离散数学复习笔记
mit离散数学笔记
mit离散数学笔记离散数学是一门重要的数学学科，它研究离散对象和离散结构，如集合、图论、逻辑等。
MIT（麻省理工学院）是世界知名的学府，其离散数学课程给予了很多学生深刻的学习体验。
本篇文章将对MIT离散数学课程的内容进行笔记总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础。
在MIT的离散数学课程中，集合论位于开篇的位置，主要包括集合的定义与运算、集合的基数、无穷集合、基本逻辑等内容。
集合论不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机科学、人工智能等领域中扮演着重要的角色。
二、图论图论是离散数学中最重要的分支之一。
MIT的离散数学课程中，图论部分包含了图的基本概念、图的表示方法、图的连通性、最短路径算法、最小生成树算法等内容。
图论在计算机科学、社交网络分析、电路设计等领域中有着广泛的应用。
三、逻辑与证明逻辑是离散数学的核心内容之一。
MIT的离散数学课程中，逻辑与证明部分包括命题逻辑、谓词逻辑、命题等价性、谓词等价性、证明方法等内容。
通过学习逻辑与证明，学生不仅可以提高思维的严密性，还可以培养解决问题的能力。
四、数论数论是离散数学中的重要分支，研究整数的性质与结构。
MIT的离散数学课程中，数论部分主要包括整除性、素数、模运算等内容。
数论在密码学、编码理论等领域有着广泛的应用。
五、关系与函数关系与函数是离散数学中的重要概念。
MIT的离散数学课程中，关系与函数部分主要包括关系的性质、函数的性质、逆关系、复合函数等内容。
关系与函数不仅在数学中有着重要的应用，还在数据库设计、计算机网络等领域中起着重要作用。
六、排列与组合排列与组合是离散数学中的经典话题。
MIT的离散数学课程中，排列与组合部分主要包括排列、组合、二项式定理等内容。
排列与组合在概率论、统计学等领域中有着重要的应用。
总结：通过学习MIT离散数学课程，我们不仅可以掌握离散数学的基础概念和重要理论，还可以培养严密的逻辑思维和解决问题的能力。
离散数学在计算机科学、人工智能、密码学等领域都发挥着重要的作用。
离散数学笔记(特级教师精心整理)
离散数学笔记（特级教师精心整理）第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学复习考试重点笔记
推理●若公式A是一单个的命题变项，则称A为0层公式；●逻辑恒等和永真蕴含都是可传递的；●对偶：将∧，∨，T，F分别换以∨，∧，F，T；●对偶原理：若A<=>B，则A*<=>B*;若A=>B，则B*=>A*;●极小项包含简单合取式，极大项包含简单析取式；●极小项的编号i是使其为真的真值指派，极小项只有一个为真；●极大项的编号i是使其为假的真值指派，极大项只有一个为假；●矛盾式的主合取范式由全部的极大项组成，其主析取范式为0；●永真式的主析取范式由全部的极小项组成，其主合取范式为1；●对应全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴含式的前件加入；●对应存在量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为合取项加入；●无自由变元的公式称为闭式；●既要使用EI又要使用UI时，先EI后UI●如果一个变量是用规则EI消去量词，对该变量在添加量词时，则只能使用规则EG；●如使用规则UI消去量词，对该变量在添加量词时，则可使用规则EG和UG●在证明序列中，先引进带存在量词的前提；二元关系●A到B的二元关系为AxB的子集，|A|=m,|B|=n,则A到B的二元关系有2^mn个；●关系的闭包是关系的扩充；●偏序关系类似于<=关系，是反对称的；●拟序关系类似于<关系，是反自反和反对称的；●可比是用偏序判断的；●覆盖是用拟序关系判断的；●极小元不一定与所有元素都可比，没有比它更小的就是极小元；●极小元一定存在，最小元不一定存在；●最小元若存在，则它也是唯一的极小元；●集合B的上界/下界不一定是B中的元素；●上确界是上界中的最小元；●全序关系：任意两个元素可比，哈斯图为链；●良序关系：任意一个子集存在最小元；函数●函数f(A->B)的基数是|f| = |A|●A->B的函数有|B|^|A|个；●f:A->B,g:B->C;f·g = A->C; 若f·g为满射，则g满射，f·g单则f单，f·g双则f单g满；●只有双射函数的逆关系才是函数；代数结构●任何幺元恒有逆元；●判断a可约时，a不能是零元；●<S,*>的平凡子代数有<S,*>和<{e},*>●同态映射：f(a*b)=f(a) ο