离散数学总复习
离散数学期末复习
离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。
例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。
例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。
例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。
例 求()r q p →→的主析取范式。
判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。
(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。
该结论是否有效？请说明原因。
在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。
或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。
小张守第一垒。
A 队没有成为联赛的第一名。
因此小李没有向B 队投球。
解：先将简单命题符号化。
P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。
前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。
根据以上事实，推断谁是盗窃犯。
（在命题逻辑中构造推理证明。
大学离散数学总复习题
《离散数学》期末复习题一．选择题：1.下列句子为真命题的是（） A(a)能整除7 的正整数只有1 和7 本身。
(b) 胡戈由于导演了“无极”而于2005年获得奥斯卡金像奖。
(c) 买两张星期五去“大剧院”音乐会的票。
(d) 地球是宇宙中惟一存在生命的星球。
2．下列语句中是真命题的是（） DA．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） B A．⎤ P∧⎤ QB．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（） BA．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．在公式（）F（x，y）→（y）G（x，y）中变元x是（） BA．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元6、下列语句不是命题的是（） AA.∀xP(x,y)B. ∀xP(x)C. （）F（x，y）→（y）G（x，y）D. ∀x (x2 - 1 > 0)7.集合X = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} 是（） DA) 自反的、 B) 传递的、 C) 等价的 D) 对称的8、设R 是X = {1, 2, 3, 4}上的关系，x, y ∈X，如果x ≤ y，则(x, y)∈R。
下列关于关系R的说法错误的是：（） AA)关系R是等价关系，B) 关系R 是自反的C) 关系R 是传递的 D) 以上都不是。
9、集合X = {a, b, c}上的关系 R = {(a, a), (b, b), (c, c)}是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的；D) 自反的、对称的和传递的10、令X={1,2,…,10}。
定义xRy的意义是3整除x-y。
则关系R是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的D) 自反的、对称的和传递的11、下列S不是集合X＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}的一个划分的是（） DA)S＝{{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}B)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3,5}, {7, 8}}C)S＝{{1, 4, 5}, {2,3, 6}, {7, 8}}D)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}12、从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c, d}的函数 f = {(1, b), (3, a), (2,c)} 是( ) AA) 一对一的B) 映上的C) 双射D) 都不是13、设R是X＝{1, 2, 3, 4}上的关系，x, y∈X，如果x≤y，则(x,y)∈R。
离散数学综合复习资料
离散数学综合复习资料一、判断题1.（）命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。
2.（）（P∧Q）∧⌝P为矛盾式。
3.（）（（⌝P∨Q）∧（Q→R））→（P→R）为重言式。
4.（）A、B、C是任意命题公式，如果A∨C⇔B∨C，一定有A⇔B。
5.（）若集合A上的二元关系R是对称的，R C一定是对称的。
6.（）R是A上的二元关系，R是自反的，当且仅当r(R)=R。
7.（）集合A上的等价关系确定了A的一个划分。
8.（）有理数集是可数的。
9.（）若函数f，g为入射则其复合函数也为入射。
10.（）R是集合A上的关系，R有传递性的充要条件是RoR⊆R。
11.（）设<A，*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。
如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则e≠θ。
12.（）交换群必是循环群。
13.（）一个群可以有多个等幂元。
14.（）模格一定是分配格。
15.（）每个有向图中，结点入度数总和等于结点出度总和。
16.（）图G的邻接矩阵A，A l中的i行j列表示结点v i到v j长度为l路的数目。
17.（）任何图中必有偶数个度数为奇数的结点。
18.（）有向图中，它的每一个结点位于且只位于一个单侧分图中。
19.（）任意平面图最多是四色的。
20.（）不存在既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。
二、填空题1．设P：“天下雨”，Q：“他骑自行车上班”，R：“他乘公共汽车上班”。
则命题“除非下雨，否则他就骑自行车上班”可符号化为。
“他或者骑自行车，或者乘公共汽车上班”可符号化为2．设N(x)：x是自然数；J(x)：x是奇数；Q(x)：x是偶数，用谓词公式符号化命题“任何自然数不是偶数就是奇数”。
3．设P(x)：x是运动员，Q(x)：x是教练。
则命题“不是所有运动员都是教练”可符号化为。
4．设D={a,b}；P(a,a)=P(b,b)=T；P(a,b)=P(b,a)=F。
则公式(∀x)(∃y)(P(x,y)→P(y,x))的真值是。
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3．传递性 若 xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z> ∈R), 则称R是A上的传递关系.
