2020-2021上海上海师范大学第三附属实验学校初三数学上期中第一次模拟试题带答案
17．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为 3cm 和 4cm，则这个直角三角形的内切圆 的半径为 cm 18．小蕾有某文学名著上、中、下各 1 册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰 好为“上册、中册、下册”的概率是____________． 19．若关于 x 的一元二次方程 2x2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________． 20．如图，在△ABC 中，AB＝6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到 △A1BC1，则阴影部分的面积为________．
A．1
B．3
C．5
D．7
7．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）
A．55°
B．110°
C．120°
D．125°
8．已知函数 y (k 3)x2 2x 1的图象与 x 轴有交点．则 k 的取值范围是( )
A．k<4
B．k≤4
C．k<4 且 k≠3
D．k≤4 且 k≠3
9．如图，从一张腰长为 90cm，顶角为120 的等腰三角形铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇
标为（3，0）， （1）求 m 的值及抛物线的顶点坐标． （2）点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点，当 PA+PC 的值最小时，求点 P 的坐标．
23．某公司委托旅行社组织一批员工去某风景区旅游，旅行社收费标准为：如果人数不超
过 30 人，人均旅游费用为 800 元；如果人数多于 30 人，那么每增加一人，人均旅游费降 低 10 元；但人均旅游费不低于 550 元，公司支付给旅行社 30000 元，求该公司参加旅游的 员工人数．
14．关于 x 的方程 ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0 有两个不相等的实数根 x1,x2,且 x1-x1x2+x2=1-a， 则 a=
15．如图， RtABC 中，已知∠C 90 ， B 55 ，点 D 在边 BC 上，
BD 2CD ．把线段 BD 绕着点 D 逆时针旋转 （ 0 180 ）度后，如果点 B 恰好 落在 RtABC 的边上，那么 __________．
三、解答题 21．关于 x 的一元二次方程 (m-2)x2 2mx m 3 0 有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 取满足条件的最大整数时，求方程的根． 22．如图，已知抛物线 y= x2 +mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐
2．D
解析：D 【解析】 试题解析：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°， ∵矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为 α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°， ∵∠2=∠1=112°， 而∠ABD=∠D′=90°， ∴∠3=180°-∠2=68°， ∴∠BAB′=90°-68°=22°， 即∠α=22°． 故选 D．
3．B
解析：B 【解析】 连接 OC，∵CD 是切线，∴∠OCD=90°， ∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°， ∴∠D=90°-∠COD=40°， 故选 B.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】 解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
二、填空题
13．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义 列出关于 m 的方程通过解关于 m 的方程求得 m 的值即可【详解】∵关于 x 的一 元二次方程 mx2+5x+m2﹣2m=0 有一个根为 0∴m2﹣2m=
解析：2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于 m 的方程，通过 解关于 m 的方程求得 m 的值即可． 【详解】∵关于 x 的一元二次方程 mx2+5x+m2﹣2m=0 有一个根为 0， ∴m2﹣2m=0 且 m≠0， 解得，m=2， 故答案是：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二
形 OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径
为（ ）
A．15cm
B．12cm
C．10cm
D． 20cm
10．如图，直线 y=kx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象都经过 y 轴上的 D 点，抛物线与 x 轴
交于 A、B 两点，其对称 轴为直线 x=1，且 OA=OD．直线 y=kx+c 与 x 轴交于点 C（点 C 在点
得 x1=0，x2= k b a
由图象知 x2＞1，
∴ k b ＞1 a
∴k＞a+b， ∴⑤a+b＜k 正确， 即正确命题的是②③⑤． 故选 B．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】 求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】 ∵黄扇形区域的圆心角为 90°，
所以黄区域所占的面积比例为 90 = 1 ， 360 4
解： x2 +x=1 x2 +x+ 1 =1+ 1
44 (x 1)2 5 .
24
故选 C 【点睛】 考点：配方的方法.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】
解：∵点 Pm 1,5 与点 Q3, 2 n 关于原点对称，
∴ m 1 3， 2 n 5， 解得： m 2 ， n 7 ， 则 m n 2 7 5
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
反比例函数 y k 图象在一、三象限，可得 k>0 ． x
【详解】
解： 反比例函数 y a 2 （a 是常数）的图象在第一、三象限， x
a 2 0， a 2 ．
故选：D． 【点睛】
本题运用了反比例函数 y k 图象的性质，解题关键要知道 k 的决定性作用． x
90°)．若∠1＝112°，则∠α 的大小是( )
A．68°
B．20°
C．28°
D．22°
3．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上的一点，过点 C 作⊙O 的切线，交直径 AB 的
延长线于点 D，若∠A=25°，则∠D 的度数是（ ）
A．25°
B．40°
4．下列交通标志是中心对称图形的为（
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意； D、不是中心对称的图形，不合题意． 故选 C． 【点睛】 本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转 180 度后所得的图形与原图形完全重合．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】 本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次 项系数化为 1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方. 【详解】
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一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】 将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标. 【详解】 解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1 ∴顶点坐 标为（﹣2，1）； 故选：B．
【点睛】 本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.
C．50° ）
D．65°
A．
B．
C．
D．
5．用配方法解方程 x2 x 1 0 ，配方后所得方程是（ ）
A． (x 1)2 3 24
B． (x 1 )2 3 24
C． (x 1)2 5 24
D． (x 1)2 5 24
6．若点 Pm 1,5 与点 Q3, 2 n 关于原点成中心对称，则 m n的值是（ ）
试题解析：∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵抛物线对称轴是 x=1， ∴b＜0 且 b=-2a． ∵抛物线与 y 轴交于正半轴， ∴c＞0． ∴①abc＞0 错误； ∵b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a＞0， ∴②3a+b＞0 正确； ∵b=-2a， ∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0， ∴④4a+2b+c＜0 错误； ∵直线 y=kx+c 经过一、二、四象限， ∴k＜0． ∵OA=OD， ∴点 A 的坐标为（c，0）． 直线 y=kx+c 当 x=c 时，y＞0， ∴kc+c＞0 可得 k＞-1． ∴③-1＜k＜0 正确； ∵直线 y=kx+c 与抛物线 y=ax2+bx+c 的图象有两个交点， ∴ax2+bx+c=kx+c，
B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）
①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．
A．①②③
B．②③⑤
CHale Waihona Puke ②④⑤D．②③④⑤11．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为 60 ， 90 ，
210 ．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是 ( )
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是 1 ， 4
故选 B． 【点睛】 本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免 了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体 现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
2020-2021上海上海师范大学第三附属实验学校小学数学小升初第一次模拟试题带答案
2020-2021上海上海师范大学第三附属实验学校小学数学小升初第一次模拟试题带答案一、选择题1．三个人进行60米赛跑，甲用0.3分钟，乙用分钟，丙用15秒，（）的速度最快．A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法确定2．下面得数不相等的一组是（）。
A. B. C. D.3．如果少年宫在邮局的北偏东30°方向400m处，那么邮局在少年宫的（）处。
A. 北偏西60°方向400 mB. 南偏西30°方向400mC. 南偏西60°方向400m 4．下列各题中的两种量，成正比例的是（） .A. 小东的身高和体重B. 修一条水渠，每天修的米数和天数C. 圆的半径和面积D. 订《中国少年报》的份数和钱数5．下面图形中，底与高标对的是（）。
A. B. C. D.6．A是自然数，如果 <1， >1，那么A是（）。
A. 8B. 7C. 6D. 57．一个三角形任意一条边上的高都是它的对称轴，这个三角形是（）三角形A. 等边B. 等腰C. 直角D. 钝角8．要想描述六年级（3）班同学身高分组的分布情况，应选用（）合适。
A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 以上都行9．双十一，某件商品降价20%，降价前能买100件该商品的钱，降价后能买该商品（）A. 80件 B. 100件 C. 120件 D. 125件10．小方每天上学先向北偏东40°方向走200米，再向正东方向走300米到学校，他每天放学先向正西方向走300米，再向（）方向走200米到家。
A. 北偏东40°B. 南偏西40°C. 西偏南40°11．添上一根长度是整厘米数的吸管，与右图中两根吸管首尾相连，围成一个三角形。
添上的这根吸管可能是（）。
A. 13厘米B. 10厘米C. 2厘米12．一件商品原价100元，涨价10%后，再降价10%，现价（）原价。
A. 高于B. 低于C. 等于D. 无法比较二、填空题13．在比例尺是1：2000的一幅平面图上，量得一个长方形果园的长是6cm，宽是3.5 cm，这个果园的实际面积是________公顷。
2020-2021上海市初三数学上期中模拟试题含答案
2020-2021上海市初三数学上期中模拟试题含答案一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 2．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A ．x 1=-2，x 2=6 B ．x 1=-6，x 2=2 C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3 3．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°4．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（ ） A ．16B ．29C ．13D ．235．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．三角形的外心到三边的距离相等 B ．某射击运动员射击一次，命中靶心 C ．任意画一个三角形，其内角和是 180° D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上6．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( ) A ．k<4B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠37．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．12B ．1∶2C 32D ．138．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．49B ．13C ．29D ．199．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （ ） A ．120B ．19100C ．14D ．以上都不对11．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④12．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题13．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2. 14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．15．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y 轴上______________ 16．如图，在扇形CAB 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为__．17．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C = __．18．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB ＝3 cm ，则此光盘的直径是________ cm ．19．母线长为2cm ，底面圆的半径为1cm 的圆锥的侧面积为__________ cm²． 20．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．三、解答题21．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由． 22．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ．求证：FD=BE ．23．某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件．现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0．5元，其销量减少10件． （1）若涨价x 元，则每天的销量为____________件（用含x 的代数式表示）； （2）要使每天获得700元的利润，请你帮忙确定售价． 24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数21262y x x =-++的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；（2）把点B 向上平移m 个单位得点B 1．若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合．已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值．25．我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.设每件童装降价x 元(0)x >时，平均每天可盈利y 元．()1写出y 与x 的函数关系式；()2当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？ ()3该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．D解析：D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法3．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理4．C解析：C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P（一红一黄）=26=13．故选C．5．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B 、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C 、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D 、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选C ．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．B解析：B 【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B. 考点：函数图像与x 轴交点的特点.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ， ∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ， ∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′， 则△PBP ′是等腰直角三角形， ∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ，∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°， ∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ，∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2． 故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P′A、P′C以及P′B长度的2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．8．A解析：A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．9．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．