2018年北京市丰台区中考一模数学试卷及答案
2023-2024学年北京市丰台区高一(上)期末数学模拟试卷+答案解析
2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期末数学模拟试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.计算：()A. B. C. D.3.若，则a，b，c的大小关系为()A. B. C. D.4.已知，则“”是“”的()A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则()A. B.2 C. D.46.设，则函数的零点所在区间是()A. B. C. D.7.已知，，，则的最小值为()A.4B.6C.8D.98.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知的质量随时间年的指数衰减规律是：其中为的初始质量则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为参考数据：，()A.300年B.255年C.175年D.125年9.已知角终边上一点的坐标为，则()A. B. C. D.10.已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.命题“对任意，都有”的否定为______.12.函数的定义域为______.13.已知幂函数的图像经过点，则______.14.已知函数，且该函数图像的对称轴与对称中心的最小距离为，则可得______；若当时，的最大值为，则该函数的解析式为______.15.已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确序号有______.①为奇函数；②函数的图象关于点对称；③在上单调递增；④若函数在上没有零点，则三、解答题：本题共6小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题12分设集合，；当时，求，若，求a的取值范围.17.本小题12分已知不等式的解集为求实数a，b的值；若，，且，求的最小值.18.本小题12分如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且，记，若，求点A的坐标；若点A的坐标为，求的值.19.本小题12分已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，求出当时，的解析式；如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间；结合函数图象，求当时，函数的值域.20.本小题12分已知函数求函数的单调递增区间和最小正周期.若当时，关于x的不等式_____，求实数m的取值范围.请选择①和②中的一个条件，补全问题，并求解.其中，①有解；②恒成立.注：若选择两个条件解答，则按照第一个解答计分.21.本小题12分已知函数的定义域为，且对任意的正实数x，y都有，且当时，，，求证：；求；解不等式答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查并集运算，属于基础题．根据集合并集的运算即可判断．【解答】解：，，故选2.【答案】A【解析】解：故选：利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可．本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．3.【答案】A【解析】解：，且，，，所以故选：由对数函数和指数函数的性质可得．本题考查指数、对数的大小比较，涉及对数函数和指数函数的性质，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：当时，不一定成立，当时，一定成立，故“”是“”的必要不充分条件．故选：由已知结合不等式范围检验充分及必要性即可判断．本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则故选：根据题意，由函数的解析式求出的值，结合奇偶性可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．由函数的解析式判断函数的单调性，再求解，的值，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．【解答】解：由于函数，是连续函数，，求导，当时，，为单调递减，而，即在不存在零点.当时，，为单调递增，且，，，由零点判定定理可知：函数的零点所在的区间是，故选：7.【答案】C【解析】解：，，，可得，，当且仅当，即，时取等号，的最小值为故选：利用基本均值不等式及“1”的活用，可得代数式的最小值．本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：经过的时间为t年，根据题意，所以，所以故选：根据题意列出等式，结合对数的运算法则求解即可．本题考查对数运算的应用，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由三角函数的定义得，，又由诱导公式得，故选：根据三角函数的定义求出，再由诱导公式进行化简求值即可．本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：设，则，所以，令，则，所以函数在上为增函数，对任意的，，所以函数为R上的偶函数，且，由可得，即，即，所以，，即，解得故选：利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．11.【答案】，【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，故答案为：，根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．12.【答案】【解析】解：要使有意义，则：，解得，的定义域为：故答案为：可看出，要使得有意义，需满足，然后解出x的范围即可．本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．13.【答案】【解析】解：设幂函数，根据它的的图像经过点，可得，，则故答案为：由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，从而得出结论．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为函数图像的对称轴与对称中心的最小距离为，所以，即，所以由得，所以时，取得最大值，所以，解得，所以故答案为：3，根据对称性可得周期，然后可的，再由正弦函数的最值列方程可得本题考查由的部分图象确定其解析式，求得，m的值是关键，考查运算求解能力，属于中档题．15.【答案】②④【解析】解：由图可知，，所以，因为，所以，，即，，又，所以，所以，对于①，，显然是偶函数，故①错误；对于②，，所以函数的图象关于点对称，故②正确；对于③，当时，，函数取得最大值，所以在上不是单调增函数，故③错误；对于④，因为，所以，，当时，，因为在上没有零点，所以，解得，故④正确．故答案为：②④．根据函数图象求得的解析式，①先化简可得的解析式，再根据余弦函数的奇偶性作出判断；②计算的值是否为0，即可作出判断；③考虑时的函数值特点，即可作出判断；④先得到的解析式，再结合正弦函数的性质求解即可．本题考查三角函数的图象与性质，理解中A，，的几何意义，三角函数的单调性、奇偶性和对称性等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】解：当时，，；因为，当时，，解得，当时，，解得，综上，a的取值范围是【解析】利用交集和并集的概念进行求解；分和两种情况，得到不等式，求出答案．本题主要考查集合的运算，属于基础题．17.【答案】解：因为的解集为，所以和为方程的两个实根，二次项系数a不为0，根据韦达定理，则有，解得当，时，的解集为，符合题意．综上，，由可知，，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为【解析】由解集可得一元二次方程的两个实根，由韦达定理可求得实数a，b的值；根据均值不等式进行求解即可．本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．18.【答案】解：若，则，，所以点，若点A的坐标为，因为，点A在第一象限，所以，即，则，因为，所以，所以，所以【解析】Ⅰ若，直接利用三角函数的定义求点A的坐标；Ⅱ若点A的坐标为，则，，即可求的值．本题考查任意角的三角函数的定义、诱导公式的应用，比较基础．19.【答案】解：依题意，设，则，于是，因为为R上的奇函数，因此，所以当时，的解析式由已知及得函数的图象如下：观察图象，得函数的单调递减区间为：当时，由，知，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，有最小值，当时，有最大值，而当时，有，所以，当时，函数的值域为【解析】由奇函数的定义求出解析式作答．由奇函数的图象特征，补全函数的图象，并求出单调增区间作答．利用图象，借助单调性求出最值作答．本题考查函数奇偶性的性质与判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：因为，所以函数的最小正周期因为函数的单调递增区间为，所以，解得，所以函数的单调递增区间为若选择①：由题意可知，不等式有解，即因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以，即；若选择②：由题意可知，不等式恒成立，即因为，所以故当，即时，取得最小值，且最小值为，所以，即【解析】根据三角函数的性质即可求解；若选择①，则不等式有解，即，求在上的最大值，即可求解；若选择②，则不等式恒成立，即，求在上的最小值，即可求解．本题考查三角函数的单调性与周期性的应用，属于中档题．21.【答案】解：证明：令，，则，，故设，且，于是，为上的增函数．又，原不等式的解集为【解析】根据对任意的正实数x，y都有，令，，即可求出的值；令，，代入求得，而，即可求得的值；根据当时，，判断函数的单调性，把化为，根据单调性，去掉对应法则f，解不等式．此题是个中档题题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．。
北京市丰台区2018-2019学年八年级上期末数学试卷及答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如果二次根式2x -有意义，那么x 的取值范围是A. 2x ≠B. 0x ≥C. 2x >D. 2x ≥ 2. 剪纸是中华传统文化中的一块瑰宝，下列剪纸图案中不是．．轴对称图形的是3. 9的平方根是A ．3B ．±3C ．3±D ．81 4. 下列事件中，属于不确定事件的是 A ．晴天的早晨，太阳从东方升起 B ．一般情况下，水烧到50°C 沸腾C ．用长度分别是2cm ，3cm ，6cm 的细木条首尾相连组成一个三角形D ．科学实验中，前100次实验都失败，第101次实验会成功 5. 如果将分式2xx y+中的字母x 与y 的值分别扩大为原来的10倍，那么这个分式的值 A ．不改变 B ．扩大为原来的20倍 C ．扩大为原来的10倍 D ．缩小为原来的1106. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于A ．120°B ．105°C ．60°D ．45°160°45°7. 计算32a b（-）的结果是 A. 332a b - B. 336a b - C. 338a b- D. 338a b8. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°, CD ⊥AB 于点D ，如果∠DCB =30°，CB =2，那么AB 的长为A. 23B. 25C. 3D. 4 9．下列计算正确的是 A.325+= B. 1233-= C.326⨯= D.842= 10. 如图，将ABC △放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC △中BC 边上的高是 A.102B. 104C.105D. 5二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如果分式14x x --的值为0，那么x 的值是_________. 12. 计算：2(3)-＝_________. 13. 在-1，0，2，π，13这五个数中任取一个数，取到无理数的可能性是_________. 14. 如图，ABC △中，90C ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，如果CD =6cm ，那么点D 到AB 的距离为_________cm. 15. 如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，BD 是AC 边上的中线，延长BC 至点E ，使CE =CD ，联结DE ，则DE 的长是 .ABCD D CBAACBEABCD16. 下面是一个按某种规律排列的数表：第1行 1第2行232第3行567223第4行1011231314154……那么第5行中的第2个数是，第n（1n>，且n是整数）行的第2个数是 .（用含n的代数式表示）三、解答题（本题共20分，每题5分）17. 计算：381232-+-．18. 计算：2121.224a a aa a--+÷--19. 解方程：11322x x x-+=--.20. 已知：如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上， AB ∥DE ，AB =DE ，BE=CF . 求证：AC =DF .四、解答题（本题共11分，第21题5分，第22题6分） 21. 已知30x y -=，求22(+)+2x yx y x xy y -+的值．22. 列方程解应用题：学校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机.已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要22.4万元，购买B 型计算机需要24万元.那么一台A 型计算机的售价和一台B 型计算机的售价分别是多少元?E A C DB F五、解答题（本题共21分，每小题7分）23. 已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO ＝AB .（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ； （2）在（1）的条件下， AC 与BD 的位置关系是 ；（3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果∠ABD =2∠ADB ，求∠AOC 的度数.24. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：32=112+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像11x x +-，22x x -，…这样的分式是假分式；像42x - ，221x x +，…这样的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 例如：112122111111x x x x x x x x +-==+=+-----（-）+；22442(2)4422222x x x )x x x x x x -++-+===++----（. （1）将分式12x x -+化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式2211x x --的值为整数，求x 的整数值.BAOl25. 请阅读下列材料：问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点D，联结CD.求证：BD+ AD =2CD.小明的思考过程如下：要证BD+ AD =2CD，需要将BD，AD转化到同一条直线上，可以在MN上截取AE=BD，并联结EC，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且∠ACE=∠BCD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE =2CD，于是结论得证.小聪的思考过程如下：要证BD+ AD =2CD，需要构造以CD为腰的等腰直角三角形，可以过点C作CE⊥CD交MN于点E，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且AE=BD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE =2CD，于是结论得证.请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题：(1) 将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时，其它条件不变，猜想BD，AD，CD之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；(2) 在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD =2时，CD=__________．MDNBCA图2BCNMDA图3AC BNDM E图1丰台区2019－2019学年度第一学期期末练习初二数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCBDABCDBA二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 11 12 1314 1516答案13256332()212n -+三、解答题（本题共20分，每小题5分） 17．解：原式＝22323-+- …… 3分 ＝433-． …… 5分 18．解：原式＝21(1)22(2)a a a a --÷-- …… 2分＝212(2)2(1)a a a a --⨯-- ……3分＝21a -． ……5分19．解：11322x x x -+=-- ……1分13(2)1x x +-=- ……2分1361x x +-=- ……3分24x =2x =． ……4分经检验，2x = 是原方程的增根，所以，原方程无解. ……5分 20．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ． ……1分∵BE = CF ，∴BE +EC = CF +EC ，即BC = EF ． ……2分在△ABC 和△DEF 中,,AB DE B DEC BC EF ===⎧⎪⎨⎪⎩∠∠ ……3分 ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）． ……4分 ∴AC = DF ．（全等三角形对应边相等）…5分 四、解答题（本题共11分，第21题5分，第22题6分）21．解：原式＝()()2x yx y x y -⋅++ ……1分＝x yx y-+． ……2分 ∵30x y -=，∴=3x y ． ……3分∴原式＝33y yy y-+． ……4分＝12． ……5分22．解：设一台A 型计算机的售价是x 元，则一台B 型计算机的售价是（x +400）元．根据题意列方程，得 ……1分224000240000400x x =+ ……3分 解这个方程，得5600x = ……4分经检验，5600x =是所列方程的解，并且符合实际问题的意义． ……5分当5600x =时，+4006000x =．答：一台A 型计算机的售价是5600元，一台B 型计算机的售价是6000元． ……6分五、解答题（本题共21分，每小题7分） 23．（1）如图1．……1分 （2）平行． ……2分 （3）解：如图2，由（1）可知，△AOB 与△COD 关于直线l 对称， ∴△AOB ≌△COD ．……3分∴AO =CO ，AB = CD ，OB = OD ，∠ABO ＝∠CDO ． 图1 图2 ∴∠OBD ＝∠ODB ． ……4分∴∠ABO+∠OBD ＝∠CDO+∠ODB ，即∠ABD ＝∠CDB ．∵∠ABD =2∠ADB ，∴∠CDB =2∠ADB ．∴∠CDA =∠ADB ．……5分由（2）可知，AC ∥BD ，∴∠CAD ＝∠ADB ．∴∠CAD =∠CDA ，∴CA = CD ．……6分 ∵AO = AB ，∴AO = OC = AC ，即△AOC 为等边三角形． ∴∠AOC = 60°． ……7分 24．解：（1）12x x -+()232x x +-=+ ……1分2232x x x +=+-+ ……2分312x+=-. ……3分（2）2211x x --22211x x -+=- ()()21111x x x +-+=-()1211x x =++-. ……5分 ∵分式的值为整数，且x 为整数， ∴11x -=±，∴x =2或0．……7分25．解：（1）如图2，BD －AD =2CD . ……1分ABCDOllO DCB A如图3，AD －BD =2CD . ……2分证明图2：（ 法一）在直线MN 上截取AE =BD ，联结CE ．设AC 与BD 相交于点F ，∵BD ⊥MN ，∴∠ADB =90°，∴∠CAE+∠AFD =90°．∵∠ACB =90°，∴∠1+∠BFC =90°． ∵∠AFD =∠BFC ，∴∠CAE =∠1．∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）． ……3分 ∴CE =CD ，∠ACE =∠BCD ．∴∠ACE －∠ACD =∠BCD －∠ACD ，即∠2=∠ACB =90°．在Rt △CDE 中，∵222CD CE DE +=，∴222CD DE = ，即DE =2CD ．……4分 ∵DE = AE －AD = BD －AD ，∴BD －AD =2CD ． ……5分 （ 法二）过点C 作CE ⊥CD 交MN 于点E ，则∠2=90°． ∵∠ACB =90°，∴∠2+∠ACD =∠ACB+∠ACD ， 即∠ACE =∠BCD ．设AC 与BD 相交于点F ，∵DB ⊥MN ，∴∠ADB =90°． ∴∠CAE+∠AFD =90°，∠1+∠BFC =90°． ∵∠AFD =∠BFC ，∴∠CAE =∠1．∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （ASA ）． ……3分 ∴CE =CD ，AE =BD ．在Rt △CDE 中，∵222CD CE DE +=，∴222CD DE = ，即DE =2CD ．……4分 ∵DE = AE －AD = BD －AD ，∴BD －AD =2CD ． ……5分 证明图3：（ 法一）在直线MN 上截取AE =BD ，联结CE ． 设AD 与BC 相交于点F ，∵∠ACB =90°，∴∠2+∠AFC =90°． ∵BD ⊥MN ，∴∠ADB =90°，∠3+∠BFD =90°． ∵∠AFC =∠BFD ，∴∠2=∠3．∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）． ……3分 ∴CE =CD ，∠1=∠4．∴∠1+∠BCE =∠4+∠BCE ，即∠ECD =∠ACB =90°．在Rt △CDE 中，∵222CD CE DE +=，∴222CD DE = ，即DE =2CD ．……4分F12图2A C BND ME FE M DNBC A 图221E BCN M DA 图3123F 4数学试卷∵DE = AD －AE = AD －BD ，∴AD －BD =2CD ． ……5分 （ 法二）过点C 作CE ⊥CD 交MN 于点E ，则∠DCE =90°．∵∠ACB =90°，∴∠ACB －∠ECB = ∠DCE －∠ECB ，即∠1=∠4． 设AD 与BC 相交于点F ，∵DB ⊥MN ，∴∠ADB =90°． ∴∠2+∠AFC =90°，∠3+∠BFD =90°．∵∠AFC =∠BFD ，∴∠2=∠3．∵AC =BC ，∴△ACE ≌△BCD （ASA ）．……3分 ∴CE =CD ，AE =BD ．在Rt △CDE 中，∵222CD CE DE +=，∴222CD DE = ，即DE =2CD ．……4分∵DE = AD －AE = AD －BD ，∴AD －BD =2CD ．……5分 （2）31± ．……7分 4F 321 图3A D M N C B E。
