中考数学专题复习：二次函数与反比例函数

中考数学专题复习：二次函数与反比例函数

题型1：二次函数的判定

例1.下列函数中，哪些是二次函数？

分析：一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。判断函数是否是二次函数， ①首先是要看它的右边是否为整式，②若是整式且仍能化简的要先将其化简，③ 然后再看自变量是否为2，④最后看二次项系数是否为0这个关键条件

题型2：有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题.

二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。a 越大，开口越小。a 越小，开口越大。（2）一次项系数b ，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．若

0>ab ，则对称轴a b x 2-

=在y 轴左边，若0

x 2-=在y 轴的右侧。若b=0，则对称轴a

b

x 2-=＝0,即对称轴是y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴0” （3）常

数项c ，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时，抛物线经过原点，;当0c <时，交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2－4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0∆>时，抛物线与x 轴有两个交点 ② 当

0∆=时，

抛物线与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

一次函数:y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:

（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨

⎧<>0

b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩

⎨⎧<<00

b k 直线经过第二、三、四象限 （2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.

（3）截距: 当b>0时，图象交于y 轴正半轴, 当b<0时，图象交于y 轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.

（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. 反比例函数:y ＝

x

k

（k 为常数，k ≠0）中图象与系数的关系: 说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内

”

222

322221

(1)(2)4(3)0.8(220)(4)55(1)1(5)34(6)2(7)36()(1)3()

3y x y b a y x x x x

y x x y x y ax x a y m x m =+

==-=-+-=--=--=++=+-为定值 (8)为定值

例2图

这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。 3）

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大，双曲线越靠近坐标轴．

例1：.函数y=ax+b 的图象经过一、二、三象限，则二次函数y=ax 2+bx 的大致图象是 ( B )

B 【解析】本题考查【解析】由函数y=ax+b 的图象经过一、二、三象限，可得：a>O ，b>O ，则函数y=ax 2+bx 的开口向上，对称轴

为x=－b

2a

<0，

例2（’09湖北黄石市）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，

其中正确结论的个数为（ ）

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

分析:从图像的开口方向和图像与y 轴交点的纵坐标可以直接得到a<0,c>0.对于b,要根据

24b ac -

抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在y 轴右侧,即－b 2a >0,则b

a <0,所以a 、

b 异号;反之,a ，

b 同号.本题中抛物线对称轴在y 轴右侧,所以b>0;所以abc<0.对于2a+b,需要根据抛物线顶点横坐标与1的大小比较.观察图像可得, －b

2a <1,所以2a+b ＜0.而4a －2b+c 是二次函数当自变

量取值为－2时的函数值,观察图像可发现点(－2, 4a －2b+c)在x 轴下方,所以4a －2b+c<0.又由图像可得当x=1时的函数值a+b+c 的绝对值大于x=－1时的函数值a －b+c 的绝对值,所以a+b+c+ (a －b+c)>0,所以a+c>0.故选答案B.【点拨】由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。由抛物线与x 轴的交点的符号，若x 轴标出了1和－1，则结合函数值可判定b a +2、个数判定 c b a ++、c b a +-的符号。

例3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y ＝ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是（ ）

A B C D

【解析】本题考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道这两个函数图像与y 轴交于同一点(0,c),然后再采用排除法.对于A 、B,直线y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 不经过同一点(0,c),所以不正确.对于C 、D,直线都经过第一、二、四象限,所以a<0,所以抛物线开口向下.答案为D. 例4. （2011四川凉山州，12，4分）二次函数2

y ax bx c =++的图像如图所示，反比列函数a

y x

=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图像是（ B ）

例5. （

2011安徽芜湖，10,4分）二次函数2

y ax bx c =+

+的图象如图所示，则反比例函数a

y x

=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ D ）.

A

B

D

C