C解析：C 【解析】解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是2511004=， 故选C ． 点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.11．D解析：D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形.将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图. 【详解】解：将④涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕第三个正方形的中心旋转180°后，这个图形能与自身重合，是中心对称图. 故选：D. 【点睛】本题考查的是利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.12．C解析：C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值， 当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++，∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12bx a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-, 根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.二、填空题13．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l 根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S 侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l ，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l ，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S 侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π， 故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.14．【解析】【分析】【详解】∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BDE ∴△ABC ≌△BDE ∠CBD=60°∴BD=BC=12cm ∴△BCD 为等边三角形∴CD=BC=BD=12cm 在Rt △ACB 中AB解析：【解析】 【分析】 【详解】∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ， ∴△ABC ≌△BDE ，∠CBD=60°， ∴BD=BC=12cm ， ∴△BCD 为等边三角形， ∴CD=BC=BD=12cm ，在Rt △ACB 中，=13，△ACF 与△BDF 的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm ）， 故答案为42． 考点：旋转的性质．15．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-【解析】 【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02ba-=，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++ ∵图象开口向下∴0a <∴可取1a =-∵顶点在y 轴上 ∴对称轴为02b x a=-= ∴0b =∵顶点的纵坐标可取任意实数∴c 取任意实数∴c 可取0∴二次函数解析式可以为：2y x =-．故答案是：2y x =-【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．16．135°【解析】分析：如图连接EC 首先证明∠AEC=135°再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC∵E 是△ADC 的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC 和△AEB 中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°， 在△AEC 和△AEB 中， AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC≌△EAB，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．【解析】【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数可得∠AOB的度数再根据△AOD中AO=DO可得∠A的度数进而得出△ABO中∠B的度数可得∠C的度数【详解】解：∵∠AOC的度数为105°由旋转可解析：45【解析】【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．【详解】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，∴∠AOB=105°-40°=65°，∵△AOD中，AO=DO，∴∠A=12（180°-40°）=70°，∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，由旋转可得，∠C=∠B=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．18．【解析】【分析】先画图根据题意求出∠OAB=60°再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果【详解】解：∵∠CAD=60°∴∠CAB=120°∵AB和AC与⊙O相切∴∠OAB=∠OAC=∠CAB=【解析】【分析】先画图，根据题意求出∠OAB=60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理即可求得结果．【详解】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC=∠12CAB=60°，∴∠AOB=30°，∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴2233cmOB OA AB=-=所以直径为2OB=63cm故答案为：63．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．19．2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π∴圆锥的侧面积=×2π×2=2π故答案为2π【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=l•R圆锥侧面展开图为解析：2π【解析】【分析】【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为1，∴圆锥的底面圆的周长=2π×1=2π，∴圆锥的侧面积=12×2π×2=2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式：S=12l•R．圆锥侧面展开图为扇形，底面圆的周长等于扇形的弧长，母线长为扇形的半径．20．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概解析：1 4【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【详解】如下图所示，小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41 164，故答案为：14．【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答三、解答题21．这个游戏对双方不公平，理由见解析.【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59；∴小明胜的概率为59，小亮胜的概率为49，∵59≠49，∴这个游戏对双方不公平.故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.22．详见解析【解析】【分析】根据中心对称得出OB=OD ，OA=OC ，求出OF=OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．【详解】证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB=OD ，OA=OC ．∵AF=CE ，∴OF=OE ．∵在△DOF 和△BOE 中，OB OD DOF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD=BE ．23．（1）200－20x ；（2）15元．【解析】试题分析：（1）如果设每件商品提高x 元，即可用x 表示出每天的销售量；（2）根据总利润=单价利润×销售量列出关于x 的方程，进而求出未知数的值． 试题解析：解：（1）200－20x ；（2）根据题意，得 （10－8＋x ）（200－20x ）=700，整理得 x 2－8x ＋15=0，解得 x 1=5，x 2=3，因为要采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，所以取x =5．所以售价为10+5=15（元），答：售价为15元．点睛：此题考查了一元二次方程在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程．24．（1）()()2060A B -，，，，26x -剟；（2）m n ，的值分别为72，1. 【解析】【分析】 （1）把y ＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A 、B 两点的坐标，再根据函数图象不在x 轴下方的x 的取值范围得y≥0时x 的取值范围；（2）根据题意写出B 2，B 3的坐标，再由对称轴方程列出n 的方程，求得n ，进而求得m 的值．【详解】解：（1）令0y =，则212602x x -++=， ∴1226x x =-=，， ∴()()2060A B -，，，. 由函数图象得，当0y …时，26x -剟. （2）由题意得()()236B n m B n m --，，，， 函数图象的对称轴为直线2622x -+==. ∵点23B B ，在二次函数图象上且纵坐标相同，∴()622n n -+-=，∴1n =， ∴()()217121622m =-⨯-+⨯-+=， ∴m n ，的值分别为712，. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求函数与坐标轴的交点坐标，由函数图象求出不等式的解集以及平移的性质，难度不大，关键是正确运用函数的性质解题．25．（1）2220400y x x =-++；（2）10元：（3）不可能，理由见解析【解析】【分析】 ()1根据总利润=每件利润⨯销售数量，可得y 与x 的函数关系式；()2根据()1中的函数关系列方程，解方程即可求解；()3根据()1中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．【详解】解：()1根据题意得，y 与x 的函数关系式为()()22026040220400y x x x x =+--=-++； ()2当400y =时，2400220400x x =-++，解得110x =，20(x =不合题意舍去)．答：当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；()3该专卖店不可能平均每天盈利600元．当600y =时，2600220400x x =-++，整理得2101000x x -+=，2(10)411003000=--⨯⨯=-<Q V ，方程没有实数根，答：该专卖店不可能平均每天盈利600元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．。
2020-2021上海上海师范大学第三附属实验学校初三数学上期末第一次模拟试题带答案
即 ，
所以， ,
化简，得： ，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程 有两个实数根，
所以，△＝ ＝ 〉0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.
故选B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．
【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，
而-1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
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一、选择题
1．D
解析：D
上海上海师范大学第三附属实验学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
上海上海师范大学第三附属实验学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，函数(0)ky x x=>的图象经过点A （1，4）和点B ，过点A作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA ，点B 的横坐标为a （a ＞1）（1）求k 的值（2）若△ABD 的面积为4； ①求点B 的坐标，②在平面内存在点E ，使得以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E 的坐标．2．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBS S=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标； （4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，A 是以BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接并延长CG 与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF ＝EF ； （2）求证：PA 是圆O 的切线；（3）若FG ＝EF ＝3，求圆O 的半径和BD 的长度．4．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．5．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价1y （元/千克）关于时间t 的函数关系式分别为11602y t =-+（040t <≤，且t 为整数）； ()()21030,3033040,20t t t y t t ⎧<≤-+⎪=⎨<≤⎪⎩且为整数且为整数，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量m （千克）关于时间t 的函数关系如图2的点列所示．（1）求m关于t的函数关系式；（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求a的最大值（精确到0.01元）．⊥，OB与AC相交于点H，6．⊙O是四边形ABCD的外接圆，OB AC===，．21012BC AC CD（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长；（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD． EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G．试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．7．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．8．如图1 ，一次函数1y kx b =+(k,b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数2my x=（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N （4，n ）．(1)填空：①反比例函数的解析式是 ； ②根据图象写出12y y ＜时自变量x 的取值范围是 ；(2) 若将直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a 的值； (3) 如图2，函数2my x=的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交轴于点A ，交轴点B ，若BC =2CA ， 求OA·OB的值.9．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25个单位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于点，点M 在线段BD 上，作直线AM 交直线DC 于E ，过D 作DH ⊥AE 于H ，设直线DH 交AC 于N ． (1)如图1，当M 在线段BO 上时，求证：MO=NO ；(2)如图2，当M 在线段OD 上，连接NE 和MN ，当EN//BD 时， ①求证：四边形DENM 是菱形； ②求证：BM ＝AB ；(3)在图3，当M 在线段OD 上，连接NE ，当NE ⊥BC 时，求证：AN 2＝NC ⋅AC ．12．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若60180MPN ︒︒≤∠<，则称P 为⊙T 的环绕点．(1)当⊙O 半径为1时，①在123(1,0),(1,1),(0,2)P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以3,(0)3m m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的取值范围．14．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长； （3）若CF 的长为34． ①求O 的半径长；②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比． 15．如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式； （2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．16．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以2个单位/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．17．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60︒的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，270A C ∠+∠=︒，30D ∠=︒，AB BC =，求证：四边形ABCD 是“准筝形”；（2）如图2，在“准筝形”ABCD 中，AB AD =，60BAC BCD ∠=∠=︒，4BC =，3CD =，求AC 的长；（3）如图3，在ABC 中，45A ∠=︒，120ABC ∠=︒，33AB =-D 是ABC 所在平面内一点，当四边形ABCD 是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD 的面积．18．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．(1) a = ；(2)求矩形DEFG 面积的最小值； (3)当CDG ∆为等腰三角形时，求t 的值． 19．已知四边形ABCD 是矩形．（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．①求证：DG CG =；②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．20．