第7章部分习题解答

习题1． 设无向图G =（V ，E ），V ={v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={（v 1，v 2），（v 2，v 2），（v 2，v 4），（v 4，v 5），（v 3，v 4），（v 1，v 3），（v 3，v 1）}。

a) 画出G 的图形；b) 求出G 中各结点的度及奇数度结点的个数。

解答：a)b) d (v 1)=3，d (v 2)=4，d (v 3)=3，d (v 4)=3，d (v 5)=12． 下列序列中，哪些是可构成无向简单图的结点度数序列？1） （1，1，2，2，3） 2） （1，1，2，2，2） 3） （0，1，3，3，3） 4） （1，3，4，4，5） 5） （0，1，1，2，3，3）解答：1) N 2) Y 3) N 4) N 5) Y3． 设无向图G 有16条边，3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：G 中至少有几个结点。

解答：11个4． 证明：若有n 个人，每个人恰恰有三个朋友，则n 必为偶数。

证明：n 个人对应n 个结点，每个人恰恰有三个朋友，即为每个结点有3度，根据握手定理的推论，n 必为偶数。

5． 设图G 有n 个结点，n +1条边，证明：G 中至少有一个结点度数≥3 。

证明：用反证法. 若 G 的最大度∆ (G ) ≤ 2, 则按握手定理 2m ≤ 2n , 其中 m 是边数. 从而 m ≤ n , 而这与题设矛盾.6． 证明：无向简单图G =(V ,E ),e =|E |,v =|V |则有e ≤v (v -1)/2.证明：无向简单图是完全图时边数最多，完全图的边数为v (v -1)/2，所以无向简单图有e ≤v (v -1)/2.7． 设图G =(V ,E ), e =|E |,v =|V |,d (v )min 为G 中结点的最小度数, d (v )max 为G 中结点的最大度数.证明: d (v )min ≤ 2e /v ≤ d (v )max . 证明：根据握手定理：将式（1）代入式（2），整理得：d (v )min ≤ 2e /v ≤ d (v )max .8． 有n 个抽屉，若每两个抽屉里有一种相同的物品，每种物品恰好放在两个抽屉中，问共有多少种物品？解：每个抽屉用一个结点表示；每两个抽屉放相同的物品，在每两个抽屉对应的结点间连接一条边，则构成一个n 个结点的完全图，每条边是一个物品。

n 个结点的完全图有1()2 (1)vii d v e ==∑min max 1()() () (2)vi i vd v d v vd v =≤≤∑n(n-1)/2条边，所以共有n(n-1)/2种物品。

9． 证明：简单图的最大度小于结点数。

10． 下列各图有多少个结点和多少条边？1）K n 2）C n 3）W n 4）K m ，n 5）Q n 解：1）n 个结点，n(n-1)/2条边 2）n 个结点，n 条边 3) n+1个结点，2n 条边 4) m+n 个结点，mn 条边 5）2n 个结点，n*2n-1条边 11． 当n 为何值时，下列各图是正则图？1）K n 2）C n 3）W n 4）Q n 解：(1)对所有n ≥1(2)对所有n>=3 (3)3(4) 对所有n ≥012． 证明：3正则图必有偶数个结点。

13． 试证明下图中两个图不同构。

(a) (b ) 14． 证明：下图中的图是同构的。

15． 证明：下面两图是同构的。

16． 证明：简单图的同构关系是等价关系。

提示：简单图的同构关系是自反、对称和传递的。

17． 连通图G 有n 个结点，e 条边，则e ≥ n -1。

18． 给定图G ，如下图所示，求出G 中从v 1到v 6的所有基本通路。

abcde fgh(1)(2)(1)(2)bdr19． 给定图G ，如下图所示，找到G 中从v 2出发的所有基本回路。

20． 设G 为无向连通图，有n 个结点，那么G 中至少有几条边？为什么？对有向图如何？解答：n-1, n-1 21． 设V '和E '分别为无向连通图G 的点割集和边割集，G -E '的连通分支数一定是多少？G -V '的连通分支数也是定数吗?解答：G -E '的连通分支数一定是2，G -V '的连通分支数不是一个确定的数。