f(b)●同构映射：f为双射；●f的同态像为f(s)，则<f(s),o>为<T,o>的子代数；●当f为满同态时，<S,*>和<T,o>在结合律，交换律，幺元，零元，逆元，可约，幂等性等性质上是一致的（仅对同态像f(S)有效）；●同态f的核K(f):{x|x属于S，且f(x)=e`(e`是T的幺元)}●<K(f),*>为<S,*>的子代数群●半群是满足结合律的二元代数系统●有限集合的半群必含有幂等元；●含幺半群称为独异点；●有限独异点中不会有任意两行或者两列元素相同；●群：每个元素都存在逆元的独异点●群G中除幺元e外无其它幂等元●有限群G的每个元素都有有限阶，且其阶数不超过群G的阶数|G|●G中阶大于2的元素个数一定是偶数；●若群G的阶是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数；●交换群又称为阿贝尔群；●子群的充要条件：含幺，封闭，可逆；●群G的中心C：C是与G中所有元素都可交换的元素构成的集合；●设G为群，H，K是G的子群，则H与K的交集是G的子群，则H与K的并集是G的子群的条件是H包含K或者K包含H●H是G的子群，g属于G，则陪集的性质：⏹|gH|=|H|⏹当g属于H时，gH=H●设<H,*>为<G,*>的子群，任意两陪集aH和bH，或相同或不相交；●H在G中的指数记为[G:H]，是指H在G中陪集数；●拉格朗日定理：G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|·[G:H]；●质数阶的群没有非平凡子群；●任何群<G,·>有两个平凡的子群<G,·>和<e,·>●设<H,*>为<G,*>的子群，如果对任意g属于G，有gH=Hg，则称H是G的正规子群;●商群：由正规子群H在G上所有陪集G/H和二元运算o构成；●群<G,*>与它的每个商群<G/H,ο>同态；●无限循环群G=<a>有两个生成元a和a^-1;●若G是n阶循环群，则G含有k个生成元，k是小于等于n且与n互素的正整数r的个数，即a^r为生成元。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
mit离散数学笔记
以下是MIT离散数学的一些主要内容和笔记要点：
集合论：
集合论是离散数学的基础，它研究集合及其性质和运算。
集合是由元素组成的，元素之间通过集合运算进行组合。
常见的集合运算包括并集、交集、差集等。
命题逻辑：
命题逻辑是研究命题及其推理的逻辑系统。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题逻辑中的基本概念包括原子命题、合取、析取、否定等。
图论：
图论是研究图的结构和性质的数学分支。
图是由顶点和边组成的，顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学：
组合数学是研究计数问题的数学分支。
计数问题包括排列、组合、分割等问题。
组合数学中的基本概念包括加法原理、乘法原理等。
离散概率论：
离散概率论是研究离散随机事件的概率的数学分支。
离散随机事件是指可以列举出来的事件，如掷骰子、抽扑克牌等。
离散概率论中的基本概念包括概率空间、随机变量、期望等。
抽象代数：
抽象代数是研究代数结构的数学分支。
代数结构包括群、环、域等。
抽象代数中的基本概念包括群的定义、群的性质、环的运算等。
离散数学的其他分支：
离散数学还包括其他分支，如数理逻辑、集合论与泛函分析的交叉学科等。
数理逻辑是研究推理规则和推理系统的数学分支。
集合论与泛函分析的交叉学科是研究集合论和泛函分析之间的联系和应用的数学分支。
以上是MIT离散数学的主要内容和笔记要点，希望能对你有所帮助。
离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
笔记离散数学
离散数学复习笔记数理逻辑逻辑：以研究人的思维形式及思维规律为目的的一门学科数理逻辑：利用数学符号来协助推理的一门形式逻辑学命题：能表达判断并具有确定真值的陈述句真值：每个命题都具有的一个值，要么为真，要么为假，不能随着环境变化原子命题：不能再分解的命题复合命题：由原子命题符号及联结词组成的有意义的命题表达式否定非P 合取P而且Q 析取P可兼或Q 排斥析取P不可兼或Q 单条件若P 则Q 双条件P当且仅当Q命题公式：满足特定条件的合法的命题表达式分量：命题公式中的原子命题翻译：将自然语言转化为数理逻辑语言真值表：对一个命题公式而言，将对于其分量的各种可能的真值指派汇聚成的表两个命题等价：对两个命题公式A,B,若对于A\B中的所有命题变元P1\P2..