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线21y x bx c 3=-++交x 轴于点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3∠=． ()1求b 、c 的值；()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直接判断点P 是否在该抛物线上；()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若DBE 2DEH ∠∠=，求EGEF的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）4；（2）①（3，43），②（3，163）；（3，83 ）；（3，-83 ）【解析】 【分析】（1）由点A 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值；（2）①设AC ，BD 交于点M ，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B 的坐标，结合AC ⊥x 轴，BD ⊥y 轴可得出BD ，AM 的长，利用三角形的面积公式结合△ABD 的面积为4可求出a 的值，进而可得出点B 的坐标；②设点E 的坐标为（m ，n ），分AB 为对角线、AC 为对角线以及BC 为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于m ，n 的二元一次方程组，解之即可得出点E 的坐标． 【详解】 解：（1）∵函数y=kx（x ＞0）的图象经过点A （1，4）， ∴k=1×4=4．（2）①设AC ，BD 交于点M ，如图1所示．∵点B的横坐标为a（a＞1），点B在y=4x的图象上，∴点B的坐标为（a，4a）．∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，∴BD=a，AM=AC-CM=4-4a．∵△ABD的面积为4，∴12BD•AM=4，即a（4-4a）=8，∴a=3，∴点B的坐标为（3，43）②存在，设点E的坐标为（m，n）．分三种情况考虑，如图2所示．（i）当AB为对角线时，∵A（1，4），B（3，43），C（1，0），∴1+134043mn=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：3163mn=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点E1的坐标为（3，163）；（ii）当AC为对角线时，∵A（1，4），B（3，43），C（1，0），∴3+114403mn=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：-183mn=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点E2的坐标为（3，83）；（iii ）当BC 为对角线时，∵A （1，4），B （3，43），C （1，0）， ∴1+314403m n =+⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ，解得：38-3m n =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点E 2的坐标为（3，-83）. 综上所述：点E 的坐标为（3，163）；（3，83 ）；（3，-83 ）. 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值；（2）①利用三角形的面积公式结合△ABD 的面积为4，求出a 的值；②分AB 为对角线、AC 为对角线以及BC 为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分求出点E 的坐标．2．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P的坐标为(11),(1)-；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)【解析】【分析】（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得0174KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时，0174KS y =-,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标．【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)y a x x将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．∴抛物线的解析式为()222323y x x x x =---=-++．方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．（2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，132152AE CO EB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．3334882AE AB ∴==⨯=． 31122E x ∴=-+=． E ∴的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭． 又C 点的坐标为(0,3)． ∴直线CE 的解析式为63y x =-+．（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．∴顶点D 的坐标为(1,4)．①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．1x ∴=∴点P的坐标为(11)-．②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．1x ∴=∴点P的坐标为(1．∴综合得：点P的坐标为(11),(1)-（4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点．∵点H 的坐标为450,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588y x =-+． 令1x =，则154y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．则由勾股定理可得：()222001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 又∵点K 在抛物线上，()20014y x ∴=--+()20014x y ∴-=-代入上式中， ()2220001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174． ∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174SK y =-． 000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭（两处绝对值化简或者不化简者正确．）KF SK ∴=．KF KG SK KG ∴+=+当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．3．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD＝2r＝2【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠EBC＝∠ADC＝90°，根据平行线分线段成比例定理得出AG CG GD==EF CF BF，等量代换即可得到结论；（2）证明∠PAO＝90°，连接AO，AB，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；（3）连接AB，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90°，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，推出四边形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根据勾股定理得到FH＝22r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵EB是切线，AD⊥BC，∴∠EBC＝∠ADC＝90°，∴AD∥EB，（同位角相等，两直线平行）∴AG CG GD==EF CF BF，（平行线分线段成比例）∵G是AD的中点，∴AG＝GD，∴EF＝FB；（2）证明：连接AO，AB，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，（直径所对圆周角为直角）在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，直角三角形斜边中线为斜边一半，∴AF＝FB＝EF，且等边对等角，∴∠FBA＝∠FAB，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°，∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线；（3）如图2，连接AB，AO，∵BC是直径，∴∠BAC＝∠BAE＝90°，∵EF＝FB，∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，∵FA＝FG，FH⊥AG，∴AH＝HG，∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，∴四边形FBDH是矩形，∴FB＝DH＝3，∵AG＝GD，∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH2222--，AF AH=31=22∴BD＝22设半径为r，在Rt ADO中，AO=AD+OD，∵222∴222r =4，解得：r＝综上所示：BD＝r＝【点睛】本题主要考察了平行线的性质及定理、平行线分线段成比例定理、等边对等角、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理、勾股定理及圆的切线及其性质，该题较为综合，解题的关键是在于掌握以上这些定理，并熟练地将其结合应用．4．（1）MP = NP ，180°－α；（2）PMN 是等边三角形，证明见解析；（3）MN 的最大值为【解析】【分析】（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP =12BD ，MP //BD 以及NP =12CE ，NP //CE ，因此MP = NP ，将MPN ∠利用平行线的性质转化为EBD ∠与PEA ∠的和求解即可．（2）有（1）同理可证MP = NP ，MP //BD ，NP //CE ，在根据平行线的性质以及三角形外角的性质将MPN ∠转化为ABD ∠，ABE ∠，PBN ∠，ECB ∠这四个角的和，求出MPN ∠的度数，判断PMN 的形状即可．（3）由题意不难得出M 的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的一个圆，分别找出MN 最大与最小时M 的位置，分别求出最大最小值即可．【详解】（1）AB =AC ，AD =DE ，∴BD =EC ，M 、P 分别是DE 、BE 的中点， ∴MP =12BD ，MP //BD ， ∴EPM EBD ∠=∠，同理可证：NP =12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，∴NPE PEA ∠=∠，∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=EBD ∠+PEA ∠=180°－α．（2）由旋转可得：CAB EAD ∠=∠，AD =AE ，∴CAE BAD ∠=，在CAE 与BAD 中，AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴CAE ≌BAD ，∴CE =BD ，由（1）同理可证MP =12BD ，MP //BD ，NP =12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，∴PMN 是等腰三角形，EPM ∠=EBD ∠=ABD ∠+ABE ∠，NPE ∠=PBN ∠+PNB ∠=PBN ∠+ECB ∠，∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=ABD ∠+ABE ∠+PBN ∠+ECB ∠=180°－120°=60°， ∴PMN 是等边三角形．（3）等腰直角ADE 中，AD =3，∴DE =32，M 是DE 的中点，∴AM =322， ∴M 的运动轨迹是以点A 为圆心，322为半径的一个圆， 如图，连接NA 并延长分别交⊙A 于点M 1、M 2，等腰直角ABC 中，AB =7，∴BC =72，N 是BC 的中点，∴AN =722，AN ⊥BC ， 当点M 旋转至M 1位置时，MN 最大，MN =722+322=52； 当点M 旋转至M 2位置时，MN 最小，MN =722－322=22．【点睛】本题较为综合，主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线以及点的运动轨迹，本题关键在于利用平行线的性质将角进行转化以及分析出点的运动轨迹为圆．5．(1)m=()()21200304603040t t t t +≤≤⎧⎪⎨+<≤⎪⎩, (2) t=40时w 最大=13200，(3)a 的最大值是85=2a ． 【解析】【分析】(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上代入解析式即可,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上 代入解析式即可，(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售额最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，总价=销售单价×销售量m 即可列出, w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩与w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩两种总销售w=w 1+w 2，把w 函数配方讨论当030t ≤≤，第一段w 最大与3040t <≤，在第二段，w 最大经比较即可(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，Q≥3600,构造抛物线Q 在Q=3600直线上方有解即可，在-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴=2904-24b a a -=，只要对称轴介于30与40之间即可． 【详解】 (1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上,则11112030180b k b =⎧⎨+=⎩①②, 解得112120k b =⎧⎨=⎩, m=2t+120,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上, 则22224022030180k b k b +=⎧⎨+=⎩③④,解得22460k b =⎧⎨=⎩, m=4t+60,m=()()21200304603040t t t t ⎧+≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩,(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售总值最大，利润就最大, 设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，w 1=()()1-60212021-604602t t t t ⎧⎛⎫++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎩, 整理得w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩, w 2=()()1-302120320460t t t ⎧⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+⎩, 整理得w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩, 总销售w=w 1+w 2=22580108003-22904800t t t t ⎧-++⎪⎨⎪++⎩, 配方得w=()225-24117603145215312.52t t ⎧-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪--+ ⎪⎪⎝⎭⎩,当030t ≤≤，第一段w 最大=11760，而3040t <≤，145=2t >40,在第二段，w 随t 的增大而增大，t=40，w 最大=13200，经比较11760<13200，t=40时w 最大=13200，(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)， 后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，则Q-3600=-2t 2+(290-4a)t+1200-60a ，∵-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴为t=2904-24b a a -=只要3040t ≤≤, 290430404a -≤≤, 658522a ≤≤, a 的最大值是85=2a ．【点睛】本题考查分段函数的解析式的求法与利用，两图象结合并利用，求日销售最大利润，抛物线顶点式，分段比较，在最后又利用捐赠构造新函数，求对称轴，利用对称轴解决问题，此题难度较大，综合能力强，必须掌握好函数的各方面的知识．6．（1）⊙O 的半径为10，（2）AD 长为19.2，（3）存在，四边形AGEF 的面积的最大值为34.56．【解析】【分析】（1）如图1利用垂径定理构造直角三角形解决问题．（2）如图2在（1）基础上利用圆周角和圆心角的关系证明△OCH∽△DCK，求出Dk，再据垂径定理求得AD．（3）如图3以平行四边形AGEF的面积为函数，以AG边上的高为自变量，列出一个二次函数，利用二次函数的最值求解．【详解】（1）如图1连接OC ，因为OB AC ⊥,根据垂径定理知 HC=1112622AC =⨯= 在RT △BCH 中∵210BC = ∴由勾股定理知：2222BH (210)62BC HC =-=-=∴OH=OB-BH=OB-2又∵OB=OC所以在RT △OCH 中，由勾股定理可得方程：2222)6OC OC -+=（解得OC=10．（2）如图2，在⊙O 中：∵AC=CD ，∴OC ⊥AD （垂径定理）∴AD=2KD ，∠HCK=∠DCK又∵∠DKC=∠OHC=90°∴△OCH ∽△DCK∴KD DC HO OC= ∴DC 1248KD=8105HO OC =⨯==9.6 ∴AD=2KD=19.2．（3）如图3本题与⊙O 无关，但要运用前面数据．作FM ⊥AC 于M ，作DN ⊥AC 于N ，显然四边形AGEF 为平行四边形，设平行四边形AGEF 的面积为y 、EM=x 、DN=a （a 为常量）， 先运用(2)的△OCH ∽△DCK ，得CK=7.2．易得△DFE ∽△DAC ， ∴DN-EM EF DN AC =（相似三角形对应高之比等于相似比） ∴DN EM AG=EF=AC DN- ∴AG=12()aa x - ∴平行四边形AGEF 的面积y=212()1212a x x x x a a-=-+(0＜x ＜a ） 由二次函数知识得，当x=12a 1222a -=-⨯时，y 有最大值． 把x=2a 代入到中得，12EF AC = ∴此时EF 、EG 、FG 恰是△ADC 的中位线 ∴四边形AGEF 的面积y 最大=111S 34.56222ADC AD CK ∆=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查与圆有关线段的计算、与二次函数有关的几何最值问题．（1）的关键是利用垂径定理构造直角三角形，最后用勾股定理进行计算．（2）的关键是运用与圆有的角的性质证明相似，再进行计算．（3）难点是分清图形的变与不变，选择恰当的变量并列出函数关系式．7．（1）21(6)33y x =--；（2）333）323 【解析】试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C点坐标代入求解即可．（2）由于DE是⊙A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长．（3）若△BFD与EAD△相似，则有两种情况需要考虑：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长．试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+k；∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），∴90{369 a ka k+=+=，解得：1 {33 ak==-∴y=13（x-6）2-3．