ 2
+
������������2 2������������������������
+
������������2
根据系统的闭环传递函数W(s)可以用 Matlab 画出系统当固有频率特性������������一
定时，在不同阻尼比������下的单位阶跃响应曲线。设系统的固有频率为 6rad/s，画
图 1 弹簧阻尼二阶线性系统 由牛顿第二定律，可以得到系统的运动微分方程为：
������2������(������) ������������ 2
+
2������������������
������������(������) ������������
+
������������2������(������)
单位阶跃响应的性能指标如图 4 所示。
图 4 单位阶跃响应的性能指标 5. 已知闭环传递函数W(s) = ������2+2������������������������������2������+������������2，如果已知������������和 ������可以用 MATLAB 将该 传递函数化为零极点形式，并求出 0 极点和 0 点。设������������为 6rad/s, ������为 0.5，W(s)化为 零极点形式如下图 5 所示。
=
������(��2 ������1)(s
−
������2)
由求根公式求出系统的闭环特征根：
������1 = −������������������ + ������������√������2 − 1
������1 = −������������������ − ������������√������2 − 1
荡的单调响应过程。当系统为过阻尼状态时，其响应过程也是一个稳态误差为零
的既无超调也无振荡的单调响应过程。
图 3 二阶系统阶跃响应曲线 比较系统在不同阻尼下的阶跃响应曲线发现，系统的阻尼越小，系统的初始 振幅越大，但最后都会趋近于稳定值不变。在������������相等的情况下，欠阻尼系统要 比临界阻尼系统更快地达到稳态。与������在一定范围内的欠阻尼相比，过阻尼系统 达到稳态的时间要比欠阻尼长的多，反应迟钝，动作缓慢。由于临界系统难以达 到，故为了提高系统的反映速度，通常将系统设计成欠阻尼系统。 4. 以欠阻尼系统为例单独划出一个响应曲线，标出其上升时间，峰值时间 等相关性能指标。设欠阻尼系统的阻尼系数为 0.2，固有频率为 6rad/s，画出其
W(s)
=
������ (������ ) ������(������)
=
������ 2
+
������������2 2������������������������
+
������������2
系统的开环传递函数为：
设计出系统的结构图为：
G(s)
=
������ 2
������������2 + 2������������������������
G=tf(num, den)
%½¨Á¢´«µÝº¯ÊýÄ£ÐÍ
[tt, ff]=tfdata(G, 'v') %ÌáÈ¡·Ö×Ó·Öĸ¶àÏîʽ
[z,p,k]=tf2zp(num, den)
%ÌáÈ¡Á㼫µã
%ÌáÈ¡Á㼫µã
wn=6; kosi=[0.1:0.1:1.0,2]; hold on for k=kosi
W(s)
=
������(������) ������(������)
=
������ 2
+
������������2 2������������������������
+
������������2
=
(������
−
������������2 ������1)(s
−
������2)
������(������)
图 2 弹簧阻尼二阶线性系统结构图 式子中������������和������是决定二阶系统稳态特性的两个重要的参数，为系统的固有频 率和阻尼比，完全由系统本身的参数来决定。
2. 将闭环传递函数化为零极点形式，由于系统的输入为单位阶跃函数，故
对其进行拉普拉斯变换可得：
1 ������(������) = ������
������������ = ������������√������2 − 1，其中������������ 是阻尼振荡频率。分析闭环特征根的形式可知，当
0 < ������ < 1时，系统称为欠阻尼系统，二阶系统的根为一对共轭的复数根，在复 平面的左半平面。系统的特征根为：
������1，2 = −������������������ ± ������������������√1 − ������2 当������ = 1的时候，为临界阻尼系统，系统的两特征根为两个相等的负实根，
num=wn.^2; den=[1 2*k*wn wn.^2]; step(num,den) end title('step response') hold off gtext('\zeta=0.1'); gtext('\zeta=1'); gtext('\zeta=2.0')
=
������������2������(������)
进行拉斯变换得到：
������2C(s) + 2������������������������������(������) + ������������2������(������) = ������������2������(������) 1.于是得到系统的闭环传递函数为：