6、关系的闭包 设R是非空集合A上的关系, R的自反 （对称或传递）闭包是A上的关系R, 使得 R满足以下条件： （1）R是自反的（对称的或传递的） （2）RR （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递） 关系R 有RR. 一般将R的自反闭包记作r(R), 对称闭包 记作s(R), 传递闭包记作t(R).
(p r) (q r )
pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2 qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4
A =(p q) ∨r M0M2M4
6. 联结词完备集 设S是一个联结词集合，如果任何 n(n1) 元真值函数都可以由仅含S中的联结 词构成的公式表示，则称S是联结词完备集.
期末考试的题型：
一、选择题：10题*2分
二、填空题：5题*2分 三、计算题：5题*9分
四、证明题：2题*8分
五、综合题：1题:9分
第一部分
1┐p
（1）否定“ ┐”
0 1
p q 0 1 0 1
1 0
p∧q
（2）合取“ ∧ ”
0 0 1 1
0 0 0 1
例如： p, pq, pq, (pq)p(pqr)
范式——析取范式与合取范式的总称
（3）、主析取范式与主合取范式
在含有n个命题变项的简单合取式（简 单析取式）中，若每个命题变项和它的否 定式恰好出现且仅出现一次，而且命题变 项和它的否定式按下标从小到大或按字典 顺序排列，称这样的简单合取式（简单析 取式）为极小项(极大项).
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点第一章 集 合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。
[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。
[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。
2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。
实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。
[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。
解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。
解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章 二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
离散数学复习资料
1.证明永真公式Q14,Q15,Q16,Q17和Q18。
2.证明P(x)∧任意xQ(x)==>存在x(P(x)∧Q(x))3.设论述域是{a1,a2,a3,…an},试证明下列关系式。
(a) 任意xA(x)∧P<==>任意x(A(x)∧P)(b) 任意x(A(x)∧B(x))<==>任意xA(x)∧任意xB(x)(c) 存在x(A(x)∧B(x))<==>存在xA(x)∧存在xB(x)4.证明下列关系式(a) 任意x任意y(P(x)∨P(y))<==>任意xP(x)∨任意yP(y)(b) 存在x存在y(P(x)∧Q(y))==>存在xP(x)(c) 任意x任意y(P(x)∧Q(y))<==>任意xP(x)∧任意yQ(y)(d) 存在x存在y(P(x)－＞P(y)) <==>任意xP(x)－＞存在yP(y)(e) 任意x任意y(P(x) －＞Q(y)) <==>(存在xP(x)－＞任意yQ(y))5.写出limf(x)=k的定义的符号形式，并用形成定理两边的否定的方法，找出limf(x)不等x->c x->c于k的条件。
6.给定自然数集合N的下列子集：A={1,2,7,8}B={i|i平方<50}C={i|i可被30整除}D={i|i=2的k次方∧k∈I∧0≤k≤6}求下列集合(a)A∪(B∪(C∪D))(b)A∩(B∩(C∩D))(c)B-(A∪C)(d)(非A∩B) ∪D7.假定A≠空集和A∪B=A∪C，证明这不能得出B=C，假设中增加A∩B=A∩C，你能得出B=C吗？8．(a)证明“相对补”不是一个可交换运算，即证明存在一个论述域包含集合A和B，使A-B≠B-A。
(b)A-B=B-A可能吗？刻划上式出现的全部条件。
(c)“相对补”是一个可结合的运算马？证明你的断言。
9.证明下列恒等式(a)A∪(A∩B)=A(b)A∩(A∪B)=A(c)A-B=A∩非B(d)A∪(非A∩B)=A∪B(e)A∩(非A∪B)=A∩B10.设Sn={a0,a1,…,an}和Sn+1={a0,a1, …,an,an+1},试用p(Sn)和an+1表达出p(Sn+1)。
离散数学复习题及答案
总复习题（一）一．单选题1 (C)。
一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。
、4 、5 、6 、72、 (A)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。
、1 、2 、3 、43、 (D)。
为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。
