2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
解
计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i；
(2)(3＋4i)(3－4i)；
解 解 (3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
解
6
1＋i26 2＋ 3i 3＋ 2i ＋ 原式＝ 2 2 3 ＋ 2 2
6＋2i＋3i－ 6 ＝i ＋ ＝－1＋i. 5
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2
解
7＋i 计算：(1) ； 3＋4i
7＋i 7＋i3－4i 25－25i ＝ ＝ 25 ＝1－i； 3＋4i 3＋4i3－4i
复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ a2＋b2，据此可将问题实数化，同时根 据模的几何意义可将问题转化为平面解析几何问题，如点的轨迹问题.
返回
1 ＋i (2) ＝ i . 1 －i 1 －i (3) ＝－i . 1 ＋i
答案 返回
题型探究
重点突破
题型一 复数乘除法的运算 例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
1－i 1 －i 2 解析 ∵z＝ ＝ ＝－i， 1＋i 1＋i1－i
∴ z ＝i.
解析答案
1
5.计算：
2
3
4
5
2 3－i 2 2 28 29 . － i ＋(10＋i )－ 2 2 1＋2 3i
2 3－i1－2 3i 2 2 214 29 － i ＋10＋i － 2 2 1＋2 3i1－2 3i
则8－6i的平方根为3－i或－3＋i.
解析答案
2.分解因式 由于a2 ＋ b2＝(a＋bi)(a－bi)，则很多在实数集内不能分解的因式在复数 集内可分解因式. 例5 分解因式：(1)x2＋2xy＋y2＋z2； 解 x2＋2xy＋y2＋z2＝(x＋y)2＋z2
＝(x＋y＋zi)(x＋y－zi)；
(2)x4－81. 解 x4－81＝(x2＋9)(x2－9)
答案
乘法对加法的分配律
思考 写出下列各题的计算结果. (1)(a±b)2＝ a2±2ab＋b2 ； (2)(3a＋2b)(3a－2b)＝ 9a2－4b2 ； (3)(3a＋2b)(－a－3b)＝ －3a2－11ab－6b2 .
答案
知识点二
共轭复数
如果两个复数满足 实部相等，虚部互为相反数 时，称这两个复数＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
z1 a＋b i a＋b ic－d i ac＋bd bc－ad 则z ＝ ＝ ＝ 2 2＋ 2 2 i. c＋d i c＋d ic－d i c ＋d c ＋d 2
思考 写出下列各题的计算结果. 1 －i (1) i ＝ .
第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习 目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
解析答案
1
2
3
4
5
i z2 3.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数z ＋ 5 的虚部等于 1 . 1
解析 1＋3i i2＋i 1 3 i z2 i ∵z ＋ 5 ＝ ＋ 5 ＝ 5 ＋5＋5i 2－i 1
1 2 1 3 ＝－5＋5i＋5＋5i＝i，
∴虚部为1.
解析答案
1
2
3
4
5
4.若复数 z 满足 z(1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数 z ＝ i .
例4 求8－6i的平方根. 解 设8－6i的平方根为x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)2＝8－6i，
即(x2－y2)＋2xyi＝8－6i，
2 2 x － y ＝8， x＝3， x＝－3， 由复数相等的充要条件，得 解得 或 2xy＝－6， y＝－1 y＝1，
(3)(1＋i)2.
解析答案
例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；
1＋2i 1＋2i3＋4i 解 (1＋2i)÷ (3－4i)＝ ＝ 3－4i 3－4i3＋4i －5＋10i 1 2 ＝ 25 ＝－5＋5i；
1＋i 2＋ 3i 6 (2) ＋ . 3－ 2i 1－i
复数的乘法
1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i . 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有 交换律 结合律 z2· z1 z 1· z2＝______ z 1· (z2· z3) (z1· z2)· z3＝_______ z1z2＋z1z3 z1(z2＋z3)＝_________
解
原式＝
2 2 3 － 12i － i ＋ 2 3i ＝(－i)14＋10＋i－ 13
＝－1＋10＋i＋i＝9＋2i.