对天安门的任一组真值指派A，B相同对应的行的真值相同，则称A与B等价等价定律：交换律，结合律，分配律，摩根律，否定律，同一律重言式：永真式，无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于T的命题公式永假式：无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于F的命题公式用一个命题公式代替重言式中同一个分量，依然为重言式蕴含式：若A->B永真则称A蕴含B，记做A=>B原命题等价于它的逆否命题三个性质：传递性，A=>B A=>C A=>(B^C)， A=>B C=>B AvC=>B有效结论：H1，H2、、、、Hn，C为一组命题公式，若H1^H2^...^Hn=>C,称C 是一组条件下的有效结论三种方法：真值表法，直接证法，间接证法其他连接词：条件否定，与非，或非规范命题表达式：只含非且或合取范氏：当且仅当具有A1^A2^...^An形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的析取式析取范式：当且仅当具有A1vA2v...vAn形式，A1，A2...An都是命题变元或其否定组成的合取式一个命题公式的合取范氏或析取范氏并不是唯一的n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 P^Q P^非Q一般n个命题变元共有2^n个小项n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 PvQ Pv非Q主析取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式主合取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式集合论集合：满足一定特征的对象的全体扩张原则：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元素抽象原则：任给一个集合U和一个性质P，存在一个集合A，使得A的各个元素恰好是U的具有性质P的那些成员集合表示：列举法，特征法幂集：对给定的集合A，称以A的全体子集为元素的集合为A的幂集集合的基数：|A|元素的个数无限集合：元素个数能与某个真子集一一对应的集合序偶：有序的二元数组<x,y>笛卡尔积：称A*B={<x,y>|x属于A且y属于B}二元关系：以序偶作为元素的集合即关系xRy，关系前域指x，关系值域指y，关系域是前域和值域的并集。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
离散数学笔记
离散数学笔记目录1.1 什么是集合 (2)1.2 集合内部 (2)1.3 集合运算 (3)1.3 运算定律及证明 (4)1.5 可数集合与不可数集合 (5)2.1 什么是命题 (5)2.2 命题联结词 (6)2.3 命题符号化及应用 (7)2.4 命题公式和真值表 (7)2.5 公式的分类和逻辑等价 (8)2.6 基本等价关系及其应用 (8)集合论1.1 什么是集合一、什么是集合1.定义：集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。
二、集合的符号表示1.表示字母：用大写英文字母表示集合: A, B, C, · · · , A1, B2, C3, · · ·用小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b2, c3, · · ·2.表示方法：（1）枚举法：列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号(· · · ) 表示。
B = {2, 4, 6, 8, 10, · · · }（2）叙述法：通过刻画集合中元素所具备的某2.种性质或特性来表示一个集合。
P = {x|P(x)}（3）文氏图：一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。
3.关系：（1）属于关系若 a 是集合 A 中的元素，则称a属于A，记为a∈A若 a 不是集合 A 中的元素，则称a不属于A，记为a∉A4.基数（1）集合A 中的元素个数称为集合的基数，记为|A|（2）集合的基数有限，称为有限集（3）集合的基数无限，称为无限集1.2 集合内部一、空集1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅. 空集可以符号化为∅= {x|x ≠ x}.【NB】空集是绝对唯一的。
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。