【中考数学】2023-2024学年北京市丰台区质量检测仿真模拟卷(2套)(含解析)
2023-2024学年北京市丰台区中考数学专项提升仿真模拟卷（4月）一、选一选（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若（）1()12⨯-=，则（）内的数为（）A.2B.2- C.12D.12-2.将数字21600用科学记数法表示应为（）A.0.216×105B.21.6×103C.2.16×103D.2.16×1043.下列图形中，是轴对称图形，但没有是对称图形的是（）A.B. C.D.4.下列计算正确的是（）A.8= B.22(3)9x x +=+ C.326()ab ab = D.0( 3.14)1π-=5.如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分没有能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是A.甲B.乙C .丙D.丁6.如图，在数轴上表示数的点可能是（）A.点EB.点FC.点PD.点Q7.一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差8.计算：1252-50×125+252=()A.100B.150C.10000D.225009.我国是最先认识负数，并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算()34+-的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是（）A.()()52-+- B.()52-+ C.()52+- D.52+10.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为()A.15B.28C.29D.3411.已知二元方程组54200458m n m n +=⎧⎨-=⎩①②，如果用加减法消去n ，则下列方法可行的是（）A.①×4+②×5B.①×5+②×4C.①×5﹣②×4D.①×4﹣②×512.如图，长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升3cm 至D 点，则橡皮筋被拉长了()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm13.九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是()A.1010123x x=- B.1010202x x=-C.1010123x x=+ D.1010202x x=+14.反比例函数y=mx的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.常数m＜1B.y随x的增大而增大C.若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜kD.若P（﹣x，y）在图象上，则P′（x，﹣y）也在图象上15.已知，如图，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中∠E=60°，将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论：甲：线段AF与线段CD的长度总相等；乙：直线AF和直线CD所夹的锐角的度数没有变；那么，你认为（）A.甲、乙都对B.乙对甲没有对C.甲对乙没有对D.甲、乙都没有对16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为斜边AB 的中点，动点P 从B 点出发，沿B →C →A 运动．如图（1）所示，设S △DPB ＝y ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图（2）所示，则图（2）中Q 点的坐标是（）A.（4，4）B.（4，3）C.（4，6）D.（4，12）二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17-18小题各3分，19小题4分，每空2分．把答案写在题中横线上）17.已知|a-1|=2，则a=_______________________．18.如图，已知△ABC ，按以下步骤作图：①分别以B ，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD =AC ，∠A =50°，则∠ACB 的度数为（）A.90°B.95°C.105°D.110°19.如图，在数轴上，点A 表示数1,现将点A 沿数轴做如下移动：次将点A 向左移动3个单位长度到达点1A ，第2次将点1A 向右平移6个单位长度到达点2A ，第3次将点2A 向左移动9个单位长度到达点3A …，按照这种规律移动下去，则第2017次移动到点2017A 时，2017A 在数轴上对应的实数是_______.三、解答题（本大题共7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题．计算：23311x x x -+--问：小明在第步开始出错，小红在第步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确解答过程．21.如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD 度数；（2）当AC=5时，求AD 的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果到0.1）22.垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．（1）写出运动员甲测试成绩的众数为_________；运动员乙测试成绩的中位数为_________；运动员丙测试成绩的平均数为_________；2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=0.8，请综合分析，在他们三人中（2）经计算三人成绩的方差分别为S甲选择一位垫球成绩且较为稳定的接球能手作为人，你认为选谁更合适？为什么？（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）23.某校准备组织师生共60人，从甲地乘动车前往乙地参加夏令营，动车票价格如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）．若师生均购买二等座票，则共需1020元．（1）参加的教师和学生各有多少人？（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y元．①求y关于x的函数关系式；②若购买一、二等座票全部费用没有多于1030元，则提早前往的教师至多只能多少人？24.如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转，得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD′≌△CAE．25.如图，抛物线l：y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），其顶点E在正方形ABCD内或边上，已知点A（1，2），B（1，1），C（2，1）．（1）直接写出点D的坐标；（2）若l点B，C，求l的解析式；（3）设l与x轴交于点M，N，当l的顶点E与点D重合时，求线段MN的值；当顶点E在正方形ABCD内或边上时，直接写出线段MN的取值范围；（4）若l正方形ABCD的两个顶点，直接写出所有符合条件的c的值．26.平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B＝90°，AC＝2CE＝m，BC＝n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE，则∠CDE＝°，CD＝；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；（3）若m＝10，n＝8，当α＝∠ACB时，求线段BD的长；（4）若m＝6，n＝，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．2023-2024学年北京市丰台区中考数学专项提升仿真模拟卷（4月）一、选一选（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若（）1()12⨯-=，则（）内的数为（）A.2B.2-C.12D.1 2-【正确答案】B【详解】解：∵1(2)()12-⨯-=，∴（）内的数为－2．故选B．2.将数字21600用科学记数法表示应为（）A.0.216×105B.21.6×103C.2.16×103D.2.16×104【正确答案】D【详解】分析：由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．详解：将数字21600用科学记数法表示应为2.16×104，故选D．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列图形中，是轴对称图形，但没有是对称图形的是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，但没有是对称图形，故此选项符合题意；B ．是对称图形，没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；C ．既是对称图形，又是轴对称图形，故此选项没有合题意；D ．是对称图形，也是轴对称图形，故此选项没有合题意；故选：A ．本题考查的是对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，对称图形是要寻找对称，旋转180度后与自身重合．4.下列计算正确的是（）A.8= B.22(3)9x x +=+ C.326()ab ab = D.0( 3.14)1π-=【正确答案】D【详解】解：A 4=，故本选项错误；B ．（22(3)69x x x +=++，故本选项错误；C ．3226()ab a b =，故本选项错误；D ．∵π﹣3.14≠0，∴0( 3.14)1π-=，故本选项正确；故选D ．5.如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分没有能围成一个正方体，剪掉的这个小正方形是A.甲B.乙C.丙D.丁【正确答案】D【详解】解：剪去乙或丙时，可构成“一四一”型的正方体展开图；剪去甲时，可构成“一三二”型正方体展开图；剪去丁时，围没有成正方体．故选D．6.如图，在数轴上表示数的点可能是（）A.点EB.点FC.点PD.点Q【正确答案】B【详解】解：∵﹣32，∴由数轴可知点F所表示的数大于﹣3而小于﹣2．故选B．点睛：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，主要根据数在数轴上的位置判断数的大小，以及通过求无理数近似值从而比较数的大小进行判断．7.一组数据：1，3，3，5，若添加一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差【正确答案】D【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．【详解】原数据的1、3、3、5的平均数为13354+++=3，中位数为332+=3，众数为3，方差为14×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×2+（5﹣3）2]=2；新数据1、3、3、3、5的平均数为133355++++=3，中位数为3，众数为3，方差为15×[（1﹣3）2+（3﹣3）2×3+（5﹣3）2]=1.6；∴添加一个数据3，方差发生变化，故选D．本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键8.计算：1252-50×125+252=()A.100B.150C.10000D.22500【正确答案】C【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000．故选C．点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键．9.我国是最先认识负数，并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算()34+-的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是（）A.()()52-+- B.()52-+ C.()52+- D.52+【正确答案】C【分析】由图（1）可得白色表示正数，黑色表示负数，观察图（2）即可列式【详解】解：由图（1）可得白色表示正数，黑色表示负数，∴图（2）表示的过程应是在计算5+（-2）故选：C此题考查了有理数的加法，解题关键在于理解图（1）表示的计算10.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为()A.15B.28C.29D.34【正确答案】B【分析】先由题意求出圆心角∠AOB 的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.【详解】由题意得∠AOB=86°-30°=56°则∠ACB∠AOB=28°故选B.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．11.已知二元方程组54200458m nm n+=⎧⎨-=⎩①②，如果用加减法消去n，则下列方法可行的是（）A.①×4+②×5B.①×5+②×4C.①×5﹣②×4D.①×4﹣②×5【正确答案】B【分析】利用加减消元法消去n即可.【详解】解：已知二元方程组54200 458m nm n+=⎧⎨-=⎩①②，如果用加减法消去n，则下列方法可行的是①×5+②×4，故选：B.此题考查二元方程组的解法，解题的关键是掌握代入消元法或加减消元法，根据每个方程组的特点选择适合是解法.12.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了()A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【正确答案】A【分析】根据勾股定理可以得到AD和BD的长度，然后用AD+BD-AB的长度即为所求．【详解】根据题意可得BC=4cm，CD=3cm，根据Rt△BCD的勾股定理可得BD=5cm，则AD=BD=5cm，所以橡皮筋被拉长了（5+5）－8=2cm．故选：A．主要考查了勾股定理解直角三角形．13.九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是()A.1010123x x=- B.1010202x x=-C.1010123x x=+ D.1010202x x=+【正确答案】C【详解】试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，1010123x x=+．故选C．考点：由实际问题抽象出分式方程．14.反比例函数y=mx的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.常数m＜1B.y随x的增大而增大C.若A （﹣1，h ），B （2，k ）在图象上，则h ＜k D.若P （﹣x ，y ）在图象上，则P′（x ，﹣y ）也在图象上【正确答案】D【详解】解：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限，∴m ＜0，∴选项A 没有正确；∵在每一象限内y 随x 的增大而增大，∴选项B 没有正确；∵h =1m =﹣m ＞0，k =02m＜，∴h ＞k ，∴选项C 没有正确；∵反比例函数y =mx的图象成对称，∴若P （﹣x ，y ）在图象上，则P ′（x ，﹣y ）也在图象上，∴选项D 正确．故选D ．15.已知，如图，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中∠E =60°，将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论：甲：线段AF 与线段CD 的长度总相等；乙：直线AF 和直线CD 所夹的锐角的度数没有变；那么，你认为（）A.甲、乙都对B.乙对甲没有对C.甲对乙没有对D.甲、乙都没有对【正确答案】A【详解】解：连接DF 、AF 、CD ，如图，∵四边形BDEF 为菱形，∴BD =BF ，而DF =BD ，∴△BDF 为等边三角形，∴∠DBF =60°．∵△ABC 为等边三角形，∴BA =BC ，∠ABC =60°，∴∠ABF =∠CBD ，∴△ABF 绕点B 顺时针旋转60°可得到△CBD ，∴AF =CD ，∠FBA =∠DBC ，∴∠AFC =∠ABC =60°，即直线AF 和直线CD 所夹的锐角的度数为60°．故选A ．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转的距离相等；对应点与旋转所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形和等边三角形的性质．16.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为斜边AB 的中点，动点P 从B 点出发，沿B →C →A 运动．如图（1）所示，设S △DPB ＝y ，点P 运动的路程为x ，若y 与x 之间的函数图象如图（2）所示，则图（2）中Q 点的坐标是（）A.（4，4）B.（4，3）C.（4，6）D.（4，12）【正确答案】B【详解】解：根据题意和图象可得：BC =4，AC =7﹣4=3．∵∠ACB =90°，点D 为AB 的中点，∴当x =4时，2ACB DPB S S =，∴y =341322⨯⨯=，即点Q 的坐标是（4，3）．故选B ．点睛：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形的思想解答问题．二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17-18小题各3分，19小题4分，每空2分．把答案写在题中横线上）17.已知|a-1|=2，则a=_______________________．【正确答案】-1或3【分析】先根据题意求出a-1的值，从而没有难求得a 的值，注意值等于正数的数有两个．【详解】解：∵|a-1|=2，∴a-1=±2，∴a=3或a=-1，故-1或3．此题主要考查学生对值等于一个正数的数有两个的理解及运用能力．18.如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于1BC的长为半径2作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A.90°B.95°C.105°D.110°【正确答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题．【详解】∵CD=AC，∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°故选C本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键．19.如图，在数轴上，点A 表示数1,现将点A 沿数轴做如下移动：次将点A 向左移动3个单位长度到达点1A ，第2次将点1A 向右平移6个单位长度到达点2A ，第3次将点2A 向左移动9个单位长度到达点3A …，按照这种规律移动下去，则第2017次移动到点2017A 时，2017A 在数轴上对应的实数是_______.【正确答案】-3026【分析】根据点A 在数轴上移动的方向及距离计算出前几项的结果，得出n 为奇数时结果为3(1)12n --+；n 为偶数时的结果为312n+，把n=2017代入计算即可得答案.【详解】∵将点A 向左移动3个单位长度到达点1A ，A 表示数1，∴A 1表示的数是1-3=-2，∵将点1A 向右平移6个单位长度到达点2A ，∴A 2表示的数是-2+4=6，同理可得：A 3表示的数为-5，A 4表示的数是7，A 5表示的数是-8，A 6表示的数是10，……∴当n 为奇数时，A n =3(1)12n +-+，当n 为偶数时，A n =312n+∴A 2017=3(20171)12+-+=-3026.故答案为-3026本题考查数轴及数字类变化规律，根据所求出的数，得出n 为奇数和偶数时的结果变化规律是解题关键.三、解答题（本大题共7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题．计算：23311x x x -+--问：小明在第步开始出错，小红在第步开始出错（写出序号即可）；请你给出正确解答过程．【正确答案】（1）②，②；正确的解答见解析【详解】试题分析：根据分式的加减，可得答案．试题解析：（1）②，②，原式=()()()22313261111x x x x x x x +-+-=+---21.如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD 度数；（2）当AC=5时，求AD 的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果到0.1）【正确答案】(1)25°；（2）2.1.【详解】试题分析：（1）延长AC 交ON 于点E ，如图，利用互余计算出∠OCE=65°，再利用对顶角相等得到∠ACB=∠OCE=65°，再根据∠ACD=90°-∠ACB 即可解决问题；（2）接着在Rt △ABC 中利用∠ACB 的余弦可计算出BC ，然后根据矩形的性质即可得到AD的长.