解析答案
课堂小结 利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、 虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足 代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式.
＝(x＋3i)(x－3i)(x＋3)(x－3).
解析答案 返回
当堂检测
1
2
3
4
5
1＋i a 1.设 a 是实数，且 ＋ 2 是实数，则 a 等于( B ) 1＋i 1 A.2 B.1 3 C.2 D.2
解析
1＋i a1－i 1＋i 1＋a 1－a a ∵ ＋ 2 ＝ 2 ＋ 2 ＝ 2 ＋ 2 i， 1＋i
－1＋i2＋i (2) . －i
解 －1＋i2＋i －3＋i －3＋i· i ＝ ＝ ＝－1－3i. －i －i －i· i
解析答案
题型二 共轭复数及应用
例3 若 f(z)＝2z＋ z －3i，f( z ＋i)＝6－3i，求 f(－z).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3
已知 z∈C，解方程 z· z －3i z ＝1＋3i.
a 1＋i ＋ 2 ∈R ， 又∵ 1＋i
1 －a ∴ 2 ＝0，解得 a＝1.
解析答案
1
2
3
4
5
5 2.复数 的共轭复数为( C ) 3＋4i A.3＋4i 3 4 C.5＋5i B.3－4i 3 4 D.5－5i
解析
53＋4i 3 4 5 5 5 的共轭复数为 ＝ ＝ 25 ＝5＋5i. 3＋4i 3 4i 3－4i
解
将 z· z －3i z ＝1＋3i，
①
②
两边取共轭复数，得 z · z＋3iz＝1－3i，
②－①得 z ＝－2－z，代入①得 z2＋(2－3i)z＋1－3i＝0，
即(z＋1)(z＋1－3i)＝0，
∴z＝－1或z＝－1＋3i.
解析答案
知识拓展
复数运算的应用
复数的运算在复数开平方运算和分解因式中有广泛应用，下面通过具 体的实例加以说明. 1.求复数的平方根 复数z ＝a＋ bi 开平方，只要令其平方根为 x＋ yi，利用平方根的定义， 以及复数相等的充要条件，即可求出未知量，从而得到复数z的平方根.
轭复数，
z 的共轭复数用 z 表示.即 z＝a＋bi，则 z ＝ a－bi .
思考
判断.
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( × ) (2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( × ) (3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( √ ) (4)在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.( √ )
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2课件 第三章 数
如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为( A．x＝1，y＝－1 C．x＝1，y＝0
)
B．x＝0，y＝－1 D．x＝0，y＝0
【解析】 ∵(x＋y)i＝x－1，
x＋y＝0， ∴ x－1＝0，
(4) 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 ，那么这两个复数相 等．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝± 1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是__________．
【解析】 当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小， 故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 错． 【答案】 ③
2 x －1＝0， 是纯虚数，则 2 x ＋3x＋2≠0，
即 x＝1，故②
教材整理 2 两个复数相等的充要条件 阅读教材 P85 练习以上内容，完成下列问题． 在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数 a＋bi，c＋di(a，b，c，d
[ 再练一题] 1．下列命题中是假命题的是( A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集为实数集 C．实数集与虚数集的交集是{0} D．纯虚数集与实数集的交集为空集 【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此， ) 【导学号：05410058】
实数集与虚数集没有公共元素，C 是假命题． 【答案】 C
复数的分类 (1)复数 z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(
2016-2017学年高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2
第十七页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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第十八页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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6＋2i＋3i－ 5
6＝－1＋i.
第二十四页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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方法二：(技巧解法)
原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3－
3ii 2ii
＝i6＋
2＋ 2＋
33iii＝－1＋i.