（2）连接AE；∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3，∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，∴AB=BD=3，∴AD=6；在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，∴（3）当BF⊥ED时；∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD，∴AE ADBF BD=，即363 BF=，∴BF=32；当FB⊥AD时，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD，∴AE EDBF BD=，即=∴BF 的长为32或3．考点：二次函数综合题．8．(1) ① y ＝4x .②014x x ＜＜或＞；(2) a ＝1或a ＝9.；(3) 18或2.. 【解析】整体分析：(1)由点A 的坐标求反比例函数的解析式，得到点B 的坐标；12y y ＜，即是一次函数的图象在反比例函数图象的下方时自变量的范围；(2)由点M ，N 的坐标求直线MN 的解析式，直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，即是方程kx+b-a=m x的判别式等于0；(3)设点C(a,b)，根据BC=2CA ，分三种情况讨论，利用△ACH∽△ABO，结合ab=4求解. 解：(1)k=1×4=4，所以y=44. ②当y=4时，x=414=，则B(4，1). 根据图象得：014x x ＜＜或＞.(2)点M(1，4)和点N(4，1)分别代入1y kx b =+得1-5y x =+直线AB 向下平移a 个单位长度后的解析式为y ＝－x ＋5－a ，把y ＝4x代入消去y ，整理，得x 2－(5－a )x ＋4＝0. ∵平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点，∴Δ＝(5－a )2－16＝0.解得a ＝1或a ＝9.(3)设点C(a,b)，则ab=4如图1，过C 点作CH ⊥OA 于点H .①当点B 在y 轴的负半轴时，如图1∵BC=2CA，∴AB=CA.∵∠AOB=∠AHC=90°，∠1=∠2，∴△ACH∽△ABO.∴OB=CH=b,OA=AH=0.5a∴122OA OB ab⋅==.②当点B在y轴的正半轴时，如图2，当点A在x轴的正半轴时，∵BC=2CA，∴.13 CA AB=∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO.∴13 CH AH CA OB OA AB===∴.OB=3b,OA=1.5a∴9182OA OB ab⋅==.如图3，当点A在x轴的负半轴时，BC=2CA不可能.综上所述，O A·O B的值为18或2.9．（1）t=1；（2）存在，143t=，理由见解析；（3）可能，3455t≤≤或4533t≤≤或35t≤≤理由见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为9136S=，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值； （3）由已知求得点D （2，1），AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1； （2）存在，143t =，使得9136S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =； 此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+， 解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)， 将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --，∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-， 由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=255易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35秒，∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤； 当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处,当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．10．（1）2315344y x x =-+；（2）9；（3）存在点M 的坐标为（315,28）或（1212,77）使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形 【解析】【分析】(1)根据抛物线经过A 、B 两点，带入解析式，即可求得a 、b 的值.（2）根据PA=PB ，要求四边形PAOC 的周长最小，只要P 、B 、C 三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.（3）首先根据△BQM 为直角三角形，便可分为两种情况QM ⊥BC 和QM ⊥BO ，再结合△QBM ∽△CBO ，根据相似比例便可求解.【详解】解：（1）将点A （1,0），B （4,0）代入抛物线23y ax bx =++中，得：3016430a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得：34154a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为2315344y x x =-+.（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线52x =.连接BC ，交抛物线的对称轴为点P ,此时四边形PAOC 的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9. (3) 当QM ⊥BC 时，易证△QBM ∽△CBO 所以QM BMOC OB=, 又因为△CQM 为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x , 则BM=5- x 所以534x x -= 所以157x .所以QM=CM=157，BM=5- x=207,所以BM:CM=4:3. 过点M 作NM ⊥O B 于N ，则MN//OC, 所以 NM BM BNOC CB OB==, 即4374NM BN == ，所以1216,77MN BN ==, 127ON OB BN =-= 所以点M 的坐标为（1212,77） 当QM ⊥BO 时, 则MQ//OC, 所以QM BQ OC OB =, 即34QM BQ= 设QM=3t , 则BQ=4t , 又因为△CQM 为等腰三角形 ，所以QM=CM=3t,BM=5-3t 又因为QM 2+QB 2=BM 2, 所以(3t )2+(4t )2=(5-3t )2, 解得58t = MQ=3t=158,32OQ OB BQ =-=, 所以点M 的坐标为（315,28）.综上所述，存在点M 的坐标为（315,28）或（1212,77）使△CQM 为等腰三角形且△BQM。
2020-2021上海上海第中学九年级数学上期中一模试卷带答案
2020-2021上海上海第中学九年级数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若关于x 的一元二次方程4x 2-4x+c=0有两个相等实数根，则c 的值是（ ） A ．-1B ．1C ．-4D ．4 2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150° 3．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( ) A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 5．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（ ）A ．310B ．925C ．425D ．1106．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）A ．大于60°B ．小于60°C ．大于30°D ．小于30° 7．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．28．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间9．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -= 10．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ）A ．m ＝3，n ＝2B ．m ＝﹣3，n ＝2C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，60B ∠=，1BC =，''A B C 由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点'A 与点A 、点'B 与点B 是对应点，连接'AB ，且A 、'B 、'A 在同一条直线上，则'AA 的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ． 4312．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =二、填空题13．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.14．已知1x =是关于x 的方程2230ax x -+=的一个根，则a =__________． 15．关于x 的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a=16．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 的长为__．17．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．18．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．19．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．20．如图，O 是ABC 的外接圆，30C ∠=，2AB cm =，则O 的半径为________cm ．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数. 购买件数销售价格 不超过30件单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元23．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第 x 天的成本 y（元/件）与 x （天）之间的关系如图所示，并连续 60 天均以 80 元/件的价格出售， 第 x 天该产品的销售量 z （件）与 x （天）满足关系式 z ＝x +15．（1）第 25 天，该商家的成本是 元，获得的利润是 元；（2）设第 x 天该商家出售该产品的利润为 w 元．①求 w 与 x 之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？24．如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12cm ，点D 从点A 出发沿边AB 以2cm /s 的速度向点B 移动，移动过程中始终保持DE ∥BC ，DF ∥AC （点E 、F 分别在AC 、BC 上）．设点D 移动的时间为t 秒．（1）试判断四边形DFCE 的形状，并说明理由；（2）当t 为何值时，四边形DFCE 的面积等于20cm 2？（3）如图2，以点F 为圆心，FC 的长为半径作⊙F ，在运动过程中，当⊙F 与四边形DFCE 只有1个公共点时，请直接写出t 的取值范围．25．解方程：2411231x x x -=+--【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可得：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．【详解】解：根据题意可得：△=2(4) －4×4c=0，解得：c=1 故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式． 2．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD 即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD ，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，3．C解析：C【解析】【分析】把x 1代入方程ax 2+2x+c=0得ax 12+2x 1=-c ，作差法比较可得．【详解】∵x 1是方程ax 2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax 12+2x 1+c=0，即ax 12+2x 1=-c ，则M-N=（ax 1+1）2-（2-ac ）=a 2x 12+2ax 1+1-2+ac=a （ax 12+2x 1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N ＜0，∴M ＜N ．故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．A解析：A【解析】【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，∴从中随机抽取2本都是小说的概率＝620＝310．故选：A．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键．6．D解析：D【解析】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D7．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可．【详解】∵关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，∴m 2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0． 8．B解析：B【解析】【分析】根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．【详解】设每天的利润为W 元，根据题意，得：W=（x-28）（80-y ）-5000()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎭ 2112984164x x =-+-()2125882254x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，又∵想让客人得到实惠，∴x=260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．9．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x 2-4x-1=0，x 2-4x=1，x 2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】根据“关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．【详解】∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，∴m ＝﹣3，n ＝2．故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．A解析：A【解析】【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算．【详解】∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×1=2，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°-30°=30°，∴B′A=B′C=1，∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3．故选：A．【点睛】考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．12．D解析：D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110164c b a ++=， ∴即14是方程N 的一个根，故不符合题意； C 、∵方程M 有两根符号相同， ∴两根之积c a＞0， ∴a c ＞0，即方程N 的两根之积＞0， ∴方程N 的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根也可以是x ＝－1，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a −b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a=−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 14．-1【解析】试题解析：把代入得解得：故答案为 解析：-1【解析】试题解析：把1x =代入2230ax x -+=，得，230.a -+=解得： 1.a =-故答案为 1.-15．-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=-bax1x2=ca 整理原式即可得出关于a 的方程求出即可试题解析：∵关于x 的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1解析：-1【解析】试题分析：根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-，x 1x 2=，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可．试题解析：∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2， ∴x 1+x 2=，x 1x 2=，依题意△＞0，即（3a+1）2-8a （a+1）＞0，即a 2-2a+1＞0，（a-1）2＞0，a≠1，∵关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，∴x 1+x 2-x 1x 2=1-a ，∴-=1-a ，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式．16．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3解析：33【解析】连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM=36062︒⨯=30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6×32=33，故答案为：33.17．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰解析：1 6【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16，故答案为：16． 【点睛】 本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．18．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9解析：2(2)9y x =--+【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可．【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9，∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9，即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2，∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ，∴|x 1-x 26=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1，y=-（x-2）2+9，故答案为：y=-（x-2）2+9．【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r 则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】 解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r ，则2πr=6π，则r=3． 故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算． 20．