试题解析：（1）延长AC交ON于点E，如图，∵AC⊥ON，∴∠OEC=90°，在Rt△OEC中，∵∠O=25°，∴∠OCE=65°，∴∠ACB=∠OCE=65°，∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=BC，在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=BC AC，∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1，∴AD=BC=2.1．22.垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．（1）写出运动员甲测试成绩的众数为_________；运动员乙测试成绩的中位数为_________；运动员丙测试成绩的平均数为_________；（2）经计算三人成绩的方差分别为S 甲2=0.8、S 乙2=0.4、S 丙2=0.8，请综合分析，在他们三人中选择一位垫球成绩且较为稳定的接球能手作为人，你认为选谁更合适？为什么？（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答）【正确答案】（1）7分；7分；6.3分；（2）选乙运动员更合适；（3）14．【详解】试题分析：（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数，观察折线统计图可知乙运动员测试成绩的中位数， 6.3x =丙（分）；（2）易知7x =甲（分），7x =乙（分）， 6.3x =丙（分），根据题意没有难判断；（3）画出树状图，即可解决问题；试题解析：解：（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数是7分，观察折线统计图可知乙运动员测试成绩的中位数是7分，x 丙=254637182431⨯+⨯+⨯+⨯+++=6.3（分）；（2）∵7x =甲（分），7x =乙（分）， 6.3x =丙（分），∴x x =甲乙＞2x S 甲丙，＞2S 乙∴选乙运动员更合适．（3）树状图如图所示，第三轮结束时球回到甲手中的概率是2184P ==．23.某校准备组织师生共60人，从甲地乘动车前往乙地参加夏令营，动车票价格如表所示：（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）．若师生均购买二等座票，则共需1020元．（1）参加的教师和学生各有多少人？（2）由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，后续前往的教师和学生均购买二等座票．设提早前往的教师有x 人，购买一、二等座票全部费用为y 元．①求y 关于x 的函数关系式；②若购买一、二等座票全部费用没有多于1030元，则提早前往的教师至多只能多少人？【正确答案】（1）参加的教师有10人，学生有50人；（2）①y=4x+1020；②2．【详解】试题分析：（1）设参加的教师有a 人，学生有b 人，根据等量关系：师生共60人；若师生均购买二等座票，则共需1020元；列出方程组，求出方程组的解即可；（2）①根据购买一、二等座票全部费用=购买一等座票钱数+教师购买二等座票钱数+学生购买二等座票钱数，依此可得解析式；②根据没有等关系：购买一、二等座票全部费用没有多于1030元，列出方程求解即可．试题解析：解：（1）设参加的教师有a 人，学生有b 人，依题意有：6022161020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1050a b =⎧⎨=⎩．故参加的教师有10人，学生有50人；（2）①依题意有：y =26x +22（10﹣x ）+16×50=4x +1020．故y 关于x 的函数关系式是y =4x +1020（0＜x ＜10）；②依题意有4x+1020≤1030，解得：x≤2.5．故提早前往的教师至多只能2人．点睛：本题主要考查对函数，二元方程组，一元没有等式等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．24.如图①，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，点D在AB边上且∠ADC=45°．（1）求∠BCD的度数；（2）将图①中的△BCD绕点B顺时针旋转，得到△BC′D′．当点D′恰好落在BC边上时，如图②所示，连接C′C并延长交AB于点E．①求∠C′CB的度数；②求证：△C′BD′≌△CAE．【正确答案】（1）∠BCD=15°；（2）①∠CC'B=75°；②证明见解析．【详解】试题分析：（1）根据三角形外角性质，即可得到∠BCD=∠ADC﹣∠CBA=15°；（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠CC'B=∠C'CB=75°；②先根据AC=C'B，∠C'BD'=∠A，得出∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，进而得到∠ACE=∠CEB ﹣∠A=15°，据此可得∠BC'D'=∠BCD=∠ACE，运用ASA即可判定△C'BD'≌△CAE．试题解析：解：（1）∵AC=BC，∠A=30°，∴∠CBA=∠CAB=30°．∵∠ADC=45°，∴∠BCD=∠ADC ﹣∠CBA=15°=∠BC'D'；（2）①由旋转可得CB=C'B=AC，∠C'BD'=∠CBD=∠A=30°，∴∠CC'B=∠C'CB=75°；②证明：∵AC=C'B，∠C'BD'=∠A，∴∠CEB=∠C'CB﹣∠CBA=45°，∴∠ACE=∠CEB﹣∠A=15°，∴∠BC'D'=∠BCD=∠ACE．在△C'BD'和△CAE中，'''''BC D ACEAC C BC BD A∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△C'BD'≌△CAE（ASA）．点睛：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形判定与性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解题时注意：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．25.如图，抛物线l：y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数），其顶点E在正方形ABCD内或边上，已知点A（1，2），B（1，1），C（2，1）．（1）直接写出点D的坐标；（2）若l点B，C，求l的解析式；（3）设l与x轴交于点M，N，当l的顶点E与点D重合时，求线段MN的值；当顶点E在正方形ABCD内或边上时，直接写出线段MN的取值范围；（4）若l正方形ABCD的两个顶点，直接写出所有符合条件的c的值．【正确答案】（1）（2，2）（2）y＝﹣x2+3x﹣1（3）2≤MN2（4）﹣1或1或﹣2【分析】（1）根据正方形的性质得到D点的横坐标和C点的横坐标相同，其纵坐标和点A的纵坐标相同，由此得到点D的坐标；（2）利用待定系数法求解；（3）将顶点E的坐标为（2，2），代入抛物线解析式，求出点N，M的坐标，即可得到MN的长度，当点E与点B重合时求出M、N的坐标，即可得到MN取值范围；（4）若l正方形ABCD的两个顶点，则可能B、D；B、C；A、C，将每组点坐标代入解析式即【小问1详解】解：从图上看，D点的横坐标和C点的横坐标相同，其纵坐标和点A的纵坐标相同，故点D的坐标为（2，2）故（2，2）；【小问2详解】解：把B（1，1）、C（2，1）代入解析式可得11142b cb c=-++⎧⎨=-++⎩，解得31bc=⎧⎨=-⎩，∴l的解析式为：y＝﹣x2+3x﹣1；【小问3详解】解：∵顶点E的坐标为（2，2），∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，把y＝0代入得﹣（x﹣2）2+2＝0，解得x1＝2，x2＝，即N（，0），M（2，0），所以MN＝﹣（2）＝；当顶点E的坐标为（1，1），∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，把y＝0代入得﹣（x﹣1）2+1＝0，解得x1＝0，x2＝2，即M（0，0），N（2，0），所以MN＝2﹣0＝2，∴2≤MN，故2≤MN；【小问4详解】解：若l正方形ABCD的两个顶点，则可能B、D；B、C；A、C，由于顶点E在正方形ABCD内或边上，故没有可能A、D，当抛物线过点B、D时，将点B、D的坐标代入抛物线表达式得：11242b cb c=-++⎧⎨=-++⎩，解得32bc=⎧⎨=-⎩，当抛物线过点A 、C 时，同理可得c ＝1；当抛物线过点B 、C 时，同理可得c ＝﹣1，故﹣1或1或﹣2．此题考查了二次函数的综合知识及正方形的性质，待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点坐标，正确掌握二次函数的综合知识并应用是解题的关键．26.平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝°，CD ＝；（2）试判断：旋转过程中BDAE的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；（3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；（4）若m ＝6，n ＝，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．【正确答案】（1）90°，2n ；（2）无变化，证明见解析；（3）1255；（4）BD=或3．【分析】（1）根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CECB CA=即可解决问题．（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可．【详解】解：（1）①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB==12．∵BC =n ，∴CD =12n ．故答案为90°，12n ．（2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC nCE AC m ==，∴△ACE ∽△BCD ，∴BD BC nAE AC m==．（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，∴AE =3，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴BD BCAE AC ==810，∴BD =5．（4）∵m =6，n =CE =3，CD ，AB =2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD ．②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴3BM EC ME ===，∴AM =5，AE ，由（2）可知DB AE =3，∴BD =21143．∴BD 为或3．本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．2023-2024学年北京市丰台区中考数学专项提升仿真模拟卷（5月）一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.7-的值为（）A.7B.17C.17-D.7-2.据统计，2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿元．若将3875.5亿用科学记数法表示为3.875510n ⨯，则n 等于（）A.10B.11C.12D.133.如图所示的几何体的俯视图是()．A. B. C. D.4.方程()33111x x x =-++的根为() A.1-或3B.1- C.3D.1或3-5.在体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50，则这8人体育成绩的中位数和众数分别是（）A.47，46B.48，47C.48.5，49D.49，496.方程是关于x 的一元二次方程的是() A.211x x+= B.20ax bx c ++=C.()()121x x ++= D.23250x xy y --=7.如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，没有能拼成的四边形是()A.邻边没有等的矩形B.等腰梯形C.有一角是锐角的菱形D.正方形8.三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A.19 B.16 C.13 D.239.如图，在Rt ABC中， C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→CB→BA运动，最终回到A点．设点P的运动时间为x(s)，线段AP的长度为y(cm)，则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（）A. B. C. D.10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是（）A.3B.5C.11D.6二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
2017-2018学年北京市丰台区北京版五年级下册期末考试数学试卷(无答案和有答案版)
丰台区2017~2018学年度第二学期五年级数学期末试卷（共4页）1.直接写出下面各题的得数。
1÷6＝5÷4＝821111+=2134-=1145+=二、填空。
2.15分＝()()时600mL ＝（）L58dm 3＝（）cm 33.0.75＝()12＝()8。
4.在1~20各数中一共有（）个质数。
5.18和42的最大公因数是（）。
6.小红和小明玩摸球游，每次任意一个球，然后放回并搅匀，每人换20次，摸到白球小红得1分。
摸到黄球小明得1分，摸到其它颜色的球二人都不得分，你认为在右面的袋子里摸球公平吗？（）7.如图，在直线上面的括号里填上适当的假分数，在下面的括号里填上适当的带分数。
8.a35是一个真分数，并且能化成有限小数，那么a 最大是（）。
9.有两卷包装绳，第一卷长36米，第二卷长48米，现在需要把这两卷包装绳截成同样长度的小段，并且没有剩余，两卷编织绳最少可以截成同样长的（）段。
10.用棱长1cm 的正方体木块，在桌面上拼摆出下图的模型。
这个模型的体积是（）cm 3，在外面的面积是（）cm 2，有4个面露在外面的木块一共有（）个。
在此基础上继续拼摆成一个长方体模型，最少要添加（）个木块。
11.用8个完全相同的小正方体拼成一个大正方体，表面积减少了96cm2，一个小正方体的体积是（）立方厘米。
三、选择正确答案，将正确选项对应的字母填在括号里（每题只有一个正确答案）。
12.学校常用的保温桶装满了水可以装满60个同样的保温杯。
保温桶的容积大约是（）。
A.30毫升B.300毫升C.30升D.300升13.最小的合数是（）。
A.1B.2C.3D.414.一袋苹果，2个装一盘，3个装一盘或4个装一盘都正好分完，这个袋子里的苹果至少有（）个。
A.8B.9C.12D.2415.如果用2m（m为自然数）表示一个偶数，那么2m＋1一定是（）。
A.奇数B.偶数C.质数D.合数16.三位数“1口7”是325口”有因数2，这两个口里的相同数字是（）。
2024年北京市丰台区高考数学一模试卷及答案
2024北京丰台高三一模数 学2024.03本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}220A x x x =−≤，{}10B x x =−>，则A B =（ ）A.{}0x x ≥B.{}01x x <≤C.{}1x x >D.{}12x x <≤2.已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a −=，且20a =，则d =（ ） A.1−B.0C.1D.23.已知双曲线222:1x C y a −=（0a >）的离心率为2，则a =（ ）A.2C.2D.124.522x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ）A.80−B.40−C.40D.805.已知向量a ，b 满足()3,1b =，()b a λλ=∈R ，且1a b ⋅=，则λ=（ ）A.14 B.12C.2D.46.按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以A0，A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为 ②将Ai （i 0,1,,9=）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为()A i 1+规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为（ ） A.6B.7C.8D.97.在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l ax by +=上有且仅有一点P ，使1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为（ ）A.1C.2D.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()8k k παπ=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α−是奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个结论：；②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为12S =+④外接球的体积为V =. 其中所有正确结论的序号是（ ） A.①②B.①③C.②④D.③④10.已知数列{}n a 满足()()*1*2,,2121,,2nn n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=−∈⎪⎩N N 则（ ）A.当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B.当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C.当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a −<D.当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a −> 第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.12i34i+=−_________.12.在ABC △中，若5b =，4B π=，3cos 5A =，则a =_________. 13.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________. 14.已知函数()f x 具有下列性质：①当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++；②在区间()0,+∞上，()f x 单调递增；③()f x 是偶函数.则()0f =________；函数()f x 可能的一个解析式为()f x =_________.15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为()()()1212103ln999n nn a a a v a a a =+++， 其中()1,2,,np jj i i np j ij im m a i n m m m ==+==+−∑∑.注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j （1,2,,j n =）级火箭结构和燃料的总质量.给出下列三个结论： ①121n a a a <；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点. （Ⅰ）求证：1AC ∥平面1B CD ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1B B C D −−的余弦值. 条件①：1BC AC⊥； 条件②：1B D =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17.（本小题14分）已知函数()21cos sin2f x x x x ωωω=−+（0ω>）.（Ⅰ）若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，求ω的值.18.（本小题13分）某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B.试验结果如下表所示.260mm 的概率；（Ⅱ）从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望EX ；（Ⅲ）用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差1D ξ，2D ξ的大小关系.（结论不要求证明）19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的焦距为，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形的周长为16. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1S 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .是否存在定点D ，使得12DM PQ=？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题15分）已知函数()()e ln 1x f x x x =++−，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l y g x =，记()()()h x f x g x =−.（Ⅰ）当00x =时，求切线l 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥； （Ⅲ）当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数.（结论不要求证明）21.（本小题15分）已知集合{}*2n M x x n =∈N ≤（n ∈N ，4n ≥），若存在数阵1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足： ①{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M =；②()1,2,,k k a b k k n −==.则称集合n M 为“好集合”，并称数阵T 为n M 的一个“好数阵”. （Ⅰ）已知数阵6712x y z T w ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是4M 的一个“好数阵”，试写出x ，y ，z ，w 的值； （Ⅱ）若集合n M 为“好集合”，证明：集合n M 的“好数阵”必有偶数个； （Ⅲ）判断()5,6n M n =是否为“好集合”.若是，求出满足条件{}12,,,n n a a a ∈的所有“好数阵”；若不是，说明理由.参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023-2024学年北京市丰台区高一(上)期中数学试卷(A卷)【答案版】
