一个新的正项级数敛散性的判别法

un
n 1
un (n 1) ln(n 1) u n 1 n ln n
成立，则

收敛。因为
un (n 1)[ln(n 1)] p u n 1 n(ln n) p

un
n 1
nu n ln p (n 1) ln p n 1 (n 1)u n 1 ln p n
n2

1
p
n
做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，称为“对数判别法” 。 关键词：比较判别法；级数判别法的极限形式；Lagrange 中值定理；对数判别法 中图分类号： O173 A 文献标识码： 文章编号：1009-9115(2012)02-0031-03
A New Criterion of the Convergence and Divergence of the Positive Series
要使 n 足够大时有
1 p n 1 n ln n
来说，当 p 1 时是收敛的；当 p 1 是发散的。 2 主要结果 设正项级数 我们得到的定理如下： Theorem（Logarithm Test） 显然


n ln n[
成立，只需
nu n 1] 1 (n 1)u n 1 nu n 1] 1 (n 1)u n 1
-32故
ln(n 1) p ln n p
n
顾先明，等：一个新的正项级数敛散性的判别法
un (n 1)[ln(n 1)] p u n 1 n(ln n) p
n ln n[ lim p
n
n[ln n ] p p n [ln n] p
nun 1] s 1 ( n 1)un 1
n ln
n2
1
p
u n 1 v n 1 un vn
于是 （1）若级数

n
做比较标准得到一系列关于正项级数的敛散性判别法，并 称为 Bertrand 判别法，但是笔者在文章中得到的一种有别 于 Bertrand 判别法的新的判别法。首先先给出几个引理： Lemma 1[1] 设
v
n 1
lim n ln n[
n
un
n 1
n
lim
n
n
1
满足：
故当
nu n lim n ln n[ 1] s n (n 1)u n 1
则 （1）当 s 1 时，

lim n ln n[
n
nu n 1] 1 (n 1)u n 1
时，
un
时，
成立，只需
un
n 1

lim n ln n[
n
nun 1] (n 1)un 1
收敛。 此外，当 s 1 时此判别法失效。
lim p
n
n[ln n ] p n [ln n] p 1
p 1
[参考文献]
[1] 吴良森,等.数学分析学习指导书(下册)[M].北京:高等教

目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别 法，然而此判别法有时精确度仍然不够。本文以级数

u
n 1
n
n ln
n2
1
p
n
v
n 1

n
做比较标准， 得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便 的判别法—“对数判别法” 。虽然文献[1-3]以对数级数

为正项级数，且存在正数 N ，对一切 n N ，有
n
收敛，则
────────── 基金项目：唐山师范学院的大学生科技创新立项项目 收稿日期：2011-01-22 作者简介：顾先明（1989-） ，男，安徽寿县人，本科学生，研究方向为函数论，计算数学。
-31-
第 34 卷第 2 期
唐山师范学院学报
2012 年 3 月
u
n 1

由拉格朗日中值定理知，对任意 n ，存在
若
lim n ln n[
n
nun 1] s 1 (n 1)un 1
教育出版社,2006:26. [2] 谢惠民,等.数学分析习题课讲义(下册)[M].北京:高等教 教育出版社,2004. [3] 菲赫金哥尔茨 . 徐献瑜 , 等译 . 微积分学教程 ( 第二卷 - 第 二分册)[M].北京:高等教育出版社,2007. [4] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)(3 版)[M].北京:高 等教教育出版社,2006:13-14.
nu n n[ln n ] 1] p (n 1)u n 1 n [ln n] p 1
m n ln n[
n
n ln n[
nu n n[ln n ] p 1 1] p (n 1)u n1 n [ln n] p 1
n 1
un
n 1

发散。 收敛的情况可类似讨论：设数列 {u n } 是正项数列，若 存在 p 1 使得 n 足够大时，有
收敛； （2）当 s 1 时，

un
n 1
un (n 1)[ln(n 1)] p u n 1 n(ln n) p
成立，则

发散。 先考虑发散的情况。设数列 {u n } 是正项数列，若 n 足 够大时，由比较判别法有
第 34 卷第 2 期 Vol.34 No.2
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2012 年 3 月 Mar. 2012
一个新的正项级数敛散性的判别法
顾先明，彭 浩
063000） （唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 摘 要：用级数
n ln
发散。 为了应用方便， 我们来寻求像拉阿比判别法那样的 “极 限形式” ： 使得
由拉格朗日中值定理知，对任意 n ，存在
n (n, n 1)
p[ln n ] p 1
un (n 1) ln(n 1) u n 1 n ln n nu n ln(n 1) ln n 1 (n 1)u n 1 ln n
取
p
就有
1 s 1 2 nun 1] (n 1)un 1
lim n ln n[
n
（责任编辑、校对：赵光峰）
-33-
GU Xian-ming, PENG Hao
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China) Abstract: In this paper, a new criterion was proposed to discriminate the convergence of positive series by using series
n
n (n, n 1)
使得
也收敛； （2）若级数

u
n 1
ln(n 1) ln n
故
1
n
n
发散，则
v
n 1

n
un (n 1) ln(n 1) u n 1 n ln n
n ln n[
亦发散。 Lemma 2[2] 对于正项级数
nu n 1] 1 ， (n 1)u n 1
n ln
n2

1
p
n
as a comparing standard. This type of criterion is finer and more convenient than that frequently-used Raaba’s criterion. Key Words: new criterion; positive series; ponvergence; Raaba’s criterion 1 引言 和