2013年下半年中学教师资格认定考试(高级数学学科知识与教学能力)真题试卷

2013年下半年中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）真题试卷(总分：34.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：8，分数：16.00)1.设a n =n 2 -9n-100(n=1，2，3…)，则数列{a n }中取值最小的项为( )。

A.第4项B.第5项C.第6项D.第4和第5项√解析：解析：将数列a n看做一个一元二次多项式，开口向上在对称轴n=4．5处取得最小值，但是数列中n为正整数，故在其附近找最小值。

当n=4时，a n =-120；当n=5时，a n =-120。

故取最小值的项为第4项和第5项。

故选D。

2.已知a＞1，0＜x＜y＜1，则下列关系式正确的是( )。

A.a x＞a yB.x a＞y aC.log x a＞log y a √D.log a x＞log a y解析：解析：特值法，令。

则A选项：，错误。

B选项：，错误。

C选项：，正确。

D选项：，错误。

故选C。

3.若M、N均为n阶矩阵，则必有( )。

A.∣M+N∣=∣M∣+∣N∣B.∣MN∣=∣NM∣√C.(MN)′=M′N′D.(M+N) 2 =M 2 +2MN+N 2解析：4.已知随机变量X服从正态分布N(3，1)且P(2≤x≤4)=0．6826，则P(X＞4)=( )。

A.0．1585B.0．1586C.0．1587 √D.0．1588解析：解析：P(2≤x≤4)=，所以φ(1)=0．8413，又P{x＞5.光滑函数f(x)的图象如图所示，下列关系式正确的是( )A.0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)-f(2)B.0＜f′(3)＜f(3)-f(2)＜f′(2)√C.0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜f′(2)＜f′(3)解析：解析：从图形看可以看做抛物线：y 2=2px(x＞0，y＞0)。

由于是选择题，为了方便令p=1，则y=f(x)=，由于光滑则可导得到。

结合选项，先求出，则通过计算可以得到f′(2)＞f′(3)，。

故选B。

6.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB( )A.大于1B.小于1C.等于1 √D.以上都不对解析：解析：考查向量的代换，在正方形中AB与CB C。

7.下列观点不正确的是( )。

A.算法是现代数学的最重要组成部分B.算法内容可以提高学生的逻辑思维能力C.顺序结构、选择结构、循环结构是算法程序框图的三种基本结构D.由于算法思想和计算机关系密切，所以我国古代没有算法思想√解析：解析：中国古代数学以实用为目的，直观性和机械化、程序化是它的的算法特点。

所以中国古代是有算法思想的。

故选D。

8.下列哪位数学家不是微积分的创始人( )。

A.伽罗华√B.牛顿C.费尔马D.莱布尼茨解析：解析：费尔马是微积分的先驱者，早在牛顿、莱布尼茨之前，他就提出用微分子法求极大、极小的步骤，并给出求曲线围成图形的面积的方法。

埃瓦里斯特.伽罗华(évariste Galois，公元1811年～公元1832年。

从民国起至今，其中文译名为伽罗瓦的情况更多)是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家。

曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题是微积分的起源之一。

费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。

故选A。

二、简答题(总题数：5，分数：10.00)9.设求f(x)的反函数f -1(x)；f(x)的图象和f -1(x)的图象关于哪条直线对称?(2)点P在f(x)的图象上，点Q在f -1 (x)的图象上，求PQ的最小值。

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)令，故f -1 (x)=ln2x(x＞0)，关于y=x对称。

(2)设点，P到直线y=x的距离为d，则。

所以PQ取最小值时，应该是PO与直线y=x垂直，则，令D′=O求得x=ln2在此处取得最小值。

则最后求得的最小值带入上式中得到：。

)解析：10.已知矩阵y 2 -x+y=0在矩阵M -1对应的线性变换作用下得到的曲线方程。

__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于设则2 -(x′-y′)+y′=0，化简可得x′=y′ 2+2y′，即x=y 2 +2y)解析：11.设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，证明：存在ε∈[a，b]__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由f(x)是区间[a，b]上的连续函数，故存在最大值M和最小值m，使得m≤f(x)≤肘，所以有，由于b-a＞0，故有，由中值定理存在ε∈[a，b]，使得，化简得成立。

)解析：12.数学新课程提倡教师要成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者，请解释教师的引导作用主要体现在那些方面?__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：学生是学习的主体，而教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。

在每节课的教学中教师应从学生熟悉的生活经验中寻找有意义的生活素材，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动富有个性地学习。