2【解析】【分析】作直径AD 连接BD 得∠ABD=90°∠D=∠C=30°则AD=4即圆的半径是2（或连接OAOB 发现等边△AOB）【详解】作直径AD 连接BD 得：∠ABD=90°∠D=∠C=30°∴A解析：2【解析】【分析】作直径AD ，连接BD ，得∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，则AD =4．即圆的半径是2．（或连接OA ，OB ，发现等边△AOB ．）【详解】作直径AD ，连接BD ，得：∠ABD =90°，∠D =∠C =30°，∴AD =4，即圆的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理．能够根据圆周角定理发现等边三角形或直角三角形是解题的关键．三、解答题21．(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.【解析】【分析】（1）根据题意设平均增长率为未知数x ，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y ，再根据题意建立方程式求解.【详解】(1)设平均增长率为x ，则2201)28.8x （+=解得：10.220%x == 2 2.2x =-(舍)·答：年平均增长率为20%(2)设每碗售价定为y 元时，每天利润为6300元()6y -[300+30(25-y )]=6300·解得：120y = 221y =·∵每碗售价不超过20元，所以20y =.【点睛】本题考查了在实际生活中对方程式的建立及求解，熟练掌握方程式的实际运用是本题解题关键.22．王老师购买该奖品的件数为40件．【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．试题解析：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x 件，则每件商品的价格为：[40﹣（x ﹣30）×0.5]元，根据题意可得： x[40﹣（x ﹣30）×0.5]=1400，解得：x 1=40，x 2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．考点：一元二次方程的应用．23．（1）35，1800；（2）①250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩；②第27或28天的利润最大，最大为1806元．【解析】【分析】（1）根据已知条件可知第25天时的成本为35元，此时的销售量为40，则可求得第25天的利润．（2）①利用每件利润×总销量＝总利润，分当0＜x≤20时与20＜x≤60时，分别列出函数关系式；②利用一次函数及二次函数的性质即可解答．【详解】解：（1）由图象可知，此时的销售量为z ＝25＋15＝40（件），设直线BC 的关系为y ＝kx ＋b ，将B （20,30）、C （60,70）代入得：20306070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=10， ∴y ＝x ＋10，∴第 25 天，该商家的成本是y=25+10=35（元）则第25天的利润为：（80−35）×40＝1800（元）； 故答案为：35，1800；（2）①当0＜x≤20时，(8030)(15)50750w x x =-+=+；当20＜x≤60时，2[80(10)](15)551050w x x x x =-++=-++，∴ 250750(020)551050(2060)x x w x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩②当0＜x≤20时，∵50＞0，w 随x 的增大而增大，∴当x=20时，w=50×20+750=1750（元）， 当20＜x≤60时，2551050w x x =-++，∵-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为552x =， 当x=27与x=28时，227552*********w =-+⨯+=（元）∵1806＞1750，∴第27或28天的利润最大，最大为1806元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题，常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．24．（1）平行四边形，理由见解析；（2）1秒或5秒；（3）12﹣＜t ＜6【解析】【分析】（1）由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形DFCE 是平行四边形；（2）设点D 出t 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，利用BD ×CF ＝四边形DFCE 的面积，列方程解答即可；（3）如图2中，当点D 在⊙F 上时，⊙F 与四边形DECF 有两个公共点，求出此时t 的值，根据图象即可解决问题．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形；（2）如图1中，设点D 出发t 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，根据题意得， DE ＝AD ＝2t ，BD ＝12﹣2t ，CF ＝DE ＝2t ，又∵BD ×CF ＝四边形DFCE 的面积， ∴2t （12﹣2t ）＝20，t 2﹣6t +5＝0，（t ﹣1）（t ﹣5）＝0，解得t 1＝1，t 2＝5；答：点D 出发1秒或5秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2；（3）如图2中，当点D 在⊙F 上时，⊙F 与四边形DECF 有两个公共点，在Rt △DFB 中，∵∠B ＝90°，AD ＝DF ＝CF ＝2t ，BD ＝BF ＝12﹣2t ，∴2t 2（12﹣2t ），∴t ＝12﹣2，由图象可知，当12﹣2＜t ＜6时，⊙F 与四边形DFCE 有1个公共点．【点睛】本题考查圆综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 25．4x =-【解析】【分析】方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11x -， 去分母，得：24(23)3x x x -+-=+，整理，得：x 2＋3x －4＝0，解得：x 1＝－4，x 2＝1．经检验：x 2＝1是增根，舍去，∴原方程的解是4x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．。
上海上海师范大学第三附属实验学校九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
上海上海师范大学第三附属实验学校九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价1y （元/千克）关于时间t 的函数关系式分别为11602y t =-+（040t <≤，且t 为整数）； ()()21030,3033040,20t t t y t t ⎧<≤-+⎪=⎨<≤⎪⎩且为整数且为整数，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量m （千克）关于时间t 的函数关系如图2的点列所示．（1）求m 关于t 的函数关系式；（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求a 的最大值（精确到0.01元）．2．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩.（1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值.（3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.3．定义：对于二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠，我们称函数221()1111()222ax bx c x m y ax bx c x m ⎧++-≥⎪=⎨---+<⎪⎩为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如：2y x 的m 分函数为221()11()2x x m y x x m ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩．设二次函数244y x mx m =-+的m 分函数的图象为G ．（1）直接写出图象G 对应的函数关系式．（2）当1m =时，求图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标． （3）当图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，求m 的取值范围． （4）当0m >，图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时，直接写出m 的取值范围．4．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线2115:L y x bx a a=+-的顶点D 在第四象限，且经过(1,)A m n +，(1,)(0,0)B m n m n ->>两点直线AB 与y 轴交于点C ，与抛物线的1L 对称轴交于点E ，8AC BC ⋅=，点E 的纵坐标为1． （1）求抛物线1L 所对应的函数表达式；（2）若将直线AB 绕着点E 旋转，直线AB 与抛物线1L 有一个交点Q 在第三象限，另一个交点记为P ，抛物线2L 与抛物线1L 关于点P 成中心对称，抛物线2L 的顶点记为1D ． ①若点Q 的横坐标为-1，抛物线1L 与抛物线2L 所对应的两个函数y 的值都随着x 的增大而增大，求相应的x 的取值范围；②若直线PQ 与抛物线2L 的另一个交点记为Q ，连接1PD ，11Q D ，试间：在旋转的过程中，1PDQ ∠的度数会不会发生变化？请说明理由． 5．如图，A 是以BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接并延长CG 与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF ＝EF ； （2）求证：PA 是圆O 的切线；（3）若FG ＝EF ＝3，求圆O 的半径和BD 的长度．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-+与抛物线交于B ，D 两点．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求m 的值和D 点坐标；（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫-⎪⎝⎭，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．7．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．8．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)，顶点D 在y 轴上，与x 6 (1)求a 、c 满足的关系式；(2)若直线y ＝kx-2a 与抛物线交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，以AB 为直径的圆恒过点D ．①求抛物线的解析式；②设直线y ＝kx-2a 与y 轴交于点M 、直线l 1：y ＝px+q 过点B ，且与抛物线只有一个公共点，过点D 作x 轴的平行线l 2，l 1与l 2交于点N ．分别记BDM 、NDM 的面积为S 1，S 2，求12S S ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，⊙O 经过菱形ABCD 的三个顶点A 、C 、D ，且与AB 相切于点A ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线； （2）求∠B 的度数．（3）若⊙O 半径是4，点E 是弧AC 上的一个动点，过点E 作EM ⊥OA 于点M ，作EN ⊥OC 于点N ，连接MN ，问：在点E 从点A 运动到点C 的过程中，MN 的大小是否发生变化？如果不变化，请求出MN 的值；如果变化，请说明理由．11．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是“和谐点”．（1）点M （1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P （a ，3）是第一象限内的一个“和谐点”，3x ay =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程y x b =-+的解，求a ，b 的值． （2）如图②，点E 是线段PB 上一点，连接OE 并延长交AP 的延长线于点Q ，若点P （2，3），2OBE EPQ S S ∆∆-=，求点Q 的坐标；（3）如图③，连接OP ，将线段OP 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段11O P ．若M 是直线11O P 上的一动点，连接PM 、OM ，请画出图形并写出OMP ∠与1MPP ∠，1MOO ∠的数量关系．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式； （2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.13．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =>上，点 B 、D 在双曲线()20ny n x=<上，AD// BC//y 轴.(I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由； (III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492，求mn 的最小值.14．如图，在平面直角坐标系中，函数(0)ky x x=>的图象经过点A （1，4）和点B ，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA ，点B 的横坐标为a （a ＞1）（1）求k 的值（2）若△ABD 的面积为4； ①求点B 的坐标，②在平面内存在点E ，使得以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E 的坐标．15．如图，已知矩形ABCD 中，AB=8，AD=6， 点E 是边CD 上一个动点，连接AE ，将△AED 沿直线AE 翻折得△AEF.(1) 当点C 落在射线AF 上时，求DE 的长;(2)以F 为圆心，FB 长为半径作圆F ，当AD 与圆F 相切时，求cos ∠FAB 的值;(3)若P 为AB 边上一点，当边CD 上有且仅有一点Q 满∠BQP=45°，直接写出线段BP 长的取值范围.16．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）若M （m ，0）是x 轴上一个动点，请求出CM+12MB 的最小值以及此时点M 的坐标.17．在平面直角坐标系xoy 中，点A (-4,-2)，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .（1）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 经过点A ,B ，求此时抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C ，点D 是直线BC 上一动点（不与B ，C 重合），是否存在点D ，使△ABC 和以点A ,B ,D 构成的三角形相似？若存在，请求出此时D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y ＝x ＋2上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．18．如图①，在矩形ABCD 中，3AB =cm ，AD AB >，点E 从点A 出发，沿射线AC 以a (cm/s)的速度匀速移动．连接DE ，过点E 作EF DE ⊥,EF 与射线BC 相交于点F ，作矩形DEFG ，连接CG ．设点E 移动的时间为t (s)，CDE ∆的面积为S (cm 2), S 与t 的函数关系如图②所示．(1) a = ；(2)求矩形DEFG 面积的最小值； (3)当CDG ∆为等腰三角形时，求t 的值． 19．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33y x =-平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标； （3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式； ②直接写出N 点的运动轨迹长度为 ．20．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1)m=()()21200304603040t t t t +≤≤⎧⎪⎨+<≤⎪⎩, (2) t=40时w 最大=13200， (3)a 的最大值是85=2a ． 【解析】 【分析】(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上代入解析式即可,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上 代入解析式即可，(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售额最大，利润就最大,设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，总价=销售单价×销售量m 即可列出,w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩与w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩两种总销售w=w 1+w 2，把w 函数配方讨论当030t ≤≤，第一段w 最大与3040t <≤，在第二段，w 最大经比较即可 (3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60) 后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，Q≥3600,构造抛物线Q 在Q=3600直线上方有解即可，在-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤，对称轴=2904-24b a a -=，只要对称轴介于30与40之间即可． 【详解】(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k 1t+b 1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上,则11112030180b k b =⎧⎨+=⎩①②,解得112120k b =⎧⎨=⎩,m=2t+120,设3040t <≤时的解析式为m=k 2t+b 2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上,则22224022030180k b k b +=⎧⎨+=⎩③④, 解得22460k b =⎧⎨=⎩, m=4t+60,m=()()21200304603040t t t t ⎧+≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩,(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售总值最大，利润就最大, 设y 1的总价为w 1，y 2的总价为w 2，w 1=()()1-60212021-604602t t t t ⎧⎛⎫++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎩,整理得w 1=2260720022103600t t t t ⎧-++⎨-++⎩, w 2=()()1-302120320460t t t ⎧⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+⎩, 整理得w 2=222036003801200t t t ⎧-++⎪⎨⎪+⎩,总销售w=w 1+w 2=22580108003-22904800t t t t ⎧-++⎪⎨⎪++⎩, 配方得w=()225-24117603145215312.52t t ⎧-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪--+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 当030t ≤≤，第一段w 最大=11760，而3040t <≤，145=2t >40,在第二段，w 随t 的增大而增大，t=40，w 最大=13200，经比较11760<13200，t=40时w 最大=13200，(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠a 元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)， 后10天每日销售额Q=w-am=-2t 2+(290-4a)t+4800-60a ，则Q-3600=-2t 2+(290-4a)t+1200-60a ，∵-2<0，开口向下，在3600上方取值，且满足3040t ≤≤， 对称轴为t=2904-24b a a -=只要3040t ≤≤, 290430404a-≤≤, 658522a ≤≤, a 的最大值是85=2a ．