、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。
一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。
、9 、10 、11 、125、 (D)。
如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。
、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、107、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、129、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。
、13 、12 、11 、1010、 (D)。
有向图的通路包括。
、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。
一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。
、9 、10 、11 、1212、 (B)。
为有向图，为的邻接矩阵，则。
、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５A B C D GG ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v je B i v j e C i v j e D i v j e A B C D GG ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D E ,V D=[]n n ij a ⨯D 5a )4(ij =A i v j v B i v j v、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。
在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
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第五章 拉格朗 日定理
陪集的定义与计算 拉格朗日定理 子群导出的商群 元素的阶、生成元的阶、群的 阶 上述这些阶之间的整除关系揭 示了有限群中各元素在运算过 程中所表现出来的周期性 不仅这些，还揭示了同态像与 商群之间的同构性
第五章 环与 域
1.环、整环、域的定义。 2.常见的几种环。 3.整环与域之间的关系。 4. 消去律与无零因子的等价关系 5. 剩余类环中哪些是整环。
第五章 子群
子群的概念 识别子群的条件，分有限群与 无限群 正规子群 平凡子群 循环子群 同态核K是群G上的正规子群 依子群可求出所有的陪集 子群导出的等价关系及其商集
第五章 同态映 射与同 余关系
同态映射的定义，两个运算之间的 同态条件 同余关系的定义，代换性质的条件 在两个代数之间建立同态映射，总 是可以导出一个同态像集合，同态 像不仅保持运算同态，设保持运算 结构 一个代数上建立了一个同余关系， 这个同余关系一定带出一个自然同 态 同态映射与同余关系是相互有关联 的
1. 置换的定义 2. 轮换表示及其函数对应关系 3. 轮换的运算方法和运算性质 4. 偶置换与奇置换的定义 5. 奇偶置换的的运算方法和运算 性质。 6. 恒等置换、逆置换、对换、轮 换的长度、不变元、长度为r的 轮换的阶、。
第五章 数论基 础
1.整除的概念。 2. 最大公约数，最小公倍数。 3. a,b是互质的，（a,b）=1 。 4. (a,b)=as+bt,辗转相除与求s,t。 5.模k同余关系 6.整数的质数因子
离散数学（第二学期）
总复习
复习 上学 期课 程中 的会 用到 的知 识
1，集合的运算及集合相等的证 明、笛卡儿积等 2，等价关系、等价类、划分、商 集的概念 3，偏序关系、链序关系、Hasse 图、 上界、下界、上确界、下 确界 4，关系的性质 5，函数、双射函数、单射、满射 函数的证明方法
第五章 置换
第五章 特殊元 素代数 结构
1.幺元、逆元、零元、等幂元、补元、 零因子、全上界、全下界 2.代数系统、代数常数、子代数系统。 3.代数结构。 4.群类的代数结构有半群、独异点、 群。 5.群中的典型群有Anel群、循环群、n 次对称群、交代群、变换群、置换 群、Klein四元群。 6.群的性质可以保证方程式有唯一解。 7. 半群、群的一些识别条件。
第六章 几种 典型 的格
ห้องสมุดไป่ตู้
分配格与不分配格 两个不分配的五子格 有界格、有补格、布尔格 补元的定义与求法 布尔代数的十大定律 格中等价表达式的证明方法 Stone定理的结论
结束 语
同学们加油 不管课堂上有没有回答出问题，现 在努力仍然来得及 我不敢说爱你们，但我喜欢你们是 一定的，希望你们也能喜欢我 希望离散的课程能使你的大脑得到 逻辑的、抽象的、灵活的、记忆的、 想象力的等等多方面能力的锻炼 记住我的名言： 要搞定电脑，先搞定人脑。 祝你们考试成功！
第六章 格
1，格的定义 2，在Hasse图上找出上确界，下确界 3，子格的概念 4，格代数的结构，代数格与格代数的 对应 5，两个格之间的同构性与第一格与其 同态像之间的保序性是相互等价的， 简单的讲就是，在函数双射的前提 下，两个运算间运算同构一定推出 两个偏序间相互保序，反之相互保 序一定推出同构