在数学课堂教学中教师应从以下方面去引导探究学习知识。

一、创设丰富有趣的数学情境。

兴趣是学生探索新知的直接动力，兴趣高，学生才能学得积极主动，思维才会敏捷灵活。

恰当、适时的导入新课，它可以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲，使学生一上课就有了明确的探索目标和正确的思考方向。

二、充分发挥课堂教学作用。

课堂教学应当使学生掌握数学知识，达到教学目标，获得一种基本技能、数学思想以及数学活动的经验。

教师也可以通过课堂的教学，可以根据自己在教学中的行为总结教学优点以及不足，为以后能够更好地实施课堂教学工作经验积累。

在教师指导下，让学生主动的获取知识、应用知识，解决问题。

让学生享受参与的快乐，面对一个未知领域，学生充满了强烈的好奇，非常希望去尝试一番，希望自己是一个发现者、研究者、探索者。

对自己亲自实践得到的知识，会理解的更加深刻。

教师要顺应学生的这种需求，让学生品尝参与的乐趣，强化获取知识的主动性。

在课堂上让学生充分感受到了自己是这节课的主人，要用智慧和知识解决问题，体验了主动参与的快乐，使学习成为学生生活中重要的感情经历。

在学生不断的探索、学习中，教师要注意根据不同的教学内容，采取不同的方法进行引导：有关概念的概括,注意引导学生从诸多有关因素中，抽取出体现其本质特征的因素进行概括；对有关计算法则引导学生根据计算的过程及步骤去归纳概括。

对于有些计算公式，引导学生参与公式的推导过程，老师有意识地引导学生经历由操作思维到形象思维最后到抽象思维的过程，使学生不仅知其然，而且知其所以然，知识理解深、记得牢、用得活。

同时，还使学生初步掌握了一些归纳、概括数学知识的基本方法，提高了他们学习数学知识的能力。

通过归纳小结让学生从总体上理解和掌握知识及其应用，教学中要有目的、有意识、有计划地指导学生在学习过程中领悟并及时提示他们掌握相应的学习方法，使他们逐步由“学会”到“会学”，不断提高数学学习能力，培养了学生的合作精神，归纳概括的能力。

三、加强知识的应用。

练习辅导是课堂教学的一个重要环节，是实现因材施教、提高教学质量的重要措施。

在练习辅导中，满足不同层次的学生的不同要求，为培养优秀尖子人才创造条件。

对学习成绩较差的学生应给予耐心细致、不厌其烦地个别辅导，给他们机会、口答问题，板演练习等，并经常给予鼓励、表扬，在练习辅导中灵活的运用个别辅导和集体辅导艺术，及时反馈及时纠错。

既能弥补学生掌握知识的不足，又可以发现教师课堂教学的欠缺，有利于及时总结经验，不断的改进教学工作。

)解析：13.分别解释学习心理学中“同化”与“顺应”的含义，并举例说明“同化”在数学概念学习中的作用? __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：同化是指有机体面对一个新的刺激情景时，把刺激整合到已有的图式或认知结构中。

顺应是指当有机体不能利用原有图式接受和解释新刺激时，其认知结构发生改变来适应刺激的影响。

同化论，强调新旧知识的相互作用涉及上位学习、下位学习、并列结合学习三种形式；强调概念和命题的不断分化和综合贯通；强调原有知识的巩固及教材由一般到个别的循序组织。

实际应用中，要了解学生对新旧知识的掌握程度及接受能力，用耳熟能详的“已知”内容去教导“未知”内容。

比如我们在学习椭圆的时候，可以从圆类比着来学习。

)解析：三、解答题(总题数：1，分数：2.00)14.设a 1 ，a 2 ，a 3 是复平面上的三个数，a 1 +a 2 +a 3 =0，且满足等式a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 =a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 。

证明(1)(z-a 1 )(z-a 2 )(z-a 3 )=z 3-a 1 a 2 a 3 ； (2)以a 1 ，a 2 ，a 3 为顶点的三角形为正三角形。

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)证明：(z-a 1 )(z-a 2 )(z-a 3 )=z 3 -z 2 (a 1 +a 2 +a 3 )+z(a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 )-a 1 a 2 a 3 由于a 1 +a 2 +a 3 =0， 因此a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 =a 1 (-a 1 -a 3 )+a 2 (-a 1-a 2 )+a 3 (-a 3 -a 2 )=-(a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 )-(a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 )=-2(a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 ) 于是3(a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 )=0 所以a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 =0 因此(z-a 1 )(z-a 2 )(z-a 3 )=z 3 -a 1 a 2 a 3 (2)证明：以a 1 ，a 2 ，a 3 为顶点的三角形为正三角形等价于向量 即 两边平方得a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 =a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 。