第二十五页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
第十一页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．11＋－2ii2＝(
)
A．－1－12i
C．1＋12i
B．－1＋12i D．1－12i
解析： 先进行复数的乘方运算，再进行除法运算．
11＋－2ii2＝1－1＋2i＋2i i2＝1－＋22ii＝1＋22ii＝－1＋12i. 答案： B
第七页，编辑于星期五：十七点 二十六分。
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．复数乘法运算的方法 (1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的 结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． (2)复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式．如平方差 公式，完全平方公式等．
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的
方法技巧 复数与函数的综合应用
对于求复数的题目，一般的解题思路是： 先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结 合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的 代数形式写出来. 例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.
12345
2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中
点，则点C对应的复数是( A.4＋8i
)C B.8＋2i
C.2＋4i
D.4＋i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3). 由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)， 故点C对应的复数为2＋4i.
答案 返回 第十页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型探究
重点突破
题型一 复数与复平面内的点 例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚 轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m 的取值范围.
反第思十与一页感，悟编辑于星期五：十解七点析一答分。案
圆环，并且包括圆环的边界.
反思第十与六页感，悟编辑于星期五：十七解点析一答分。案
2π
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i， ∴|z－i|＝ x2＋y－12， 由|z－i|≤ 2知 x2＋y－12≤ 2，x2＋(y－1)2≤2.
解析答案 第十八页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型三 复数的模及其应用
例3 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝ 32＋a2，
2016-2017学年人教版高中数学选修2-2课件：复习课 数系的扩充与复数的引入
结束
2．复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时， (1)z∈R；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
解：(1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0， x2－3x－3＞0，①
∴log2(x－3)＝0，② x－3＞0.③
由②，得x＝4，经验证满足①③式． ∴当x＝4时，z∈R.
a 的值是
()
A．－1
B．1
C．－ 2
D． 2
(2)复数 z＝m1＋－22ii(m∈R，i 为虚数单位)在复平面上对应的点
不可能位于
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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[解析] (1)因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，
结束
[解析]
Hale Waihona Puke (1)由1＋z 1－z
＝i，得z＝
－1＋i 1＋i
＝
(－1＋i)(1－i) 2
＝
2i 2
＝
i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.
(2)因为z＝1＋2i，则 z ＝1－2i，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝
5，则z z4－i 1＝44i＝i.故选C.
[答案] (1)A (2)C
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下一页 末 页 第九页，编辑于星期五：十五点 四十分。
[考点精要]
结束
1．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是
(a，bi)；
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点 O 为起点
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的
a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经
过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为
.
虚数单位
答案 第四页，编辑于星期五：十七点 一分。
思考 (1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.
第五页，编辑于星期五：十七点 一分答。 案
(2)虚数单位i有哪些性质？ 答案 虚数单位i有如下几个性质： ①i的平方等于－1，即i2＝－1；
12345
C
答案 第二十五页，编辑于星期五：十七点 一分。
12345
4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实
数m的值为
.1或2
解析 ∵M∪N＝N，
∴M⊆N，
∴m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.
由复数相等的充要条件，得mm22＋－m2m－＝2＝－01， 或mm22－ ＋2mm－＝20＝，4， 解得m＝1或m＝2.
②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；
③i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).
答案 第六页，编辑于星期五：十七点 一分。
知识点二 复数的概念、分类
1.复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a,b∈R,i叫做 虚数单位 .a 叫做复数的 实部，b叫做复数的 虚部. (2)复数的表示方法：复数通常用字母 表z示，即 z＝. a＋bi (3)复数集定义： 全体复数 所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.
第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
人教版高中数学选修2-2 数系的扩充与复数的概念 PPT课件
例2 已知 (2 x 1) i 求 x与 y .
y (3 y )i ，其中x, y R
转化
解题思考： 复数相等 的问题
求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想：转化思想
1、如果(x+y)+(y-1) =(2x+3y)+(2y+1) , 求实数x,y的值.
i
i
2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.