22． 一个有向图是强连通的，当且仅当G 中有一个回路，它至少包含每个结点一次。

23． 若有简单图至多有2n 个结点，每个结点度数至少为n ，G 是连通图。

又若简单图G 至多有2n 个结点，每个结点度数至少为n -1，那么G 是连通图吗？为什么？证明：假设G 是不连通的，有两个连通分支，若简单图至多有2n 个结点，则至少有一个连通分支的结点数≤n ，这个连通分支的结点最大度数≤n-1，和每个结点度数至少为n 矛盾，所以G 是连通图。

若简单图G 至多有2n 个结点，每个结点度数至少为n -1，那么G 不一定是连通图。

因为由2个n 个结点的完全图组成的图有2n 个结点，每个结点度数为n -1，是不连通的图。

24． 简单图G 有n 个结点，e 条边，设e >0.5(n -1)(n -2),证明：G 是连通的。

证明： 用反证法。

假若简单无向图G 不是连通图，那么G 必可成K （≥2）个连通分支G 1，G 2，…，G k ，每个连通分支G i （1≤i ≤k ）都是一个简单无向图，因此它们的结点数分别为n 1，n 2，m 2，…n k ，边数分别为e 1，e 2，…，e k ，显然有n=n 1+n 2+…n k ，e=e 1+e 2+…e k ，且n i ≤n-1（1≤i ≤k ）于是有e=e 1+e 2+…e k2)1n )(1n (2)1n )(1n (2)1n )(1n (2)1n (n 2)1n (n 2)1n (n k 21kk 2211--++--+--≤-++-+-≤=(n-1)·21·((n 1-1)+(n 2-1)+…+(n k -1))=21(n-1)((n 1+n 2+…+n k )-k) = 21(n-1)(n-k) v 1v 2v 3v 4v 5v 6v v v v 5≤21(n-1)(n-2) (k≥2) 这与已知e ＞0.5（n-1）(n-2)矛盾。

因此假设错误，G 是连通图。

25． 设图 G =<V ,E >,V ={v 1,v 2,v 3,v 4}的邻接矩阵则 v 1的入度是多少？ v 4的出度是多少？ 从v 1到v 4长度为2的通路有几条？26． 有向图G 如图所示，求G 中长度为4的路径总数，并指出其中有多少条是回路。

v 3到v 4的简单通路有几条。

26题图 27题图 27． 给定图G ，求： a )给出G 的邻接矩阵 ，b ) 求各结点的出、入度 ，c ) 求从结点c 出发长度为3的所有回路 28． 给定G 如图所示， a )写出邻接矩阵 b )G 中长度为4的路有几条？ c )G 中有几条回路？28题图 30题图 29． 试用矩阵法判断有向图G =({a ,b ,c ,d },{<a ,b >,<a ,d >,<c ,b >,<c ,d >})的连通性。

解答：1）图G 的邻接矩阵：01011011()11001000A G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦01010000()01010000A G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦200000000()00000000A G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦342()()()A G A G A G ==23401010000()()()()()0101000B G A G A G A G A G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为B （G ）中存在0元素，所以图G 不是强连通图。

2）图G 的可达矩阵为：因为可达矩阵关于主对角线对称位置的元素都为0，所以图G 不是单向连通。

3）若将图G 视为无向图，则邻接矩阵为B 无(G)的元素全为1，所以图G 是弱连通。

30． 求出所示图G 的邻接矩阵、可达矩阵，找出从v 2到v 3长度为3的通路，并计算出A 2,A 3进行验证。

31． 设图G 中的边满足W (G -e )>W (G ),称e 为G 的割边（桥）。

证明：e 是割边，当且仅当e不包含在G 的任一回路中。

证明： 1） e 为割边 =〉e 不包含于G 的任一回路中（反证法）假设e 包含在某一回路Ci 中，那么删除此边，但边关联的两个邻接点依然连通，所以没有破坏原图的连通性。

因此e 不是割边，矛盾。

所以假设不成立， e 不包含于G 的任一回路中；2）e 不包含于G 的任一回路中 =〉e 为割边假设e 不是割边，那么删除此边，生成子图依然连通。

e 关联的两个邻接点有基本通路存在，此基本通路连同e 构成一个回路,与题设矛盾。

所以假设不成立， e 为割边。

根据1），2)可知，题设结论成立.01011010()01011010A G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦无211111111()11111111A G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦无342()()()A G A G A G ==无无无11111111()11111111B G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦无11010100()01110001P G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。