【点睛】本题考查分段函数的解析式的求法与利用，两图象结合并利用，求日销售最大利润，抛物线顶点式，分段比较，在最后又利用捐赠构造新函数，求对称轴，利用对称轴解决问题，此题难度较大，综合能力强，必须掌握好函数的各方面的知识． 2．（1）1；（2）①2225-；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】 【分析】（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩，∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=，解得：m=2- 当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32，解得：m=2综上所述：m=2m=2m=2 ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432．当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x12-，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为12 -，当x=2时，有最大值，最大值y=72．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．3．（1）22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪=⎨-+-+<⎪⎩（2）图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）当13m <或12m =或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点（451333m ++<<，1334m -<<．【解析】 【分析】（1）根据分函数的定义直角写成关系式即可；（2）将m=1代入（1）所得的分函数可得2243(1)121(1)2x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，然后分11x -≤<和14x ≤≤两种情况分别求出最高点和最低点的坐标，最后比较最大值和最小值即可解答；（3）由于图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，则可令对应二元一次方程的根的判别式等于0，即可确定m 的取值；同时发现无论m 取何实数、该函数的图象与x 轴总有交点，再令x=m 代入原函数解析式，求出m 的值，据此求出m 的取值范围； （4）先令2441x mx m m -+-=或-m①，利用根的判别式小于零确定求出m 的取值范围，然后再令x=m 代入2441x mx m m -+-=或-m②，然后再令判别式小于零求出m 的取值范围，令x=m 代入212212x mx m m -+-+=或-m③，令判别式小于零求出m 的范围，然后取①②③两两的共同部分即为m 的取值范围． 【详解】（1）图象G 对应的函数关系式为22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪=⎨-+-+<⎪⎩（2）当1m =时，图象G 对应的函数关系式为2243(1)121(1)2x x x y x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩．当11x -≤<时，将21212y x x =-+-配方，得21(2)12y x =--+． 所以函数值y 随自变量x 的增大而增大，此时函数有最小值，无最大值． 所以当1x =-时，函数值y 取得最小值，最小值为72y =-． 所以最低点的坐标为71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 当14x ≤≤时，将243y xx =-+配方，得2(2)1y x =--．所以当2x =时，函数值y 取得最小值，最小值为1y =- 所以当4x =时，函数值y 取得最大值，最大值为3y = 所以最低点的坐标为(2,1)-，最高点的坐标为(4,3)所以，图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （3）当x m ≥时，令0y =，则24410x mx m -+-=2(4)4(41)m m ∆=-- 24(21)m =-所以无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有交点． 所以当12m =时，图象G 在12x ≥的部分与x 轴只有一个交点． 当x m =时，222441341y m m m m m =-+-=-+-． 令0y =，则23410m m -+-=． 解得113m =，21m =．所以当13m <或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点．综上所述，当13m <或12m =或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点．（4）当2441x mx m m -+-=即24310x mx m -+-=， △=()()22443116124m m m m --=-+＞0，方∵212416452<0-⨯⨯=-， ∴m 不存在；当2441x mx m m -+-=-即24510x mx m -+-=， △=()()22445116204m m m m --=-+＜0，解得14＜m ＜1；① 将x=m 代入2441>x mx m m -+-得-3m 2+3m-1＞0，因△=()()234133<0-⨯--=-则m 不存在；将x=-m 代入2441>x mx m m -+-得-3m 2+5m-1＞0， 解得5<6m --或5>6m ；②将x=m 代入212212x mx m m -+-+=得 221023<m m -+，解得m <或m <③ 将x=m 代入212212x mx m m -+-+=-得 21=023m m -+，因△=23145<02-⨯=-故m 不存在；在①②③m <14m <<，即为图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时的m 的取值范围． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了新定义函数的定义、二次函数最值和二次函数图像，正确运用二次函数图像的性质和分类讨论思想是解答本题的关键． 4．（1）2125333y x x =--；（2）①110x ≤≤；②不会发生变化，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据点A ，B 坐标求出对称轴为1x =，得到2b a=-，代入抛物线解析式得到216(1)y x a a =--，写出顶点61,D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据其位置，得出0a >，根据A ，B 坐标表示出AC ，BC 长度，结合AC ·BC=8，求得m 的值，代入点A ，B 得其坐标，将A 坐标代入抛物线解析式得a 的值，即可得到抛物线的解析式； （2）①将1x =-代入2125333y x x =--，求得21,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，结合点E 求得PQ 解析式，联立2125333y x x =--，解得点P 的坐标，根据中心对称的性质，得到点1D 的横坐标为10，可得x 的取值范围；②过,P Q 分别作直线1x =的垂线，垂足分别为,F G ，设出点P ,Q 坐标，求出PQ 的解析式，联立2125333y x x =--，得到1212,x x x x +⋅，由tan 1tan DPF QDG ∠=∠，得到DPF QDG ∠=∠，结合90DPF PDF ︒∠+∠=，得到90PDQ ︒∠=，可证得结果．【详解】解：（1）∵抛物线212y x bx a a=+-过(1,),(1,)(0)A m n B m n n +->两点， ∴由抛物线对称性知：抛物线对称轴为直线1x =，112ba ∴-=⨯ 2b a∴=-2212516(1)y x x x a a a a a∴=--=-- 61,D a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭又∵顶点D 在第四象限，60a ∴-<，解得：10,0a a>> 0,0m n >>，∴抛物线的开口向上，其图象如图所示，1,|1|,8AC m BC m AC BC =+=-⋅=， (1)(1)8m m ∴+-=±，解得：3m =±0m >，3m ∴=，由题意可知，点E 在线段AB 上，而点E 的纵坐标为1，(4,1),(2,1)A B ∴-，把(4,1)A 代入216(1)y x a a =--得，2161(41)a a=--解得：113a =∴抛物线1L 所对应的函数表达式为2125333y x x =-- （2）①把1x =-代入2125333y x x =--得，23y =- 21,3Q ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭(1,1)E ，∴直线PQ 的解析式为5166y x =+ 由25166125333y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得，21255133366x x x --=+，解得：12111,2x x =-=∴点P 的横坐标为112由中心对称的性质可得，点1D 的横坐标为10，即抛物线2L 的对称轴为直线10x =， 结合图象：可得，x 的范围为110x ≤≤；②在旋转的过程中，1PDQ ∠的度数不会发生变化，理由如下： 连接,PD QD ，由中心对称的性质可得，11PD Q PDQ ∠=∠．过,P Q 分别作直线1x =的垂线，垂足分别为,F G ，如图所示，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的解析式为y kx b '=+，则 ∵直线PQ 过(1,1)E ，1k b '∴=+，可得，1b k '=-，∴直线PQ 的解析式为(1)y kx k =+-由2(1)125333y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=--⎪⎩得，2125(1)333x x kx k --=+- 整理得，2(32)(38)0x k x k -++-=121232,38x x k x x k ∴+=+⋅=-21111125(2)1333tan 13x x x DF DPF PF x -----∠===-，2222213tan 1251(2)333x QDG x x x -∠==-----， ()()()121212111tan (38)(32)11tan 999x x x x x x DPF k k QDG ---⋅++-∠--++-∴====∠tan tan DPF QDG ∴∠=∠ DPF QDG ∴∠=∠又90DPF PDF ︒∠+∠=90QDG PDF ︒∴∠+∠= 90PDQ ︒∴∠=1190PDQ ︒∴∠=，即在旋转的过程中，PDQ ∠的度数不会发生变化． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合应用，熟知其设计的知识点及相关关系，是解题的关键．5．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD＝22，r＝32．【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠EBC＝∠ADC＝90°，根据平行线分线段成比例定理得出AG CG GD==EF CF BF，等量代换即可得到结论；（2）证明∠PAO＝90°，连接AO，AB，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；（3）连接AB，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90°，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，推出四边形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根据勾股定理得到FH＝22，设半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵EB是切线，AD⊥BC，∴∠EBC＝∠ADC＝90°，∴AD∥EB，（同位角相等，两直线平行）∴AG CG GD==EF CF BF，（平行线分线段成比例）∵G是AD的中点，∴AG＝GD，∴EF＝FB；（2）证明：连接AO，AB，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，（直径所对圆周角为直角）在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，直角三角形斜边中线为斜边一半，∴AF＝FB＝EF，且等边对等角，∴∠FBA＝∠FAB，又∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°，∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，∴PA是⊙O的切线；（3）如图2，连接AB ，AO ，∵BC 是直径，∴∠BAC ＝∠BAE ＝90°，∵EF ＝FB ，∴FA ＝FB ＝FE ＝FG ＝3，过点F 作FH ⊥AG 交AG 于点H ，∵FA ＝FG ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG ，∵∠FBD ＝∠BDH ＝∠FHD ＝90°，∴四边形FBDH 是矩形，∴FB ＝DH ＝3，∵AG ＝GD ，∴AH ＝HG ＝1，GD ＝2，FH 2222AF AH =31=22--，∴BD ＝22设半径为r ，在Rt ADO 中，∵222AO =AD +OD ， ∴222r =4+(r-22)，解得：r ＝32综上所示：BD ＝22r ＝32【点睛】本题主要考察了平行线的性质及定理、平行线分线段成比例定理、等边对等角、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理、勾股定理及圆的切线及其性质，该题较为综合，解题的关键是在于掌握以上这些定理，并熟练地将其结合应用．6．（1）21y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，52)；（3）P （52，278 ）或P(1，92)； （4）0＜t≤261200． 【解析】【分析】 (1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数12y x m =-+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围．【详解】解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C把A,C 代入抛物线212y x bx c =-++， 得：142b+c=02c=4⎧⨯⎪⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1c=4⎧⎨⎩ ∴21y=x +x+42﹣． （2）令y=0即21x +x+4=02﹣， 解得1x =2﹣，2x =4 ∴B （4,0）把B （4,0）代入12y x m =-+ 得1042m =-⨯+m=2 122y x =-+， ∴21y=x +x+42122y x ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，52) ∴,m=2，D(﹣1，52)． （3）设P （a ，21a +a+42﹣），则F （a ，1a 22-+），∵DN ⊥PH ，∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标∴N(a ，52) FN=52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=21a +a+42﹣－52=213a +a+22﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点，∴①当FN=2PN 时，11a 22+=2（213a +a+22﹣）， 解得：a=52或a=﹣1（舍去）， ∴P （52，278）． ②当2FN=PN 时，2（11a 22+）=（213a +a+22﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去），∴P(1,92)， 综上P 点坐标为P （52，278 ）或P(1,92)， (4)由（2）问得D(﹣1，52)，又A (2,0)-， 设AD ：y=kx+b ，5k+b=22k 0b ⎧⎪⎨⎪+=⎩﹣﹣ ， ∴5k=2b=5⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=52x+5， 又GM ⊥AD ，∴可设GM ： y=25﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，∴QQ '∥AD ，可设QQ '：y=52x+q ，又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入QQ '， 得：52×45⎛⎫- ⎪⎝⎭+q=0， q=2， ∴QQ '：y=52x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值， ∴25+221y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪⎨⎪⎩ 或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ，∴N(1,92)又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，设H 为N,Q 中点，则H （110，94），又∵H 在直线GM 上，∴把H 代入GM y=25﹣x+p ，得：921=+p 4510⨯﹣， P=229100 ，∴y=25﹣x+229100，令y=0得：0=25﹣x+229100，∴x=22940 ，即QM=22940+45=26140 ，∵M 的速度为5，∴t=26140÷5=261200 ，∴0＜t≤261200．【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．7．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492 【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线 ∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．8．（1）6c a =-；（2）①2132y x =-；②2． 【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称性求出抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系即可得；（2）①先根据（1）可得抛物线的解析式和顶点D 的坐标，再设11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，从而可得直线AD 、BD 解析式中的一次项系数，然后根据一元二次方程的根与系数的关系可得12k x x a +=，124x x =-，最后根据圆周角定理可得AD BD ⊥，从而可得1212144x x k a k a x x +⋅=-+，化简可求出a 的值，由此即可得出答案；②先求出点B 、D 的坐标，再根据直线1l 与抛物线只有一个交点可得出2213,2q p x p --==，然后联立直线1l 与2l 求出点N 的坐标，最后利用三角形的面积公式分别求出12,S S ，由此即可得．【详解】（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++>，顶点D 在y 轴上，∴抛物线的对称轴为y 轴，即0x =，0b ∴=，抛物线与x∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，(c a∴=， 即6c a =-；（2）①由（1）可得：抛物线的解析式为26y ax a =-，顶点D 的坐标为(0,6)D a -，由题意，设点A 、B 的坐标分别为11222),(2)(,,A x k a B k x x a x --，且21x x >， 由点A 、D 的坐标得：直线AD 解析式中的一次项系数为11112064x a x x k x a k a -=-++， 由点B 、D 的坐标得：直线BD 解析式中的一次项系数为22222064x a x x k x a k a -=-++， 联立262y ax a y kx a⎧=-⎨=-⎩可得240ax kx a --=， 则1x 与2x 是关于x 的一元二次方程240ax kx a --=的两根， 由根与系数的关系得：1212,4k x x x x a+==-， 以AB 为直径的圆恒过点D ， 90ADB ∴∠=︒，即AD BD ⊥，则1212144x x k a k a x x +⋅=-+， 整理得：2164a =， 解得12a =或102a =-<（不符题意，舍去）， 故抛物线的解析式为2132y x =-； ②由①可知，222(0,3),(,31)2D x x B --， 则直线2l 的解析式为3y =-， 联立2132y x y px q⎧=-⎪⎨⎪=+⎩可得22260px x q ---=， 1l 与抛物线只有一个公共点，∴方程22260px x q ---=只有一个实数根2x ，∴其根的判别式244(26)0p q ∆=++=，且2222260x px q ---=， 解得2132q p --=， 将2132q p --=代入2222260x px q ---=得：2x p =， 联立3y y px q =-⎧⎨=+⎩，解得33q x p y --⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 即点N 的坐标为3(,3)q N p---， 21322p q p DN p p --∴===， 121122S DM x DM p =⋅=⋅，21112224p S DM DN DM DM p =⋅=⋅=⋅， 1212124DM S p M p S D ⋅⋅∴==． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式、二次函数的对称性、圆周角定理等知识点，较难的是题（2）①，利用圆周角定理得出AD BD ⊥，从而利用一次函数的性质建立等式是解题关键．9．（1）241y x x =+-；（2）PAB △面积最大值为278；（3）存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ---+----，，，，，，【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -，1||2PABB A S PF x x ∆=⋅-23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即可求解； （3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-（2）设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y∴1AB y x =-过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a - 由铅垂定理可得1||2PAB B A S PF x x ∆=⋅- ()231412a a a =---+。