2 i 7
0
2、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
m 1时，复数z 是实数． m 1时，复数z 是虚数．
即 m 1时，复数z 是 纯虚数．
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 （2）当 m 1 0 ，即 （3）当 m 1 0
m 1 0
2
练习:当m为何实数时，复数
Z m m 2 (m 1)i
2
是 （1）实数
（2）虚数
（3）纯虚数
思考？ 5、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的 关系？
一. 数的发展过程（经历）
测量、分配中的等分 计数的需要 （循环小数） ————— 自然数 ————————分数 解方程3 x=5 表示相反意义的量 （整数集和有理数集到此才完整形成） ———————负数 解方程x+3=1 为什么方程没实 循环小数 _ __________ 度量 数解? 小数集 ————— 无理数 （实数集形成 ） 2 不循环小数 解方程x =2 __________ _
2016-2017学年人教A版数学选修2-2课件 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2复数代数
第一页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3.2 复数代数形式的四则运算 3．2.2 复数代数形式的乘除运算
第二页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[学习目标] 1.理解复数代数形式的乘、除运算法则 (重点)． 2.会进行复数代数形式的乘、除运算(重点、难 点)．
第三页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
归纳升华 (1)由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复 数时，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成 代数形式，再写出其共轭复数； (2)涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性 质：如 z＋z- 等于 z 的实部的两倍，z·z- ＝|z|2 等，另外注 意复数问题实数化及方程思想的应用．
第八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
解析：(1)错，两个复数互为共轭复数是它们的模相 等的充分条件．
(2)错，如 z1＝1，z2＝i，满足 z21＋z22＝0，但 z1≠z2≠0. (3)对，如 z1＝1＋i，z2＝1－i，z1z2＝2 为实数． 答案：(1)× (2)× (3)√
第九页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
第五页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称 这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z- 表示．即 z＝a ＋bi，则z- ＝a－bi． 4．复数的除法法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)， 则zz21＝ac＋＋dbii＝_ac_c2_＋＋__bd_d2_＋__bc_c2_－＋__ad_d2_i ．
高中数学选修2-2课件3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课件
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
相等的充要条件是 a c 且 b d .
复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受
的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是 1545 年开始讨 论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但 是又过了 140 年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中”，并用 i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830 年，高 斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数 a bi ，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
并且其中只有 0.2i 是纯虚数.
显 然,实 数 集R是 复 数 集 C的 真 子 集,即R C. 这 样,复 数z a bi 可 以
虚数集 复数集 纯虚数集 实数集
分 类 如 下:
图3.1 1
复 数z
实数b 0,
虚数b 0,当a 0时为纯虚数.
复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间的关系, 可 用 图3.1 1表 示.
对于复数a bi,当且仅当b 0时,它是实数; 当且仅当a b 0时,它是实数0;
当b 0时,叫做虚数; 当a 0,且b 0时,叫做纯虚数.
例如,3 2i, 1 3i, 3 1 i,0.2i都是虚数,
2
2
它们的实部分别是3, 1, 3,0,
2016-2017学年高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1
第十五页，编辑于星期五：十七点 二十五分。
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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4．如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，求实数x，y的值．
解析： 由复数相等的充要条件得
x＋y＝3x＋2y， x＋3＝y，
(2)已知关于 x，y 的方程组x＋32＋2y＋1i＝y＋4xi， 2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i
有实数解，求实数 a，b 的值．
[思路点拨] 确定实部与虚部，列方程组求解．
第三十页，编辑于星期五：十七点 二十五分。
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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x＋3≠0 x2－2x－15＝0
，解得 x＝5.
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(2)要使 z 为虚数，必须且只需
x＋3≠0 x2－2x－15≠0
，
解得 x≠－3 且 x≠5.
(3)要使 z 为纯虚数，必须且只需
[提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和12. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示2] 没有解．
第五页，编辑于星期五：十七点 二十五分。
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[问题3] 若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0 有解吗？
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。