2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x ＜3}，则（ ） A ．2∈AB ．3∈AC ．0∉AD ．∅∈A2．命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定为（ ） A ．“∀x ≤2，x 2≥4” B ．“∃x 0＜2，x 02＜4” C ．“∀x ≥2，x 2＜4”D ．“∃x 0≥2，x 02＜4”3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝﹣|x |B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y =−1x4．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＞b ，则a ﹣1＜b ﹣2 C ．若a c 2＞b c 2，则a ＞bD ．若a ＞b ，则a 2＞b 25．已知幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(2，√2)，则f （4）等于（ ） A ．2B ．﹣2C ．√2D ．46．设x ∈R ，则“2﹣x ≥0”是“|x +1|≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．若指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象相交，则（ ） A ．a ∈(0，12]B ．a ∈[12，1)C ．a ∈[12，1）∪（1，+∞）D ．a ∈（0，12]∪（1，+∞）9．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）A ．y ＝|x |√4−x 2B ．y ＝x √4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x10．设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为X A ＝M ﹣m ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知A 1，A 2，A 3，…，A n 是集合N *的元素个数均不相同的非空真子集，且X A 1+X A 2+X A 3+⋯+X A n =60，则n 的最大值为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数f(x)=√x +3+1x−1的定义域是 ． 12．求值：−4−12−(278)13−（π﹣3）0＝ ．13．当x ＞3时，则y =x +4x−3的最小值为 ，当y 取得最小值时x 的值为 ． 14．写出一个使得命题“∀x ∈R ，ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题的实数a 的值： ． 15．函数f （x ）的定义域为R ，且∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)，给出下列四个结论： ①f （0）＝1或﹣1； ②f （x ）一定不是偶函数；③若f （x ）＞0，且f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④若f （x ）有最大值，则f （x ）一定有最小值． 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m ﹣3}． （Ⅰ）若m ＝4，求∁R A ，A ∩B ，A ∪B ； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 17．（14分）已知函数f(x)={−x +1，x ≤02x ，x ＞0．（Ⅰ）求f(f(−12))的值；（Ⅱ）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）若f （x ）≤8，求x 的取值范围．18．（14分）已知函数f(x)=4x +1x．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）判断函数f （x ）在区间[12，+∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）已知函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，当x ∈[−14，t]时，g （x ）的值域为[5，+∞），求实数t 的取值范围．（只需写出答案）19．（15分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣（3a +1）x +3，a ∈R ．（Ⅰ）若f （x ）＞0的解集是{x |1＜x ＜k }，求函数f （x ）的零点； （Ⅱ）求不等式f （x ）＞0的解集．20．（14分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等共(52n 2+5n)万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为f （n ）万元．（Ⅰ）写出f （n ）关于n 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； （Ⅱ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理． 问选择哪种处理方案更合适？请说明理由．21．（15分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}．（1）设函数f（x）＝3x+4，求集合A和B；（2）求证：A⊆B；（3）设函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），且A＝∅，求证：B＝∅．2023-2024学年北京市丰台区高一（上）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1．已知集合A＝{x∈Z|x＜3}，则（）A．2∈A B．3∈A C．0∉A D．∅∈A解：集合A＝{x∈Z|x＜3}，则2∈A，3∉A，0∈A，∅⊆A．故选：A．2．命题“∀x≥2，x2≥4”的否定为（）A．“∀x≤2，x2≥4”B．“∃x0＜2，x02＜4”C．“∀x≥2，x2＜4”D．“∃x0≥2，x02＜4”解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，命题“∀x≥2，x2≥4”的否定为：“∃x0≥2，x02＜4”．故选：D．3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣|x|B．y＝x2C．y＝x3D．y=−1x解：函数y＝x3和函数y=−1x是奇函数，不符合题意，CD选项错误．函数y＝﹣|x|是偶函数，且在（0，+∞）上递减，不符合题意，A选项错误．函数y＝x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意，B选项正确．故选：B．4．下列说法正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣2C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则a2＞b2解：对于A，当c＝0时，则a＞b时，ac2＝bc2，A错误；对于B，若a＞b，则a﹣1＞b﹣1＞b﹣2，B错误；对于C，若ac2＞bc2，则c≠0，即c2＞0，故a＞b，C正确；对于D，若a＞b，不妨取若a＝﹣1＞b＝﹣2，则a2＜b2，D错误．故选：C．5．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点(2，√2)，则f（4）等于（）A ．2B ．﹣2C ．√2D ．4解：设幂函数y ＝f （x ）＝x α，根据它的图象经过点(2，√2)， 可得2α=√2，∴α=12，f （x ）=x 12=√x ，则f （4）=√4=2． 故选：A ．6．设x ∈R ，则“2﹣x ≥0”是“|x +1|≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由2﹣x ≥0得x ≤2， 由|x +1|≤1得﹣1≤x +1≤1， 得﹣2≤x ≤0．则“2﹣x ≥0”是“|x ﹣1|≤1”的必要不充分条件， 故选：B ．7．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：①中，因为在集合M 中当1＜x ≤2时，在N 中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合M 中的任意一个数x ，在N 中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中，x ＝2对应元素y ＝3∉N ，所以③不是；④中，当x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②满足题意． 故选：B ．8．若指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象相交，则（ ） A ．a ∈(0，12]B ．a ∈[12，1)C ．a ∈[12，1）∪（1，+∞）D ．a ∈（0，12]∪（1，+∞）解：由g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1），当a ＞1时，指数函数f （x ）＝a x 的单调递增，且递增幅度比一次函数递增的快，所以指数函数f （x ）＝a x 的图象和函数g （x ）＝3x +5（x ≥﹣1）的图象一定会相交， 当0＜a ＜1时，指数函数f （x ）＝a x 在R 上单调递减， 所以只需a ﹣1≥g （﹣1）＝3×（﹣1）+5＝2＝（12）﹣1即可，可得0＜a ≤12，所以a 的范围为（0，12]∪（1，+∞）．故选：D ．9．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（ ）A ．y ＝|x |√4−x 2B ．y ＝x √4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x解：由已知图象可得“心形”上部分的函数的图象关于y 轴对称， 则y ＝x √4−x 2和y =√−x 2+2x 都不满足要求；而y ＝|x |√4−x 2的图象过（0，0），（﹣2，0），（2，0），但0＜x ＜2时，y ＝x √4−x 2≤x 2+4−x 22=2， 当且仅当x =√2时，y 取得最大值2，故A 不满足要求；由y =√−x 2+2|x|的图象过（0，0），（﹣2，0），（2，0），且0＜x ＜2时，y =√2x −x 2=√−(x −1)2+1≤1， 当且仅当x ＝1时，y 取得最大值1，故C 满足要求． 故选：C ．10．设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为X A ＝M ﹣m ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知A 1，A 2，A 3，…，A n 是集合N *的元素个数均不相同的非空真子集，且X A 1+X A 2+X A 3+⋯+X A n =60，则n 的最大值为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13解：由题设A 1，A 2，A 3，…，A n 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使n 最大，则各集合中X A n =M −m （n ∈N *）尽量小，所以集合A 1，A 2，A 3，…，A n 的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以不妨设X A 1=0，X A 2=1，X A 3=2，⋯，X A n =n −1，有X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =n(n−1)2， 当n ＝11时，X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =55＜60， 当n ＝12时，X A 1+X A 2+X A 3+...+X A n =66＞60，只需在n ＝11时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n 的最大值为11． 故选：B ．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11．函数f(x)=√x +3+1x−1的定义域是 {x |x ≥﹣3且x ≠1} ． 解：使得函数有意义的x 满足{x +3≥0x −1≠0⇒x ≥﹣3且x ≠1．函数的定义域是{x |x ≥﹣3且x ≠1}． 故答案是{x |x ≥﹣3且x ≠1}． 12．求值：−4−12−(278)13−（π﹣3）0＝ ﹣3 ．解：−4−12−(278)13−（π﹣3）0=−12−32−1＝﹣3． 故答案为：﹣3．13．当x ＞3时，则y =x +4x−3的最小值为 7 ，当y 取得最小值时x 的值为 5 ． 解：因为x ＞3，所以x ﹣3＞0，所以y =x +4x−3=x ﹣3+4x−3+3≥2√(x −3)⋅4x−3+3＝7， 当且仅当x ﹣3=4x−3，即x ＝5时取等号， 故答案为：7，5．14．写出一个使得命题“∀x ∈R ，ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题的实数a 的值： ﹣1 ． 解：命题“ax 2﹣2ax +3＞0恒成立”是假命题，即“∃x ∈R ，ax 2﹣2ax +3≤0成立”是真命题 ①． 当a ＝0时，①不成立，当a ≠0 时，要使①成立，必须a ＜0，或{a ＞04a 2−12a ≥0，∴a ＜0或a ≥3 故答案为：﹣1．15．函数f （x ）的定义域为R ，且∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)，给出下列四个结论： ①f （0）＝1或﹣1； ②f （x ）一定不是偶函数；③若f （x ）＞0，且f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④若f （x ）有最大值，则f （x ）一定有最小值． 其中，所有正确结论的序号是 ①③ ． 解：因为∀x ∈R ，都有f(−x)=1f(x)， 所以f(0)=1f(0)，即f （0）＝1或﹣1，故①正确； 不妨取f （x ）＝1，则f(−x)=1f(x)=1，即f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，所以f （x ）是偶函数，故②错误； 设∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1＜x 2，则﹣x 2＜﹣x 1＜0，所以f （﹣x 2）＜f （﹣x 1），即0＜1f(x 2)＜1f(x 1)，所以f （x 1）＜f （x 2），即f （x ）在（0，+∞）上单调递增，故③正确；不妨取f(x)={ x ，x ＜01，x =0−1x ，x ＞0，则满足f(−x)=1f(x)，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误．故答案为：①③．三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（13分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m ﹣3}． （Ⅰ）若m ＝4，求∁R A ，A ∩B ，A ∪B ； （Ⅱ）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：（I ）当m ＝4时，B ＝{x |3＜x ＜5}， 因为A ＝{x |﹣1≤x ≤4}， 所以∁R A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞4}， A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}， A ∪B ＝{x |﹣1≤x ＜5}；（II ）因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ， 若B ＝∅，则m ﹣1⩾2m ﹣3，解得m ≤2；若B ≠∅，则{m −1＜2m −3m −1≥−12m −3≤4，解得2＜m ⩽72；综上得实数m 的取值范围是{m |m ≤72}． 17．（14分）已知函数f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0．（Ⅰ）求f(f(−12))的值；（Ⅱ）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）若f （x ）≤8，求x 的取值范围．解：（ I ）由函数f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0，可得f(−12)=12+1=32，f(f(−12))=f(32)=232． （ II ）f(x)={−x +1，x ≤02x，x ＞0，所以f （x ）的图象如下图所示：由图可知，f （x ）的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）；（ III ）由函数f(x)={−x +1，x ≤02x ，x ＞0， 可得{x ≤0−x +1≤8⇒−7≤x ≤0，{x ＞02x ≤8⇒0＜x ≤3， 由图象可知，满足f （x ）≤8的x 的取值范围是[﹣7，3]．18．（14分）已知函数f(x)=4x +1x ．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅱ）判断函数f （x ）在区间[12，+∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）已知函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，当x ∈[−14，t]时，g （x ）的值域为[5，+∞），求实数t 的取值范围．（只需写出答案）解：（I ）函数f(x)=4x +1x 为奇函数．证明：函数f(x)=4x +1x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x ∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f(−x)=4(−x)+1(−x)=−(4x +1x )=−f(x)，所以，函数f(x)=4x +1x 为奇函数．（II ）函数f （x ）在区间[12，+∞)上单调递增．任取x 1，x 2∈[12，+∞)，12≤x 1＜x 2， 则f(x 2)−f(x 1)=(4x 2+1x 2)−(4x 1+1x 1) =4(x 2−x 1)−x 2−x1x 1x 2 =(x 2−x 1)⋅4x 1x 2−1x 1x 2， 因为x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4x 1x 2﹣1＞0，所以f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），所以函数f （x ）在区间[12，+∞)上单调递增．（Ⅲ）函数g(x)={f(x)，x ＞0，5，x =0，−f(x)，x ＜0，的图象如图：由图可得实数t的取值范围为：[0，14 ]．19．（15分）已知函数f（x）＝ax2﹣（3a+1）x+3，a∈R．（Ⅰ）若f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜k}，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）求不等式f（x）＞0的解集．解：（Ⅰ）因为f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜k}，所以1是ax2﹣（3a+1）x+3＝0的一个根，所以a﹣（3a+1）+3＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x2﹣4x+3．令f（x）＝x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以f（x）的零点为1和3；（Ⅱ）因为f（x）＞0，即ax2﹣（3a+1）x+3＞0，所以（ax﹣1）（x﹣3）＞0，当a＝0时，﹣x+3＞0，解得x＜3，当a≠0时，方程（ax﹣1）（x﹣3）＝0的两根为x1=1a，x2=3，当a＜0时，y＝f（x）开口向下，x1＜x2，解得1a＜x＜3，当0＜a＜13时，y＝f（x）开口向上，x1＞x2，解得x＜3或x＞1a，当a=13时，y＝f（x）开口向上，x1＝x2，解得x≠3，当a＜0时，y＝f（x）开口向上，x1＜x2，解得x＜1a或x＞3，综上所述，当a＝0时，解集为{x|x＜3}；当a＜0时，解集为{x|1a＜x＜3}；当0＜a＜13时，解集为{x|x＜3或x＞1a}；当a=13时，解集为{x|x≠3}；当a＜0时，解集为{x|x＜1a或x＞3}．20．（14分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等共(52n 2+5n)万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n 年的总盈利额为f （n ）万元．（Ⅰ）写出f （n ）关于n 的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；（Ⅱ）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．问选择哪种处理方案更合适？请说明理由．解：（I ）由前n 年的总盈利额为n 年的总收入减去投入的资金和前n 年（n ∈N *）的材料费、维修费、人工工资等，可得f(n)=55n −(52n 2+5n)−90=−52n 2+50n −90，n ∈N *；当f （n ）＞0时，即−52n 2+50n −90＞0时，2＜n ＜18，该设备从第3年开始使企业盈利；（II ）方案一：总盈利额f(n)=−52n 2+50n −90=−52(n −10)2+160，当n ＝10时，f （n ）max ＝160，所以方案一总利润为160+10＝170万元，此时n ＝10；方案二：每年平均利润为f(n)n =50−52(n +36n )≤50−52×2√36=20，当且仅当n ＝6时，等号成立．所以方案二总利润为6×20+50＝170，此时n ＝6．比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年， 故应选择第二种方案更合适．21．（15分）对于函数f （x ），若f （x 0）＝x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”；若f [f （x 0）]＝x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”．函数f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f （x ）＝x }，B ＝{x |f [f （x ）]＝x }．（1）设函数f （x ）＝3x +4，求集合A 和B ；（2）求证：A ⊆B ；（3）设函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），且A ＝∅，求证：B ＝∅．解：（1）令f （x ）＝3x +4＝x ，解得x ＝﹣2，故有A ＝{﹣2}由于f [f （x ）]＝3（3x +4）+4＝9x +16，令9x+16＝x，得x＝﹣2，故有B＝{﹣2}（2）若A＝∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，设t∈A，则f（t）＝t，f（f（t））＝f（t）＝t，∴t∈B，故A⊆B．（3）若B≠∅．则f[f（x）]＝x有解，故f（x）＝x有解，即A≠∅，这与A＝∅矛盾，故B＝∅．。