2020-2021上海上海市实验学校东校初三数学上期中试题(附答案)
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图 重合．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】
解：A、∵任何数的绝对值都是非负数，∴ a 0 是必然事件，不符合题意；
B、∵ a 0 ，∴ a 1 的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 利用抛物线开口方向确定 a 的符号，利用对称轴方程可确定 b 的符号，利用抛物线与 y 轴 的交点位置可确定 c 的符号． 【详解】 ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，
∴x＝﹣ b ＞0， 2a
∴b＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴c＞0， 故选：B．
（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为 12dm2 时，裁掉的正方形边长多大？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每 平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正方形边长多大时，总 费用最低，最低为多少？
A．
B．
C．
D．
5．用配方法解方程 x2 6x 8 0 时，配方结果正确的是（ ）
A． (x 3)2 17
B． (x 3)2 14
C． (x 6)2 44
D． (x 3)2 1
6．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知实数 a 0 ，则下列事件是随机事件的是（ ）
（）
A．DE=3
பைடு நூலகம்
2020-2021上海上海市实验学校西校初三数学上期中第一次模拟试卷及答案
2020-2021上海上海市实验学校西校初三数学上期中第一次模拟试卷及答案一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70°2．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．随时打开电视机，正在播新闻B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形4．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．345．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7 8．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ）A ．m ＝3，n ＝2B ．m ＝﹣3，n ＝2C ．m ＝2，n ＝3D ．m ＝﹣2，n ＝﹣3 9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶311．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m ，另一边减少了2m ，剩余空地的面积为18m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm ，则可列方程为（ ）A ．（x+1）（x+2）=18B ．x 2﹣3x+16=0C ．（x ﹣1）（x ﹣2）=18 D ．x 2+3x+16=0 12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．若1211 x x ＝﹣1，则k 的值为_____． 14．已知、是方程的两个根，则代数式的值为______.15．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．17．若关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是_______.18．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y 轴上______________19．圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．20．若关于 x 的一元二次方程2x 2-x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为__________．三、解答题21．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．22．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．23．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12cm，点D从点A出发沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．设点D移动的时间为t秒．（1）试判断四边形DFCE的形状，并说明理由；（2）当t为何值时，四边形DFCE的面积等于20cm2？（3）如图2，以点F为圆心，FC的长为半径作⊙F，在运动过程中，当⊙F与四边形DFCE只有1个公共点时，请直接写出t的取值范围．24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示.已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为640平方米.（1）求通道的宽是多少米？（2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．3．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．故选D．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．4．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．5．D解析：D 【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D ．6．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．C解析：C【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-，解得：2m =-，7n =，则275m n +=-+=故选C .【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.8．B解析：B【解析】【分析】根据“关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．【详解】∵点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，∴m ＝﹣3，n ＝2．故选：B ．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．9．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．11．C解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：可设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣1）m ，宽为（x ﹣2）m ．根据长方形的面积公式列方程可得()()-1-2x x =18．故选C ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB ，∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，故①正确；∵AB 为直径，且点E 是点D 关于AB 的对称点∴∠E=∠ODE ，AB ⊥DE∴∠CED =30°=12∠DOB ， 故②正确；∵M 和A 重合时，∠MDE=60°，∴∠MDE+∠E=90°∴DM ⊥CE故③不正确；根据轴对称的性质，可知D 与E 对称，连接CE ，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM 最短，∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°∴CE 为直径，即CE=10，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大． 二、填空题13．【解析】【分析】利用根与系数的关系结合＝﹣1可得出关于k 的方程解之可得出k 的值由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式解之即可得出k 的取值范围进而可确定k 的值此题得解【详解】∵关于x 的一 解析：【解析】【分析】 利用根与系数的关系结合1211+x x ＝﹣1可得出关于k 的方程，解之可得出k 的值，由方程的系数结合根的判别式△＞0可得出关于k 的不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k 的值，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝﹣（2k +3），x 1x 2＝k 2， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣223k k+＝﹣1， 解得：k 1＝﹣1，k 2＝3．∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k +3）x +k 2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2k +3）2﹣4k 2＞0，解得：k＞﹣34，∴k1＝﹣1舍去．∴k=3.故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练运用根与系数的关系及根的判别式是解决问题的关键.14．【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0b2-b-3=0即a2=a+3b2=b+3则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5整理解析：【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．【详解】∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5=2a2-2a+17=2（a+3）-2a+17=2a+6-2a+17=23．15．10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算【详解】设圆锥底面圆的半径为r则2πr=解得：r=10所以圆锥的底面半径为10故答案为：10【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识解析：10【解析】【分析】由扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算．【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=12030 180π⋅，解得：r=10，所以圆锥的底面半径为10．故答案为：10．【点睛】考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题关键是牢固掌握和弧长公式．16．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 17．【解析】【分析】根据方程没有实数根得出判别式小于0列出关于m 的不等式求解即可【详解】∵关于x 的方程x2＋2x ＋m ＝0没有实数根∴解得：故填：【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式熟练运用根 解析：1m >【解析】【分析】根据方程没有实数根得出判别式小于0，列出关于m 的不等式求解即可.【详解】∵关于x 的方程x 2＋2x ＋m ＝0没有实数根∴2=240m ∆-<解得：1m >故填：1m >.【点睛】本题主要考查根的判别式和解一元一次不等式，熟练运用根的判别式进行根的情况的判断是关键.18．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02b a -=，由此举例得出答案即可． 【详解】解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++∵图象开口向下∴0a <∴可取1a =-∵顶点在y 轴上 ∴对称轴为02b x a=-= ∴0b =∵顶点的纵坐标可取任意实数∴c 取任意实数∴c 可取0∴二次函数解析式可以为：2y x =-．故答案是：2y x =-【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．19．15【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π故答案为15π考点：圆锥的计算解析：15π【解析】试题分析：利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．圆锥的侧面积=12•2π•3•5=15π． 故答案为15π．考点：圆锥的计算． 20．【解析】【分析】根据关于x 的一元二次方程2x2-x+m=0有两个相等的实数根结合根的判别式公式得到关于m 的一元一次方程解之即可【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0整理得：1-8m=0解得：m=故解析：18【解析】【分析】根据“关于x 的一元二次方程2x 2-x+m=0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m 的一元一次方程，解之即可．【详解】根据题意得：△=1-4×2m=0， 整理得：1-8m=0，解得：m=18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．三、解答题21．这个游戏对双方不公平，理由见解析.【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59；∴小明胜的概率为59，小亮胜的概率为49，∵59≠49，∴这个游戏对双方不公平.故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【详解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得10 930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．23．（1）平行四边形，理由见解析；（2）1秒或5秒；（3）12﹣62＜t＜6【解析】【分析】（1）由两组对边平行的四边形是平行四边形可证四边形DFCE是平行四边形；（2）设点D出t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，利用BD×CF＝四边形DFCE的面积，列方程解答即可；（3）如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，求出此时t的值，根据图象即可解决问题．【详解】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形；（2）如图1中，设点D出发t秒后四边形DFCE的面积为20cm2，根据题意得，DE＝AD＝2t，BD＝12﹣2t，CF＝DE＝2t，又∵BD×CF＝四边形DFCE的面积，∴2t（12﹣2t）＝20，t2﹣6t+5＝0，（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t1＝1，t2＝5；答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20cm2；（3）如图2中，当点D在⊙F上时，⊙F与四边形DECF有两个公共点，在Rt △DFB 中，∵∠B ＝90°，AD ＝DF ＝CF ＝2t ，BD ＝BF ＝12﹣2t ，∴2t （12﹣2t ），∴t ＝12﹣，由图象可知，当12﹣＜t ＜6时，⊙F 与四边形DFCE 有1个公共点．【点睛】本题考查圆综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P 随x 的增大而减小，∴当x=32时，P 的值最小，P 最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．25．（1）6;（2）40或400【解析】【分析】（1）设通道的宽x 米，由图中所示可得通道面积为2×28x+2(52-2x)x ，根据铺花砖的面积+通道面积=总面积列方程即可得答案；（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位，根据月租金收入为14400元列方程求出a 值即可.【详解】（1）设通道的宽x 米，根据题意得：2×28x+2(52-2x)x+640=52×28， 整理得：x 2-40x+204=0，解得：x 1=6，x 2=34(不符合题意，舍去).答：通道的宽是6米.（2）设每个车位的月租金上涨a 元，则少租出10a 个车位， 根据题意得：(200+a)(64-10a )=14400， 整理得：a 2-440a+16000=0，解得：a 1=40，a 2=400.答：每个车位的月租金上涨40元或400元时，停车场的月租金收入为14400元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.。
2019-2020上海上海师范大学第三附属实验学校数学中考第一次模拟试题带答案
11．A
解析：A 【解析】 【分析】 二次根式有意义，隐含条件 y>0，又 xy<0，可知 x<0，根据二次根式的性质化简． 解答 【详解】