2023年北京丰台区高三一模数学试卷(解析版)
2023年北京丰台区高三一模数学试卷(详解)一、单选题2.A.B.C.D.【答案】【解析】设，且，则C解：A .取，，则不成立；B .取，，则不成立；C .∵，∴，正确；D .取，∵，∴，因此不成立．故选：.3.A.B.C.2D.3【答案】已知圆与轴相切，则（ ）C1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（ ）D 【分析】根据并集运算求解.【详解】因为集合，，所以，故选:D.【解析】【分析】求出圆心和半径，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为.因为圆与轴相切，所以.故选：C4.A.B.0C.1D.2【答案】【解析】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）A 【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以.故选：A5.A.B.C.D.【答案】【解析】在平面直角坐标系中，若角以轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为（ ）B 【分析】根据三角函数的定义得到，再根据特殊角的三角函数判断即可.【详解】依题意可得，则或，所以的一个可能取值为.故选：B6.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】【解析】在中，若，则该三角形的形状一定是（ ）A 【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状．【详解】解：在中，，，即，，，，即，则为等腰三角形．故选：A ．7.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】设无穷等差数列|的前n 项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（ ）A 【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：因为“对任意，都有”，所以，所以“数列为递增数列”成立.故充分性满足；必要性：因为“数列为递增数列”，取数列：-1，1，3，5……符合数列为无穷等差数列|，且为递增数列，但是.故必要性不满足.故“对任意，都有”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A\displaystyle{S_{n}=S_{n}_{-1}+a_{n}> S_{n}_{-1},n\geq 2}8.A.1B.C.2D.【答案】【解析】已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点为F ，A 是抛物线C 上的一点，点A 到x 轴的距离为．过点A 向抛物线C 的准线作垂线、垂足为B ．若四边形ABOF 为等腰梯形，则p 的值为（ ）C 【分析】过点A 向x 轴作垂线、垂足为E ．设准线交x 轴于D.利用几何法求出直角三角形的三边，利用勾股定理即可求解.【详解】如图示：过点A （不妨设为第一象限点）向x 轴作垂线、垂足为E ．设准线交x 轴于D.因为四边形ABOF 为等腰梯形，所以，.所以.又，所以，所以，所以.所以.由抛物线的定义可得：.在直角三角形中，,.由勾股定理可得：，解得：.故选：C9.A.3B.C.2D.【答案】【解析】已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t 的最小值为（ ）B 【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，所以函数的周期为，当时，函数在单调递减，所以当时，函数在上单调递减，因为在区间上单调递减，所以有，故选：B 【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.10.A.0B.1C.2D.3【答案】【解析】如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：①三棱锥的体积的最大值为；②的最小值为；③点到直线的距离的最小值为．其中所有正确结论的个数为（ ）C 【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.【详解】在直三棱柱中平面，对于①：因为点在棱上，所以，又，又，，，点在棱上，所以，，所以，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确；对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，因为，，所以，所以，即的最小值为，故②错误；对于③：如图建立空间直角坐标系，设，，，，，所以，，则点到直线的距离，当时，当时，，，则，所以当取最大值，且时，即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确；故选：C二、填空题11.【答案】若复数是纯虚数，则 ．【解析】【踩分点】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.【详解】，因为是纯虚数，所以，解得.故答案为：12.【答案】【解析】【踩分点】已知正方形的边长为，则 ．【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.【详解】因为正方形的边长为，所以，，，所以.故答案为：13.【答案】【解析】从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则 ．/【分析】根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得.【踩分点】【详解】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，其中满足两数之积为正数的有种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，所以，，所以.故答案为：三、双空题14.【答案】【解析】设函数若存在最小值，则a 的一个取值为 ；a 的最大值为 ．1（≤1的任一实数，答案不唯一）； ; 1【分析】利用导数讨论函数的单调性，分析取最值的情况，进行求解.【详解】记函数，则.令，解得：.列表得：+0-0+单增单减单增对于函数，当时，不能取得最小值，所以存在最小值，的最小值只能在时，时取得.当时，在单减，在单增，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；【踩分点】当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增，且，所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增，且，不能取得最小值.综上所述：当时函数存在最小值.故答案为：①1（的任一实数，答案不唯一）；②1.15.【答案】三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus （约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 的三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线H ．双曲线H 与弧AB 的交点记为E ，连接CE ，则．①双曲线H 的离心率为 ；②若，，CE 交AB 于点P ，则．2【踩分点】【分析】①根据图形关系确定即可求解；利用面积之比，进而可求出，再根据求解.【详解】①由题可得所以，所以双曲线H 的离心率为；②，因为，且，所以,又因为，所以所以，所以,因为,解得，所以,故答案为:2;.四、解答题16.【答案】已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．(1)(2)最大值为和最小值为0π【踩分点】【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）由图象可知：，将点代入得，∴（2）由得当时，即；当时，即；π17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC 交BD 于点O ，，．点E 是棱PA 的中点，连接OE ，OP ．(1)求证：平面PCD ；(2)若平面PAC 与平面PCD 的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP 的长．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】【解析】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点，因为E是棱PA的中点，所以，又因为平面PCD, 平面PCD,所以平面PCD.（2）选择条件①:因为，是的中点，所以,因为平面平面,平面平面,平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系,因为菱形的边长为2，所以,所以设所以，设为平面的一个法向量，由得所以取，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,所以，所以所以，所以，因为，所以，所以.所以线段OP的长为.选择条件②:因为.在菱形中，，因为平面平面,所以平面,因为平面，所以，因为,所以两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系,因为菱形的边长为2，所以,所以设所以，设为平面的一个法向量，由得所以取，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,所以，所以所以，所以，因为，所以，所以.所以线段OP的长为.【踩分点】18.【答案】【解析】交通拥堵指数（TPI ）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI 越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI 的公式为：，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI 不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为，求的分布列及数学期望；(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI 依次记为，将2022年同期TPI 依次记为，记，．请直接写出取得最大值时的值．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；（2）结合题意先求出的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；（3）结合题意先求得，进而即可求解.【详解】实际行程时间畅通行程时间（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以，，，所以的分布列为：012数学期望.（3）由题意，，，，，，，，所以，所以取得最大值时，.【踩分点】19.【答案】【解析】已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过点B ，C 分别作直线的垂线（点B ，C 在直线l 的两侧）．垂足分别为M ，N ，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t ，使得，，总成等比数列？若存在，求出t 的值．若不存在，请说明理由．(1)(2)存在，使得，，总成等比数列.【分析】(1)根据的关系求解；(2)表示，，的面积，利用韦达定理表示出即可求出常数t 的值.【详解】（1）根据已知可得，所以，所以椭圆E 的方程为.（2）由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧，设直线的方程为，，不妨设，则由得所以因为，所以，【踩分点】，要使，，总成等比数列，则应有解得，所以存在，使得，，总成等比数列.20.【答案】【解析】已知函数．(1)求函数的极值；(2)若函数有两个不相等的零点，．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：．(1)函数无极大值，有极小值.(2)（i ）.（ii ）见详解.【分析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值.(2)（i ）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解.（ii ）利用构造对称函数以及导数进行证明.【详解】（1）因为，所以，因为，由有：，由有：，所以函数在单调递减，在单调递增，所以函数无极大值，有极小值.（2）（i ）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，若函数有两个不相等的零点，，则，解得，所以，因为当时，，所以，【踩分点】所以在上有1个零点，当时，，又“指数爆炸”，所以，所以在上有1个零点，综上，当时，函数有两个不相等的零点，.（ii ）由（i ）有：当时，函数有两个不相等的零点，，不妨设，构造函数，则，因为，所以，因为，所以，当前仅当时取到等号，所以，所以在R 上单调递减，又，所以，即，即，又，所以，又，所以，由(1)有：函数在单调递减，所以，即，结论得证.21.【答案】已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．(1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）(2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；（3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.【详解】（1）因为，对于集合，令，解得，显然，，所以是集合的“期待子集”；对于集合，令，则，因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；（2）先证明必要性：当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；又，所以，即条件中的②成立；因为，所以为偶数，即条件中的③成立；所以集合满足条件.再证明充分性：当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，记，，，由③得，由①得，由②得，所以，因为，，，所以，，均属于，即集合是集合的“期待子集”.（3）的最小值为，理由如下：一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”；当时，对于集合，从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③，若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于，故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”；所以.另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：（I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件，当三个数都属于，因为数组满足条件，所以此时集合必是集合的“期待子集”，所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”.（II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立；当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立，根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.【踩分点】。
【附5套中考模拟试卷】北京市丰台区2019-2020学年中考第二次模拟数学试题含解析
北京市丰台区2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接MM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE，若AF＝1，四边形ABED的面积为6，则∠EBF的余弦值是（）A．21313B．31313C．23D．13132．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A．12B．22C．3D．33．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．19B．16C．13D．234．如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB的最小值为（）A．B．C．10 D．5．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B31，则点C所对应的实数是( )A ．1+3B ．2+3C ．23﹣1D ．23+16．把图中的五角星图案，绕着它的中心点O 进行旋转，若旋转后与自身重合，则至少旋转（ ）A ．36°B ．45°C ．72°D ．90°7．已知点A(1，y 1)、B(2，y 2)、C(﹣3，y 3)都在反比例函数y ＝6x的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 28．如图，小明从A 处出发沿北偏东60°方向行走至B 处，又沿北偏西20°方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）A ．右转80°B ．左转80°C ．右转100°D ．左转100°9．如图，在直角坐标系xOy 中，若抛物线l ：y ＝﹣12x 2+bx+c （b ，c 为常数）的顶点D 位于直线y ＝﹣2与x 轴之间的区域（不包括直线y ＝﹣2和x 轴），则l 与直线y ＝﹣1交点的个数是（ ）A ．0个B ．1个或2个C ．0个、1个或2个D ．只有1个10．二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b+c ＞3aD ．a ＜b11．已知实数a 、b 满足a b >，则( ) A ．a 2b >B ．2a b >C ．a 2b 2->-D ．2a 1b -<-12．如图，BD ∥AC ，BE 平分∠ABD ，交AC 于点E ，若∠A=40°，则∠1的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．40°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°_____cos50°．14．关于x 的一元二次方程2kx x+1=0-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 15．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是_____． 16．101201842-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=_____． 17．|-3|=_________；18．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ．小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，则B 、C 两地的距离是_____千米．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：降价8%，另外每套房赠送a 元装修基金；降价10%，没有其他赠送．请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x 取整数)之间的函数表达式；老王要购买第十六层的一套房，若他一次性付清所有房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．20．（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点（点E 不与点A 、B 重合），DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F ．（1）求证：AE=BF ；（2）连接GB ，EF ，求证：GB ∥EF ； （3）若AE=1，EB=2，求DG 的长．