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 设商品进价为 x 元，则售价为每件 0.8×200 元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即 可． 【详解】 解：设商品的进价为 x 元，售价为每件 0.8×200 元，由题意得
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 设月平均增长率为 x，根据等量关系：2 月份盈利额×（1+增长率）2=4 月份的盈利额列出 方程求解即可． 【详解】 设该商店的每月盈利的平均增长率为 x，根据题意得： 240000（1+x）2=290400， 解得：x1=0.1=10%，x2=-0.21（舍去）， 故选 C. 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x） 2=后来的量，其中增长用+，减少用-．
16．已知反比例函数的图象经过点（m，6）和（﹣2，3），则 m 的值为________． 17．已知（a-4）（a-2）=3，则（a-4）2+（a-2）2 的值为__________．
x y 6 18．二元一次方程组 2x y 7 的解为_____．
19．在一次班级数学测试中，65 分为及格分数线，全班的总平均分为 66 分，而所有成绩 及格的学生的平均分为 72 分，所有成绩不及格的学生的平均分为 58 分，为了减少不及格 的学生人数，老师给每位学生的成绩加上了 5 分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均 分变为 75 分，所有成绩不及格的学生的平均分变为 59 分，已知该班学生人数大于 15 人少 于 30 人，该班共有_____位学生． 20．如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，若 EF=4，BC=10，CD=6，则 tanC=________．
2020-2021上海 上海师范大学附属高桥实验中学九年级数学上期中第一次模拟试卷含答案
2020-2021上海上海师范大学附属高桥实验中学九年级数学上期中第一次模拟试卷含答案一、选择题1．如图A，B，C是上的三个点，若，则等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．43．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣44．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（）A．大于60°B．小于60°C．大于30°D．小于30°5．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．26．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )A ．k<4B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠37．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶3 9．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 10．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x += D ．()247x +=11．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题 13．已知、是方程的两个根，则代数式的值为______.14．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．15．关于x 的方程的260x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．16．在阳光中学举行的春季运动会上，小亮和大刚报名参加100米比赛，预赛分,,,A B C D 四组进行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小亮和大刚恰好抽到同一个组的概率是_______．17．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．18．已知关于x 的二次函数y=ax 2+(a 2-1)x-a 的图象与轴的一个交点的坐标为(m ，0)，若2<m<3，则a 的取值范围是_________．19．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．20．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．三、解答题21．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AB 上，以AD 为直径的⊙O 与BC 相 交于点E ，且AE 平分∠BAC ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若∠EAB ＝30°，OD ＝3，求图中阴影部分的面积．22．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）23．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线.（2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.24．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．25．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w （元），求每月获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．故选D考点：圆周角定理2．C解析：C【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.3．D解析：D【解析】试题分析：抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项B ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项C ，y 的最小值是﹣4，该选项错误；选项D ，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．4．D解析：D【解析】试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，∴∠AOB=60°，∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ，∴∠ACB=12∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角，∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．故选D5．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．6．B解析：B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点. 7．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13， ∵图形的面积是12cm 2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm 2；故答案为B ．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．9．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a ＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b ＜0且b=-2a ．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．10．D解析：D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x++=，289x x+=-，2228494x x++=-+，所以()247x+=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.11．A解析：A【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB ，∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，故①正确；∵AB 为直径，且点E 是点D 关于AB 的对称点∴∠E=∠ODE ，AB ⊥DE∴∠CED =30°=12∠DOB ， 故②正确；∵M 和A 重合时，∠MDE=60°，∴∠MDE+∠E=90°∴DM⊥CE故③不正确；根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°∴CE为直径，即CE=10，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．二、填空题13．【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0b2-b-3=0即a2=a+3b2=b+3则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5整理解析：【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．【详解】∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5=2a2-2a+17=2（a+3）-2a+17=2a+6-2a+17=23．14．【解析】【分析】连接OCODOC与AD交于点E根据圆周角定理有根据垂径定理有：解直角即可【详解】连接OCODOC与AD交于点E直尺的宽度：故答案为【点睛】考查垂径定理熟记垂径定理是解题的关键【解析】【分析】连接OC,OD,OC与AD交于点E，根据圆周角定理有130,2BAD BOD∠=∠=︒根据垂径定理有：15,2AE AD == 解直角OAE △即可. 【详解】 连接OC ,OD ,OC 与AD 交于点E ，130,2BAD BOD ∠=∠=︒ 10 3.cos303AE OA ==︒ 5tan 303,3OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-== 533【点睛】 考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.15．9【解析】【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根所以△=b2-4ac=0根据判别式列出方程求解即可【详解】∵关于x 的方程x2-6x+m=0有两个相等的实数根∴△=b2-4ac=0即（-6）2-4解析：9【解析】【分析】因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以△=b 2-4ac=0，根据判别式列出方程求解即可．【详解】∵关于x 的方程x 2-6x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b 2-4ac=0，即（-6）2-4×1×m=0， 解得m=9故答案为：9【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图从而可以求得甲乙两人恰好分在同一组的概率【详解】如下图所示小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种共有16种等可能的结果∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概 解析：14【解析】【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得甲、乙两人恰好分在同一组的概率． 【详解】如下图所示，小亮和大刚两人恰好分在同一组的情况有4种，共有16种等可能的结果，∴小亮和大刚两人恰好分在同一组的概率是41164=， 故答案为：14． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 17．【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k 由已知条件可得h=2k=9再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6求出a 的值即可【详解】解：由题意设此抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+9解析：2(2)9y x =--+【解析】【分析】设此抛物线的解析式为：y=a （x-h ）2+k ，由已知条件可得h=2，k=9，再由条件：它在x 轴上截得的线段长为6，求出a 的值即可．【详解】解：由题意,设此抛物线的解析式为： y=a （x-2）2+9，∵且它在x 轴上截得的线段长为6，令y=0得，方程0=a （x-2）2+9，即：ax 2-4ax+4a+9=0，∵抛物线ya （x-2）2+9在x 轴上的交点的横坐标为方程的根，设为x 1，x 2，∴x 1+x 2=4，x 1•x 2=49a a+ ，∴|x 1-x 26=即16-4×49a a+=36 解得：a=-1，y=-（x-2）2+9， 故答案为：y=-（x-2）2+9．【点睛】此题主要考查了用顶点式求二次函数的解析式和一元二次方程与二次函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根．18．<a<或-3＜a ＜-2【解析】【分析】先用a 表示出抛物线与x 轴的交点再分a ＞0与a ＜0两种情况进行讨论即可【详解】解：∵y=ax2+（a2-1）x-a=（ax-1）（x+a ）∴当y=0时x1=x2= 解析：13<a<12或-3＜a ＜-2． 【解析】【分析】 先用a 表示出抛物线与x 轴的交点，再分a ＞0与a ＜0两种情况进行讨论即可．【详解】解：∵y=ax 2+（a 2-1）x-a=（ax-1）（x+a ），∴当y=0时，x 1=1a，x 2=-a ， ∴抛物线与x 轴的交点为（1a ，0）和（-a ，0）． ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标为（m ，0）且2＜m ＜3，∴当a ＞0时，2＜1a ＜3，解得13＜a ＜12； 当a ＜0时，2＜-a ＜3，解得-3＜a ＜-2． 故答案为：13<a<12或-3＜a ＜-2． 【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 19．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a=-.20．x1=0x2=3【解析】【分析】先移项然后利用因式分解法求解【详解】x2=3x x2-3x=0x(x-3)=0x=0或x-3=0∴x1=0x2=3故答案为：x1=0x2=3【点睛】本题考查了解一元二次解析：x1=0，x2=3【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】x2=3xx2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或x-3=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解三、解答题21．（1）证明见解析；（2）933 22π-.【解析】试题分析：()1连接OE．证明OE ACP，从而得出∠OEB＝∠C＝90°，从而得证. ()2阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积.试题解析：()1连接OE．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAD，∵OA＝OE，∴∠EAD＝∠OEA，∴∠OEA ＝∠CAE ，OE AC ∴P ，∴∠OEB ＝∠C ＝90°，∴OE ⊥BC ，且点E 在⊙O 上，∴BC 是⊙O 的切线．（2）解： ∵∠EAB ＝30°，∴∠EOD ＝60°，∵∠OEB ＝90°，∴∠B ＝30°，∴OB ＝2OE ＝2OD ＝6，∴BE ==OEB S =V 扇形OED 的面积3π.2=阴影部分的面积为：3π.22- 22．（1）这种水果今年每千克的平均批发价是24元；（2）每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元.【解析】【分析】(1)由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为()10120%12-=万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元，可列出方程：12000010000010001x x -=+，求得x 即可. (2)根据总利润＝(售价﹣成本)×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值．【详解】 (1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元， 今年的批发销售总额为()10120%12-=万元， ∴12000010000010001x x -=+， 整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-(不合题意，舍去).故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．(2)设每千克的平均售价为m 元，依题意由(1)知平均批发价为24元，则有()41241803003m w m -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭260420066240m m =-+-， 整理得()260357260w m =--+，∵600a =-<，∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23．（1）见解析；（2）»AD 23π=【解析】【分析】（1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得1B ∠=∠，由垂直定义和三角形内角和定理得290B ∠+∠=︒，等量代换得2190∠+∠=︒，由平角定义得90DOE ∠=︒，从而可得证.（2）连结AD ，由圆周角定理得90ADC ∠=︒，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得60AOD ∠=︒，在Rt DEB ∆中，由直角三角形性质得23BD CD ==，在Rt ADC ∆中，由直角三角形性质得2OA OC ==，再由弧长公式计算即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，连结OD ．∵OC OD =，AB AC =，∴1C ∠=∠，C B ∠=∠，∴1B ∠=∠，∴DE AB ⊥，∴290B ∠+∠=︒，∴2190∠+∠=︒，∴90ODE ∠=︒，∴DE 为O e 的切线．（2）解：连结AD ，∵AC 为O e 的直径．∴90ADC ∠=︒．∵AB AC =，∴30B C ∠=∠=︒，BD CD =，∴60AOD ∠=︒．∵DE =∴BD CD ==∴2OC =， ∴60221803AD ππ=⨯= 【点睛】 本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．24．（1）k ＜2（2）120,2x x ==-【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k 的取值范围； （2）根据（1）中的k 的取值范围和k 为正整数得出k 的值，再解方程即可，【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴()22410k ∆=-->， =8－4k >0.，∴2k <；（2）∵k 为正整数，∴k =1，解方程220x x +=得，120,2x x ==-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.利用一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键.25．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． （3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000 ∵k=﹣200＜0，∴P 随x 的增大而减小，∴当x=32时，P 的值最小，P 最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元． 考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．。