21．（6分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表 组别 分组（单位：元） 人数 A 0≤x ＜30 4 B 30≤x ＜60 16 C 60≤x ＜90 a D 90≤x ＜120 b Ex≥1202请根据以上图表，解答下列问题：填空：这次被调查的同学共有 人，a+b ＝ ，m ＝ ；求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数；该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数．22．（8分）已知二次函数()2220y ax ax a =--≠．（1）该二次函数图象的对称轴是；（2）若该二次函数的图象开口向上，当15x -≤≤时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为112，求点M 和点N 的坐标； （3）对于该二次函数图象上的两点()11,A x y ，()22,B x y ，设11t x t ≤≤+，当23x ≥时，均有12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的取值范围． 23．（8分）如图所示，点P 位于等边的内部，且∠ACP=∠CBP ．(1)∠BPC 的度数为________°；(2)延长BP 至点D ，使得PD=PC ，连接AD ，CD ． ①依题意，补全图形； ②证明：AD+CD=BD ；(3)在(2)的条件下，若BD 的长为2，求四边形ABCD 的面积．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（-2，-1），其中有两点同时在反比例函数ky x=的图象上，将这两点分别记为A ，B ，另一点记为C ， （1）求出k 的值；（2）求直线AB 对应的一次函数的表达式；（3）设点C 关于直线AB 的对称点为D ，P 是x 轴上的一个动点，直接写出PC ＋PD 的最小值（不必说明理由）．25．（10分）在平面直角坐标系中，关于x 的一次函数的图象经过点(47)M ，，且平行于直线2y x =． （1）求该一次函数表达式；（2）若点Q （x ，y ）是该一次函数图象上的点，且点Q 在直线32y x =+的下方，求x 的取值范围． 26．（12分）数学兴趣小组为了研究中小学男生身高y （cm ）和年龄x （岁）的关系，从某市官网上得到了该市2017年统计的中小学男生各年龄组的平均身高，见下表：如图已经在直角坐标系中描出了表中数据对应的点，并发现前5个点大致位于直线AB上，后7个点大致位于直线CD上．年龄组x7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17男生平均身高y115.2 118.3 122.2 126.5 129.6 135.6 140.4 146.1 154.8 162.9168.2（1）该市男学生的平均身高从岁开始增加特别迅速．（2）求直线AB所对应的函数表达式．（3）直接写出直线CD所对应的函数表达式，假设17岁后该市男生身高增长速度大致符合直线CD所对应的函数关系，请你预测该市18岁男生年龄组的平均身高大约是多少？27．（12分）如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(－6，－1)，点C1的坐标为(－3，2)，则点B的坐标为____________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1∶2；(3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为________，计算四边形ABCP的周长为_______．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】 【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解． 【详解】∵四边形ABCD 为正方形， ∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ， ∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠EAD ， 在△ABF 和△DEA 中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ）， ∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1， ∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF中，BE ==∴cos BF EBF BE ∠===故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．2．B【解析】【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴PMPN＝22．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．3．C【解析】分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选：C．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．D【解析】【分析】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2，推出△APD∽△ABP′，得到BP′=2PD，于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′，根据勾股定理得到PP′=，求得2PD+PB≥4，于是得到结论．【详解】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2，∵=2，∴△APD∽△ABP′，∴BP′=2PD，∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′，∴PP′=，∴2PD+PB≥4，∴2PD+PB的最小值为4，故选D．【点睛】本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．D【解析】【详解】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有()x3=31-，解得x=23+1.故选D.6．C【解析】分析：五角星能被从中心发出的射线平分成相等的5部分，再由一个周角是360°即可求出最小的旋转角度．详解：五角星可以被中心发出的射线平分成5部分，那么最小的旋转角度为：360°÷5=72°．故选C．点睛：本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．7．B【解析】【分析】分别把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．【详解】∵点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y=6x的图象上，∴y1=61=6，y2=62=3，y3=63-=-2，∵﹣2＜3＜6，∴y3＜y2＜y1，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.。
北京市丰台区第二中学2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】
北京市丰台区第二中学2024年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列多项式能分解因式的是（）A ．22x y +B ．22x y xy -C ．22x xy y ++D ．244x x +-2、（4分）下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（）．A ．a =2，b =3，c =4B ．a =4，b =4，c =5C ．a =5，b =6，c =7D ．a =5，b =12，c =133、（4分）若a 使得关于x 的分式方程21224a x x -=--有正整数解。
且函数y=ax 2−2x−3与y=2x−1的图象有交点,则满足条件的所有整数a 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．44、（4分）设直线y ＝kx +6和直线y ＝（k +1）x +6（k 是正整数）及x 轴围成的三角形面积为S k （k ＝1，2，3，…，8），则S 1+S 2+S 3+…+S 8的值是（）A ．49B ．634C ．16D ．145、（4分）如图，直线y =-x +2与x 轴交于点A ，则点A 的坐标是（）A ．（2,0）B ．（0,2）C ．（1,1）D ．（2,2）6、（4分）点()15,A y -和()22,B y -都在直线32y x =-+上，则1y 与2y 的关系是()A ．12y y ≤B ．12y y =C ．12y y <D ．12y y >7、（4分）在平面直角坐标系的第一象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（）A ．（3，-4）．B ．（4，-3）．C ．（3，4）．D ．（4，3）．8、（4分）一同学将方程2430x x --=化成了2()x m n +=的形式，则m 、n 的值应为（）A ．m=1．n=7B ．m=﹣1，n=7C ．m=﹣1，n=1D ．m=1，n=﹣7二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是8.5环，方差分别是：24s =甲，2 4.5s =乙，则射击成绩较稳定的是______（填“甲”或“乙”）.10、（4分）如图在中，，，，是边上的两点，且满足，若，，，的长是__________．11、（4分）如图,//AD BC ，、BG AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠，GH AB ⊥，4HG =，则AD 与BC 之间的距离是__________．12、（4分）已知一次函数3y mx =+的图象经过第一、二、四象，请你写出一个满足条件的m 值__________.13、（4分）在一次函数y=kx+2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第象限．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图1，将边长为1的正方形ABCD 压扁为边长为1的菱形ABCD ．在菱形ABCD中，∠A 的大小为α，面积记为S ．（1）请补全下表：（2）填空：由（1）可以发现正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A 大小的变化而变化，不妨把菱形的面积S 记为S(α)．例如：当α＝30°时，1(30)2S S =︒=；当α＝135°时，(135)2S S ο==．由上表可以得到(60)S S ︒=(______°)；(150)S S ︒=(______°)，…，由此可以归纳出(180)()S S α︒-=．（3）两块相同的等腰直角三角板按如图的方式放置，AD ，∠AOB ＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．15、（8分）如图，等边三角形ABC 的边长是6，点D 、F 分别是BC 、AC 上的动点，且BD＝CF ，以AD 为边作等边三角形ADE ，连接BF 、EF ．（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2）连接DF ，当BD 的长为何值时，△CDF 为直角三角形？（3）设BD ＝x ，请用含x 的式子表示等边三角形ADE 的面积．16、（8分）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△OAB 是等边三角形．（1）求证：▱ABCD 为矩形；（2）若AB ＝4，求▱ABCD 的面积．17、（10分）在倡导“社会主义核心价值观”演讲比赛中，某校根据初赛成绩在七、八年级分别选出10名同学参加决赛，对这些同学的决赛成绩进行整理分析，绘制成如下团体成绩统计表和选手成绩折线统计图：七年级八年级平均数85.7_______众数______________方差37.427.8根据上述图表提供的信息，解答下列问题：（1）请你把上面的表格填写完整；（2）考虑平均数与方差，你认为哪个年级的团体成绩更好？（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出2个参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？请说明理由．18、（10分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）A B第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知点P（x1，y1），Q（x2，y2）是反比例函数y＝3x（x＞0）图象上两点，若y1＞y2，则x1，x2的大小关系是_____．20、（4分）将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____．21、（4分）点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是_____．22、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝cm，BD＝cm，则菱形ABCD的面积是_____．23、（4分）若b 为常数，且214x ﹣bx +1是完全平方式，那么b ＝_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图(甲)，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．(1)求证:CE CF =；(2)在如图(甲)中，若G 在AD 上，且45GCE ∠=︒，则GE BE GD =+成立吗？证明你的结论．(3)运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题:如图(乙)四边形ABCD 中，AD ∥BC (BC ＞AD )，90B ∠=︒，6AB BC ==,点E 是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，2BE =，求DE 的长．25、（10分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系，△ABC 的顶点均在格点上．（不写作法）（1）以原点O 为对称中心，画出△ABC 关于原点O 对称的△A 1B 1C 1，并写出B 1的坐标；（2）再把△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，得到△A 2B 2C 1，请你画出△A 2B 2C 1，并写出B 2的坐标．26、（12分）随着生活水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过网上平台购票，既快捷又能享受更多优惠.某电影城2019年从网上购（1）求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元?（2）2019年五一当天，该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票，当天售出的总票数为500张.五一假期过后，观影人数出现下降，于是电影城决定从5月5日开始调整票价：现场购票价格下调，网上购票价格不变，结果发现，现场购票每张电影票的价格每降低2元，售出总票数就比五一当天增加4张.经统计，5月5日售出的总票数中有60%的电影票通过网上售出，其余通过现场售出，且当天票房总收入为17680元，试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元?参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】直接利用分解因式的基本方法分别分析得出答案．【详解】解：A 、x 2+y 2，无法分解因式，故此选项错误；B 、x 2y-xy 2=xy （x-y ），故此选项正确；C 、x 2+xy+y 2，无法分解因式，故此选项错误；D 、x 2+4x-4，无法分解因式，故此选项错误；故选：B ．本题考查对分解因式的方法的理解和运用，分解因式的步骤是：第一步，先看看能否提公因式；第二步，再运用公式法，①平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）；②a 2±2ab+b 2=（a±b ）2，第三步：再考虑用其它方法，如分组分解法等．2、D 【解析】本题只有22251213+=，故选D 3、D 【解析】先解分式方程，求得a 的值，再由函数图象有交点求得a 的取值范围，则可求得a 的值，可求得答案．【详解】解分式方程21224a x x -=--可得x=4−2a，∵a 使得关于x 的分式方程21224ax x -=--有正整数解，∴a 的值为0、2、4、6，联立y=ax 2−2x−3与y=2x−1，消去y,整理可得ax 2−4x−2=0，由函数图象有交点,可知方程ax 2−4x−2=0有实数根，当a=0时，方程有实数解，满足条件，当a≠0时，则有△⩾0，即16+8a ⩾0，解得a ⩾−2且a≠0，∴满足条件的a 的值为0、2、4、6，共4个，故选D.此题考查分式方程的解，二次函数的性质，一次函数的性质，解题关键在于求得a 的值.4、C 【解析】联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出两直线与x 轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可得出S k =12×6×6(1k -11k +)，将其代入S 1+S 2+S 3+…+S 8中即可求出结论．【详解】解：联立两直线解析式成方程组，得：6(1)6y kx y k x =+⎧⎨=++⎩，解得：06x y =⎧⎨=⎩，∴两直线的交点(0，6)，∵直线y=kx+6与x 轴的交点为(6k -，0)，直线y=(k+1)x+6与x 轴的交点为(61k -+，0)，∴S k =12×6×|6k -﹣(61k -+)|=18(1k -11k +)，∴S 1+S 2+S 3+…+S 8=18×(1-12+12-13+13-14+…+18-19)=18×(1-19)，=18×89=1．故选C ．本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及规律型中数字的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式找出S k =12×6×6(1k -11k +)是解题的关键．5、A【解析】一次函数y ＝kx ＋b （k≠0，且k ，b 为常数）的图象是一条直线．令y=0，即可得到图象与x 轴的交点．【详解】解：直线2y x =-+中，令0y =．则02x =-+．解得2x =．∴(2,0)A ．故选：A ．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数y ＝kx ＋b （k≠0，且k ，b 为常数）与x 轴的交点坐标是（−b k ，0），与y 轴的交点坐标是（0，b ）．6、D 【解析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点()15,A y -和()22,B y -分别代入直线方程32y x =-+，分别求得1y 和2y 的值，然后进行比较.【详解】根据题意得：()135217y =-⨯-+=，即117y =；()23228y =-⨯-+=，即28y =；817<，∴12y y >.故选：D .本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点满足该函数的解析式.7、D【解析】根据第一象限内点的坐标特征，可得答案．【详解】解：由题意，得x=4，y=3，即M 点的坐标是（4，3），故选：D ．本题考查点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题关键．8、B 【解析】先把（x+m ）1=n 展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x 1-4x-3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．【详解】解：∵（x+m ）1=n 可化为：x 1+1mx+m 1-n=0，∴2243m m n =-⎧⎨-=-⎩，解得：27m n =-⎧⎨=⎩故选：B ．此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、甲【解析】根据方差的性质即可求解.【详解】∵2s 甲＜2s 乙，∴成绩较稳定的是甲此题主要考查利用方差判断稳定性，解题的关键是熟知方差的性质.10、【解析】以点B 为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),如下图,利用等腰直角三角形的性质得,利用旋转的性质得,，则,在中利用勾股定理可计算出,然后再根据证明三角形即可得到.【详解】以点B 为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),如图按顺时针方向旋转得到在中,将按顺时针方向旋转得到(点C 与点A 重合,点E 到点E'处),,即在和中∴.本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理.11、1【解析】过点G 作GF ⊥BC 于F ，交AD 于E ，根据角平分线的性质得到GF=GH=5，GE=GH=5，计算即可．【详解】解：过点G 作GF ⊥BC 于F ，交AD 于E ，∵AD ∥BC ，GF ⊥BC ，∴GE ⊥AD ，∵AG 是∠BAD 的平分线，GE ⊥AD ，GH ⊥AB ，∴GE=GH=4，∵BG 是∠ABC 的平分线，FG ⊥BC ，GH ⊥AB ，∴GF=GE=4，∴EF=GF+GE=1，故答案为：1．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12、答案不唯一【解析】一次函数的图象经过第一、二、四象限，说明x 的系数小于1，常数项大于1，据此写出一次函数．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴函数x 的系数小于1，常数项大于1．又∵常数项是3，∴这个函数可以是y=-x+3等．故答案为：-1本题考查了一次函数的系数与图象的关系，涉及到的知识点为：一次函数图象经过第一、二、四象限，说明x 的系数小于1，常数项大于1．13、四．【解析】一次函数y=kx+b 的图象有两种情况：①当k 0>，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k 0>，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k 0<，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当k 0<，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．由题意得，函数y=kx+2的y 的值随x 的值增大而增大，因此，k 0>．由k 0>，b 0>，知它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）2；32；32；12；（2）120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等，证明见解析.【解析】分析：（1）过D 作DE ⊥AB 于点E ，当α=45°时，可求得DE ，从而可求得菱形的面积S ，同理可求当α=60°时S 的值，当α=120°时，过D 作DF ⊥AB 交BA 的延长线于点F ，则可求得DF ，可求得S 的值，同理当α=135°时S 的值；（2）根据表中所计算出的S 的值，可得出答案；（3）将△ABO 沿AB 翻折得到菱形AEBO ，将△CDO 沿CD 翻折得到菱形OCFD ．利用（2）中的结论，可求得△AOB 和△COD 的面积，从而可求得结论．详解：（1）当α=45°时，如图1，过D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE=22AD=22，∴S=AB•DE=2，同理当α=60°时S=2，当α=120°时，如图2，过D 作DF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，则∠DAE=60°，∴DF=32AD=32，∴S=AB•DF=2，同理当α=150°时，可求得S=12，故表中依次填写：2；2；2；12；（2）由（1）可知S （60°）=S （120°），S （150°）=S （30°），∴S （180°-α）=S （α）故答案为：120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等．证明：如图3将△ABO 沿AB 翻折得到菱形AMBO ，将△CDO 沿CD 翻折得到菱形OCND ．∵∠AOD=∠COB=90°，∴∠COD+∠AOB=180°，∴S △AOB =12S 菱形AMBO =12S （α）S △CDO =12S 菱形OCND =12S （180°-α）由（2）中结论S （α）=S （180°-α）∴S △AOB =S △CDO ．点睛：本题为四边形的综合应用，涉及知识点有菱形的性质和面积、解直角三角形及转化思想等．在（1）中求得菱形的高是解题的关键，在（2）中利用好（1）中的结论即可，在（3）中把三角形的面积转化成菱形的面积是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．15、（1）见解析；（2）BD ＝2或4；（3）S △ADE ＝4（x ﹣3）2+4（0≤x ≤6）【解析】(1)：要证明四边形BDEF 是平行四边形，一般采用对边平行且相等来证明，因为已经有了DB=CF ，只要有△ABD 全等△ACE ，就能得到∠ACE=∠ABD=60°，CE=CF=EF=BD ，再利用∠CFE ＝60°＝∠ACB ，就能平行，故第一问的证；2CD=CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=4，当∠CFD=90°时，可以知道CD=2CF，因为CF=BD，BD+CD=6，∴BD=2，故当BD=2或4时，△CFD为直角三角形；(3)：求等边三角形ADE的面积，只要知道边长就可求出，但是AD是变化的，所以我们采用组合面积求解，利用四边形ADCE减去△CDE即可，又因为△ABD≌△ACE，所以四边形ADCE的面积等于△ABD的面积，所以只需要求出△ABC的面积与△CDE即可,从而即可求面积.【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABD＝∠BCF＝60°，∵BD＝CF，∴△ABD≌△BCF（SAS），∴BD＝CF，如图1，连接CE，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD＝60°，BD＝CE，∴CF＝CE，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CF＝BD，∠CFE＝60°＝∠ACB，∴EF∥BC，∵BD＝EF，∴四边形BDEF是平行四边形；（2）∵△CDF为直角三角形，∴∠CFD＝90°或∠CDF＝90°，当∠CFD＝90°时，∵∠ACB＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CD ＝2CF ，由（1）知，CF ＝BD ，∴CD ＝2BD ，即：BC ＝3BD ＝6，∴BD ＝2，∴x ＝2，当∠CDF ＝90°时，∵∠ACB ＝60°，∴∠CFD ＝30°，∴CF ＝2CD ，∵CF ＝BD ，∴BD ＝2CD ，∴BC ＝3CD ＝6，∴CD ＝2，∴x ＝BD ＝4，即：BD ＝2或4时，△CDF 为直角三角形；（3）如图，连接CE ，由（1）△ABD ≌△ACE ，∴S △ABD ＝S △ACE ，BD ＝CE ，∵BD ＝CF ，∴△CEF 是等边三角形，∴EM ＝2CE ＝2x ，∴S △CDE ＝12CD×EM ＝12（6﹣x ）×2x ＝4x （6﹣x ）∴BH ＝CH ＝12BC ＝3，∴AH ＝∴S △ABC ＝12BC•AH ＝∴S △ADE ＝S 四边形ADCE ﹣S △CDE ＝S △ACD +S △ACE ﹣S △CDE ＝S △ACD +S △ABD ﹣S △CDE ＝S △ABC ﹣S △CDE ＝﹣4x （6﹣x ）＝4（x ﹣3）2+4（0≤x≤6）第一问虽然求证平行四边形，实际考查三角形全等的基本功第二问，主要考查推理能力，把△CFD 为直角三角形当做条件，来求BD 的长，但是需要注意的是，写过需要先给出BD 的长，来证明△CFD 为直角三角形，第三问，考查面积，主要利用组合图形求面积16、（1）见解析；（2）.【解析】（1）根据题意可求OA ＝OB ＝DO ，∠AOB ＝60°，可得∠BAD ＝90°，即结论可得;（2）根据勾股定理可求AD 的长，即可求▱ABCD 的面积．【详解】解（1）∵△AOB 为等边三角形∴∠BAO ＝60°＝∠AOB ，OA ＝OB ∵四边形ABCD 是平行四边形∴OB ＝OD ，∴OA ＝OD ∴∠OAD ＝30°，∴∠BAD ＝30°+60°＝90°∴平行四边形ABCD 为矩形；（2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，∴AB ＝4，BC AB ＝∴▱ABCD 的面积＝＝本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．17、（1）八年级成绩的平均数1.7，七年级成绩的众数为80，八年级成绩的众数为1；（2）八年级团体成绩更好些；（3）七年级实力更强些．【解析】（1）通过读图即可，即可得知众数，再根据图中数据即可列出求平均数的算式，列式计算即可．（2）根据方差的意义分析即可．（3）分别计算两个年级前两名的总分，得分较高的一个班级实力更强一些．【详解】解：（1）由折线统计图可知：七年级10名选手的成绩分别为：80，87，89，80，88，99，80，77，91，86；八年级10名选手的成绩分别为：1，97，1，87，1，88，77，87，78，88；八年级平均成绩=110（1+97+1+87+1+88+77+87+78+88）=1.7(分)，七年级成绩中80分出现的次数最多，所以七年级成绩的众数为80；八年级成绩中1分出现的次数最多，所以八年级成绩的众数为1．（2）由于七、八年级比赛成绩的平均数一样，而八年级的方差小于七年级的方差，方差越小，则其稳定性越强，所以应该是八年级团体成绩更好些；（3）七年级前两名总分为：99+91=190(分)，八年级前两名总分为：97+88=11(分)，因为190分>11分，所以七年级实力更强些．本题考查了折线统计图，此题要求同学们不但要看懂折线统计图，而且还要掌握方差、平均数、众数的运用．18、（1）A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元；（2）购进A 种商品800件、B 种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．【解析】（1）设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为y 元，根据两次进货情况表，可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B 种商品m 件，获得的利润为w 元，则购进A 种商品（1000-m ）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w 与m 之间的函数关系式，由A 种商品的数量不少于B 种商品数量的4倍，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）设A 种商品每件的进价为x 元，B 种商品每件的进价为y 元，根据题意得：3040380040303200x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，解得：2080x y ⎧⎨⎩＝＝．答：A 种商品每件的进价为20元，B 种商品每件的进价为80元．（2）设购进B 种商品m 件，获得的利润为w 元，则购进A 种商品（1000-m ）件，根据题意得：w=（30-20）（1000-m ）+（100-80）m=10m+1．∵A 种商品的数量不少于B 种商品数量的4倍，∴1000-m≥4m ，解得：m≤2．∵在w=10m+1中，k=10＞0，∴w的值随m的增大而增大，∴当m=2时，w取最大值，最大值为10×2+1=120，∴当购进A种商品800件、B种商品2件时，销售利润最大，最大利润为120元．此题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、x1＜x1．【解析】根据题目中的函数解析式可以判断函数图象在第几象限和y随x的变化趋势，从而可以解答本题．【详解】∵反比例函数y＝3x（x＞0），∴该函数图象在第一象限，y随x的增大而减小，∵点P（x1，y1），Q（x1，y1）是反比例函数y＝3x（x＞0）图象上两点，y1＞y1，∴x1＜x1，故答案为：x1＜x1．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．20、y=3x-1【解析】∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1．故答案为y=3x﹣1．21、（-1，3）【解析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点P（1，-3）关于原点的对称点的坐标．【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴点P （1，-3）关于原点的对称点的坐标为（-1，3）．故答案为：（-1，3）．本题考查了关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，难度较小．22、11cm 1【解析】利用菱形的面积公式可求解．【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，∵AC ＝，BD ＝cm ，则菱形ABCD 的面积是1122⨯=cm 1．故答案为11cm 1．此题主要考查菱形的面积计算，关键是掌握菱形的面积计算方法．23、±1【解析】根据完全平方式的一般式，计算一次项系数即可.【详解】解：∵b 为常数，且14x 2﹣bx +1是完全平方式，∴b ＝±1，故答案为±1．本题主要考查完全平方公式的系数关系，关键在于一次项系数的计算.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（1）成立，理由见解析；（3）5【解析】分析：（1）因为ABCD 为正方形，所以CB=CD ，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE ，则△BCE ≌△DCF ，即可求证CE=CF ；（1）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE ≌△DCF ，所以∠ECG=∠FCG ，CE=CF ，CG=CG ，则△ECG ≌△FCG ，故GE=BE+GD 成立；（3）①过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于点G ，利用勾股定理求得DE 的长.详解：（1）在正方形ABCD 中CB=CD ，∠B=∠CDA=90°，∴∠CDF=∠B=90°．在△BCE 和△DCF 中，CB CD B CDF BE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BCE ≌△DCF （SAS ）．∴CE=CF ．（1）GE=BE+GD 成立．理由如下：∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，∴∠BCE+∠GCD=45°．∵△BCE ≌△DCF （已证），∴∠BCE=∠DCF ．∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．∴∠ECG=∠FCG=45°．在△ECG 和△FCG 中，CE CF ECG FCG CG CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ECG ≌△FCG （SAS ）．∴GE=FG ．∵FG=GD+DF ，∴GE=BE+GD ．（3）①如图1，过点C 作CG ⊥AD ，交AD 的延长线于点G ，由（1）和题设知：DE=DG+BE ，设DG=x ，则AD=6-x ，DE=x+3，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 1+AE 1=DE 1，∴（6-x ）1+31=（x+3）1，解得x=1．∴DE=1+3=5.点睛：此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．25、（1）B 1的坐标（﹣5，4）；（2）B 2的坐标（﹣1，2）．【解析】(1)作出各点关于原点的对称点，再顺次连接，并写出B1的坐标即可；(2)根据图形旋转的性质画出△A2B2C2，并写出B2的坐标即可．【详解】(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求，由图可知B 1的坐标（﹣5，4）；(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求，由图可知B 2的坐标（﹣1，2）．考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．26、（1）网上购票价格30元，现场购票价格50元；（2）5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元，见解析.【解析】（1）首先设网上每张电影票价格为x 元，现场每张电影票价格为y 元，然后根据题意，列出关系式，即可得解；（2）首先设现场购票每张电影票的价格下降x 元，然后根据题意列出关系式，即可得解.【详解】（1）设网上每张电影票价格为x 元，现场每张电影票价格为y 元.32105200x y x y -=-⎧⎨+=⎩解得：3050x y =⎧⎨=⎩答：网上购票价格30元，现场购票价格50元.（2）设现场购票每张电影票的价格下降x 元()()500460%305004160%501768022x x x ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯⨯++⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得1165x =-（舍去），210x =501040-=答：5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元.此题主要考查二元一次方程组、一元一次方程的实际应用，关键是根据题意列出关系式，即可解题.。
2020-2021学年北京市丰台区中考数学一模试卷及答案解析
北京市丰台区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016年北京丰台口岸进口货值飙升至189 000 000美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将189 000 000用科学记数法表示应为（）A．189×106B．1.89×106C．18.9×107D．1.89×1082．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞bB．|b|＜aC．﹣a＜a D．﹣b＜a3．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45 B．60 C．72 D．1445．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（）A．义B．仁C．智D．信6．如果m2+2m﹣2=0，那么代数式（m+）•的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．37．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm8．如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统计图，如果他家去年总开支为6万元，那么用于教育的支出为（）A．3万元B．万元C．2.4万元D．2万元9．如图在正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）10．近年来由于空气质量的变化，以及人们对自身健康的关注程度不断提高，空气净化器成为很多家庭的新电器．某品牌的空气净化器厂家为进一步了解市场，制定生产计划，根据2016年下半年销售情况绘制了如下统计图，其中同比增长率=（﹣1）×100%，下面有四个推断：①2016年下半年各月销售量均比2015年同月销售量增多②第四季度销售量占下半年销售量的七成以上③下半年月均销售量约为16万台④下半年月销售量的中位数不超过10万台其中合理的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是．12．图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：．13．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是．1班2班3班4班班级节次第1节语文数学外语化学第2节数学政治物理语文第3节物理化学体育数学第4节外语语文政治体育14．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应．（只考虑小于90°的角度）的度数为15．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为．16．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b（如图1）．求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b．小姗的作法如下：如图2，（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；（3）在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形．老师说：“小姗的作法正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．20．（5分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4=0．（1）判断方程根的情况；（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣3x+m与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求双曲线y=的表达式；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与直线y=﹣3x+m及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C下方时，求出n的取值范围．22．（5分）课题学习：设计概率模拟实验．在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是．”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验：小海找来一个啤酒瓶盖（如图1）进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值；小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成8个大小一样的扇形区域，并依次标上1至8个数字（如图2），转动转盘10次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子（如图3），其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值．根据以上材料回答问题：小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实验的不足之处．23．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12．（1）求AD的长；（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．24．（5分）阅读下列材料：由于发展时间早、发展速度快，经过20多年大规模的高速开发建设，北京四环内，甚至五环内可供开发建设的土地资源越来越稀缺，更多的土地供应将集中在五环外，甚至六环外的远郊区县．据中国经济网2月报道，来自某市场研究院的最新统计，2016年，剔除了保障房后，在北京新建商品住宅交易量整体上涨之时，北京各区域的新建商品住宅交易量则是有涨有跌．其中，昌平、通州、海淀、朝阳、西城、东城六区下跌，跌幅最大的为朝阳区，新建商品住宅成交量比2015年下降了46.82%．而延庆、密云、怀柔、平谷、门头沟、房山、顺义、大兴、石景山、丰台十区的新建商品住宅成交量表现为上涨，涨幅最大的为顺义区，比2015年上涨了118.80%．另外，从环线成交量的占比数据上，同样可以看出成交日趋郊区化的趋势．根据统计，2008年到2016年，北京全市成交的新建商品住宅中，二环以内的占比逐步从3.0%下降到了0.2%；二、三环之间的占比从5.7%下降到了0.8%；三、四环之间的占比从12.3%下降到了2.3%；四、五环之间的占比从21.9%下降到了4.4%．也就是说，整体成交中位于五环之内的新房占比，从2008年的42.8%下降到了2016年的7.7%，下滑趋势非常明显．由此可见，新房市场的远郊化是北京房地产市场发展的大势所趋．（注：占比，指在总数中所占的比重，常用百分比表示）根据以上材料解答下列问题：（1）补全折线统计图；（2）根据材料提供的信息，预估位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比约，你的预估理由是．25．（5分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD，CB．若AD=CD=a，写出求四边形ABCD面积的思路．26．（5分）【问题情境】已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+）（x＞0）．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+的图象性质．（1）结合问题情境，函数y=x+的自变量x的取值范围是x＞0，如表是y与x的几组对应值．x … 1 2 3 m …y …432 2 234…①写出m的值；②画出该函数图象，结合图象，得出当x= 时，y有最小值，y最小= ；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+2m﹣1（m≠0）与平行于x轴的一条直线交于A，B两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A的坐标是（﹣1，﹣2），求点B的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．28．（7分）在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．①依题意将图2补全；②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形．想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．北京市丰台区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016年北京丰台口岸进口货值飙升至189 000 000美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将189 000 000用科学记数法表示应为（）A．189×106B．1.89×106C．18.9×107D．1.89×108【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：189 000 000=1.89×108．故选：D．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞bB．|b|＜aC．﹣a＜a D．﹣b＜a【考点】29：实数与数轴．【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数，绝对值的性质判断即可．【解答】解：根据数轴上点的位置得：a=﹣2，1＜b＜2，则|a|=2＞b，|b|＞a，﹣a＞a，﹣b＞a，故选A【点评】此题考查了实数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学【考点】R5：中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45 B．60 C．72 D．144【考点】R3：旋转对称图形．【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．5．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（）A．义B．仁C．智D．信【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中“礼”字对面的字是义．故选：A．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．如果m2+2m﹣2=0，那么代数式（m+）•的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【考点】6D：分式的化简求值．【分析】先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式=m2+2m，然后利用m2+2m﹣2=0进行整体代入计算．【解答】解：原式=•=•=m（m+2）=m2+2m，∵m2+2m﹣2=0，∴m2+2m=2，∴原式=2．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．7．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB的长为（）A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm【考点】SA：相似三角形的应用．【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴==，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选B．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．8．如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统计图，如果他家去年总开支为6万元，那么用于教育的支出为（）A．3万元B．万元C．2.4万元D．2万元【考点】VB：扇形统计图．【分析】利用总开支乘以对应的比例即可求解．【解答】解：6×=2（万）．故选D．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．9．如图在正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（）A．（﹣3，﹣2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】D3：坐标确定位置．【分析】根据A（1，1），B（2，0），再结合图形即可确定出点C的坐标．【解答】解：∵点A的坐标是：（1，1），点B的坐标是：（2，0），∴点C的坐标是：（3，﹣2）．故选B．【点评】本题主要考查了点的坐标．点坐标就是在平面直角坐标系中，坐标平面内的点与一对有序实数是一一对应的关系，这对有序实数则为这个点的坐标点的坐标．10．近年来由于空气质量的变化，以及人们对自身健康的关注程度不断提高，空气净化器成为很多家庭的新电器．某品牌的空气净化器厂家为进一步了解市场，制定生产计划，根据2016年下半年销售情况绘制了如下统计图，其中同比增长率=（﹣1）×100%，下面有四个推断：①2016年下半年各月销售量均比2015年同月销售量增多②第四季度销售量占下半年销售量的七成以上③下半年月均销售量约为16万台④下半年月销售量的中位数不超过10万台其中合理的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【考点】VD：折线统计图；VC：条形统计图；W4：中位数．【分析】①根据题意求得7月的同比增长率是﹣2.3%，于是得到2016年7月销售量比2015年同月销售量减小；②通过计算即可得到结果；③列式计算即可得到结果；④根据中位数的定义即可得到结论．【解答】解：①∵7月的同比增长率是﹣2.3%，∴2016年7月销售量比2015年同月销售量减小；故①错误；②∵≈0.73，∴第四季度销售量占下半年销售量的七成以上，故②正确；③∵（8+9.3+9.8+13.4+19.7+36）≈16万台，故③正确；④下半年月销售量的中位数=≈11.1万台＞10万台，故④错误；故选C．【点评】本题考查了折线统计图，条形统计图，中位数的定义，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是x≥﹣4 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+4≥0，解得，x≥﹣4，故答案为：x≥﹣4．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．12．图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc ．【考点】4B：多项式乘多项式．【分析】根据图中，从两个角度计算面积即可得出答案．【解答】解：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc；故答案：（m+n）（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc（答案不唯一）【点评】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．13．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是．1班2班3班4班班级节次第1节语文数学外语化学第2节数学政治物理语文第3节物理化学体育数学第4节外语语文政治体育【考点】X2：可能性的大小．【分析】根据概率公式可得答案．【解答】解：由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能，∴听数学课的可能性是，故答案为：．【点评】本题考查的可能性的大小．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为70°．（只考虑小于90°的角度）【考点】M1：圆的认识．【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA 的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠PAB=20°，因而∠PBA=90°﹣20°=70°，在小量角器中弧PB所对的圆心角是70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．故答案为：70°；【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．15．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为28x﹣20（x+13）=20 ．【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】利用五言绝句与七言绝句总字数之间的关系得出等式进而得出答案．【解答】解：设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为：28x﹣20（x+13）=20．故答案为：28x﹣20（x+13）=20．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题关键．16．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段a，b（如图1）．求作：等腰△ABC，使AB=AC，BC=a，BC边上的高为b．小姗的作法如下：如图2，（1）作线段BC=a；（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；（3）在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形．老师说：“小姗的作法正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形．【考点】N3：作图—复杂作图；KG：线段垂直平分线的性质；KJ：等腰三角形的判定与性质．【分析】利用垂直平分线的性质得到AB=CB，从而可判断△ABC为满足条件的等腰三角形．【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，则AB=AC．故答案为垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三角形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|的值是多少即可．【解答】解：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|==【点评】此题主要考查了实数的运算，零指数幂以及特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可．【解答】解：解不等式①，得x＞2．解不等式②，得x≥3．∴原不等式组的解集是x≥3．【点评】此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．【考点】LD：矩形的判定与性质．【分析】先证明四边形ABCF是平行四边形．再证出四边形ABCF是矩形．得出∠AFC=90°，得出∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．由等腰三角形的性质得出∠EAG=∠EGA．由对顶角相等得出∠DAF=∠CGF．证出∠D=∠ECD．即可得出结论．【解答】证明：∵AB∥DC，FC=AB，∴四边形ABCF是平行四边形．∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形．∴∠AFC=90°，∴∠D=90°﹣∠DAF，∠ECD=90°﹣∠CGF．∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA．∵∠EGA=∠CGF，∴∠DAF=∠CGF．∴∠D=∠ECD．∴ED=EC．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、对顶角相等的性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解决问题的关键．20．已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4=0．（1）判断方程根的情况；（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）先求出△的值，再根据根的判别式即可得出方程根的情况；（2）根据方程有整数根，可知△是完全平方数，利用求根公式选择k=4（答案不唯一），求出方程的根即可．【解答】解：（1）∵△=（﹣k）2﹣12（k﹣4）=k2﹣12k+48=（k﹣6）2+12＞0，∴方程有两个不等的实数根；（2）当k=4时，△=16，方程化为3x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣3x+m与双曲线y=相交于点A（m，2）．（1）求双曲线y=的表达式；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
你认为其中合理的解释是
．（写出序号即可）
16．下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠A. 求作：一个角，使它等于∠A. 作法：如图，
（1）以点 A 为圆心，任意长为半径作⊙A， 交∠A 的两边于 B，C 两点；
（2）以点 C 为圆心，BC 长为半径作弧， 与⊙A 交于点 D，作射线 AD． 所以∠CAD 就是所求作的角．
w W w .x K b 1.c o M
丰台区 2018 年初三毕业及统一练习
数学试卷
1. 本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分.考试时间 120 分钟. 考
2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号. 生 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 须 4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
请回答：该尺规作图的依据是
．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26，27 题，每小 题 7 分，第 28 题 8 分）
17．计算： 8 2 cos 45 (3 π)0 |1 2 | ．
18．解不等式组：
3x 5x 2
与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于其对角线乘积之半”．
（说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形）
请根据右图完成这个数学问题的证明过程．
证明：S 筝形 ABCD = S△AOB + S△AOD + S△COB + S△COD． 易知，S△AOD = S△BEA，S△COD = S△BFC． 由等量代换可得：
天除正常进餐外，每人还增加 600ml 牛奶．一年后营养学家统计发现：乙组同学
平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多 2.01cm，甲组同学平均身高
的增长值比乙组同学平均身高的增长值的 75%少 0.34cm．设甲、乙两组同学平
均身高的增长值分别为 x cm、y cm，依题意，可列方程组为
.
15．“明天的降水概率为 80%”的含义有以下四种不同的解释 ① 明天 80%的地区会下雨； ② 80%的人认为明天会件下，历史纪录告诉我们，大约有 80 天会下雨.
4x 1, 1x
2.
19．如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点， DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F． 求证：DE = DF．
甲
乙
A
8cm
B
图1
图2
图3
（A）甲光斑从点 A 到点 B 的运动速度是从点 B 到点 A 的运动速度的 4 倍
（B）乙光斑从点 A 到 B 的运动速度小于 1.5cm/s
（C）甲乙两光斑全程的平均速度一样
（D）甲乙两光斑在运动过程中共相遇 3 次
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．在某一时刻，测得身高为 1.8m 的小明的影长为 3m，同时测得一建筑物的影长为
（B）(-2，1)
（C）(1，-2)
（D）(2，-1)
7．太阳能是来自太阳的辐射能量．对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何
污染的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能．下图是 2013-2017 年我
国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不．合．理．的是
（A）截至 2017 年底，我国光伏发电累计装机容量为 13 078 万千瓦
S 筝形 ABCD = S△AOB + = S 矩形 EFCA = AE·AC = 1· 2
+ S△COB +
12．如果代数式
，那么
的值为
．
13．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．如果 ∠A = 15°，弦 CD = 4，那么 AB 的长是
14．营养学家在初中学生中做了一项实验研究：甲组同学每天正常进餐，乙组同学每
10m，那么这个建筑物的高度为
m．
10．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数 y 随自变量 x 的增大而减少，则这个函数的表达式为
11．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣
的数学问题：古代数学家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为
（A）x≥0
（B）x≠4
（C）x≥4
（D）x＞4
3．右图是某个几何体的三视图，该几何体是
（A）正三棱柱
（B）正三棱锥
（C）圆柱
（D）圆锥
4．实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果 ab = c，那么实数 c 在数轴上的
对应点的位置可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
5．如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 A，
知 5. 考试结束，将本试卷、答题卡一并交回.
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个．
1．如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是
（A）线段 AG
（B）线段 BD
（C）线段 BE
（D）线段 CF
2．如果代数式 x 4 有意义，那么实数 x 的取值范围是
点 B，AC⊥AB 于点 A，交直线 b 于点 C．如果∠1 = 34°，
那么∠2 的度数为
（A）34°
（B）56°
（C）66°
（D）146°
6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，
如果将线段 OA 绕点 O 逆时针方向旋转 90°，那么点 A 的
对应点的坐标为
（A）(-1，2)
（B）2013-2017 年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加
（C）2013-2017 年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为 2 500 万千瓦
（D）2017 年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的 40%
8．如图 1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距 8cm 的 A，B 两点同 时开始沿线段 AB 运动，运动过程中甲光斑与点 A 的距离 S1(cm)与时间 t (s)的函数 关系图象如图 2，乙光斑与点 B 的距离 S2(cm)与时间 t (s)的函数关系图象如图 3， 已知甲光斑全程的平均速度为 1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌△P2Q2O2．下列叙 述正确的是